New spinor classes on the Graf-Clifford algebra
Pinor域和Spinor域是子丛的截面，其纤维是形式的Clifford代数的表示空间，配备有Graf积。在这种情况下，pinor和旋量在这里被认为是和几何广义Fierz身份提供了必要的框架，推导和构建新的旋量类的空间上的光滑部分的外部捆绑，赋予格拉夫产品，突出的具体签名，其应用进行了讨论。
2018-08-18 math-ph math.MP
Remarks on the structure of Clifford quantum cellular automata
我们在这里报告的结构上的可逆量子元胞自动机的额外限制，这些也是克利福德操作。这意味着Weyl算子的张量积（有限阿贝尔辛群的投影表示）映射到Weyl算子的张量积的倍数。因此，Clifford量子元胞自动机是由相空间中的辛元胞自动机诱导的。我们描述这些辛元胞自动机，并发现所有可能的本地规则必须是，一些全球性的转变，反射不变的起源。在一维情形下，我们还发现所有的一维Clifford量子元胞自动机都是由几个初等运算生成的。
2008-12-03 math-ph math.MP
Extended Grassmann and Clifford algebras
本文主要研究Peano空间上的Grassmann代数和Clifford代数，引入它们各自的相关扩张代数，并从反空间的角度探讨这些概念.外（回归）代数的手征和非手征子空间的直和共享外（渐进）代数。在Peano空间的维数n为偶数的情况下，标量和体积元之间的对偶性，分别在累进和回归产品下被证明具有手性。换句话说，反空间体积元素被示出为标量或伪标量，这取决于向量空间的维度分别是奇数或偶数。与微分算子相关的de Rham上链是由一系列依次为手征和非手征的外代数齐性子空间构成的。从而证明了当引入手征性时，空间上的外代数与反空间上构造的外代数只是伪交。利用Clifford代数的周期性定理，引入了扩展Clifford代数，其中Clifford代数和扩展Clifford代数Cl（p，q）可以嵌入到Cl（p+1，q+1）中，证明了它就是扩展Clifford代数.在反空间上构造了Clifford代数，并利用对偶Hodge星算子给出了其递进积与回归积的对偶性。微分算子和余微分算子也被定义为扩展的外代数从回归产品的观点，它是唯一的滚出来的1-形式的进步和回归的外产品。
2006-03-20 math-ph math.MP
Mathematics of CLIFFORD - A Maple package for Clifford and Grassmann algebras
Clifford在Grassmann和Clifford代数中执行各种计算。它可以计算四元数、八元数和元素在Cl（B）中的矩阵-赋予任意双线性形式B的向量空间V的Clifford代数。实现了两种用户可选的Clifford乘积算法：基于Chevalley递归公式的“cmulNUM”和基于非递归Rota-Stein香肠的“cmulRS”。可以使用Grassmann和Clifford基。讨论了非点楔基和点楔基上的反转性质。
2013-01-11 math-ph math.MP
A Treatise on Quantum Clifford Algebras
量子Clifford代数（QCA），即基于任意对称性的双线性型的Clifford Hopf代数，在广义上进行了研究。展示了QCA的五种替代结构。导出了Grassmann-Cayley代数的交与并的无级Hopf几何积公式，包括Grassmann-Cayley余代数的余交与余并，这些公式非常有效，可用于机器人学、左右压缩、左右余压缩、Clifford与co-Clifford积等。我们讨论霍普夫代数与霍普夫代数，后者自然出现的双卷积。对极和交叉是乘积和副积结构张量的结果，不受选择的影响。一个经常使用的Kuperberg引理重新需要的非局部产品和相互作用的Hopf代数的定义是一般非微扰。一个'旋'推广的对极。证明了低维Clifford余代数中非平凡积分的不存在性。讨论了广义Cliffordization，它是基于非指数生成的双线性型，一般导致非单位的，非结合的产品。合理的假设导致基于2-上循环的双线性型。Cliffordization用于推导非线性旋量域论和旋量电动力学的Schwinger-Dyson层次的时间和正常有序生成泛函。讨论了真空结构、算符序和Hopf几何数之间的关系。QCA被认为是（费米子）量子场论的自然语言。
2002-02-07 math-ph math.MP math.QA
Grade free product formulae from Grassmann Hopf gebras
