Counting Connected Graphs without Overlapping Cycles
简单连通图可以根据其圈组成（圈的数目和长度）进行分类。本文导出了圈数和圈长不受限制但无重叠圈的简单连通图的计数级数。这些感兴趣的图的圈对必须没有公共节点或边。计算这些图的配方是基于相关的种植图的计数系列，种植图的多集，丰富的树的递归合成，以及将底层有根块图映射到底层块图的广义Otter公式。
2018-08-19 math.CO
On rainbow tetrahedra in Cayley graphs
设$Γ_n$是奇循环群$Z_n$的完全无向Cayley图.研究了$Γ_n$中顶点为彩虹四面体的连通图，其中任意两个顶点相邻当且仅当它们恰好共享两个不同的三角形（作为四面体）.这产生了最大度为6的图$G$，渐近直径$|V(G)|^{1/3}$和几乎所有度为6的顶点：$G$中的{ \bf（a）}; $(3,6,3,6)$ -半正则镶嵌的恰好六个连通子图中的{ \bf（b）} 4;以及$\{6,3\}$ -正则六边形镶嵌的恰好四个连通子图中的{ \bf（c）} 3。这些顶点具有作为闭合邻域的在十个相应的结果镶嵌中的闭合邻域的并集（以固定的方式）。推广的渐近结果进行了讨论。
2014-11-05 math.CO
Tricyclic graphs with exactly two main eigenvalues
图$G$的特征值称为主特征值，如果它有一个特征向量的元素之和不等于零。本文确定了所有具有恰好两个主特征值的连通三圈图。
2013-10-09 math-ph math.CO math.MP
Decomposable twofold triple systems with non-Hamiltonian 2-block intersection graphs
二元三元系的2-块交图（2-BIG）是指其顶点集由二元三元系的块组成，且若对应的块恰好相交于两个元素，则两个顶点由一条边连接的图。2-BIG本身是有趣的图：每个分量是立方的和3-连通的，并且当TTS可分解为两个Steiner三元系时，2-BIG是二部的。任何没有Hamilton圈的连通二部2-BIG都是Tutte在1971年提出的一个猜想的反例。我们的主要结果是：存在一个整数$N$，使得对于所有的$v\geq N$，如果$v\equiv 1$或$3\mod{6}$，则存在一个TTS（$v$），其2-BIG是二部连通的，但不是Hamilton的.此外，$13<N\leq 663$。我们的方法是构造一个TTS（$u$），它的2-BIG是二部连通的和非Hamilton的，并将它嵌入到TTS（$v$）中，其中$v>2u$以这样一种方式，在一次交易后，得到的TTS（$v$）的2-BIG是二部连通的和非Hamilton的.
2018-06-28 math.CO
The number of perfect matchings in 3-connected planar graphs
School of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University（闽南师范大学数学与统计学院）
研究可匹配的平面3-连通图中完美匹配数量，通过证明至少40个顶点的此类图至少有12个完美匹配且下界紧，否定了是否存在常数\(c<12\)使有无穷多此类图恰有\(c\)个完美匹配的问题。
2026-08-04 math.CO
Unique colorability and clique minors
对于图G，设h（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通非空子图的最大k，设s（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通大小为1或2的子图的最大k. Hadwiger猜想指出h（G）至少是c（G），其中c（G）是G的色数. Seymour证明了s（G）至少是|V（G）|/2，对所有不含反三角形的图，i. e.三个两两不相邻的顶点在这里，我们集中在图G的恰好一个c（G）-染色。我们证明了（i）如果c（G）至多为6且G恰好有一个c（G）-染色，则h（G）至少为c（G），这里的证明不使用四色定理;（ii）如果G没有反三角形且G恰好有一个c（G）-染色，则s（G）至少为|V（G）|/2.
