Logarithm of multivector in real 3D Clifford algebras
本文提出实三维Clifford代数中一般多向量对数的闭式表达式，涵盖所有p+q=3情形，并给出单刀片及组合的通用与特殊公式。
2023-04-01 math-ph math.MP math.RA
Spectral square roots of the multivector
本文研究了实几何 Clifford 代数中具有符号系数的多重向量多重平方根问题，提出基于 R.Bott 周期表与矩阵特征系统的方法求解，并确定谱平方根的存在域，给出了低维至高维代数的示例与基向量表。
2025-01-28 math-ph math.MP
The characteristic polynomial in calculation of exponential and elementary functions in Clifford algebras
给出了任意Clifford几何代数Cl（p，q）在无基表示和正交基表示下的多重向量指数的计算公式.这些公式是基于对多重向量的特征多项式的根的分析。详细的例子，如何在实践中使用的公式。这些结果对量子线路和纠缠量子态演化分析等问题有一定的参考价值。
2022-05-24 math-ph math.MP quant-ph
Coordinate-free exponentials of general multivector (MV) in Cl(p,q) algebras for p+q=3
在实Clifford几何代数Cl（0，3），Cl（3，0）$，Cl（1，2）和Cl（2，1）中，当指数是最一般的多向量时，得到了指数函数在无坐标形式下的封闭形式表达式.解决这个问题的主要困难是与矢量和双矢量分量的纠缠或混合有关。解纠缠后，得到的公式简化为著名的Moivre型三角/双曲函数的向量或双向量指数。这些公式在遗传算法微分方程的求解、信号处理、自动控制和机器人学中有广泛的应用。
2021-08-03 math-ph math.MP
A note on solution of $ax+xb=c$ by Clifford algebras
讨论了当$p+q\le 3$为Clifford代数$Cl_{p,q}$时多向量方程$ax+xb=c$的无坐标解.
2019-02-25 math-ph math.MP math.RA
On Rank of Multivectors in Geometric Algebras
HSE University（高等经济学院）；Institute for Information Transmission Problems of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院信息传输问题研究所）
该研究在任意维度Clifford几何代数中，仅用几何代数运算、结合特征多项式概念与SVD方法定义了多重向量的秩，成果可应用于计算机科学、工程、物理等多领域的几何代数相关场景。
2025-04-28 math-ph math.MP math.RA
Euclidean Clifford Algebra
设$V$是$n$维实向量空间.本文对$V,$上给定的欧氏结构引入了\emph{euclidean} Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$的概念，即，对$(V,G_{E})$，其中$G_{E}$是$V$的欧几里德度量（也称为欧几里德标量积）。我们的$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$结构被设计成一个强大的计算工具。我们开始介绍的概念，\emph{multivectors}在$V.$这些对象是一个线性空间的元素，在实数域，表示为$\bigwedge V.$。我们还介绍了，外部和欧几里德标量积的多向量的概念。这允许在$\bigwedge V,$上引入两个\emph{contraction operators}和欧几里得\emph{interior}代数的概念。有了这些概念，欧氏Clifford积就很容易被引入。我们用相当多的细节计算出了几个重要的恒等式和有用的公式，以帮助读者发展关于这个问题的技能，为阅读本系列的以下论文做好准备。
2002-12-18 math-ph math.MP
Z_2^n grading of the classical Lie algebras
描述了经典李代数的Z_2^n分次。为了阐明分次，经典李代数被表示为八个域之一上的矩阵代数或Clifford代数，其分次范围从0到Z_2^3。当矩阵维数可被2的幂整除时，李代数具有更高的等级，可以用更高的Clifford代数来表示：这些也被描述。
