The number of edges in critical strongly connected graphs
Ron Aharoni, Eli Berger
证明了n阶点临界强连通简单有向图的最大有向边数为n（n-1）/2 - n +4.
We prove that the maximal number of directed edges in a vertex-critical strongly connected simple digraph on n vertices is n(n-1)/2 - n +4.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Connectivity keeping edges of trees in 3-connected or 3-edge-connected graphs
Hasunuma [J. Graph Theory 102（2023）423-435]证明，对于阶为$m$的任何树$T$，具有至少$k+m-1$的最小度的每个$k$ -连通（或$k$ -边连通）图$G$包含树$T'\cong T$，使得$G-E(T')$仍然是$k$ -连通（或$k$ -边连通）。莲沼用$k\leq 2$验证了这一猜想。本文对$k=3$证明了这一猜想。
Vertices of degree k in edge-minimal, k-edge-connected graphs
Halin证明了每一个边极小的k点连通图都有一个k度的顶点。本文证明了边极小k-边连通图的Halin定理的类似定理。证明了边极小的k-边连通图都有两个k度顶点。
A synthesis for exactly 3-edge-connected graphs
一个多重图是精确k-边连通的，如果任意一对顶点之间恰好有k条边不相交的路。本文刻画了一类3-边连通图，给出了一个包含两个运算的合成，通过这个合成可以生成所有的3-边连通重图。稍加修改的综合给出了平面的精确3-边连通图和具有最少可能边的精确3-边连通图。
On the spectral radius of minimally 2-(edge)-connected graphs with given size
一个图是极小$k$ -连通的（$k$ -边连通的），如果它是$k$ -连通的（$k$ -边连通的），并且删除任意选择的边总是留下一个不是$k$ -连通的（$k$ -边连通的）图.最小$k$ -连通图的一个经典结果是Mader在1937年给出的，他确定了高阶最小$k$ -连通图的极值尺寸.自然地，对于一个固定大小的极小$k$ -（边）-连通图，极值谱半径是多少？本文确定了给定大小的极小$2$ -连通（$2$ -边连通）图的最大谱半径，并确定了相应的极图.
Connected even factors in the square of essentially 2-edge connected graphs
本文证明了具有附加性质的本质2-边连通图的平方有最大度不超过4的连通偶因子。此外，我们还证明了本质2-边连通图的平方一般不含最大度有界的连通偶因子。
New sufficient degree conditions for an $r$-uniform hypergraph to be $k$-edge-connected
一个$r$ -均匀超图序列（即，如果$r$的每个实现都是$k$ -边连通的，则称$d=(d_1, d_2,\cdots,d_n)$是强制$k$-边连通的。本文给出了$d$是$k\ge 1$-边连通的一个最强充分度条件和$d$是超边连通的一个最强充分度条件。作为推论，我们给出了$d$最大边连通的最小度条件。我们还得到了$d$是$k$ -边连通的另一个充分度条件。
Large connected strongly regular graphs are Hamiltonian
证明了在充分多的顶点上的强连通正则图是Hamilton图。我们证明了这一点，除了三个家庭，连接强正则图是（高度）伪随机。我们的研究结果提出了一些新的问题和建议。
On spectral radius of strongly connected digraphs
在强连通有向图中，我们确定了分别达到$n\ge 4$阶的第二、第三和第四最小谱半径的有向图，从而肯定地回答了关于$n\ge 4$的所有$n$阶强连通双圈有向图中达到最小谱半径的唯一有向图是否达到所有$n$阶强连通有向图中的第二小谱半径的问题在[H. Lin，J. Shu，A note on the spectral characterization of strong connected bicycle digraphs，线性代数应用436（2012）2524--2530].我们还分别讨论了具有小谱半径和大谱半径的强连通双圈有向图。
The existence of planar $4$-connected essentially $6$-edge-connected graphs with no claw-decompositions
在2006年Bar{á}t和Rassen证明了每个平面$4$ -边连通$4$ -正则简单图的大小可被3整除允许爪分解。后来，Lai（2007）通过一类边连通度为$4$的可平面图证明了这个猜想是错误的，其中最小的边连通度为$24$。本文首先给出了一个只有$18$顶点的小反例，然后构造了一类平面$4$ -连通本质$6$ -边连通$4$ -正则简单图，其大小可被3整除且无爪分解.这一结果提供了两个已知的结果，说，每个$5$ -边连通图的大小可被3整除承认爪分解，如果它本质上是$6$ -边连通或平面的清晰度。
Edge-partitioning 3-edge-connected graphs into paths
证明了对任意l，存在d_l使得任意最小度为d_l的3-边连通图都能被边划分为长度为l的路（只要它的边数能被l整除）.这改善了断言24-边连通性和高最小度提供这样的划分的结果。这是最好的可能性，因为3-边连接不能被2-边连通度取代。
Circular flow number of highly edge connected signed graphs
本文证明了对任意正整数$k$，本质$(2k+1)$ -非平衡$(12k-1)$ -边连通符号图的循环流数至多为$2+\frac 1k$ .
