Vertices of degree k in edge-minimal, k-edge-connected graphs
Carl Kingsford, Guillaume Marçais
Halin证明了每一个边极小的k点连通图都有一个k度的顶点。本文证明了边极小k-边连通图的Halin定理的类似定理。证明了边极小的k-边连通图都有两个k度顶点。
Halin showed that every edge minimal, k-vertex connected graph has a vertex of degree k. In this note, we prove the analogue to Halin's theorem for edge-minimal, k-edge-connected graphs. We show there are two vertices of degree k in every edge-minimal, k-edge-connected graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ends and vertices of small degree in infinite minimally k-(edge)-connected graphs
有限边-/点-极小k-连通/k-边-连通图的最小度和达到最小度的顶点数的界已得到了广泛的研究。我们给出了一个概述的结果已知的有限图，并表明，大多数这些结转到无限的图形，如果我们考虑小度以及顶点的结束。
Asymptotic enumeration of strongly connected digraphs by vertices and edges
本文给出了具有$n$顶点和$m$弧（有向边）的强连通有向图的个数的一个渐近公式，该公式对$m-n\to\infty$作为$n\to \infty$提供给$m=O(n\log n)$是有效的.这填补了赖特的结果适用于$m=n+O(1)$之间的差距，和长期已知的阈值$m$，以上的随机有向图与$n$顶点和$m$弧很可能是强连接。
Minimal bricks have many vertices of small degree
我们证明了n个顶点上的每个极小砖块至少有n/9个顶点的度不超过4。
Algebraic connectivity of connected graphs with fixed number of pendant vertices
本文考虑了如下问题：在所有$n$阶的简单连通图中，如果$n$阶的悬挂顶点是固定的（$n,k$是固定的），那么哪一个图的代数连通度最大（分别最小）？我们还讨论了单圈图的代数连通度。
Cut and pendant vertices and the number of connected induced subgraphs of a graph
在图$G$中，一个顶点的移除会增加图$G$的分支数，这个顶点被称为割点。对所有$n,c$，我们确定了一个连通图的最大连通诱导子图数，该连通图的阶为$n$，割点为$c$，并对达到上界的图进行了计数.此外，我们还证明了在所有无割点的连通图中，该圈具有最少的连通诱导子图。一般情况$c>0$仍然是一个开放的任务。给出了给定悬挂顶点数和阶数的极图结构，并建立了相应的连通诱导子图数计算公式。这种情况下的“最小”图是一棵树，这与Li和Wang [关于树的子树总数的进一步分析]给出的结构一致。\emph{Electron. J. Comb.} 19（4），#P48，2012]。
Degree lists and connectedness are $3$-reconstructible for graphs with at least seven vertices
图的$k$ -deck是由$k$顶点导出的子图的多重集。一个图或图的性质是$l$ -可重构的，如果它是由删除$l$顶点所得到的子图的甲板所确定的。我们证明了当$n\ge7$为$n$ -顶点图时，$n$ -顶点图的度表是$3$ -可重构的，并且$n$上的阈值是尖锐的.使用这个结果，我们表明，当$n\ge7$的$(n-3)$ -甲板也决定是否$n$ -顶点图连接，这也是尖锐的。这些结果分别推广了Chernyak和Manvel的结果，即当$n\ge6$时，度列表和连通性是$2$ -可重构的，这也是尖锐的。
Cubic vertices of minimal bicritical graphs
本文证明了极小双临界图至少包含四个立方顶点，从而证实了O. Favaron和M. Shi关于极小k-因子临界图在k=2时的猜想。
All Connected Graphs with Maximum Degree at Most 3 whose Energies are Equal to the Number of Vertices
图$G$的能量$E(G)$被定义为其特征值的绝对值之和。设$S_2$是2阶星（或$K_2$），$Q$是由$S_2$通过将两条悬垂边附加到$S_2$的每个端顶点而得到的图。Majstorović等人证明了$S_2$、$Q$和完全二部图$K_{2,2}$、$K_{3,3}$是仅有的最大度为$Δ\leq 3$且能量等于顶点数的4连通图.本文致力于对这一猜想给出一个证实性的证明。
Extremal graphs with minimum number of connected subgraphs in a given family
本文定义了顶点的子图数，刻画了在 $n$ 个顶点和 $k$ 个割点的所有图中具有最少连通子图数的极值图及其顶点，并在围长至少为 $k$ 的条件下得出相应结果，最终完成了对 $0 \leq k \leq 4$ 情形的完整刻画。
On the intersection of two longest paths in $k$-connected graphs
本文证明了$k$连通图中每对最长路至少相交于$(8k-n+2)/5$顶点。我们还证明了，在一个4-连通图中，每对最长路至少相交于四个顶点。这证实了Hippchen关于$k$ -连通图当$k\leq 4$或$k\geq (n-2)/3$ .