2015-08-06 math.CO
Certain graphs with exactly one irreducible $T$-module with endpoint $1$, which is thin: the pseudo-distance-regularized case
设$Γ$表示有限简单连通图.固定$Γ$的一个不是叶的顶点$x$，用$T=T(x)$表示$Γ$关于$x$的特威利格代数。假设具有端点$0$的唯一不可约$T$ -模块是瘦的，或者等价地，$Γ$是围绕$x$的伪距离正则的。我们考虑$Γ$在同构下有唯一的不可约$T$ -模，其端点为$1$，并且这个$T$ -模是瘦的.本文的主要结果是此属性的组合特征。
2023-01-24 math.CO
Longest cycles and longest chordless cycles in $2$-connected graphs
School of Science, Shanghai Institute of Technology（上海应用技术大学理学院）；Department of Mathematics, East China Normal University（华东师范大学数学系）
本文研究了2连通图中最长环与无弦环的关系，提出猜想等价于Harvey猜想，并证明该猜想在特定图类中成立。
2024-10-21 math.CO
Conflict-free vertex-connections of graphs
顶点有色图中的一条路称为\emph{conflict free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为\emph{conflict-free vertex-connected}，如果它的任意两个顶点都由一条无冲突的路连接.本文研究了这样一个问题：对于一个连通图$G$，为了使$G$成为无冲突的顶点连通的，它的顶点着色所需的最少颜色数是多少.结果表明，对于$2$ -连通图，这一问题的求解是容易的，而对于割点数较多的连通图，包括树，这一问题的求解是非常困难的。
2017-05-20 math.CO
On 3-Connected Planar Graphs with Unique Orientable Circuit Double Covers
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；The University of Sydney（悉尼大学）
本文研究了3连通平面图的可定向回路双覆盖特性，证明了其与Apollonian网络对偶图的关系，并扩展了这一结论至所有3连通平面图。
2026-01-15 cs.DM math.CO
$F$-WORM colorings: Results for 2-connected graphs
给定两个图$F$和$G$，$G$的$F$-WORM着色是将颜色分配给其顶点，使得$G$的$F$ -子图都不是单色或彩虹的。如果$G$至少有一种这样的颜色，那么它被称为$F$ -WORM可着色的，并且$W^-(G,F)$表示颜色的最小可能数量。本文研究了固定2-连通图$F$的$F$-WORM染色问题，证明了以下三个主要结果：（1）对于每个自然数$k$，存在一个$F$ -WORM可染色且$W^-(G,F)=k$可染色的图$F$：（2）判定一个图是否$F$-WORM可染色是NP-完全的;（3）对于每个$k \ge |V(F)|-1$，判定图$G$是否满足$W^-(G,F) \le k$是NP-完全的。这对有界最大度的$F$-WORM可着色图类仍然有效.对于具有$n \ge 3$的完全图$F=K_n$，我们还证明了：（4）对于每个$n \ge 3$，存在一个图$G$和整数$r$，$s$，使得$s \ge r+2$，$G$具有恰好具有$r$的$K_n$-WORM染色，也具有恰好具有$s$的$K_n$-WORM染色，但不允许具有恰好具有$r+1, \dots, s-1$色的$K_n$-WORM染色.此外，差异$s-r$可以任意大。
2015-12-01 math.CO
Spectra of chains connected to complete graphs
我们刻画了由一个或两个连接到完全图的有限或无限链组成的图的Laplacian的谱。我们证明了两种类型的局部特征向量的存在性，即完全消失在完全图之外的特征向量和指数下降在完全图之外的特征向量。我们的研究结果还意味着本地化和扩展的本征向量对应的本征值之间的差距。
2020-02-20 math.CO math.SP
Spanning trees for many different numbers of leaves
本文证明连通图的生成树叶子数集合具有连续性，并结合 Whitney 定理给出平面4-连通三角剖分中可实现叶子数范围的构造性结果，同时证明该范围的最优性。
2024-11-13 math.CO
Rooted complete minors in line graphs with a Kempe coloring
如果有限图的顶点着色使得任意两个色类的并集导出连通图，则对于每个顶点集$T$，存在一个完全子图使得$T$包含每个分支集的一个成员.在这里，我们证明的声明线图。
2018-12-04 math.CO
Regular graphs with few longest cycles
出于工作的Haythorpe，Alassen和作者表明，存在一个积极的常数$c$，使有一个无限的家庭4-经常4-连通图，每个包含确切的$c$哈密尔顿周期。我们补充这一点，证明了同样的结论适用于平面4-正则3-连通图，虽然它不适用于平面4-正则4-连通图的Brinkmann和Van Cleemput的结果，它适用于4-正则图的连通度2与常数$144 < c$，我们相信是最小的所有哈密尔顿4-正则图的足够大的顺序。然后证明了对每个非负整数$k$，在$26 + 6k$顶点上存在一个5-正则图，该图具有$2^{k+10} \cdot 3^{k+3}$ Hamilton圈，从而否定了Haythorpe的一个猜想.证明了对每一个$d \ge 3$，都存在一个无限族的最小度为$d$的Hamilton 3-连通图，其Hamilton圈数有界.证明了如果3-正则图$G$有唯一的最长圈$C$，则$G - E(C)$的至少两个分支在$C$上有奇数个顶点，并且存在恰好有两个这样的分支的3-正则图.