Spanning tree packing and 2-essential edge-connectivity
如果$G-X$有两个组件，每个组件至少有$r$边，则$G$的边（顶点）切割$X$是$r$-必需的。图$G$是$r$ -本质上是$k$ -边连通的（分别是$k$ -连接），如果它没有$r$ -基本边（分别顶点）切割的大小小于$k$。如果是$r=1$，我们就称之为基本的。最近，Lai和Li证明了每个$m$ -边连通本质$h$ -边连通图都包含$k$边不交生成树，其中$k,m,h$是正整数，使得$k+1\le m\le 2k-1$和$h\ge \frac{m^2}{m-k}-2$ .本文证明了每个$m$ -边连通图和$2$ -本质$h$ -边连通图，如果不是$K_5$或重数小于$k$的胖三角形，都有$k$边不交生成树，其中$k+1\le m\le 2k-1$和$$h\ge f(m,k)=\begin{cases} 2m+k-4+\frac{k(2k-1)}{2m-2k-1}, & m< k+\frac{1+\sqrt{8k+1}}{4}, \\ m+3k-4+\frac{k^2}{m-k}, & m\ge k+\frac{1+\sqrt{8k+1}}{4}. \end{cases}$$推广了Zhan的结果，我们还证明了每个3-边连通本质5-边连通和$2$ -本质8-边连通的图都有两棵边不相交的生成树。作为应用，给出了线图Hamilton连通的一个新的充分条件。在2012年，Kaiser和…
Edge-connectivity keeping trees in $k$-edge-connected graphs
本文研究删除树后仍保持 $k$-边连通性的问题，证明了删除相邻顶点对的结果，并给出任意给定阶数树可被删除且保持边连通性的最小度条件。
$b$-invariant edges in essentially 4-edge-connected near-bipartite cubic bricks
一个{\em砖}是一个非二部匹配覆盖图没有非平凡紧割。砖块是匹配覆盖图的构建块。如果$G-e$匹配覆盖，并且$G-e$的紧割分解恰好包含一个砖，则我们说砖$G$中的边$e$是{\em $b$-不变的}。一个2-边连通三次图是{\em本质4-边连通}，如果它不包含非平凡的3-割。一个砖$G$是{\em near-bipartite}，如果它有一对边$\{e_1, e_2\}$，使得$G-\{e_1,e_2\}$是二分的并且匹配覆盖。Kothari，de Carvalho，Lucchesi和Little证明了每个本质4-边连通的立方非近二部砖$G$，不同于Petersen图，至少有$|V(G)|$ $b$-不变边.此外，他们还提出了一个猜想：每一个本质上4-边连通的立方近二分砖$G$，不同于$K_4$，至少有$|V(G)|/2$ $b$不变的边。本文证实了这一猜想。此外，所有本质上4-边连通的立方近二部砖，$b$不变的边的数量达到下界，提出。
Edge-fault-tolerant strong Menger edge connectivity of bubble-sort star graphs
互连网络的连通度和边连通度决定了网络的容错性。互连网络通常被看作是一个连通图，其中顶点对应于处理器，边对应于两个不同处理器之间的链路。给定一个具有点集$V(G)$和边集$E(G)$的连通图$G$，如果对任意两个不同的点$u,v\in V(G)$，$u$和$v$之间存在$\min\{d_G(u),d_G(v)\}$边不交路，则$G$是强Menger边连通的.令$m$是具有$m\geq1$的整数。如果对于任何具有$|F_e|\leq m$的$F_e\subseteq E(G)$，$G-F_e$保持强Menger边连通，则$G$是$m$ -边容错强Menger边连通的。如果对于任何具有$|F_e|\leq m$和$δ(G-F_e)\geq2$的$F_e\subseteq E(G)$，$G-F_e$是强Menger边连通的，则$G$是$m$ -条件边容错强Menger边连通的。本文考虑$n$维泡排序星图$BS_n$。我们证明了$BS_n$是$(2n-5)$ -边容错强Menger边连通的$n\geq3$和$(6n-17)$ -条件边容错强Menger边连通的$n\geq4$ .此外，我们给出了一些例子来说明我们的结果是最优的。
Bouchet's conjecture for cyclically 5-edge-connected, cubic signed graphs
该研究证明了布切特猜想在循环五边连通立方符号图中成立，表明此类图具有处处非零的六流。
Ends and vertices of small degree in infinite minimally k-(edge)-connected graphs