2005-08-12 math-ph math.MP
Grade free product formulae from Grassmann Hopf gebras
在Clifford代数的传统方法中，Clifford积是通过递归应用一个向量（生成元的跨度）在齐次（即可分解（格拉斯曼），多向量和上的乘积来计算的，后来通过双线性扩展。Hestenesian的“点”积，扩展了单向量标量积，甚至更糟糕，有标量的例外，并且需要在不同的时间应用等级运算符。此外，多重向量阶不是一般的Clifford代数概念。在几何应用中，如果必须计算相交、连接或收缩，则情况变得更糟。从自然分次的Grassmann霍普夫代数出发，推导出乘积的一般公式：相遇和连接、相遇和共连接、左/右收缩、左/右共收缩、Clifford和coClifford乘积。这些乘积公式对任意双线性形式的Clifford代数的任意阶数和任意非齐次多向量因子都是有效的，包括非对称和退化形式。我们推导出三个著名的Chevalley公式作为我们的方法的专业化，并将显示合作Chevalley公式。Rota-Steinclifford化是Chevalley变形的推广。我们的乘积公式基于不变理论，不依赖于表示/矩阵，计算效率很高。该方法也适用于辛Clifford代数。
2002-08-13 math-ph math.MP math.RA
Clifford algebra-parametrized octonions and generalizations
通过引入Cl（0，7）的多向量与八元数之间的乘积，得到一个八元数，并在特定情况下得到非结合的标准八元数乘积，我们推广了八元数X-乘积和XY-乘积，并结合了7-球面上切丛上玻色子场和费米子场的变换规则.我们还提出了必要的形式主义，以构建Clifford代数参数化八元数。最后，我们介绍了一种构造广义八元数代数的方法，其中它们的八元数单位由任意Clifford多向量参数化。Clifford多向量和八元数之间的产品，导致一个八元数，示出共享分级关联，超对称性质。我们还调查了推广的Moufang身份，为每一个产品介绍。X-积等于由挠率张量给出的平行化挠率的两倍，并用于研究S7卡茨-穆迪代数。X-积也被用来获得三度映射和G2作用，它自然地导致了显着的几何和拓扑性质，例如十维中的Hopf纤维化和扭量形式主义。八元数在寻求统一中的重要性是基于这样的事实，例如，通过将除代数值超代数扩展到八元数，在D=11中可以构造一个八元数广义庞加莱超代数，即所谓的八元数M-代数，它描述了八元数M-理论，其中八元数超2-膜和八元数超5-膜扇区被证明是等价的。此外，八元数形式主义还有其他广泛的推广和应用，如四元数和八元数旋量的分类和伪八元数形式主义。
2006-03-21 math-ph math.MP math.QA
Clifford geometric algebra: Real and complex spinor data tables
本文利用现代代数概念构建了实与复系数Clifford代数多重向量的旋量表，通过Mathematica计算并完整呈现了包含初始幂等元、理想、旋量基及矩阵表示等七项数据，扩展了1998年仅发表前四项的早期研究。
2024-12-19 math-ph math.MP
Metric Clifford Algebra
本文引入了度量Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,g)$的概念，其中$n$维实向量空间$V$被赋予了一个度量扩张子$g$，其签名为$(p,q)$，具有$p+q=n$ . $\mathcal{C\ell}(V,g)$上的度量Clifford积表现为$\mathcal{C\ell}(V)$上的欧氏Clifford积的定义良好的\emph{deformation}（由$g$诱导）。与度量伸缩子$g,$相关联的是规范度量伸缩子$h$，其将刚刚包含在$g.$中的所有几何信息编码。这里确定这种$h$的精确形式。此外，我们提出并证明了所谓的\emph{golden formula,}，这是很重要的，在许多应用中，自然出现在我们的研究多向量函数，微分几何和理论物理。
2002-12-16 math-ph math.MP
Quregisters, symmetry groups and Clifford algebras
三维实线性空间上的Clifford代数包括它的线性结构和它的外代数，由同次多向量张成的子空间决定了Clifford代数的一个阶。通过这些几何概念，从$\mbox{SO}(3)$到$\mbox{SU}(2)$的自然一对一和二对一同态被常规地构建，并且量子位的集合被标识为$\mbox{SU}(2)$的子组。这些构造适合于推广到相应的张量幂。量子比特、量子寄存器和量子门的概念被翻译成对称群的语言。希尔伯特空间张量积中纠缠态的对应元素。在对称群的张量积中实现纠缠的概念。