Parity linkage and the Erdős-Pósa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs
我们证明了以下每个充分连通图$G$，$G$的任何顶点子集$S$，和给定的整数$k$：有$k$不相交的奇循环在$G$每个包含一个顶点的$S$或有一个集合$X$的最多$2k-2$顶点，使$G-X$不包含任何奇循环，包含一个顶点的$S$。我们通过Kawarabayashi和Reed关于奇偶- $k$ -链接图的结果（Combinatorica 29，215-225）的推广证明了这一点。从这个结果很容易推出其他几个著名的关于高连通图中奇圈的Erdens-Pósa性质的结果。这分别加强了Rautenbach和Reed（Combinatorica 21，267-278）的结果。
Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs
连通图$G$的{ \em rainbow vertex-connection number}，$rvc(G)$，是对图的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条内部顶点具有不同颜色的路径连接。本文首先确定了$n\geq 3$阶圈$C_n$的彩虹点连通数，然后在此基础上证明了对任意2-连通图$G$，$rvc(G)\leq rvc(C_n)$，给出了彩虹点连通数的一个紧上界.因此，我们证明了，对于一个连通图$G$与块分解$B_1, B_2, ..., B_k$和$t$割点，$rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$。
Connectedness and Hamiltonicity of graphs on vertex colorings
给定一个图$H$，设$G^j_k(H)$是其顶点是$H$的真$k$ -着色的图，如果$H$在至多$j$顶点上包含一个连通子图，该连通子图包括着色不同的所有顶点，则其边连接两个着色。$G^1_k(H)$的性质已经被研究过，包括连通性和哈密尔顿性。引入并研究了参数$g_k(H)$和$h_k(H)$，它们分别表示使$G^j_k(H)$连通或Hamilton的最小$j$.
On the sum of eccentric subgraph numbers of the vertices of a connected graph
针对连通图顶点的偏心子图数之和，定义了顶点的偏心子图数与图的偏心子图指数，研究了单圈图、树等特定图类中使偏心子图指数取最大值的图结构。
Spanning trees in connected graphs with few branch and end vertices
树中度数为1的顶点称为结束顶点，度数至少为3的顶点称为分支顶点。对于图$G$，设$σ_2$是图$G$中两个不相邻顶点的最小度和.我们考虑了在光和集中式终端网络中出现的树问题：寻找G的生成树（i）具有最少的端顶点数，（ii）具有最少的分支顶点数，（iii）具有最小的分支顶点度和，这是由网络设计问题所激发的，其中连接点比简单的端节点或通过节点要昂贵得多，因此要避免。本文研究了：$n$顶点上的$(\ast)$连通图，使得$σ_2\ge n-k+1$对某个正整数$k$ .在1976年，它被证明（由作者），每一个图满足$(\ast)$有一个生成树，最多有个$k$端点。本文首先证明了满足$(\ast)$的每个图都有一个最多含$k+1$个分支和端点的生成树。下一个结果表明，每个满足$(\ast)$的图都有一个至多有个$(k-1)/2$分支顶点的生成树。第三个结果表明，满足$(\ast)$的图都有一个分支顶点的度和至多为$\frac{3}{2}(k-1)$的生成树.所得结果均为最佳.