有限边-/点-极小k-连通/k-边-连通图的最小度和达到最小度的顶点数的界已得到了广泛的研究。我们给出了一个概述的结果已知的有限图，并表明，大多数这些结转到无限的图形，如果我们考虑小度以及顶点的结束。
On the Number of Connected Edge Cover Sets of Some Graph Families
本文研究了某些图族的连通边覆盖集数量，推导了多项式和总数的显式公式，并通过组合证明和计算验证。
The immersion-minimal infinitely edge-connected graph
本文刻画无限边连通图的极小障碍，证明其在浸入子式意义下有唯一极小图 halved Farey graph，而拓扑子式意义下的极小代表列表不可数。
How many randomly colored edges make a randomly colored dense graph rainbow hamiltonian or rainbow connected?
本文研究了在任意随机边着色稠密图上添加随机边得到的随机边有色图。特别是，我们问有多少颜色和多少随机边缘需要，使所得的图包含一个固定数量的边缘不相交的彩虹汉密尔顿周期。我们还问，在结果图中，每对顶点都由彩虹路径连接。
Color-avoiding connected spanning subgraphs with minimum number of edges
本文研究避色连通图的最大可移除边数问题，证明其为NP难问题，提出多项式时间近似算法，确定了给定参数下避色连通图的最小边数，并将边避色连通性推广至拟阵。
Removable trees and matchings in $k$-connected and $k$-edge-connected graphs
本文证明了Hasunuma关于k-连通图中可移除树的猜想的加强版本，并给出高最小度k-边连通图中存在可移除匹配的条件。
Decomposition of balanced multipartite tournaments into strongly connected tournaments
将一个有向图分解为具有固定结构或性质的子图是图论中的经典问题，也是网络和通信中的一个有用工具。一个有向图是强连通的，如果它包含从每个顶点到所有其他顶点的有向路。本文考虑多部竞赛图，研究了具有$c$部集的多部竞赛图划分为强连通$c$ -竞赛图的存在性.这是一个延续的研究开始于1999年的Muslimmann的存在性强连接的子竞赛图的多部比赛。
Asymptotic enumeration of strongly connected digraphs by vertices and edges
本文给出了具有$n$顶点和$m$弧（有向边）的强连通有向图的个数的一个渐近公式，该公式对$m-n\to\infty$作为$n\to \infty$提供给$m=O(n\log n)$是有效的.这填补了赖特的结果适用于$m=n+O(1)$之间的差距，和长期已知的阈值$m$，以上的随机有向图与$n$顶点和$m$弧很可能是强连接。
Contractible edges in 3-connected graphs that preserve a minor
设$G$是一个具有$3$ -连通（或足够小）简单子图$H$的$3$ -连通图.我们建立了$G$有一个森林$F$，它至少有$\left\lceil(|G|-|H|+1)/2\right\rceil$边，使得$G/e$是$3$ -连接的，每个$e\in E(F)$都有一个$H$ -minor。此外，我们可以挑选具有$|G|-|H|$边的$F$，只要$G$是无三角形的。这些结果是尖锐的。我们的结果推广了Ando et.例如，其建立了$3$ -连通图$G$具有至少$\left\lceil|G|/2\right\rceil$可收缩边。作为另一个结果，每个无三角形的$3$连通图具有可收缩边的生成树。我们的结果遵循一个更一般的定理图未成年人，分裂定理，这也是建立在这里。
Average connectivity of minimally 2-connected graphs and average edge-connectivity of minimally 2-edge-connected graphs
设$G$是一个阶为$n$的（多）图，$u,v$是$G$的顶点。$G$中内部不相交的$u$ - $v$路径的最大数目由$κ_G(u,v)$表示，并且$G$中边缘不相交的$u$ - $v$路径的最大数目由$λ_G (u,v)$表示。$G$的平均连通度由$\overlineκ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} κ_G(u,v)/\tbinom{n}{2},$定义，而$G$的平均边连通度由$\overlineλ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} λ_G(u,v)/\tbinom{n}{2}$定义。