Clifford代数上的酉空间

Approximate 3-designs and partial decomposition of the Clifford group representation using transvections

We study a scheme to implement an asymptotic unitary 3-design. The scheme implements a random Pauli once followed by the implementation of a random transvection Clifford by using state twirling. Thus the scheme is implemented in the form of a quantum channel. We show that when this scheme is implemented $k$ times, then, in the $k \rightarrow \infty$ limit, the overall scheme implements a unitary $3$-design. This is proved by studying the eigendecomposition of the scheme: the $+1$ eigenspace of the scheme coincides with that of an exact unitary $3$-design, and the remaining eigenvalues are boun…

量子维拉索罗代数\cal{L}_c与广义Clifford代数之间的关系

Between Quantum Virasoro Algebra \cal{L}_c and Generalized Clifford Algebras

利用广义Clifford代数$C_{n}^{k}$的算子构造了量子维拉索罗代数${\mathcal{L}}_{c}$生成元.准确地说，我们证明了${\mathcal{L}}_{c}$可以嵌入到广义Clifford代数中。

CLIFFORD的数学-一个用于Clifford和格拉斯曼代数的Maple软件包

Mathematics of CLIFFORD - A Maple package for Clifford and Grassmann algebras

Clifford在Grassmann和Clifford代数中执行各种计算。它可以计算四元数、八元数和元素在Cl（B）中的矩阵-赋予任意双线性形式B的向量空间V的Clifford代数。实现了两种用户可选的Clifford乘积算法：基于Chevalley递归公式的“cmulNUM”和基于非递归Rota-Stein香肠的“cmulRS”。可以使用Grassmann和Clifford基。讨论了非点楔基和点楔基上的反转性质。

四元数典型化方法在求Clifford代数的子代数和李子代数中的应用

Application of the method of quaternion typification for finding subalgebras and Lie subalgebras of Clifford algebras

本文进一步发展了作者在前几篇文章中提出的Clifford代数元素的四元数类型化方法。在Clifford代数元素新分类的基础上，可以发现并证明Clifford代数的一些新性质。特别地，我们找到了Clifford代数的子代数和李子代数以及伪酉李群的李代数的子代数。

Clifford代数的平均化方法

Method of averaging in Clifford algebras

本文考虑不同的算子作用在Clifford代数上。我们考虑Salingaros vee群的Reynolds算子。该算子平均了Clifford代数上的Salingaros vee群的作用。考虑Clifford代数上的共轭作用.给出了这些算子与Clifford代数不动点空间上的投影算子之间的关系。利用平均法给出了换位子方程组的解。

Clifford代数元素的四元数类型化

Quaternion typification of Clifford algebra elements

给出了Clifford代数元素的一种新分类。我们的分类是基于四元数类型的概念。利用这一分类，我们发展了一种分析Clifford代数元素的逆算子和逆算子的方法。这种方法使我们能够发现和证明Clifford代数元素的一些新性质。

k-变形Poincare代数与量子Clifford-Hopf代数

k-deformed Poincare algebras and quantum Clifford-Hopf algebras

在Atiyah-Bott-Shapiro模8定理的背景下，研究了与共形群和Clifford-Hopf交替k-变形量子Poincare代数相关联的Minkowski时空量子Clifford代数结构.当结合量子Clifford代数和周期性Atiyah-Bott-Shapiro定理的变形（非辫状）时，所得到的代数等价于变形反deSitter代数U_q（so（3，2））.

Clifford代数技巧中伪酉群李代数的分类

A classification of Lie algebras of pseudounitary groups in the techniques of Clifford algebras

本文给出了将Clifford代数元素的同乘子与反同乘子表示为不同秩元素之和的新公式。利用这些公式，我们考虑伪酉群的李代数的子代数。我们的主要技术是Clifford代数。我们找到了伪酉群李代数的12类子代数。

高维Clifford代数的符号计算

Symbolic Computations in Higher Dimensional Clifford Algebras

我们提出了不同的方法，符号计算机代数计算在高维（\ge 9）Clifford代数使用\Clifford \和\Bigebra \包\Maple（R）。这是实现使用分级张量分解，周期性定理和矩阵旋量表示克利福德数。我们展示了如何编码的分次代数同构和主对合，我们提供了一些基准。