在Clifford代数的传统方法中，Clifford积是通过递归应用一个向量（生成元的跨度）在齐次（即可分解（格拉斯曼），多向量和上的乘积来计算的，后来通过双线性扩展。Hestenesian的“点”积，扩展了单向量标量积，甚至更糟糕，有标量的例外，并且需要在不同的时间应用等级运算符。此外，多重向量阶不是一般的Clifford代数概念。在几何应用中，如果必须计算相交、连接或收缩，则情况变得更糟。从自然分次的Grassmann霍普夫代数出发，推导出乘积的一般公式：相遇和连接、相遇和共连接、左/右收缩、左/右共收缩、Clifford和coClifford乘积。这些乘积公式对任意双线性形式的Clifford代数的任意阶数和任意非齐次多向量因子都是有效的，包括非对称和退化形式。我们推导出三个著名的Chevalley公式作为我们的方法的专业化，并将显示合作Chevalley公式。Rota-Steinclifford化是Chevalley变形的推广。我们的乘积公式基于不变理论，不依赖于表示/矩阵，计算效率很高。该方法也适用于辛Clifford代数。
2002-08-13 math-ph math.MP math.RA
Structure of Clifford-Weyl Algebras And Representations of ortho-symplectic Lie Superalgebras
本文研究了 Clifford-Weyl 超代数及其李超代数结构，通过张量积实现其构造并引入星结构，揭示了正交辛李代数在其中的自然存在及表示。
2023-10-20 math-ph math.MP
Metric Clifford Algebra
本文引入了度量Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,g)$的概念，其中$n$维实向量空间$V$被赋予了一个度量扩张子$g$，其签名为$(p,q)$，具有$p+q=n$ . $\mathcal{C\ell}(V,g)$上的度量Clifford积表现为$\mathcal{C\ell}(V)$上的欧氏Clifford积的定义良好的\emph{deformation}（由$g$诱导）。与度量伸缩子$g,$相关联的是规范度量伸缩子$h$，其将刚刚包含在$g.$中的所有几何信息编码。这里确定这种$h$的精确形式。此外，我们提出并证明了所谓的\emph{golden formula,}，这是很重要的，在许多应用中，自然出现在我们的研究多向量函数，微分几何和理论物理。
2002-12-16 math-ph math.MP
The dihedral Dunkl--Dirac symmetry algebra with negative Clifford signature
Dunkl-Dirac对称代数是Clifford代数的张量积与有理Cherednik代数的忠实多项式表示的结合子代数。在以前的工作中，我们给出了三维空间中与二面体群相连的Dunkl-Dirac对称代数的有限维表示。本文给出了当张量积中的Clifford代数具有负特征标时，进行同样构造的必要结果。
2022-09-14 math-ph math.MP math.RT
Euclidean Clifford Algebra
设$V$是$n$维实向量空间.本文对$V,$上给定的欧氏结构引入了\emph{euclidean} Clifford代数$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$的概念，即，对$(V,G_{E})$，其中$G_{E}$是$V$的欧几里德度量（也称为欧几里德标量积）。我们的$\mathcal{C\ell}(V,G_{E})$结构被设计成一个强大的计算工具。我们开始介绍的概念，\emph{multivectors}在$V.$这些对象是一个线性空间的元素，在实数域，表示为$\bigwedge V.$。我们还介绍了，外部和欧几里德标量积的多向量的概念。这允许在$\bigwedge V,$上引入两个\emph{contraction operators}和欧几里得\emph{interior}代数的概念。有了这些概念，欧氏Clifford积就很容易被引入。我们用相当多的细节计算出了几个重要的恒等式和有用的公式，以帮助读者发展关于这个问题的技能，为阅读本系列的以下论文做好准备。
2002-12-18 math-ph math.MP
On the Transposition Anti-Involution in Real Clifford Algebras III: The Automorphism Group of the Transposition Scalar Product on Spinor Spaces
在[arXiv.1005.3554v1]中引入了实Clifford代数Cl_{p,q}对非退化二次型的一个依赖于（p，q）的转置反对合T.在[arXiv.1005.3558v1]中，我们证明了，依赖于（p-q）mod 8的值，映射T产生旋量表示中表示矩阵的转置、复厄米特或四元数厄米特共轭。由此产生的标量积一般不同于两个已知的标准标量积[Lounesto，Clifford algebras and Spinors 2001]。我们提供了一个完整的签名（p，q）相关的分类的不变性组Gpq_{p,q}的这个产品的p+q <= 9。映射T被认为是由（扭）群代数理论[Passmann，The Algebraic Structure of Group Rings 1985]所知的“星”映射，其中Clifford代数Cl_{p,q}被看作是扭群环k^t[（Z_2）^n]，n=p+q。讨论并列出了稳定群Gpq（f）_{p，q}的重要子群及其横截与旋量空间生成元的关系.