一个图$G$称为理想连通的，如果对$G$的所有顶点对$\{u,v\}$，都有$κ_G(u,v)=\min\{\mathrm{deg}(u),\mathrm{deg}(v)\}$.本文证明了每一个平均连通度最大的$n$阶极小$2$ -连通图都是二部图，其度为$2$的顶点集和度至少为$3$的顶点集都是二部图.我们利用这个结构证明了对于任何极小$2$ -连通图$G$，都有$\overlineκ(G)<\tfrac{9}{4}$.这个界是渐近紧的，我们证明了每一个极图的顺序$n$是从一些理想连通的几乎正则图的粗略$n/4$顶点和$3n/4$边细分的每一个边缘。我们还证明了对任何极小$2$ -边连通图$G$，都有$\overlineλ(G)<\tf…
Antichain cutsets of strongly connected posets
Rival和Zaguia证明了有限布尔格的反链割集就是水平集。我们发现，一个类似的反链割集的特征持有任何强连通偏序集的局部有限高度。作为推论，我们得到了半模格、超可解格、Bruhat序、局部可壳格等的一个刻画。我们还考虑了具有有限边的强连通超图的推广。
Immersions in highly edge connected graphs
我们考虑的问题，有多少边连通度是必要的，迫使一个图G包含一个固定的图H作为一个浸入。证明了如果H的最大度为D，则所有不含H弱浸入的D-边连通图的例子都必须有一个称为有界宽度树割分解的树状分解.如果我们考虑强浸入，那么很容易看出存在任意高边连通图，它们不包含固定团K_t作为强浸入。本文给出了一个结构定理，它粗略地刻画了不含K_t的高边连通图的强浸入。
Improved upper bound on the Frank number of $3$-edge-connected graphs
本文研究3-边连通图的Frank数，将Hörsch和Szigeti猜想的上界从7改进为5，证明了每个3-边连通图的Frank数至多为5。
Packing and Covering Immersions in 4-Edge-Connected Graphs
一个图$G$包含另一个图$H$作为浸入，如果$H$可以从$G$的一个子图通过分裂边和去除孤立的顶点来获得。本文证明了4-边-连通图中关于浸入包含的Erdens-Pósa性质的一个边变式.更精确地说，我们证明了，对于每一个图$H$，存在一个功能$f$，使得对于每一个4-边连通图$G$，要么$G$包含$k$成对边不相交的子图，每个子图包含$H$作为浸入，或者存在一组至多$f(k)$边的$G$相交所有这样的子图。这个定理在4-边连通性不能被3-边连通性取代的意义上是最好的。
Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
Sparse spanning $k$-connected subgraphs in tournaments
在2009年，Bang-Jensen提出了一个问题：是否存在一个函数$g(k)$，使得每个强$k$ -连通的$n$ -顶点竞赛图都包含一个强$k$ -连通的生成子图，且生成子图中至多包含$kn + g(k)$弧。本文通过证明每个强$k$ -连通$n$ -顶点竞赛图都包含一个强$k$ -连通生成子图，该生成子图至多含有$kn + 750k^2\log(k+1)$弧来回答这个问题.
Nowhere-zero $3$-flow and $\mathbb{Z}_3$-connectedness in Graphs with Four Edge-disjoint Spanning Trees
给定具有$\sum_{v\in V(G)}β(v)=0$的零和函数$β: V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_3$，对于每个顶点$v\in V(G)$，具有$d^+_D(v)-d^-_D(v)= β(v)$的$G$在$\mathbb{Z}_3$中的方向$D$称为$β$ -方向。一个图$G$是$\mathbb{Z}_3$ -连通的，如果$G$对每个零和函数$β$都有$β$ -定向. Jaeger等人证明了每个$5$ -边连通图都是$\mathbb{Z}_3$ -连通的.一个图是$\langle\mathbb{Z}_3\rangle$ -可扩的，如果在$v$的任何预定向可以扩展到$G$的一个$β$ -定向，对任何零和函数$β$。我们观察到，如果每一个$5$ -边连通本质$6$ -边连通图在任意5度顶点上都是$\langle\mathbb{Z}_3\rangle$ -可扩的，则上述Jaeger等人的猜想也成立.此外，应用Lassen和Lovász等人的部分流扩展方法，证明了至少有4棵边不相交生成树的图是$\mathbb{Z}_3$ -连通的.因此，每个$5$ -边连通本质$23$ -边连通图在5度顶点处是$\langle\mathbb{Z}_3\rangle$ -可扩的.
Monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图$G$中的路径称为单色的，如果路径上的任意两条边具有相同的颜色。对于$k\geq 2$，边着色图$G$称为单色$k$边连通的，如果$G$的每两个不同的顶点由至少$k$边不相交的单色路连接，而$G$被称为均匀单色$k$ -边连接，如果每两个不同的顶点至少由$k$边连接，不相交的单色路径，使得这些$k$路径的所有边缘用相同的颜色着色。我们分别使用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$来表示确保$G$为单色$k$ -边连接和$G$为均匀单色$k$ -边连接的最大颜色数。本文首先猜想，对于任何$k$ -边连通图$G$，$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，其中$H$是$G$的最小$k$ -边连通生成子图.我们验证了$k=2$的猜想。证明了当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k+1}$的猜想，当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想，以及当$k=3$和$n\geq k$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想.当$G$是极小$k$ -边连通图时，我们给出了$mc_k(G)$的一个上界，即，$mc_k(G)\leq k-1$，和当$G=K_{k,n}$时的$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$ -边连通，证明了对所有的$k$，有$umc_k(G)=e(G…
Highly connected infinite digraphs without edge-disjoint back and forth paths between a certain vertex pair
我们对所有的$ k\in \mathbb{N} $构造了一个$ k $ -边连通有向图$ D $与$ s,t\in V(D) $使得没有边不交的$ s \rightarrow t $和$t\rightarrow s $路.我们在我们的建设中使用“自相似”的图形，该技术可能是有用的，以及在其他问题。
Lattice of integer flows and poset of strongly connected orientations
我们证明了在实值流的二次向量空间中，有限连通图$G$的整数流格的Voronoi胞元具有以下非常精确的组合：Voronoi胞元的面偏序集同构于$G$的子图的强连通方向偏序集.这证实了Caporaso和Viviani的猜想{Torelli Theorem For Graphs and Tropical Curves，Duke Math.J.153（1）（2010），129-171}。
On $k$-connected vertex-pancyclic graphs without pancyclic edges
该研究探讨了k-连通顶点环图是否必然包含环边的问题，证明了对于任意正整数k，存在k-连通顶点环图不包含环边。
On Rainbow Connection of Strongly Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了如果$G$是一个强连通$r$ -正则图，且$r\geq 600$是一个强连通图，则$rc(G)\leq3$是一个强连通图.特别地，存在一个常数$c$，使得对任意连通强正则图$G$都有$rc(G)\leq c$.
Generating strongly 2-connected digraphs
本文证明了存在四种操作，使得任意强2-连通有向图均可从简洁的强2-连通有向图族中通过这些操作生成。
On connected components with many edges
证明了如果$H$是完全多部图$G$的一个子图，则$H$包含一个满足$|E(H')||E(G)|\geq |E(H)|^2$的连通分支$H'$.我们利用这一点证明了一个完全图的边的每一个三色都包含一个单色连通子图，其中至少有$1/6$条边。我们进一步表明，这样的着色有一个单色电路的一部分$1/6-o(1)$的边缘。这证实了Conlon和Tyomkyn的一个猜想。对一般的$k$，我们证明了$K_n$的边的每个$k$ -染色都包含一个至少有$\frac{1}{k^2-k+\frac{5}{4}}\binom{n}{2}$边的单色连通子图.