Clifford代数元素的行列式、谱和厄米共轭的概念

Notions of determinant, spectrum, and Hermitian conjugation of Clifford algebra elements

我们展示了如何矩阵代数概念的行列式，频谱和厄米共轭转移到克利福德代数和微分形式的parallelisable流形。

实Clifford代数的复结构

Complex structure of a real Clifford algebra

实Clifford代数的矩阵代数分类是众所周知的。在这里，我们考虑实Clifford代数${\mathcal Cl}(r,s)$不是作为矩阵代数，而是作为自身上的Clifford模。我们证明了只有当体积元$ω$的平方为-1时，${\mathcal Cl}(r,s)$才具有基独立复结构，在这种情况下，它唯一地放弃与$ω$的右乘符号.

Clifford代数元素的迹、行列式和逆的概念

Concepts of trace, determinant and inverse of Clifford algebra elements

本文考虑Clifford代数元素的行列式的概念。给出了4维和5维Clifford代数元素行列式的新公式。另外，我们还考虑了Clifford代数元素的迹的概念.我们将泡利定理推广到满足Clifford代数的主要反对易条件的2组元素。

Clifford代数元素的四元数类型，无基方法

Quaternion types of Clifford algebra elements, basis-free approach

本文将实数域或复数域上的Clifford代数看作是一个无固定基的商代数。基于四元数型的概念，给出了Clifford代数元素的分类。这种分类使我们能够揭示和证明Clifford代数的一些新的性质。我们依靠共轭运算来引入四元数类型的概念。同时，我们还发现了四元数型与Clifford代数元素秩之间的关系。

关于Clifford代数与二元整数

On Clifford Algebras and binary integers

我们表明，二进制表示的整数在克利福德代数的许多方面发挥了作用。

Clifford模与拓扑绝缘体的对称性

Clifford modules and symmetries of topological insulators

完成了Kitaev提出的带隙二次费米子哈密顿量的对称性约束分类。对称群被假设为紧的，并且可以包含Fock空间中的任意酉或反酉算子，这些算子保持了二次观测量的代数。我们分析了Nambu空间中酉对称的{ \em实}不可约表示的重数空间。纠缠算子和反酉对称的联合作用为这些空间提供了Clifford模的结构：我们证明了费米子系统的10个Altland-Zirnbauer对称类与实和复Clifford代数的10个Morita等价类之间的一一对应.反酉算子，这发生在七类，投射表示在Nambu空间的酉“手征对称性“。缺位对称哈密顿空间同伦等价于由酉对称群的对偶对象所索引的分类空间的乘积。

Clifford代数、旋量和基本相互作用：二十年后

Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After

这是一个简短的审查代数性质的Clifford代数和旋量。它们在描述基本物理学（基本粒子）中的应用也被总结。在图卢兹国际化学品管理协会第七届会议上发表的演讲（2005年5月23日）

Clifford代数及其在李群和旋量中的应用

Clifford algebras and their applications to Lie groups and spinors

在这些讲座中，我们讨论了Clifford代数的一些著名事实：矩阵表示，Cartan的周期为8，正交群被自旋群的双重覆盖，Dirac方程在不同形式下的解，$n$维的旋量等，并对一些问题提出了自己的观点。即讨论了Pauli定理的推广，Clifford代数平均化方法的基本思想，Clifford代数元素的四元数型概念，Clifford代数中特定类型的李子代数的分类等。

Thomas-Wigner 旋转：基于 Clifford 代数的方法

Thomas-Wigner rotation via Clifford algebras

本文用 Clifford 代数方法推导 Thomas-Wigner 旋转角的 Macfarlane 公式，教学性强，适合有狭义相对论基础的学生。

关于CLIFFORD的Clifford代数积的并行化

On parallelizing the Clifford algebra product for CLIFFORD

作为一个概念的证明，我们提出了一种方法来并行CL_{p,q}中的Clifford产品的对角化二次型作为一个新的过程“cmulWpar”的\Clifford包\Maple（R）。该过程使用Maple 15（及以后版本）下可用的新“Threads”模块和新的\Clifford过程“cmulW”，该过程借助Walsh函数计算\CL_{p,q}中任意两个格拉斯曼单项式的Clifford积。我们对“cmulWpar”进行了基准测试，并将其与\Clifford的另外两个过程“cmulNUM”和“cmulRS”进行了比较。我们评论如何利用现代处理器中的多核处理器和多线程来改进“cmulWpar”。