2022-01-27 math.CO
The Strong Arnold Property for 4-connected flat graphs
本文证明了：如果$G=(V,E)$是一个4-连通平面图，则任意实对称$V\times V$矩阵$M$具有强Arnold性质，该矩阵恰有一个负特征值，且对于任意两个不同的顶点$i$和$j$，若$i$和$j$相邻，则满足$M_{ij}<0$，若$i$和$j$不相邻，则满足$M_{ij}=0$：只要$i$和$j$相等或相邻，就不存在具有$MX=0$和$X_{ij}=0$的非零实对称$V\times V$矩阵$X$。（一个图$G$是{ \em flat}，如果它可以被内射地嵌入到$3$维欧氏空间中，使得任何电路的图像都是与图的其余部分的图像不相交的某个圆盘的边界。这适用于Colin de Verdière图参数，并推广了2-连通外平面图和3-连通平面图的类似结果。
2015-12-10 math.CO
The existence of the graphs that have exactly two main eigenvalues
图$G$的特征值称为主特征值，如果它有一个特征向量的元素之和不等于零。图$G$有两个主特征值当且仅当存在唯一的一对整数$a$和$b$使得对每个顶点$v\in V(G)$有$\sum_{u\in N(v)}d(u)=ad(v)+b$.我们在集合$\mathscr{G}(a,b)$中收集这样的连通图$G$。本文主要研究了这类$a$和$b$的存在性，并给出了$\mathscr{G}(a,b)\neq\emptyset$的充要条件.另外，我们给出了$G\in\mathscr{G}(a,b)$的顶点度的界，并利用这个界对$(a,b)$中的一些可行对刻画了$\mathscr{G}(a,b)$中的图.
2016-09-17 math.CO
Threshold and hitting time for high-order connectivity in random hypergraphs
考虑$k$ -一致超图的连通性定义：两个$j$ -集是$j$ -连通的，如果它们之间有一条边的行走，使得两个连续的边至少相交于$j$的顶点.确定了边概率为$p$的随机$k$ -均匀超图成为$j$ -连通的概率为高的阈值.我们还推导出一个随机超图过程的首中时结果-超图成为$j$ -连接的时刻正好是最后一个孤立的$j$ -集消失的时刻。这推广了著名的结果图。
2015-02-25 math.CO
On the Partition Dimension and the Twin Number of a Graph
连通图G的顶点集的一个划分P是G的一个定位划分，如果每个顶点都由它到P的元素的距离向量唯一确定。G的划分维数是G的一个定位划分的最小基数。图G的一对顶点u，v称为孪生，如果它们有完全相同的邻居集，除了u和v。孪生类是成对孪生顶点的最大集。图G的孪生数是图G的孪生类的最大基数。在本文中，我们进行研究的划分维数的一个图，也考虑它的孪生数。这种方法使我们能够得到一组连通图的阶为n的分区维数为n-2。这个集合是由15个图组成的，而不是23个，正如2008年发表在《离散数学》上的论文：“一个连通图的度量维数和划分维数之间的差异“中错误地陈述的那样。
2016-03-05 math.CO
Conflict-free connection number and independence number of a graph
一个边有色图$G$是无冲突连通的，如果它的任意两个顶点由一条路连接，并且该路只包含在它的一条边上使用的颜色。连通图$G$的无冲突连接数，用$cfc(G)$表示，定义为使$G$无冲突连接所需的最小颜色数。本文研究了图的无冲突联络数与图的独立数之间的关系。本文首先证明了对任意连通图$G$，都有$cfc(G)\le α(G)$，并给出了一个例子，证明了它的界是尖锐的。利用这一结果，我们证明了：如果$T$是一棵树，它有$Δ(T)\ge \frac{α(T)+2}{2}$，那么$cfc(T)=Δ(T)$ .