2011-02-16 math-ph math.GR math.MP
Matrix mechanics of the relativistic point particle and string in Clifford space
我们将相对论性点粒子的时空正则变量分解为Weyl旋量与Clifford代数中分量的内积，发现这些旋量本身构成一个具有广义Poisson括号的正则系统.对于N个粒子，它们的Clifford坐标和动量的内积形成两个N × N厄米矩阵X和P，它们在生成代数中的U（N）对称下变换。这是用来作为一个出发点定义矩阵力学的点粒子在克利福德空间。接下来，我们考虑字符串。洛伦兹度规在世界片上引入了一个度规和一个标量，我们在作用量中用Jackiw-Teitelboim项表示。弦被描述为一个polymomenta正则系统，我们找到了一个平面世界片的经典运动方程的波动解。最后，我们证明了量子化弦的SL（2.C）荷和时空动量满足Poincare代数。
2017-02-22 math-ph math.MP
Structure of Clifford groups of composite finite quantum systems
Czech Technical University in Prague（捷克理工大学）
研究配置空间为Z_{n1}⊕...⊕Z_{nk}的多部分量子系统的Clifford群，证明当总维数N为奇数时Clifford群是自然半直积，对于偶数N，证明当N不被4整除时Clifford群和射影Clifford群也是自然半直积。
2026-06-06 math-ph math.MP quant-ph
Constructing Quantum Mechanics from a Clifford substructure of the relativistic point particle
我们证明了量子化的自由相对论性点粒子可以理解为Clifford空间中的一个弦，它通过它的内积产生时空坐标。生成代数由成为量子态的对称性的么正对称性保持。首先，我们将点粒子的时空正则变量分解为Weyl旋量与Clifford代数中分量的内积。接下来，我们证明了N个粒子的系统具有U（N）对称性，该对称性混合了属于不同粒子的Clifford坐标和动量。这些变量的内积被组装成厄米矩阵X和P，用于定义一般的酉不变动力系统。当X和P对易时，这个系统可以被规范回原来的独立粒子系统。当它们不对易时，系统变得不可约和无限，并产生一个形式上与矩阵力学相同的时空正则系统。连续极限被认为是Clifford空间中相对论弦的一种特殊参数化。
2013-11-28 math-ph math.MP quant-ph
Generalized non-associative structures on the 7-sphere
本文利用7-球面上的外丛和Clifford丛给出了一类更一般的非结合积。一些额外的性质包括以前的形式主义在Clifford代数的上下文中，和更广泛的类的非结合结构的7-球面上进行了调查，证明了方向非结合产品和混合组合的广义非结合产品之间的Clifford代数多向量。通过考虑任意Clifford丛Cl（0，7）元到八元数的非结合剪切，进一步推广了这些非结合积.我们断言新的性质继承自S7上的整个Clifford丛中引入的非结合结构，它自然地诱导Clifford丛上的对合，并提供了关于完善的正式结果和物理学中的潜在应用的直接推广。
2011-09-05 hep-th math-ph math.MP
Quregisters, symmetry groups and Clifford algebras
三维实线性空间上的Clifford代数包括它的线性结构和它的外代数，由同次多向量张成的子空间决定了Clifford代数的一个阶。通过这些几何概念，从$\mbox{SO}(3)$到$\mbox{SU}(2)$的自然一对一和二对一同态被常规地构建，并且量子位的集合被标识为$\mbox{SU}(2)$的子组。这些构造适合于推广到相应的张量幂。量子比特、量子寄存器和量子门的概念被翻译成对称群的语言。希尔伯特空间张量积中纠缠态的对应元素。在对称群的张量积中实现纠缠的概念。
2016-02-22 math-ph math.MP quant-ph
Signature Change and Clifford Algebras