The Clifford algebra of $R^{n,n}$ and the Boolean Satisfiability Problem

We formulate a Boolean algebra in the set of idempotents of Clifford algebra Cl($R^{n,n}$) and within this frame we examine different formulations of the Boolean Satisfiability Problem in Clifford algebra. Exploiting the isomorphism between null subspaces of $R^{n,n}$ associated to simple spinors and the orthogonal group O(n) we ultimately give a continuous formulation of the Boolean Satisfiability Problem within this group that opens unexplored perspectives.

Clifford代数中的辛群、正交群和线性李群

Symplectic, orthogonal and linear Lie groups in Clifford algebra

本文证明了Clifford代数中5个李群与经典矩阵李群的同构，并得到了对应李代数的同构。

双曲型Clifford代数的多向量

The Hyperbolic Clifford Algebra of Multivecfors

本文对与双曲空间自然相关的多向量双曲Clifford代数作了深入的阐述，双曲空间的元素称为向量。给出了向量和多向量的几何解释。引入了Poincare自同构（Hodge对偶算子），并导出了几个有用的公式.讨论了双曲Clifford代数中一个特殊理想的作用，该理想的元素是旋量的代表，恢复了Witten超场的代数性质。

基于Clifford代数的矩阵指数

Matrix exponential via Clifford algebras

我们利用矩阵代数与单正交Clifford代数$\cl(Q)$之间的同构$φ$来计算实矩阵、复矩阵和四元数矩阵A的矩阵指数${e}^{A}$。使用Clifford指数对$\cl(Q),$中的同构图像$p=φ(A)$取幂模$p$的最小多项式，其中二次形式$Q$具有合适的签名$(p,q),$。$\cl(Q)$的元素被视为Grassmann单项式中的符号多元多项式。$\cl(Q)$中的计算使用Maple软件包“CLIFFORD”进行。给出了三个矩阵求幂的例子。

关于Clifford代数的复表示

On complex representations of Clifford algebra

我们证明了Clifford代数的复表示总是可以根据复空间的签名而被还原为实数或四元数代数，从而证明了复旋量是实数Majorana旋量或四元数旋量。我们利用这个结果来支持Minkowski空间的（1，3）签名.

扩张Clifford代数的分类

Classification of extended Clifford algebras

考虑特殊交换代数和一般实Clifford代数的张量积，得到了广义Clifford代数.我们发现有五种类型的扩展Clifford代数。扩张Clifford代数类关于张量积是闭的。

Clifford代数的幂等元

Idempotents of Clifford Algebras

给出了Clifford代数C（p，q）中幂等元的一个分类.证明了利用Clifford代数C（p，q）与适当的矩阵环之间的同构，可以将任意Clifford代数中的幂等元分类到连续族中.这些家庭包括用于生成Clifford代数中的极小单边理想的本原幂等元。一些低维的例子进行了讨论。

Clifford群偶极子和纠缠门对Weyl/Coxeter群W（E8）的设定

Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates

Peres/Mermin关于量子力学中无隐变量的论证被用来显示作用于两个量子比特的一对（R，S）纠缠Clifford量子门。由此，Coxeter/Weyl群W（D5）和W（F4）的自然酉表示出现，这也反映在n量子比特克利福德群Cn分裂成偶极子C $\pm$ n中。三量子比特实Clifford群C+ 3和Toffoli门的联合确保了Weyl/Coxeter群W（E8）及其相关群的正交表示。其他涉及的概念是复杂的反射群，BN对，酉群设计和纠缠态的GHZ家庭。

Clifford代数，代数旋量，量子信息及其应用

Clifford algebras, algebraic spinors, quantum information and applications

基于Clifford代数和代数旋量给出了量子信息的一个代数形式。在这种情况下，逻辑门和概念，如手征性，电荷共轭，奇偶校验和时间反转的介绍和探讨与量子比特的状态。超对称性和M-超代数也用我们的方法进行了分析。具体来说，我们广泛使用代数$Cl_{3,0}$和$Cl_{1,3}$以及Clifford代数的张量积。