Existence of connected regular and nearly regular graphs
对于整数$k \geq 2$和$n \geq k+1$，证明了：如果$n\cdot k$是偶数，则在$n$的顶点上存在连通的$k$ -正则图.如果$n\cdot k$是奇数，则在$n$的顶点上存在连通的几乎$k$ -正则图.
Properties of uniformly $3$-connected graphs
本文重新研究均匀3-连通图的构造性刻画，建立顶点数与构造运算之间的关系，并分析交叉数和树宽的变化，进而用于研究最小度顶点数最少的均匀3-连通图的结构性质。
Some new central parts of connected graphs
中心、中位数和安全中心是为任何连通图定义的三个中心部分，而特征集、子树核和核顶点是仅为树定义的三个中心部分。本文将特征集、子树核和核顶点的概念推广到一般的连通图，分别称为特征中心、子图核和核顶点。通过实例证明了在一个连通图中，上述六个中心部分可以是不同的，并且证明了对于一个连通点传递图，这六个中心部分中的每一个都是整个点集。进一步证明了给定任意图$G$，存在$G$的连通超图$G_{ch}$，其特征中心为$G$的整个顶点集.与子图的核心和核心顶点相关，我们留下了一些与图中心性相关的未回答的问题。
Adjacent vertices of small degree in minimal matching covered graphs
研究最小匹配覆盖图中至少4个顶点的性质，证明存在至少两个非邻接边，每边为2-线或3-线，并展示最小度数为3时至少有4个3度顶点。
Traceability of Connected Domination Critical Graphs
图$G$中的支配集是$G$的顶点的集合$S$，使得$S$之外的每个顶点都与$S$中的顶点相邻。$G$中的连通控制集是控制集$S$，使得由$S$导出的子图$G[S]$是连通的。$G$的连通控制数$γ_c(G)$是$G$的连通控制集的最小基数。一个图$G$称为$γ_{c}$ -临界图，如果对于$G$的每对不相邻的顶点$u$和$v$，连通控制数$γ_{c}(G)$都等于$k$和$γ_{c}(G + uv) < k$.令$ζ$为$G$的割顶点数。已知若$G$是$γ_{c}$ -临界图，则$G$至多有$k - 2$个割点，即$ζ\le k - 2$ .本文证明了对于$k \ge 4$和$0 \le ζ\le k - 2$，每一个具有$ζ$割点的$γ_{c}$ -临界图都有Hamilton路当且仅当$k - 3 \le ζ\le k - 2$ .
Bound vertices of longest paths between two vertices in cubic graphs
本文针对Zhan关于k-连通图中两顶点间最长路径含至少k-1个内部绑定顶点的猜想，证明其对2-连通立方图成立，还证明相邻顶点情形下对3-连通立方图成立，进而推导出3-连通立方图最长圈至少有两条弦，推广并加强了Thomassen的相关结果。
Ramsey Numbers of Connected Clique Matchings
我们确定了连通团匹配的Ramsey数。也就是说，我们表明，如果$G$是一个$2$ -边着色完全图上的$(r^2 - r - 1)n - r + 1$顶点，那么有一个单色连通子图包含$n$不相交副本的$K_r$，这个数量的顶点不能减少。
Cut vertex and unicyclic graphs with the maximum number of connected induced subgraphs
割顶点通常被用来衡量节点在网络中的重要性。它们是那些其故障断开图的节点。设N（G）是图$G$的连通诱导子图的个数.本文研究了N（G）的最大值问题，其中$G$是一个单圈图，其中$n$的结点中有$c$是割点.对于所有有效的$n,c$，我们给出了最大化N（.）单圈图发现一般存在两个极大单圈图。然而，对于$n,c$的无穷多个值，存在唯一的具有$n$节点和$c$割点的极大单圈图。特别地，树的连通诱导子图的数目与Wiener指数（距离之和）之间的众所周知的负相关性对于具有$n$节点和$c$割点的单圈图是失效的：例如，具有$n=3,4\mod 5$节点和$c=n-5>3$割点的最大单圈图不同于Tan等人所示的唯一图。[{ \em给定悬挂点或割点数的单圈图的Wiener指标}。应用数学计算杂志，55：1--24，2017]以最小化Wiener指数。我们关于连通诱导子图数的最大单圈图的主要特征也适用于具有$n$节点、$c$割点和围长至多为$g>3$的单圈图，因为我们证明了每个具有$n$节点和$c$割点的最大图的围长不能超过$4$。