2016-02-22 math-ph math.MP quant-ph
On SVD and Polar Decomposition in Real and Complexified Clifford Algebras
本文提出在任意维度与符号的非退化实与复化 Clifford 几何代数中，仅用代数运算实现任意多重向量的奇异值分解（SVD）与极分解，并定义了相关结构，为计算机科学、工程和物理等领域的应用提供基础。
2024-04-18 math-ph math.MP math.RA
On Clifford Subalgebras, Spacetime Splittings and Applications
本文回顾了Clifford代数的Z ~ 2-分次，并讨论了一种基于内自同构结构的α-分次，它与时空分裂密切相关，如果我们考虑标准共轭映射的分裂向量是任意的，但却是固定的.在简要地勾勒出的正交和平行组件的产品的微分形式，其中我们介绍了平行[正交]的一部分作为空间[时间]的组成部分，我们提供了一个详细的阐述狄拉克算子分裂，我们展示了如何微分算子平行和正交组件有关的李导数沿分裂矢量和角动量分裂双矢量。我们还介绍了多矢量诱导的α-分级和提出的狄拉克方程的时空分裂，狄拉克旋量场被证明是一个直接和两个四元数。我们指出了一些可能的物理应用的形式主义开发。
2006-05-03 hep-th math-ph math.MP
Clifford algebra is the natural framework for root systems and Coxeter groups. Group theory: Coxeter, conformal and modular groups
在本文中，我们证明了Clifford代数是根系和反射群以及相关群如共形群和模群的自然框架：存在于这些空间上的度量总是可以用来构造相应的Clifford代数。通过Cartan-Dieudonné定理，所有感兴趣的变换都可以写成反射的乘积，从而通过与Clifford代数多向量的“重叠”。这些多向量群可以用于在不同的群中执行具体的计算，例如各种类型的多面体群，并且我们详细地处理四面体群$A_3$的例子。顺便说一句，这给出了一个建设性的结果，从每个3D根系中导出一个四维根系，这取决于以下事实：旋量组提供了旋转的双重覆盖，3D旋量空间具有4D欧几里得内积，并且相对于这个内积，旋量组可以被示出为在反射下闭合。特别是4D根系/Coxeter群诱导以这种方式正是例外的，与三维旋的观点也解释了他们不寻常的自同构群。这种结构简化了阿诺德的三位一体，并把麦凯对应到一个更广泛的框架。我们最后讨论了将共形几何代数方法推广到二维共形群和模群，这在共形场论、弦论和模形式理论中可能有有趣的新应用。
2016-02-18 hep-th math-ph math.GR
Generalized non-associative structures on the 7-sphere
本文利用7-球面上的外丛和Clifford丛给出了一类更一般的非结合积。一些额外的性质包括以前的形式主义在Clifford代数的上下文中，和更广泛的类的非结合结构的7-球面上进行了调查，证明了方向非结合产品和混合组合的广义非结合产品之间的Clifford代数多向量。通过考虑任意Clifford丛Cl（0，7）元到八元数的非结合剪切，进一步推广了这些非结合积.我们断言新的性质继承自S7上的整个Clifford丛中引入的非结合结构，它自然地诱导Clifford丛上的对合，并提供了关于完善的正式结果和物理学中的潜在应用的直接推广。
2011-09-05 hep-th math-ph math.MP
On Lie Groups Preserving Subspaces of Degenerate Clifford Algebras
HSE University（莫斯科大学）；Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院信息传输问题研究所）
本文研究了保持退化克莱因代数子空间的李群及其代数，探讨其与海森堡群的关系及在等变神经网络中的应用。
2026-01-12 cs.LG math-ph math.MP
Revisiting special relativity: A natural algebraic alternative to Minkowski spacetime