给定具有给定签名的二次空间的实Clifford代数，我们在此结构中定义了一个新的乘积，使得它模拟具有与原始签名不同的另一签名的二次空间的Clifford乘积。在这个新乘积的可能应用中，我们用它来写出欧氏时空上的闵可夫斯基狄拉克方程，并定义一种新的对偶运算，根据这种对偶运算，人们可以找到闵可夫斯基时空上规范场的自对偶和反自对偶解，类似于欧氏时空上的自对偶和反自对偶解，而不需要对原来的实代数进行复化。
2000-03-29 gr-qc hep-th math-ph
Clifford algebras, algebraic spinors, quantum information and applications
基于Clifford代数和代数旋量给出了量子信息的一个代数形式。在这种情况下，逻辑门和概念，如手征性，电荷共轭，奇偶校验和时间反转的介绍和探讨与量子比特的状态。超对称性和M-超代数也用我们的方法进行了分析。具体来说，我们广泛使用代数$Cl_{3,0}$和$Cl_{1,3}$以及Clifford代数的张量积。
2020-05-08 math-ph math.MP quant-ph
Isotopic liftings of Clifford algebras and applications in elementary particle mass matrices
研究了Clifford代数中代数结构的同位素提升问题，定义了一个新的乘积，它涉及Clifford代数中的一个任意但固定的元素。该元素作为引入产品的单位，称为isounit。我们在结合和非结合的任意代数中构造同位素，这些构造的例子使用Clifford代数展示，虽然结合，可以生成八元数，非结合，代数。整个形式主义是在Clifford代数舞台上发展起来的，也给出了引入外代数的同位素的必要前提。当构造了同位素李代数su（6）的生成元时，证明了u，d，s，c，b，t六夸克的味强子对称性是精确的，并证明了同位素Clifford代数的单位是六夸克质量的函数.约束参数的限制，即同位素群SU（6）中Isounit表示的条目，是基于最近对夸克质量施加的限制。
2007-10-03 hep-th math-ph math.MP
Differential Structure of the Hyperbolic Clifford Algebra
本文对以下几个方面作了全面的评述：（a）Clifford代数Cl多向量的（H_{V}），它自然地与双曲空间H_{V}相关联;（b）研究多向量和多形式的对偶积的性质;（c）V上的k重向量和l重变元重向量扩张子理论，（d）利用上述结构给出了任意光滑流形上的并行结构理论，引入了多重向量、多重形式域和扩张域的协变导数、变形协变导数和相对协变导数的概念.
2014-03-13 math-ph math.MP
Clifford and Grassmann Hopf algebras via the BIGEBRA package for Maple
霍普夫代数结构将取代群和群表示作为未来时代的主要范式。K-理论，上同调，纠缠，统计，表示类别，量化或扭曲结构以及不变理论的更多几何主题，例如，Grassmann-Cayley括号代数都是由Hopf代数框架所覆盖的。实验数学的新分支允许人们通过使用符号操作和计算机代数系统（CAS）的直接计算轻松地进入这些领域。我们讨论的问题时，解决了建设的BIGEBRA包Maple和CLIFFORD [见数学-ph/0212031]处理张量积，格拉斯曼和Clifford代数，余代数和Hopf代数。最近的研究结果表明，CAS的有用性调查新的和涉及的数学为我们提供了例子。展望了进一步的发展。
2002-12-10 math-ph math.MP
Clifford algebra, geometric algebra, and applications
这些是克利福德代数理论课程的讲义，特别强调了它们在数学和物理中的广泛应用。克利福德代数是通过一个传统的张量代数结构（当时称为几何代数）与几何应用，以及在代数更一般的形式，这是非常适合组合，并定义和理解众多的产品和运算的代数。提出的各种应用包括向量空间和射影几何，正交映射和旋量，赋范划分代数，以及单纯复形和图论。
2009-07-30 math-ph math.MP math.RA
The State-Operator Clifford Compatibility: A Real Algebraic Framework for Quantum Information
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文提出基于实代数框架的n量子比特计算方法，利用克莱因代数的张量积结构，通过构造与量子态表示相关的代数结构，实现量子计算的稳定性与兼容性。