Disjoint chorded cycles in a $2$-connected graph
本文针对2-连通图解决Gould提出的问题，将顶点不交带弦圈的邻域并集条件从4s+1优化为4s，且该界是紧的。
Total eccentricity index of graphs with fixed number of pendant or cut vertices
连通图的总偏心率定义为所有顶点的偏心率之和。用$\mathfrak{H}_{n,k}$表示$n$顶点上的所有具有$k$悬挂顶点的连通图的集合，用$\mathfrak{C_{n,s}}$表示$n$顶点上的所有具有$s$割点的连通图的集合.本文给出了$\mathfrak{H}_{n,k}$上总偏心率指标的精确上、上界以及$\mathfrak{C_{n,s}}$上总偏心率指标的精确下界.我们还给出了当$s=0,1,n-3,n-2$时$\mathfrak{C_{n,s}}$上总偏心率指标的精确上界，并提出了关于$2\leq s\leq n-4.$在$\mathfrak{C_{n,s}}$上的上界问题
Average connectivity of minimally 2-connected graphs and average edge-connectivity of minimally 2-edge-connected graphs
设$G$是一个阶为$n$的（多）图，$u,v$是$G$的顶点。$G$中内部不相交的$u$ - $v$路径的最大数目由$κ_G(u,v)$表示，并且$G$中边缘不相交的$u$ - $v$路径的最大数目由$λ_G (u,v)$表示。$G$的平均连通度由$\overlineκ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} κ_G(u,v)/\tbinom{n}{2},$定义，而$G$的平均边连通度由$\overlineλ(G)=\sum_{\{u,v\}\subseteq V(G)} λ_G(u,v)/\tbinom{n}{2}$定义。一个图$G$称为理想连通的，如果对$G$的所有顶点对$\{u,v\}$，都有$κ_G(u,v)=\min\{\mathrm{deg}(u),\mathrm{deg}(v)\}$.本文证明了每一个平均连通度最大的$n$阶极小$2$ -连通图都是二部图，其度为$2$的顶点集和度至少为$3$的顶点集都是二部图.我们利用这个结构证明了对于任何极小$2$ -连通图$G$，都有$\overlineκ(G)<\tfrac{9}{4}$.这个界是渐近紧的，我们证明了每一个极图的顺序$n$是从一些理想连通的几乎正则图的粗略$n/4$顶点和$3n/4$边细分的每一个边缘。我们还证明了对任何极小$2$ -边连通图$G$，都有$\overlineλ(G)<\tf…
Degree 2 vertices in minimal prime graph complements
本文研究极小素图补图中二度顶点的结构，证明其结构为有限重复的5-cycle，属于reseminant图类。
Distinguishing adjacent vertices by ordering edges
本文研究通过边排序区分相邻顶点的问题，证明在特定条件下（如连通非正则图或第二类图）存在全局边序使序列区分相邻顶点，并对高度正则图给出概率性结论。
Some Ramsey-type results
本文研究带顶点参数的 Ramsey 型问题，证明含足够多非平凡顶点的连通图必含特殊诱导子图，并推出非连通版本。
Connected ($C_4$,Diamond)-free Graphs Are Uniquely Reconstructible from Their Token Graphs