闵可夫斯基在1908年提出了著名的时空连续统概念，将三维空间与一个虚的时间维度$ i c t $合并，虚的单位产生正确的时空距离$ x^2 - c^2 t^2 $，以及爱因斯坦当时最近发展的狭义相对论的结果，从而为爱因斯坦的理论提供了一个解释。作为两个空间维和一个时间维的平面闵可夫斯基时空的替代方案，我们用Clifford双向量$ ι= e_1 e_2 $代替单位虚部$ i = \sqrt{-1} $，该双向量也平方为负1，但可以在不增加额外维数的情况下包含它，因为它是具有正交基$ e_1 $和$ e_2 $的实笛卡尔平面的一个组成部分。我们发现，在这个平面时空模型中，使用二维克利福德多向量，时空度规和洛伦兹变换立即作为代数的性质。这也导致动量和能量被表示为一个多向量的组成部分，我们给出了一个新的有效的推导康普顿散射公式，和一个简单的狄拉克和麦克斯韦方程。基于多重矢量的数学结构，我们提出了一个大质量粒子的半经典模型，它可以被看作是闵可夫斯基时空结构的起源，从而更深入地解释相对论效应。我们也发现了一个新的角度对时间的性质，现在是一个精确的数学定义为双向量的平面。
2012-05-09 math-ph math.MP physics.class-ph
Relativity in Clifford's Geometric Algebras of Space and Spacetime
在各种形式主义发展来处理相对论现象，那些基于克利福德的几何代数是特别适合明确的几何解释和计算效率。本文研究了闵可夫斯基空间的时空代数（STA）Cl{1，3}和物理空间代数（APS）Cl{3}中的狭义相对论公式之间的关系。STA适合于相对论的绝对表述，其中路径，场和其他物理性质具有独立于任何其他物理性质的表示。APS中的描述通过从APS到STA的偶数子代数STA+的元素的一对一映射而相关。通过这种映射，APS中的回复对应于STA中的厄密共轭。STA+的元素是计算物理可测量量所需的全部，因为只有它们才需要任何物理测量中固有的观察者依赖性。因此，每一个可以在STA中建模的相对论性物理过程在APS中也有表示，反之亦然。在两个或两个以上的惯性观察员的存在下，两个版本的APS呈现自己。在绝对版本中，到STA+的映射和厄米共轭都是依赖于观察者的，并且适当的基向量是扫过类时平面的持久向量。在相对版本中，映射和厄密共轭对所有观察者都是相同的。相对APS给出了相对论物理的协变表示，时空多矢量由多副矢量表示。我们涉及的两个版本的APS作为一致的模型在同一代数。
2004-05-07 math-ph math.MP
Geometric Algebra and Star Products on the Phase Space
超分析可以用费米子星积变形为与几何代数等价的Clifford演算。有了这个多向量形式主义，就有可能制定黎曼几何和外部微积分的非齐次推广。此外，它在这里示出如何辛几何和泊松几何适合在这种情况下。这种形式主义与变形量子化的玻色子星积形式主义一起的应用，在空间和时空上导致自旋结构的自然出现，在相空间上导致在经典力学的路径积分公式中发现的BRST结构。此外，它将表明，庞加莱和李泊松减少可以制定在这种形式主义。
2006-09-09 math-ph math.MP
On the Decomposition of Clifford Algebras of Arbitrary Bilinear Form
Clifford代数自然地与二次型联系在一起。这些代数通过构造是Z_2-分次的。然而，只有通过基的选择，或者更好地，通过Chevalley向量空间同构Cl（V）<->\bigwedge V和排序，才能保证多向量分解为标量、向量、张量等，这在物理学中是强制性的。我们证明了Chevalley同构定理不能推广到代数，如果Z_n-分次或其他结构被添加，例如，线性形式。我们研究由Clifford代数和线性形式或Z_n-分次组成的对，我们现在称之为“多向量Clifford代数”或“量子Clifford代数”。结果表明，在这个意义下，所有具有相同二次型但不同双线性型的多向量Clifford代数是非同构的。这种代数在量子场论和超导性中的有用性在其他地方得到了证明。然而，允许任意的双线性型破坏了它们的可对角化性，这对由周期性定理（包括Atiyah-Bott-Shapiro mod 8周期性）所支配的Clifford代数的张量分解有相当大的影响。我们考虑实代数Cl_{p,q}，它可以在对称的情况下分解成张量积Cl_{p-1,q-1} \otimes Cl_{1,1}。在量子场论中使用的一般情况缺少这个特征。然而，在相互作用理论中分析多粒子态时，需要具有非对称双线性型的理论。通过非平凡的真空态在量子理论中的q-变形结构的连接概述。
1999-11-24 math-ph math.MP math.QA
The Standard Model in noncommutative geometry: fundamental fermions as internal forms
给定代数、Hilbert空间H、标准模型的有限谱三元组的分次和实结构，我们对所有可能的Dirac算子进行分类，使得H是相应Clifford代数的自Morita等价双模.