2020-12-09 math.CO
On the Number of Connected Edge Cover Sets of Some Graph Families
Shahid Bahonar University of Kerman（沙希德巴孔纳尔克尔曼大学）；Yazd University（亚兹德大学）
本文研究了某些图族的连通边覆盖集数量，推导了多项式和总数的显式公式，并通过组合证明和计算验证。
2026-02-25 math.CO
Small Connected Planar Graph with 1-Cop-Move Number 4
本文描述了一个720-顶点连通平面图G，使得在G上的一步一警察对策中，为抓住强盗所需的最少警察数cop 1（G）至少为4，至多为7。此外，G有一个连通子图H，使得cop 1（H）正好是4，这意味着在H上的1-cop-move博弈中，4个警察几乎不足以抓住强盗。这比Gao和Yang在2017年给出的图表有了显著的改进。
2019-12-15 cs.DM math.CO
Contractible Non-Edges in 3-Connected Graphs
针对 Tsz Lung Chan 提出的刻画恰好含一条可收缩非边的3-连通图的问题，本文给出完整解答。
2025-05-13 math.CO
On main eigenvalues of zero-divisor graphs of reduced rings
Savitribai Phule Pune University（萨维特里拜·普莱·浦那大学）
本文研究了简化解环零因子图的主要特征值，证明了此类图构成一个无限家族，具有恰好s个主要特征值，并且某些诱导双分子图也具有恰好s个主要特征值。
2026-05-08 math.AC math.CO
On the maximum value of conflict-free verex-connection number of graphs
顶点有色图中的一条路称为{ \it conflict-free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为{ \it无冲突顶点连通}，如果图的任意两个顶点通过无冲突路径连接，则称该图为{ \it无冲突顶点连通数}，记为$vcfc(G)$，定义为使$G$无冲突顶点连通所需的最小颜色数. Li等证明了对于$n$阶的连通图$G$，$vcfc(G)\leq vcfc(P_n)$ .我们确认该猜想是正确的，并提出了一个相关的猜想Czap等人介绍的无冲突连接数。
2017-09-05 math.CO
Perfectly Colorable Graphs
我们定义了图$G$的完美染色为$G$的一个恰当染色，使得$G$的每个连通诱导子图$H$恰好使用$ω(H)$许多颜色，其中$ω(H)$是$H$的团数.一个图是完全可着色的，如果它允许一个完美着色。我们证明了完全可着色图类就是完全无爪图类。因此，完全可着色图可以在线性时间内被识别和着色。
2011-08-12 math.CO
On unigraphic polyhedra with one vertex of degree $p-2$
一个$p$非负整数序列$σ$是单图的，如果它是恰好一个图的度序列，直到同构。多面体图是一个$3$连通的可平面图。我们调查的序列是单相对于类的多面体图，这意味着他们承认正是一个实现作为一个多面体。我们专注于最大条目$p-2$的序列的情况下。本文给出了以$p-2,p-2$开头的多面体单图序列的分类，以及以$p-2$开头且只包含一个$3$的多面体单图序列的分类.此外，我们还讨论了少数顶点为高度数的单图序列。最后，我们以其他几个单序多面体族的例子来结束。
2023-01-19 math.CO
Enumerating $k$-arc-connected orientations
研究了图$G$的$k$ -弧连通定向的计数问题，即，每一个都只生成一次。使用子模块流优化的第一算法易于陈述，但实现起来复杂。在第二种方法中，我们提出了一个简单的算法与$O(knm^2)$的时间延迟和摊销时间$O(m^2)$，这改善了分析的子模块流算法。作为组成部分，我们得到了一个图$G$在$O(m^2)$时间延迟的$α$ -方向和$G$在$O(knm^2)$时间延迟的$k$ -弧连通方向所获得的出度序列的枚举算法。
2020-07-28 cs.DM math.CO
Fiedler vectors with unbalanced sign patterns
本文研究Fiedler向量符号模式不平衡的图，刻画了具有恰好一个或两个负分量的Fiedler向量的图类，并分析了最小度顶点数量对符号模式不平衡性的影响。
2023-04-12 math.CO math.SP
The number and structure of connected graphs with a fixed degree sequence
McGill University（麦吉尔大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
研究稀疏条件下具有固定度序列的连通图数量，通过配置模型识别其数量，结合巨连通分量和切换论证，探讨稀有事件概率和局部结构。
2026-05-08 math.CO math.PR
Excluding a ladder