菱形是从完整图中移除$4$顶点上的边而获得的图。（$C_4$，diamond）-free图是指在四个顶点上不包含菱形或圈作为导出子图的图。设$G$是$n$顶点上的连通（$C_4$，diamond）-free图.令$1 \le k \le n-1$为整数。$G$的$k$ -token图，$F_k(G)$，是其顶点是$G$的所有$k$顶点集合的图;如果它们的对称差是$G$中的一对相邻顶点，则其中两个是相邻的。设$F$是同构于$F_k(G)$的图.在本文中，我们表明，只要$F$，我们可以在多项式时间内构造一个图同构$G$。设$\operatorname{Aut}(G)$是$G$的自同构群。我们还表明，如果$k\neq n/2$，那么$\operatorname{Aut}(G) \simeq \operatorname{Aut}(F_k(G))$ ;如果$k = n/2$，那么$\operatorname{Aut}(G) \simeq \operatorname{Aut}(F_k(G)) \times \mathbb{Z}_2$。
Conflict-free vertex-connections of graphs
顶点有色图中的一条路称为\emph{conflict free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为\emph{conflict-free vertex-connected}，如果它的任意两个顶点都由一条无冲突的路连接.本文研究了这样一个问题：对于一个连通图$G$，为了使$G$成为无冲突的顶点连通的，它的顶点着色所需的最少颜色数是多少.结果表明，对于$2$ -连通图，这一问题的求解是容易的，而对于割点数较多的连通图，包括树，这一问题的求解是非常困难的。
On existence of noncritical vertices in digraphs
设$D$是$n\ge 4$上的强连通有向图.如果有向图$D-v$是强连通的，则$D$的一个顶点$v$是非临界的.证明了：若$D$中任意两个邻顶点的度之和至少为$n+1$，则$D$中存在非临界点;若$D$中任意两个邻顶点的度之和至少为$n+2$，则$D$中存在两个非临界点.一系列的例子证实了这些界限是紧的。
Connected Dominating Sets in Graphs With Stability Number Three
在图G的独立数a（G）=3且无诱导无弦圈C7的特殊情况下，证明了存在顶点数n（D）≤ 4的连通控制集D.利用连通控制集的概念，定义了一个新的不变量h（G），它不超过Hadwiger数.对于所考虑的图，证明了h（G）>=n（G）/4.
Hamiltonicity in connected regular graphs
1980年，Jackson证明了至多有$3k$顶点的2-连通$k$ -正则图是Hamilton图.这一结果已在几篇论文中得到推广。本文确定了连通$k$ -正则图中非Hamilton的最小顶点数，并解决了Hamilton路的类似问题.进一步，我们刻画了不含哈密顿圈的最小连通$k$ -正则图。
Minimal 3-regular Penny Graph
研究证明了3正则硬币图至少有16个顶点，并展示了存在这样的图。
Characterizing forbidden induced subgraphs that force top vertices to be Gallai vertices
本文确定了使连通无导出-H图的每个顶顶点均为Gallai顶点的图H，结论为H是阶数至多4的线性森林或P₃+2P₁。
On the spectral radius of minimally 2-(edge)-connected graphs with given size
一个图是极小$k$ -连通的（$k$ -边连通的），如果它是$k$ -连通的（$k$ -边连通的），并且删除任意选择的边总是留下一个不是$k$ -连通的（$k$ -边连通的）图.最小$k$ -连通图的一个经典结果是Mader在1937年给出的，他确定了高阶最小$k$ -连通图的极值尺寸.自然地，对于一个固定大小的极小$k$ -（边）-连通图，极值谱半径是多少？本文确定了给定大小的极小$2$ -连通（$2$ -边连通）图的最大谱半径，并确定了相应的极图.
Circumference of essentially 4-connected planar triangulations
一个$3$ -连通图$G$本质上是$4$ -连通的，如果对于$G$的任何$3$ -割$S\subseteq V(G)$，$G-S$的至多一个分支至少包含两个顶点.证明了$n$顶点上的本质$4$连通极大可平面图$G$包含一个长度至少为$\frac{2}{3}(n+4)$的圈，并且这个界是尖锐的.