2018-01-04 math-ph math.MP math.QA
Off-shell supersymmetry and filtered Clifford supermodules
超对称的离壳表示是超庞加莱代数在动态无约束场空间上的表示。我们正式描述这种表示，在领域和他们的时空衍生物，我们解释的物理概念的工程尺寸作为一个整体的分级。我们证明了一维N-扩展超对称的形式分次离壳表示，超庞加莱代数p^{1| N}，对应于Cl（N）上的滤Clifford超模。我们还证明了二维（p，q）-超对称的形式分次离壳表示，超Poincare代数p^{1，1| p，q}，对应于Cl（p+q）上的双滤Clifford超模.我们的主要工具是过滤超代数和超模的形式变形，它们给出了过滤空间和具有偶度移位注入的分次空间之间的一一对应。这推广了机器开发的Gerstenhaber证明，每一个过滤代数是一个变形的相关分次代数。我们的治疗扩展Gerstenhaber的讨论的情况下，过滤是兼容的超对称结构，以及过滤模块除了过滤代数。我们还描述了类似的结构的双过滤和bigrading。
2006-03-05 math-ph math.MP math.RT
A Geometric Algebra Perspective On Quantum Computational Gates And Universality In Quantum Computing
我们研究了几何（Clifford）代数（GA）方法在量子信息科学中的两个具体应用。首先，利用多粒子时空代数（MSTA，相对论位形空间的几何代数），给出了单量子位和双量子位量子态的显式代数描述，以及单量子位和双量子位量子计算门的MSTA刻画。其次，利用上述刻画和基于转子群Spin+（3，0）形式的李代数SO（3）和SU（2）的GA描述，我们重新检验了Boykin关于量子门普适性的证明。我们的结论是，MSTA方法确实导致了一个有用的概念统一，其中复量子比特空间和作用于它们的幺正算子的复空间变得统一，两者都是由实空间中的多向量构成的。最后，基于转子组的GA旋转方法与标准矢量和矩阵方法相比，确实带来了概念和计算上的优势。
2010-06-10 math-ph math.MP
Bilinear Covariants and Spinor Fields Duality in Quantum Clifford Algebras
在闵可夫斯基时空上量子Clifford代数的背景下，根据量子双线性协变，引入了量子旋量场的分类。一旦用代数旋量场来表示双线性协变式，就可以讨论旋量场与量子旋量场之间的对偶性。因此，通过赋予底层时空一个任意的双线性形式，除了对称时空度规之外，还具有反对称部分，量子代数旋量场和变形双线性协变可以被构造出来。因此，它们与经典的（非量子的）相比较。介绍了量子旋量场的分类，并与Lounesto的旋量场分类进行了比较。变形的部分和潜在的Z-分级的物理解释提出。在量子引力的背景下，文献中已经探索了赋予时空的任意双线性形式的存在。在这里，它进一步显示发挥突出的作用，在狄拉克，外尔，和马约拉纳旋量领域的结构，除了最一般的旗极，偶极子和旗偶极子的。我们引入了一个新的标准和量子旋量场之间的对偶，通过显示，当克利福德代数赋以任意双线性形式的向量空间被考虑在内，类之间的混合物确实发生。因此，新的功能，关于旋量领域可以得出。
2014-09-16 hep-th math-ph math.MP
Pure spinors and a construction of the $E_*$-Lie algebras
设$(V,g)$是$2n$维双曲空间，$C(V,g)$是它的Clifford代数. $C(V,g)$有一个$\mathbb Z$ -分级，$C^k $，和一个代数同构$C(V,g)\cong End(S)$，$S$旋量空间. - 是的Cartan定义了纯旋量定义中涉及的算子$L_k: End(S) \to C^k$。我们将对算子$L_2$作更精细的研究，实际上，我们将得到它在旋量内积和组合学方面的显式公式，以及它在纯旋量基上的矩阵。利用这些信息，我们给出了一个例外李代数$\mathfrak e_6, \mathfrak e_7, \mathfrak e_8$完全在Clifford代数和旋量的理论。
2018-02-15 hep-th math-ph math.MP
From Entanglement to Universality: A Multiparticle Spacetime Algebra Approach to Quantum Computational Gates Revisited
本文重访几何代数在量子计算中的应用，利用 MSTA 刻画量子态与门并重新分析普适门证明，揭示态与算符的概念统一及转子方法优势。
2024-06-12 math-ph math.MP quant-ph
A Gelfand Transform for Spinor Fields on Embedded Riemannian Manifolds
Gelfand的一个经典结果表明交换巴拿赫代数上特征标的拓扑谱与其基空间同胚.这一事实被用于通过边界控制（BC）方法解决二维Calderón问题。为了在3维空间中应用BC方法，复全纯函数的代数可以用调和四元数域的空间来代替，但这个空间不再是代数，也不是可交换的。尽管如此，已经证明存在一个合适的谱概念，并且在底层空间是凸的情况下，谱同胚于球。我们的目标是将这个结果推广到更一般的任意维流形。为此，我们使用多向量场的Clifford代数，我们关心的函数集是空间单演旋量场。谱由旋量值泛函，尊重模块和子代数结构的空间单演旋量字段。我们证明了对于$\mathbb{R}^n$中的紧致区域，谱同胚于流形本身。进一步证明了任意紧黎曼$n$ -流形的一些基本引理和命题。最后给出了一个Stone-Weierstrass定理，证明了任意紧的有边界的$M$上的单演旋量场生成的代数在连续旋量场代数中是稠密的.
2022-02-28 math-ph math.DG math.FA
