Quantum magic squares: dilations and their limitations
量子置换矩阵和量子幻方是置换矩阵和幻方的推广，其中的元素不再是数字，而是来自任意（非交换）代数的元素。著名的Birkhoff-von Neumann定理将幻方刻画为置换矩阵的凸组合。在非对易情形下，相应的问题是：每个量子幻方是否都属于量子置换矩阵的矩阵凸包？也就是说，每个量子幻方都膨胀成一个量子置换矩阵吗？在这里，我们表明，这是假的，即使在最简单的非交换的情况下。我们还对扩张为具有交换元素的量子置换矩阵的量子幻方进行了分类，并证明了该集合直径的一个定量下界。最后得出了量子幻方自由谱面体的Arveson极值点并非都是量子置换矩阵的结论。
2020-11-16 math-ph math.MP math.OA
A perspective on the Magic Square and the 'special unitary' realizations of simple Lie algebras
本文载有在2012年国际工作组联合会上讲授的小型课程“空间：透视"的最后部分。在这里，我处理的迷你课程的一部分，其中心的分类问题与简单的真正李群。我回顾了原来的介绍幻方'一拉Freudental'，把重点放在这个建设中发挥的作用，由四个赋范师代数${\mathbb R}, {\mathbb C}, {\mathbb H}, {\mathbb O}$。然后，我探讨了解一些简单的真正的李代数作为“特殊酉”在一些代数${\mathbb K}$或张量产品${\mathbb K}_1\otimes {\mathbb K}_2$的可能性，我认为，这种建设的适当设置是不局限于只赋范师代数，但允许分裂版本的复杂，四元数和八元数以及。这样，我们得到一个“大幻方”，我们填写所需的细节，以涵盖所有的实形式的简单实李代数在这个计划。本文最后给出了两个$*$ -代数${\mathbb K}_1, {\mathbb K}_2$的张量积上的单实李代数作为“特殊酉”（或当$n=2$时仅为“酉”）的所有实现的完整列表，这些实现在所有情况下都是从${\mathbb R}, {\mathbb C}, {\mathbb H}, {\mathbb O}$及其分裂版本作为集合获得的，赋予它们一个$*$ -共轭，它通常但不总是自然复共轭、四元数共轭或八元数共轭。
2022-08-31 math-ph math.MP
"Cayley-Klein" schemes for real Lie algebras and Freudhental Magic Squares
我们通过实矩阵、复矩阵或四元数矩阵的实现引入了三个“Cayley-Klein”李代数家族。每个族都包括单实李代数和一些极限拟单实李代数。它们的关系自然导致了一个无限的$3\times 3$ Freudenthal-like幻方家族，它将三个CK家族中的代数联系起来。在最低维的情况下，涉及八元数的适当扩展是可能的，并且对于$N=1, 2$，“经典的”$3\times 3$ Freudenthal-like平方允许$4\times 4$扩展，这给出了原始的Freudenthal平方和Sudbery平方。
1997-02-24 math-ph math.MP
Magic squares: Latin, Semiclassical and Quantum
量子幻方最近被引入作为量子测量的“神奇”组合。与量子测量相反，它们不能被纯化（即扩张到量子置换矩阵）-只有所谓的半经典测量可以。净化建立了一个关系到一个理想的世界的基本理论和实践的重要性;净化的对立面是描述的矩阵凸包。在这项工作中，我们证明了半经典幻方可以被纯化为量子拉丁方，这是“神奇的”组合的正交基。相反，我们证明了量子拉丁方的矩阵凸包比半经典拉丁方的矩阵凸包大。这种紧张局势是解决我们的第三个结果：我们证明了量子拉丁方是半经典的正是那些从经典拉丁方。我们的工作揭示了量子幻方的内部结构，这是如何影响的矩阵凸包，更一般地说，在半经典和量子水平上的“神奇的”组成规则的性质。
2022-10-07 math-ph math.MP math.OA
The quasi-nonassociative exceptional $F(4)$ deformed quantum oscillator
本文研究了具有特殊李超代数$F(4)$的变形一维量子振子. Hilbert空间由平方可积函数的$16$ -组给出。能级为$\frac{2}{3}+n$和$n=0,1,2,\ldots$。基态为$7$倍简并态。激发态为$8$倍简并态。从${\cal N}=8$世界线超对称性的$(7;8;1)$超多重态恢复了$(7,8,8,8,\ldots )$半无限态塔.该模型是唯一的，到相似变换，并承认一个八元协变制定表现为“准非结合性”。这意味着，特别是，Calogero耦合常数表示的octonionic结构常数。给出了相应的$F(4)$超共形量子力学。
2017-11-21 hep-th math-ph math.MP
Lattice path enumeration for semi-magic squares of size three
给出了3阶半幻方分次偏序集中有向路的计数公式。我们给出了这些公式的两个应用：有限分次偏序集的Vandermonde卷积的一个高级例子，以及导出非规范化Clebsch-Gordan系数的Regge对称性公式的直接法。
2021-12-26 math-ph math.CO math.MP
Graph Quantum Magic Squares and Free Spectrahedra
Department of Mathematics, University of Oslo（奥斯陆大学数学系）
本文提出了一种基于图的量子魔方变体，证明在四边形$C_4$时该类比失效，并展示其具有单项线性矩阵不等式描述，形成紧致的自由谱集。
2026-03-03 math-ph math.MP math.OA
Division Algebras, Triality, and Exceptional Magic
Pacific Science Institute（太平洋科学研究所）
本文详细阐述了除法代数、三重性及相关代数结构在粒子物理例外统一中的丰富联系。
2026-09-14 hep-th math-ph math.MP
Polytope compatibility -- from quantum measurements to magic squares
本文将量子测量相容性推广为任意多面体相容性，证明其与受限后处理测量相容的一一对应，并解释半经典幻方及给出缩放的解析与线性规划条件。
2023-12-11 math-ph math.MP quant-ph
Magic Coset Decompositions
利用“混合”非对称Freudenthal-Rozenfeld-Tits幻方，分析了N=2，D=4例外Maxwell-Einstein理论中作为向量多重态标量流形出现在超引力中的非紧特殊Kähler对称秩3陪集E7（-25）/[（E6（-78）× U（1））/Z3]的两种陪集分解.第一个分解具有最大的显式协方差，而第二个（试验对称）是Iwasawa型，具有最大的SO（8）协方差。对这两类陪集参数化给出了E7型单群的共形非紧实形式的推广，并讨论了它们与秩3单欧几里德若当代数和除代数上的赋范trialities的关系.