2026-04-09 hep-th math-ph math.MP
Notes on Weyl-Clifford algebras
本文讨论了Clifford代数的推广，即具有n个生成元t_k的l^n维Weyl-Clifford代数T（n，l）满足方程$(\sum_{k=1}^n a_k t_k)^l = \sum_{k=1}^n a_k^l$ .它起源于两个基本的和众所周知的结构：通过Pauli矩阵的张量积以及使用Weyl交换关系的l > 2的扩展来表示Clifford代数。在这里介绍这些一般性的主题可能不会假装整个原创性或完整性，而是对这个非常广泛和有趣的研究领域的初步探讨。
2002-03-27 hep-th math-ph math.MP
Geometric Algebra
这是一个介绍几何代数，替代传统的向量代数，扩大了它在两个方面：1。除了标量和向量之外，它还定义了表示任何维度的子空间的新对象。2.它定义了一个产品，强烈的几何动机，可以采取任何两个对象之间。例如，以某种方式取得的两个向量的乘积表示它们的公共平面。这个系统是由威廉·克利福德发明的，通常被称为克利福德代数。它实际上比我们今天使用的向量代数更古老（由于吉布斯），并将其作为一个子集。多年来，克利福德代数的各个部分已经被许多发现他们需要它的人独立地重新发明，通常没有意识到所有这些部分都属于一个系统。这表明克利福德的想法是正确的，几何代数，而不是我们今天使用的简化版本，应该成为标准的“向量代数”。“我在这些笔记中的目标是从这个角度描述几何代数，并说明它的有用性。这些笔记还在编写中;我会在自己学习的过程中不断添加新的主题。
2012-05-27 math-ph math.MP
Basis-free solution to Sylvester equation in Clifford algebra of arbitrary dimension
Sylvester方程和它的特殊情况，李雅普诺夫方程，广泛应用于图像处理，控制理论，稳定性分析，信号处理，模型简化等。给出了任意维Clifford（几何）代数中Sylvester方程的无基解.无基解仅涉及Clifford（几何）积、求和和共轭运算。利用Clifford代数中的特征多项式、行列式、伴随、逆等概念得到了这些结果。首次给出了Sylvester方程在$n=4$情形下的无基解的替代公式，并给出了$n=5$情形和任意维数$n$情形的证明.所得结果可用于符号计算。
2021-09-04 math-ph math.MP math.RA
Deformed Clifford algebra and supersymmetric quantum mechanics on a phase space with applications in quantum optics
为了在四维经典相空间上实现超对称量子力学方法，对四维经典相空间的复化Clifford代数进行了扩展，用Moyal星积对复化Clifford代数进行变形，构成Clifford形式的分量.两个等谱矩阵哈密顿量有一个共同的玻色子部分，但不同的费米子部分取决于四个实值相空间函数。哈密顿算子通过矩阵值函数双重交织在一起，矩阵值函数是由此产生的Moyal-Clifford代数中的零因子。两个说明性的例子对应的Jaynes-Cummings型模型的量子光学的特殊情况下的方法。它们的谱、本征旋量和Wigner函数以及它们的运动常数也在形变量子化的自治框架内得到。
2009-09-19 math-ph math.MP quant-ph
Bi-orthogonal eigen-spinors related to T-pseudo-Hermitian Pauli Hamiltonian : Time reversal and Clifford Algebra
利用泡利哈密顿量的变形伪厄米延拓及其厄米共轭构造了一组双参数双正交本征旋量。这样得到的哈密顿量与原来的泡利哈密顿量是等谱的。构造了一对自旋投影算符作为可能的双正交量子力学的基本组成部分。在伪厄米特背景下，我们还导出了Kramers定理在几何意义上的一个类似.在Clifford代数Cl 3的框架下，时间反演和双正交性的性质已经得到了详细的阐述，其中旋量被视为左理想的元素，相关的内积被理解为导致除环元素的不同对合。整个过程中，目前的建设被发现是基于直接和时间反转Cl 3发生器。借助于旋量算子，本文引入了一种新的Kustaanheimo-Stiefel变换.