阶梯是一个$2 \times k$网格图。图类$\mathcal{C}$什么时候排除一些梯子作为子图？我们证明了这种情况的充分必要条件是$\mathcal{C}$中的所有图$G$都有一个有界的顶点着色，使得对于$G$的每个$2$连通子图$H$，都有一种颜色在$H$中只出现一次.这种类型的顶点着色是中心着色概念的放松，其中对于$G$的每个连通子图$H$，必须有一种颜色在$H$中只出现一次。$G$的中心着色中的最小颜色数是$G$的树深度，并且已知具有有界树深度的图的类恰好是排除作为子图的固定路径的那些，或者等价地，作为子图的那些。在这个意义上，排除固定梯子作为子图的图的结构类似于没有长路径的图的结构。另一个相似之处如下：很容易观察到，每个具有两条长度为$k$的顶点不相交路径的连通图都有一条长度为$k+1$的路径。我们发现，每一个$3$连通图，其中包含作为一个未成年人的工会足够多的顶点不相交的副本的$2 \times k$网格有一个$2 \times (k+1)$网格未成年人。我们的结构结果有应用偏序集维数。我们证明了偏序集的覆盖图排除一个固定的梯子作为一个小有界的维数。这是一个新的一步的目标，了解哪些图是不可避免的，作为小的覆盖图的偏序集具有大的维数。
2021-04-06 cs.DM math.CO
Improved Approximation for Two-Edge-Connectivity
可生存网络设计的基本目标是构建低成本的网络，即使一些节点或边缘发生故障或被移除，也能保持足够的连通性。这一领域最基本的问题之一是$2$ -边连通生成子图问题（2-ECSS）：给定一个无向图$G$，找到$G$的一个$2$ -边连通生成子图$H$，该子图具有最少的边数（特别地，在移除一个任意边之后，$H$保持连通）。2-ECSS是NP难的，并且该问题的最著名的（多项式时间）近似因子是$4/3$。有趣的是，[Hunkenschr{<$}der，Vempala和Vetta '00，' 19]和[Seb{<$}和Vygen，'14]使用完全不同的技术实现了这个因素。在本文中，我们提出了一个改进的$\frac{118}{89}+ε<1.326$近似2-ECSS。在我们的方法中的关键成分（这可能也有助于在未来的工作）是减少到一个特殊类型的结构图：我们的减少保留近似因子高达$6/5$。虽然减少到2-顶点连通图是微不足道的（在以前的工作中大量使用），我们的结构化图是“几乎”3-顶点连通的：更准确地说，给定任何2-顶点切割的结构化图$G=(V,E)$ $\{u,v\}$，$G[V\setminus \{u,v\}]$正好有2个连通组件，其中一个包含$G$中的度$2$的一个节点。
2022-11-12 cs.DS math.CO math.OC
Nearest Graph Laplacians with Prescribed Connected Components: A Convex Framework for Network Reconstruction
Indian Institute of Science Education and Research, Bhopal（印度科学教育研究所博帕尔分校）；Shiv Nadar Institution of Eminence, Delhi-NCR（希夫·纳德卓越机构德里NCR校区）；Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
该研究针对构造与给定拉普拉斯最接近且满足规定连通分量结构的图拉普拉斯问题，提出凸半定优化框架，证明解的存在唯一性，通过桑普森修道院网络示例验证了方法的有效性。
2026-08-20 math.CO math.OC
The Parameterised Complexity of Counting Connected Subgraphs and Graph Motifs
本文引入了一类图的参数化计数问题--具有性质（Φ）的p-#诱导子图，它推广了一些已有的问题.本文主要讨论Φ定义了一个图族，其边极小元素都具有有界树宽的情况;这包括Φ描述连通性的特殊情况。我们证明了在n-顶点图中精确计算k-顶点诱导子图的连通数是#W[1]-困难的，但另一方面，这个问题存在一个FPTRAS;更一般地说，当Φ是单调的且满足Φ的极小图都有界树宽时，我们证明了具有性质（Φ）的p-#诱导子图存在一个FPTRAS.然后，我们将这些结果应用到图图案问题的计数版本。
2014-11-14 cs.CC math.CO
Evolution of high-order connected components in random hypergraphs
我们考虑了$k$ -一致超图的高阶连通性，定义如下：两个$j$ -集是$j$ -连通的，如果它们之间有一条边的行走，使得两个连续的边至少相交于$j$的顶点.本文描述了$k$ -均匀二项随机超图$\mathcal{H}^k(n,p)$中$j$ -连通分支的演化.特别是，我们确定的渐近大小的巨大组件后不久，它的出现和建立的阈值，在该$\mathcal{H}^k(n,p)$成为$j$ -连接的概率很高。我们还得到了一个有关的随机超图过程$\{\mathcal{H}^k(n,M)\}_M$的首中时结果-超图成为$j$ -连接的时刻，当最后一个孤立的$j$ -集消失。这推广了超图中图和点连通性的著名结果。
2017-04-19 math.CO math.PR
Number of Edges in 3-Connected Graphs with Cyclic Neighborhoods
针对每个顶点邻域均含环的n顶点3-连通图的最小边数问题，本文为Li等人2024年证明的该类图边数下界为15n/8的结论给出了更简短的证明。
2025-11-13 cs.DM math.CO