Nowhere-zero 8-flows in cyclically 5-edge-connected, flow-admissible signed graphs
本文证明在循环5边连通的双向图中，Bouchet关于无处为零流的猜想中的216可改进为8。
The degrees, number of edges, spectral radius and weakly Hamilton-connectedness of bipartite graphs
图$G$的一条路如果通过$G$的所有顶点，则称为Hamilton路。一个图是哈密尔顿连通的，如果任意两个顶点通过哈密尔顿路相连。注意，任何二部图都不是哈密尔顿连通的。研究了二部图的弱Hamilton连通性。弱Hamilton连通图是平衡二部图$G=(X,Y,E)$，它的任意顶点$x\in X$和$y\in Y$之间存在一条Hamilton路.本文给出了简单平衡二部图弱Hamilton连通的度、边数和谱半径条件。
Bispindles in strongly connected digraphs with large chromatic number
$(k_1+k_2)$ -双轴是$k_1$ $(x,y)$ -双路径和$k_2$ $(y,x)$ -双路径的联合，所有这些双路径是成对内部不相交的。最近，Cohen等人证明了对每一个$(1,1)$ -双轴$B$，存在一个整数$k$，使得每一个色数大于$k$的强连通有向图包含$B$的一个细分.我们调查概括这一结果，首先显示建设强连通有向图的大色数没有任何$(3,0)$ -bispindle或$(2,2)$ -bispindle。然后证明了具有大色数的强连通有向图包含一个$(2,1)$ -双心轴，其中$(x,y)$ -偶路和$(y,x)$ -偶路中至少有一个是长的.
Strongly connected orientation with minimum lexicographic order of indegrees
给定一个简单的无向图$G$，$G$的定向是给$G$的每条边分配一个方向。Borradaile等人给出了一个贪婪算法SC-Path-Retrieval（在多项式时间内），该算法找到了一个最小化最大入度的强连通方向，并证明了SC-Path-Retrieval对于“最小化字典序”目标也是最优的。本文对该猜想给出了肯定的回答，即证明了算法SC-PATH-REVERSAL能找到一个强连通的方向，使索引的字典序最小化。
Edge disjoint Hamiltonian cycles in highly connected tournaments
Kassen证明了存在一个函数$f(k)$使得每个强$f(k)$连通竞赛图都包含$k$边不相交的哈密顿圈.这个猜想最近由Kühn，Lapinskas，Osthus和Patel证明，他们证明了$f(k)\leq O(k^2(\log k)^2)$，并证明了存在一个常数$C$使得$f(k)\leq Ck^2$。我们证明了这个猜想。
A note on nowhere-zero 3-flow and Z_3-connectivity
在整数流理论中有许多重要的开放性问题，如Tutte的3-流猜想，即每个4-边连通图都存在一个无处为零的3-流，Jaeger等人的3-流猜想。Kochol的猜想：每个5-边连通图都是$Z_3$ -连通的; Kochol的猜想：每个至多有三个3-边割的无桥图都有一个无处为零的3-流（3-流猜想的等价版本）。证明了每个8-边连通图都是$Z_3$ -连通的，因此存在无处为零的3-流. Lov $\acute{a}$ sz，Wu，Zhang等进一步将Wu的结果推广到6-边连通图.本文证明了：（1）任何至多有7个5-边割的4-边连通图都有一个无处为零的3-流。(2)任何不含5-边割但至多含3-边割的无桥图都有一个无处为零的3-流。(3)任何至多有5个5-边割的5-边连通图都是$Z_3$ -连通的.我们的主要定理是Tutte的3-流猜想、Kochol猜想和Jaeger等人的部分结果。的猜想。
Rooted prism-minors and disjoint cycles containing a specified edge
Dirac和Lovász独立地刻画了不含点不交圈对的$3$ -连通图.等价地，他们刻画了所有没有棱镜子项的$3$ -连通图。本文完全刻画了边不包含在任何一对顶点不相交圈的并中的$3$ -连通图.作为应用，我们回答了边不相交圈和$4$ -连通图的类似问题，并利用一条特定的边完全刻画了无棱镜子图的$3$ -连通图。
Unavoidable substructures in large and infinite $2$-edge-connected graphs
本文研究了大且无限2-边连通图中的不可避免诱导子结构，发现'pinched super-clean ladders'等结构在其中扮演关键角色，并推导出关于大子图、拓扑Minor、Minor、诱导拓扑Minor、诱导Minor及欧拉子图的相关结论。
On the number of connected edge cover sets in a graph
本文开创性地研究了图的连通边覆盖集数量及其生成函数（即连通边覆盖多项式），得出了该多项式的一般性质，并进一步探讨了特定图的该多项式表现。
A degree sum condition for the existence of a quasi 5-contractible edge in a quasi 5-connected graph
本文研究拟5-连通图中拟5-可收缩边的存在性，证明5-连通图必有此类边，并给出距离不超过2的顶点度和至少为9的充分条件，推广了 Kriesell 的相关定理。
On consecutive edge magic total labeling of connected bipartite graphs
自从Sedlá $\breve{\mbox{c}}$ ek在1963年引入图的幻标号的概念以来，人们定义并研究了图的各种幻标号。本文研究了连通二部图的连续边幻标号。我们做了一个非常有用的观察，有只有四个可能的值的$b$，一个连接的二部图有一个$b$ -边连续魔术标签。在这个基本结果的基础上，我们推出了关于二部图，特别是毛虫图和龙虾图的连续边幻标号的各种有趣结果，推广了Sugen和Miller的结果.