2022-12-05 math-ph math.MP
Clifford algebra unveils a surprising geometric significance of quaternionic root systems of Coxeter groups
秩为3和4的Coxeter（反射）群以及E_8的Coxeter（反射）群的四元数表示在文献中得到了广泛的应用。本文分析了这样的考克斯特群的克利福德几何代数框架，它提供了一个简单的方法来执行反射和旋转，同时更清楚地揭示了底层的几何。克利福德方法表明，四元数表示实际上有非常简单的几何解释。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3用纯四元数表示为确定Coxeter群反射面的Hodge对偶根向量。两个连续的反射导致旋转，由两个反射向量的几何积描述，给出Clifford旋量。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3的旋量给出了二元多面体群的一个新的简单构造。这些又生成秩为4的群A_1 x A_1 x A_1 x A_1，D_4，F_4和H_4，它们广泛使用的四元数表示被证明是伪装的旋量。因此，Clifford几何积实际上是从秩3群导出秩4群。特别是D_4，F_4和H_4群是特殊的结构，我们的研究对它们有新的认识。
2012-05-07 hep-th math-ph math.MP
Conformal structures and twistors in the paravector model of spacetime
给出了Clifford代数Cl（3，0），Cl（1，3），Cl（1，3）（C），Cl（4，1）和Cl（2，4）的一些性质，并给出了Dirac-Clifford代数CxCl（1，3）和Cl（4，1）之间的3个同构，以便利用时空的仿矢模型构造共形映射和扭子.利用CxCl（1，3）与Cl（4，1）之间的一个合适的同构，研究了扭量空间内积等距群SU（2，2）与Spin+（2，4）之间的同构.在回顾了共形时空的结构之后，共形映射在闵可夫斯基时空中被描述为作用在仿矢上的自旋+（2，4）的扭曲伴随表示。然后通过Clifford代数的仿矢模型给出扭子，并将扭子与Lorentzian R（4，1）时空上Clifford代数中的共形映射联系起来。我们用比标准Clifford代数公式更低的时空维在Minkowski时空中构造扭曲子作为与Dirac-Clifford代数CxCl（1，3）相关的代数旋量，因为为此目的，R（4，1）上的Clifford代数也被用来描述共形映射，而不是R（2，4）。我们的形式主义揭示了一些新的使用paravector模型和概括。
2007-03-06 math-ph math.MP
On the relation of Manin's quantum plane and quantum Clifford algebras
一个特殊的方法量子群（矩阵伪群）提供了马宁量子平面。假设一组适当的非对易变量线性地跨越一个表示空间，我们就能够证明在这个空间上保持非对易结构的自同态构成一个量子群。这些变量的非对易性提供了非对易几何的一个例子。在最近的一些工作中，我们已经表明量子Clifford代数--即任意双线性型的Clifford代数--与诸如q-自旋群、Hecke代数、q-Young算子和变形张量积等变形结构密切相关。自然的问题有关曼宁的办法量子克利福德代数是解决这里。一些特点概述和显式计算使用Clifford Maple包展出。非交换几何的意义重新审视和解释的Clifford代数术语。
2000-07-24 hep-th math-ph math.MP
A special irreducible matrix representation of the real Clifford algebra C(3,1)
4x 4狄拉克（伽马）矩阵（Clifford代数C（3，1），C（1，3），C（4，0）的不可约矩阵表示）是量子物理中许多计算的重要组成部分。虽然最终的物理结果不依赖于狄拉克矩阵的应用表示（例如，由于狄拉克矩阵乘积的迹的不变性），但适当选择所使用的表示可能有助于分析。本文介绍了一个特别对称的实表示的4x 4狄拉克矩阵（马约拉纳表示），这可能会证明在未来的有用。作为一个副产品，（变换）Pauli矩阵的一个紧致公式被发现，这个考虑是基于实Clifford代数C（3，0）的几何中的等倾2-平面所起的作用，它为它提供了一个不变的几何框架，它可以推广到更大的Clifford代数。
1998-11-24 hep-th math-ph math.MP
Clifford algebra is the natural framework for root systems and Coxeter groups. Group theory: Coxeter, conformal and modular groups