0 ~ 5维Clifford代数的逆与行列式

Inverse and Determinant in 0 to 5 Dimensional Clifford Algebra

本文给出了不超过5维的Clifford代数中Clifford数的逆的方程。在提出这些，也提出了公式的行列式和adjugate一般克利福德数的五个维度，匹配行列式和adjugate的矩阵表示的代数。这些方程与所使用的度量无关。

关于Clifford代数解$ax+xb=c$的注记

A note on solution of $ax+xb=c$ by Clifford algebras

讨论了当$p+q\le 3$为Clifford代数$Cl_{p,q}$时多向量方程$ax+xb=c$的无坐标解.

辛几何与量子力学中的Clifford代数

Clifford Algebras in Symplectic Geometry and Quantum Mechanics

克利福德代数在费米子量子描述中的必要出现促使我们重新审视四元数克利福德代数C（0，2）所扮演的基本角色。这个代数本质上是描述空间旋转性质的几何代数。隐藏在这个代数中的是以海森堡代数为核心的辛结构。这个代数也使我们能够定义一个泊松代数的所有齐次二次多项式的二维子空间，法的欧几里德三维空间。这使我们能够构建一个泊松Clifford代数，H（F），一个有限维的相空间，将进行动态。量子动力学表现为H（F）在由厄米算符组成的Clifford代数中的实现。

Clifford代数的计算复杂性

On Computational Complexity of Clifford Algebra

在简要讨论Clifford代数的计算复杂性之后，我们给出了偶Clifford代数Cl（2 m）的一个新基，它大大简化了实际计算，而且不需要借助于传统的矩阵同构公式，得到了同样的复杂性.在最后一部分中，我们应用这些结果的Clifford代数制定的NP-完全问题的最大团的图在以前的文件中介绍。

Clifford代数的理想结构

Ideal Structure of Clifford Algebras

研究了既可以是无限维又可以是实数上退化的Clifford代数的理想的结构。

10-13维Clifford代数的统一八元数表示

Unified Octonionic Representation of the 10-13 Dimensions Clifford Algebra

我们给出了不同Clifford代数$Cliff(5,5)\sim Cliff(1,9), Cliff(6,6)\sim Cliff(2,10)$的一维八元数表示，最后给出了$Cliff(7,6)\sim Cliff(3,10)$的一维八元数表示.

The dihedral Dunkl--Dirac symmetry algebra with negative Clifford signature

The Dunkl--Dirac symmetry algebra is an associative subalgebra of the tensor product of a Clifford algebra and the faithful polynomial representation of a rational Cherednik algebra. In previous work, the finite-dimensional representations of the Dunkl--Dirac symmetry algebra in three dimensions linked with a dihedral group were given. We give here the necessary results to proceed to the same construction when the Clifford algebra in the tensor product has negative signature.

Clifford代数，几何代数及其应用

Clifford algebra, geometric algebra, and applications

这些是克利福德代数理论课程的讲义，特别强调了它们在数学和物理中的广泛应用。克利福德代数是通过一个传统的张量代数结构（当时称为几何代数）与几何应用，以及在代数更一般的形式，这是非常适合组合，并定义和理解众多的产品和运算的代数。提出的各种应用包括向量空间和射影几何，正交映射和旋量，赋范划分代数，以及单纯复形和图论。

实Clifford代数上的泛相似因子分解等式

Universal Similarity Factorization Equalities over Real Clifford Algebras

建立了实Clifford代数${\cal R}_{p,q}$上的一类泛相似因子分解等式.在这些等式的基础上，可以显式地确定${\cal R}_{p,q}$中元素的实数、复数和四元数矩阵表示。

Clifford代数中的复合丛。引力理论。部件I

Composite bundles in Clifford algebras. Gravitation theory. Part I

基于偶数维复Clifford代数与矩阵代数同构的事实，考虑了Clifford代数中的丛，其结构群是通过左乘法作用于Clifford代数的一般线性群，而不是其自同构群.这是必不可少的，这样的Clifford代数丛包含旋量子丛，并且它可以与光滑流形上的切丛相关联。这只是引力理论的情况。然而，不同的这些丛不需要同构。为了刻画所有这些，我们遵循复合丛的技术。在引力理论中，这种技术使我们能够在一般线性连接和一般协变变换下描述不同类型的旋量场。