Contractible Non-Edges in 3-Connected Graphs
针对 Tsz Lung Chan 提出的刻画恰好含一条可收缩非边的3-连通图的问题，本文给出完整解答。
Characterizing the forbidden pairs for graphs to be super-edge-connected
本文刻画了当禁止子图集合大小为1或2时，使得所有不含这些诱导子图的图均为超边连通的所有禁止子图集合（除特殊图外）。
The minimum Q-index of strongly connected bipartite digraphs with complete bipartite subdigraphs
设$\mathcal{G}_{n,p,q}$表示$n$顶点上的强连通二部有向图的集合，其中$\mathcal{G}_{n,p,q}$包含一个完全二部子图$\overleftrightarrow{K_{p,q}}$，其中$p, q, n$是正整数，$p+q \leq n$ .本文研究了$\mathcal{G}_{n,p,q}$的Q-指标（即无符号Laplacian谱半径），并确定了具有最小Q-指标的极有向图.
Splitter Theorems for Graph Immersions
本文针对k边连通图（k为偶数）及3边连通且内部4边连通图建立图浸入的拆分定理，并由此证明任意至少七顶点且可浸入K_5的该类图必可浸入K_{3,3}。
Uniformly connected graphs
本文研究了一致$k$ -连通图和一致$k$ -边-连通图的结构.虽然这两种类型以前已经研究了彼此独立，我们分析这两个类之间的关系。我们证明了任何一致$k$ -连通图对于$k\le 3$也是一致$k$ -边连通的，并证明了对于$k>3$不是这样的。此外，对于$k\le 2$，一致$k$ -连通图和一致$k$ -边-连通图是很好理解的，并且已知如何构造一致$3$ -边-连通图.在这里，我们贡献的一致$3$ -连通图的启发Tuttes轮定理的建设性特征。最后，这些结果帮助我们证明了一致$3$ -连通图中最小度顶点数的一个紧界。
On spanning tree packings of highly edge connected graphs
本文证明了Tutte/Nash-Williams关于有限图的树填充定理的一个改进。这个结果被用来获得一个类似的结果，在某些无限图的端忠实生成树包装，从而建立一个充分的哈密尔顿性条件，这种图的线图。
The Edge-Connectivity of Vertex-Transitive Hypergraphs
本文将 Mader 关于连通顶点传递图具有最大边连通度的经典定理推广到超图，证明连通线性一致顶点传递超图同样最大边连通，并说明线性或一致性条件不可或缺。
Cyclically $5$-edge-connected snarks with resistance $2$ and flow resistance $n$
本文构造了一类循环5-边连通的snarks，其流电阻与电阻的比值可任意大，回答了Allie等人提出的问题。
The existence of tree-connected $\{g,f\}$-factors in edge-connected graphs and tough graphs
1970年Lov{á}sz给出了图$G$中存在因子$F$的一个充要条件，使得对于每个顶点$v$，$g(v)\le d_F(v)\le f(v)$，其中$g$和$f$是$V(G)$上的两个整数值函数，具有$g\le f$ .本文给出了二分图$G$中存在$m$ -树连通因子$H$的一个充分边连通性条件，其中$(X,Y)$的补图是$m_0$ -树连通的，且对于每个顶点$v$，$d_H(v)\in \{g(v),f(v)\}$，只要对于每个顶点$v$，$g(v)+m_0\le \frac{1}{2}d_G(v)\le f(v)-m$和$|f(v)-g(v)|\le k$，存在$h(v)\in \{g(v),f(v)\}$，其中$\sum_{v\in X}h(v)=\sum_{v\in Y}h(v)$ .此外，我们将这个结果推广到一般图。作为应用，我们给出了边连通图和坚韧图中树连通$\{g,f\}$ -因子存在的充分条件。
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