在本文中，我们证明了Clifford代数是根系和反射群以及相关群如共形群和模群的自然框架：存在于这些空间上的度量总是可以用来构造相应的Clifford代数。通过Cartan-Dieudonné定理，所有感兴趣的变换都可以写成反射的乘积，从而通过与Clifford代数多向量的“重叠”。这些多向量群可以用于在不同的群中执行具体的计算，例如各种类型的多面体群，并且我们详细地处理四面体群$A_3$的例子。顺便说一句，这给出了一个建设性的结果，从每个3D根系中导出一个四维根系，这取决于以下事实：旋量组提供了旋转的双重覆盖，3D旋量空间具有4D欧几里得内积，并且相对于这个内积，旋量组可以被示出为在反射下闭合。特别是4D根系/Coxeter群诱导以这种方式正是例外的，与三维旋的观点也解释了他们不寻常的自同构群。这种结构简化了阿诺德的三位一体，并把麦凯对应到一个更广泛的框架。我们最后讨论了将共形几何代数方法推广到二维共形群和模群，这在共形场论、弦论和模形式理论中可能有有趣的新应用。
2016-02-18 hep-th math-ph math.GR
Non-Abelian qLDPC: TQFT Formalism, Addressable Gauging Measurement and Application to Magic State Fountain on 2D Product Codes
IBM Quantum, IBM T.J. Watson Research Center（IBM量子，IBM托马斯·J·沃森研究中心）；School of Natural Sciences, Institute for Advanced Study（自然科学院，高等研究院）；Department of Mathematics, King’s College London（数学系，伦敦国王学院）
本研究通过非阿贝尔qLDPC码和TQFT形式化，实现了常速率二维积码中非克莱因逻辑门的原生操作，并应用于魔态喷泉方案中。
2026-01-11 cond-mat.str-el cs.IT hep-th
Higher Trace and Berezinian of Matrices over a Clifford Algebra
本文定义了（Z_2）^n阶化交换结合代数上矩阵的迹、行列式以及更一般的Berezian的概念。应用包括一个新的方法，经典的矩阵论的系数在Clifford代数，特别是四元数矩阵。在特殊情况下，我们恢复了四元数矩阵的经典Dieudonne行列式，但在一般情况下，我们的四元数行列式是不同的。证明了0次纯偶（Z_2）^n分次矩阵的分次行列式在其元素上是多项式的.在代数的四元数的情况下，我们计算公式的Berezinian在产品的quasimenors在意义上的Gelfand，Retakh，和威尔逊。分次迹与分次Berezian（和行列式）通过Liouville公式的（Z_2）^n分次形式联系起来。
2014-10-16 math-ph math.DG math.MP
Equivariant Quantum Cohomology of Grassmannians via the Clifford algebra
University of Glasgow（格拉斯哥大学）
本文通过构造显式的等变量子Satake映射，将Grassmannian的环面等变量子上同调表示为射影空间的等变量子上同调，并利用Clifford代数结构导出等变Gromov-Witten不变量的新递推关系，从而给出其基于Wick定理的计算方法，并应用于证明等变量子Pieri规则的Graham正性。
2026-06-04 math-ph math.CO math.MP
On the Decomposition of Clifford Algebras of Arbitrary Bilinear Form
Clifford代数自然地与二次型联系在一起。这些代数通过构造是Z_2-分次的。然而，只有通过基的选择，或者更好地，通过Chevalley向量空间同构Cl（V）<->\bigwedge V和排序，才能保证多向量分解为标量、向量、张量等，这在物理学中是强制性的。我们证明了Chevalley同构定理不能推广到代数，如果Z_n-分次或其他结构被添加，例如，线性形式。我们研究由Clifford代数和线性形式或Z_n-分次组成的对，我们现在称之为“多向量Clifford代数”或“量子Clifford代数”。结果表明，在这个意义下，所有具有相同二次型但不同双线性型的多向量Clifford代数是非同构的。这种代数在量子场论和超导性中的有用性在其他地方得到了证明。然而，允许任意的双线性型破坏了它们的可对角化性，这对由周期性定理（包括Atiyah-Bott-Shapiro mod 8周期性）所支配的Clifford代数的张量分解有相当大的影响。我们考虑实代数Cl_{p,q}，它可以在对称的情况下分解成张量积Cl_{p-1,q-1} \otimes Cl_{1,1}。在量子场论中使用的一般情况缺少这个特征。然而，在相互作用理论中分析多粒子态时，需要具有非对称双线性型的理论。通过非平凡的真空态在量子理论中的q-变形结构的连接概述。
1999-11-24 math-ph math.MP math.QA