Pairs of heavy subgraphs for Hamiltonicity of 2-connected graphs
设$G$是以$n$为顶点的图。$G$的导出子图$H$称为重图，如果$H$中存在两个不相邻的顶点，且度和至少为$G$中的$n$.我们称$G$是$H$ -重的，如果$G$的每个与$H$同构的导出子图都是重的.对于一族$\mathcal{H}$图，如果$G$对每个$H\in\mathcal{H}$都是$H$ -heavy，则称$G$为$\mathcal{H}$ -heavy.本文刻画了除$P_3$（三点路）以外的所有连通图$R$和$S$，使得每个2-连通$\{R,S\}$ -重图都是Hamilton图.这推广了以前关于Hamilton图的禁止子图条件的几个结果。
Planar lattice subsets with minimal vertex boundary
一个图的顶点子集是最小的，如果在所有相同大小的子集中，它的顶点边界是最小的。我们给出了平面整数格X的极小集的一个完整的几何刻画。我们的特征阐明了所有最小集的结构，我们能够使用它来获得几个应用。我们刻画了X的唯一极小集：与任何其他相同大小的极小集全等的极小集。我们还对X的所有有效集进行了分类：在所有具有固定顶点边界的集中具有最大大小的集。我们定义并研究了图G的最小集，其顶点是同余类的最小集的X和其边缘连接的顶点，可以表示的最小集，不同的正是一个顶点。我们证明了G恰好有一个无穷分支，有无穷多个孤立点，并且有任意大的有界分支。最后，我们证明了所有的极小集，除了一个，是连通的。
Minimal Ramsey graphs with many vertices of small degree
给定任何图$H$，称图$G$是$q$-Ramsey for $H$，如果$G$的边的每一个用$q$颜色的着色产生与$H$同构的单色子图。此外，如果另外没有$G$的真子图$G'$是$H$的$q$-Ramsey，则这样的图$G$被称为是$H$的最小$q$-Ramsey。1976年，Burr、Erdés和Lovász开始研究参数$s_q(H)$，定义为所有极小$q$-Ramsey图中对于$H$的最小度。本文考虑了$H$的最小$q$-Ramsey图中能包含多少度点$s_q(H)$的问题.具体来说，我们试图确定一个最小的$q$-Ramsey图可以包含任意多个这样的顶点的图形。我们称满足这个性质的图为$s_q$-丰富图。在其他结果中，我们证明了每个周期是$s_q$-丰富的任何整数$q\geq 2$。我们还讨论的情况下，当$H$是一个集团或一个集团的悬垂边，扩展以前的结果Burr等人。和Fox等人。为了证明我们的结果，并构建合适的最小拉姆齐图，我们开发了某些新的小工具图，称为模式小工具，推广和扩展早期的建设，已被证明是有用的最小拉姆齐图的研究。这些新的小玩意可能会引起独立的兴趣。
On a conjecture of Faudree and Schelp
该研究针对Faudree和Schelp关于哈密顿连通图路径长度的猜想，构造了三次平面反例补充Thomassen的结果，还构造了圈谱前半段有大量间隙的无穷哈密顿连通图族。
The core index of a graph
对于图$G,$，我们用$F(G)$表示$G,$的连通子图的数目。对于树$T$，$F(T)$已经被广泛研究，并且已经观察到$F(T)$与$T$的Wiener指数具有反向相关性。在此基础上，我们将$F(G),$称为$G$的核心索引。本文刻画了$n$顶点上所有连通分支为$k\geq 0$的图中使核指数极值化的图.我们将核心指数的研究扩展到单圈图和具有固定悬挂顶点数的连通图。我们得到了在所有单圈图的$n$顶点上使核指数极值化的单圈图。在所有具有固定围长的单圈图中，得到了使核指数极值化的图。在所有悬挂顶点数固定的$n$顶点上的连通图中，刻画了使核心指数最小化的图和使核心指数最大化的图.