2012-06-22 hep-th math-ph math.MP
A Kind of Magic
介绍了基于实$\mathbb{R}$、复$\mathbb{C}$、三元数$\mathbb{T}$、四元数$\mathbb{H}$、六元数$\mathbb{S}$和八元数$\mathbb{O}$六个代数的扩展Freudenthal-Rosenfeld-Tits幻方.幻方的三元和六元行/列产生非约化李代数，包括$\mathfrak{e}_{7\scriptscriptstyle{\frac{1}{2}}}$。证明了扩展幻方的代数很自然地表现为超引力拉格朗日量的对称性。六元数行（用于适当选择实形式）给出了$D=3$极大理论$\mathcal{N}=16$、幻数理论$\mathcal{N}=4$和幻数非超对称理论的拉格朗日量的非紧整体对称性，这些理论是通过在一个圆上对$D=4$母理论进行维数缩减而得到的，引力光子保持不二元化。特别地，极值中间非约化李代数$\tilde{\mathfrak{e}}_{7(7)\scriptscriptstyle{\frac{1}{2}}}$（它不是$\mathfrak{e}_{8(8)}$的子代数）是$D=3$，$\mathcal{N}=16$超引力的非紧整体对称代数，它是通过在圆上对具有$\mathfrak{e}_{7(7)}$对称性的$D=4$，$\mathcal{N}=8$超引力进行维数约化而得到的。三元行（用于适当选择实形式）给出了$D=4$最大值$…
2017-07-14 hep-th math-ph math.MP
Squaring the Magic
我们构造和分类所有可能的幻方（MS的）相关的欧氏或洛伦兹秩-3简单的约旦代数，无论是赋范除代数和分裂复合代数。除了已知的Freudenthal-Rozenfeld-Tits MS，单分裂Günaydin-Sierra-Townsend MS和双分裂Barton-Sudbery MS外，我们还得到了7个新的欧氏MS和10个新的洛伦兹MS.我们阐明的作用和意义的各种非紧实形式的李代数，进入MS的对称性理论的爱因斯坦-麦克斯韦引力耦合到非线性西格玛模型的标量场，可能赋予局部超对称性，在D = 3，4和5的时空维度。特别地，这种对称性可以被认为是U对偶或时空中标量流形的稳定器，具有标准洛伦兹签名或其他更奇异的签名，也与所谓的M* 和M '理论的适当紧化有关。在洛伦兹时空中，一些关于魔超引力吸引子U轨道的对称性也出现在这个框架中。
2012-09-25 hep-th math-ph math.MP
The Projective Line Over the Finite Quotient Ring GF(2)[$x$]/$< x^{3} - x>$ and Quantum Entanglement II. The Mermin "Magic" Square/Pentagram
1993年，Mermin（Rev. Mod. Phys. 65，803- 815）分别利用后来被称为Mermin（-Peres）“幻方”和Mermin五角星形的东西，在四维和八维的希尔伯特空间中给出了贝尔-科亨-斯佩克（BKS）定理的清晰和惊人的简单证明。前者是一个由九个可观测量组成的$3 \times 3$阵列，每行和每列成对交换，并进行排列，使它们的积性质与指定特征值的积性质相矛盾。后者是一组10个观测值，排列成五组，每组四个，沿着五角星形的五条边排列，其特征是类似的矛盾。建立了乘积环${\rm GF}(2) \otimes \rm{GF}(2)$上Mermin-Peres方的算子与射影直线上的点之间的一对一的对应关系.在这种映射下，“相互交换”的概念转化为“相互距离”，第三列的可观测量的区别特征在对应点的坐标的区别属性中有对应的特征，其条目都是零因子或单位。Mermin五芒星的十个算子对应于GF（2）[ $x$ ]/ $<x^{3} - x>$上直线上的特定点子集。然而，这里的情况更加复杂，因为有两种不同的配置似乎同样适合我们的目的。第一个特征包括GF（2）上的（子）线的三个区别点，它们的三个“Jacobson”对应点和两个坐标都是零因子的四个点;另一个特征是点（$1, 0$）的邻域（或者，等价地，（$0, 1$）的邻域）。还提到了其他一些可能与高维BKS证明相关的环线。
2006-03-23 math-ph math.MP quant-ph