克莱因代数、介子代数和更高阶推广

Clifford algebras, meson algebras and higher order generalisations

本文研究了克莱因和介子代数的同质部分，并提出了一种针对所有阶数费米子para统计的更高阶推广方法。

由群代数的扭曲得到的Clifford代数

Clifford algebras obtained by twisting of group algebras

我们研究Clifford代数的构造和性质，其方法与我们以前构造八元数的方法类似，即把Z_2 ^n的群代数用一个上圈扭曲。我们的方法比通常的基于生成元和关系的方法更一般。特别地，我们得到了Clifford代数中旋量的周期性和一个新的构造。

幺正动力学的拓扑相：Clifford范畴中的分类

Topological phases of unitary dynamics: Classification in Clifford category

本文研究幺正动力学的拓扑相分类问题，针对Clifford范畴中平移不变的Clifford QCA，通过维数下降方法得到任意空间维度下模Clifford量子电路和移位的完整群分类表。

复Clifford代数上的泛相似因子分解等式

Universal Similarity Factorization Equalities over Complex Clifford Algebras

在复Clifford代数$\Cn.$上建立了一组有价值的泛相似因子分解等式，通过它们可以直接导出复Clifford代数$\Cn$的矩阵表示，并容易地确定其性质.

相对论费米子的实Clifford代数及其旋量

Real Clifford algebras and their spinors for relativistic fermions

本文讨论了任意时空维数的实Clifford代数及其旋量表示。Clifford代数根据实型、复型和四元数型的同构矩阵代数进行分类。旋量被定义为Clifford代数中的极小或拟极小左理想的元素，以及pin和spin群的表示。详细介绍了两类Dirac伴随旋量。数学结构和应用程序之间的关系，以描述相对论费米子强调贯穿始终。

Adinkras: Graphs of Clifford Algebra Representations, Supersymmetry, and Codes

An Adinkra is a graph from the study of supersymmetry in particle physics, but it can be adapted to study Clifford algebra representations. The graph in this context is called a Cliffordinkra, and puts some standard ideas in Clifford algebra representations in a geometric and visual context. In the past few years there have been developments in Adinkras that have shown how they are connected to error correcting codes, algebraic topology, algebraic geometry, and combinatorics. These connections also arise for Cliffordinkras. This paper introduces Cliffordinkras and describes the relationship to…

Clifford代数的两个不同生成元之间的乘积所构成的恒等式列表

A list of identities made with products between two different generators of the Clifford algebra

在这里，我给出了一个四维时空中Clifford代数的生成元之间所有可能的乘积的完整列表。由此产生的表达式非常简单，易于处理。

关于Weyl-Clifford代数的注记

Notes on Weyl-Clifford algebras

本文讨论了Clifford代数的推广，即具有n个生成元t_k的l^n维Weyl-Clifford代数T（n，l）满足方程$(\sum_{k=1}^n a_k t_k)^l = \sum_{k=1}^n a_k^l$ .它起源于两个基本的和众所周知的结构：通过Pauli矩阵的张量积以及使用Weyl交换关系的l > 2的扩展来表示Clifford代数。在这里介绍这些一般性的主题可能不会假装整个原创性或完整性，而是对这个非常广泛和有趣的研究领域的初步探讨。

稳定化的庞加莱-海森堡代数：克利福德代数的观点

The Stabilized Poincare-Heisenberg algebra: a Clifford algebra viewpoint

稳定化的Poincare-Heisenberg代数（SPHA）是量子相对论运动学的李代数，由15个生成元生成。它是在试图将量子力学和相对论的李代数结合起来后，通过施加稳定性条件而得到的，这些李代数本身是稳定的，但结合起来就不稳定了。在本文中，我们展示了如何十六维Clifford代数CL（1，3）可以用来生成SPHA。到SPHA的Clifford代数路径避免了传统的稳定性考虑，而是依赖于CL（1，3）是一个半单代数，因此是稳定的。因此，在概念上更容易和更直接地使用Clifford代数。克利福德代数路径表明，在GR和QM的界面上，物理学理论的下一个进化步骤可能是离开时空，而是在时空动量中工作。