Polyhedra of genus 2 with 10 vertices and minimal coordinates
给出了4 × 4 × 4立方体中亏格2的可定向曲面的全部865个顶点极小三角剖分在一般位置上的坐标极小几何实现。
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
Arithmetical Semirings
本文研究 n 个顶点的连通图中笛卡尔素图的数量，证明大 n 时几乎所有连通图都是笛卡尔素图，并对偶数顶点情形给出完整渐近展开式。
Super-minimally $3$-connected graphs
本文引入超极小$k$-连通图，确定超极小$3$-连通图中度$3$顶点最小数和最大边数，推广了Halin和Xu的相关结果。
Linkages and removable paths avoiding vertices
我们称一个图$G$是$(2,m)$ -连通的，如果对于$G$中的任意不同顶点$a_1,\ldots, a_m, b_1,b_2$，存在$G$的顶点不交连通子图$A,B$，使得$\{a_1, \ldots, a_m\}$包含在$A$中，而$\{b_1,b_2\}$包含在$B$中.结构图论中的一个基本结果是$(2,2)$ -链接图的特征，由Robertson和Chakravarty，Seymour和Jassassen独立获得不同的版本。对于$m\ge 3$，刻画$(2,m)$ -连接图似乎是非常困难的.在本文中，我们通过增加一个平均度条件，给出了$(2,m)$ -链接图的一个部分刻画。这意味着$(2m+2)$ -连通图是$(2,m)$ -连通的。此外，如果$G$是$(2m+2)$ -连通图，并且$a_1, \ldots, a_m, b_1,b_2$是$G$的不同顶点，则在$G$中存在$b_1$和$b_2$之间的路径$P$，并且避免了$\{a_1, \ldots, a_m\}$，使得$G-P$是连通的，从而改进了$10m$的先前连通性界.
Quartic Graphs with Minimum Spectral Gap
Aldous和Fill证明了具有$n$顶点的连通正则图上随机游动的最大松弛时间为$(1+o(1)) \frac{3n^2}{2π^2}$ .这个猜想可以用谱间隙的概念来表示：$k$ -正则图在$n$顶点上的谱间隙（代数连通度）至少为$(1+o(1))\frac{2kπ^2}{3n^2}$，并且至少对$k$的一个值给出了上界.我们确定了$n$顶点上具有最小谱间隙的连通四次图的结构，从而证明了$n$顶点上连通四次图的最小谱间隙是$(1+o(1))\frac{4π^2}{n^2}$ .根据这个结果，对$k=4$给出了Aldous-Fill猜想。
Constructing minimally 3-connected graphs
一个$3$ -连通图是最小3-连通的，如果去掉任何边都破坏了3-连通性.本文基于Dawes，JCTB 40，159-168，1986中的结果，提出了一种构造极小3-连通图的算法，它使用两种操作：在不相邻的顶点之间添加边和分裂顶点.为了测试图的顶点和边的3-相容性，这取决于图的圈，我们开发了一种从$G$的圈得到$G'$的圈的方法，其中$G'$是通过上述两种操作之一从$G$得到的.我们使用McKay的同构检查器Nauty生成的证书消除同构。该算法从具有$n-1$顶点和$m-2$边、具有$n-1$顶点和$m-3$边、具有$n-2$顶点和$m-3$边的非同构极小3-连通图连续构造具有$n$顶点和$m$边的非同构极小3-连通图.
Polyhedra of genus 3 with 10 vertices and minimal coordinates
对5 × 5 × 5立方体中亏格为3的可定向曲面的20个顶点最小三角剖分中的17个，给出了坐标最小几何实现.
T-joins in infinite graphs as edge-disjoint system of paths matching the vertices in $ T $
我们刻画了一类无限连通图$ G $，对于它，对于任意一个无限$ T \subseteq V(G) $的选择，都存在一个$ T $ -连接。我们还证明了下面这个众所周知的事实在无限情形下仍然成立。如果$ G $是连通的，并且不包含$ T $ -join，那么如果我们从$ T $中删除任意顶点或向$ T $中添加任何新顶点，它就会包含。
Nonmedian Direct Products of Graphs with Loops
一个\emph{median graph}是一个连通图，其中每三个顶点，存在一个唯一的顶点$m$位于任何两个给定顶点之间的测地线上。我们表明，只有中位数图的直积$G\times H$形成$G=P_k$时，任何整数$k\geq 3$和$H=P_l$，任何整数$l\geq 2$，在一个结束点的循环，其中直积是采取在所有连接的图$G$上至少有三个顶点或至少有一个循环的两个顶点，和连接的图$H$至少有一个循环。
Structural Properties of Connected Domination Critical Graphs
一个图$G$称为$k$-$γ_{c}$-临界图，如果对于$G$的任意一对不相邻的顶点$u$和$v$，连通控制数$γ_{c}(G)$等于$k$和$γ_{c}(G + uv) < k$.令$ζ$是$G$的切割顶点的数量，并且令$ζ_{0}$是可以包含在一个块中的切割顶点的最大数量。对于一个整数$\ell \geq 0$，如果$G - S$对于任何大小为$\ell$的顶点子集$S$都有完美匹配，则图$G$是$\ell$ -因子关键的。证明了对于$k \geq 3$，每个$k$ - $γ_{c}$ -临界图最多有$k - 2$割点，并刻画了具有最大割点数的图.进一步证明了对于$k \geq 4$，每个$k$ - $γ_{c}$ -临界图都满足不等式$ζ_{0}(G) \le \min \left\{ \left\lfloor \frac{k + 2}{3} \right\rfloor, ζ\right\}$ .本文刻画了所有具有$k - 3$割点的$k$ - $γ_{c}$ -临界图.进一步，我们建立了可实现性，即对于给定的$k \geq 4$，$2 \leq ζ\leq k - 2$和$2 \leq ζ_{0} \le \min \left\{ \left\lfloor \frac{k + 2}{3} \right\rfloor, ζ\right\}$，存在一个$k$ - $γ_{c}$…
Characterization of Randomly k-Dimensional Graphs
对于连通图$G$中的顶点的有序集合$W=\{w_1,w_2,...,w_k\}$和顶点$v$，有序$k$ -向量$r(v|W):=(d(v,w_1),d(v,w_2),.,d(v,w_k))$被称为$v$关于$W$的（度量）表示，其中$d(x,y)$是顶点$x$和$y$之间的距离。如果$G$的不同顶点相对于$W$具有不同的表示，则集合$W$被称为$G$的解析集。$G$的最小分解集是$G$的基，其基数是$G$的度量维度。连通图$G$的分解数是最小$k$，使得$G$的每个$k$ -顶点集都是分解集.一个连通图$G$称为随机$k$ -维图，如果$G$的每个$k$ -顶点集是一个基.本文结合随机$k$ -维图的一些性质，证明了至少有两个顶点的连通图$G$是随机$k$ -维的当且仅当$G$是完全图$K_{k+1}$或奇圈.
Proof of Lovász conjecture for odd order
本文通过揭示奇数阶连通点传递图的结构，证明了Lovász猜想在奇数阶情形下成立，即所有奇数阶连通点传递图都是哈密顿图。
Partitons of vertices and facets in trees and stacked simplicial complexes
本文为堆叠单纯复形（含树、多边形三角剖分、堆叠多面体）建立了面划分与顶点独立集划分之间的显式双射，并将其推广到带最小距离约束的情形，进而导出自然数划分的间距下界结果。
Isomorph-free generation of 2-connected graphs with applications
许多有趣的图族只包含2-连通图，它们具有耳分解。我们开发了一种技术来产生家庭的未标记的2-连通图使用耳扩增和应用这种技术的两个问题。在第一个应用中，我们寻找唯一K_r-饱和图，并找到了顶点数不超过12的唯一K_4-饱和图的列表，支持了这个问题的现有解决方案。在第二个应用中，我们对顶点数不超过12的所有2-连通图证明了边重构猜想。这种方法可以很容易地推广到更多的2-连通图问题。
Coalition graphs of connected domination partitions in subcubic graphs
该研究针对次立方图的连通联盟划分问题，定义了连通联盟及联盟图的概念，完整刻画了所有次立方图对应的联盟图结构，为图论中连通支配与联盟结构研究提供了新的分类结果。
The rainbow connection number of 2-connected graphs
图G的彩虹连通数是指图G的边着色中使每两个顶点之间有两次不含颜色的路的最少颜色数。改进Caro等人的结果，证明了任意n阶2-连通图的彩虹连通数至多是n/2的天花板.边界是最优的。
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