Kempe changes in degenerate graphs
我们考虑图的$n$顶点上的$k$ -染色的Kempe变换.如果图是$(k-1)$ -退化的，则它的所有$k$ -着色直到Kempe变化都是等价的。然而，从证明中产生的两个$k$着色之间的序列在顶点数上可以是指数的。一个有趣的开放性问题是它是否可以变成多项式。我们证明了这是可能的，在更强的假设下，图的树宽最多$k-1$。也就是说，任何两个$k$ -着色等价于$O(kn^2)$ Kempe变化。我们调查其他限制（列表着色，有界最大平均度，度界）。作为主要结果，我们得到了：给定一个具有最大度$Δ$的$n$ -顶点图，除非$Δ= 3$和某个连通分支是一个3-棱柱，否则$Δ$ -着色直到$O(n^2)$ Kempe变换都是等价的.
2021-12-04 cs.DM math.CO
Switching 3-edge-colorings of cubic graphs
一个三次图的色指数是3或4。边-Kempe转换，它可以用来转换边染色，在这里考虑的3-边染色的三次图。计算结果的边Kempe开关的三次图的顺序高达30和二部三次图的顺序高达36制成表格。给出了具有$2^n$边-Kempe等价类的阶为$4n+2$和$4n+4$的三次图族，证明了不存在具有更多边-Kempe等价类的三次图.另外还得到了一类新的具有一个边Kempe等价类的非平面二部三次图。边Kempe切换进一步连接到Steiner三元系的循环切换，其中建立的分类算法的改进。
2021-05-04 cs.DM math.CO
Examining Kempe equivalence via commutative algebra
Kwansei Gakuin University（关西学院大学）；Toho University（东海大学）
本文通过交换代数方法研究图论中的Kempe等价性，提出利用理想判定两种k-着色是否等价，并通过Gröbner基计算所有k-着色及Hilbert函数确定k-Kempe类数量。
2025-12-05 math.AC math.CO
Counting edge-Kempe-equivalence classes for 3-edge-colored cubic graphs
一个图的两个边着色是{ \em edge-Kempe等价}的，如果一个边着色可以通过一系列的边-Kempe交换从另一个边着色得到.本文给出了三次图的边-Kempe等价类个数的一些结果。特别地，我们证明了每个2-连通平面二部三次图恰好有一个边-Kempe等价类。此外，我们展示了无限多个非平面二部三次图的边Kempe等价类的数量范围。技术的发展，将是有用的分析其他类别的图形以及。
2012-09-08 math.CO
Kempe Equivalent List Edge-Colorings of Planar Graphs
本文研究了具有较大最大度的平面图线图的 $L$-可交换性，证明了在 $Δ(G)\ge 9$ 且为 $(Δ(G)+1)$-分配，或 $Δ(G)\ge 15$ 且为 $Δ(G)$-分配时线图均 $L$-可交换。
2022-09-12 math.CO
Kempe equivalence of almost bipartite graphs
本文研究几乎二部图的Kempe等价性问题，提出相关猜想并证明若干部分结果，同时指出该猜想后被Cranston和Feghali证明在一般情况下不成立。
2023-07-06 cs.DM math.CO
Kempe Chains and Rooted Minors
一个划分的（最小）断面是一个集合，它只包含来自划分的每个成员的一个元素，没有其他元素。一个图的着色是将它的顶点集划分成若干个反顶点，即两两不相邻的顶点集。我们研究以下问题：给定某个图$G$的一个真染色$\mathfrak{C}$的横截$T$，是否存在将$V(G)$的子集划分为连通集的划分$\mathfrak{H}$，使得$T$是$\mathfrak{H}$，并且如果来自$T$的两组$\mathfrak{H}$的对应顶点在$G$中通过路径连接，仅使用两种颜色？第一作者曾建议研究以下问题：对于某个图$G$的$k$阶着色$\mathfrak{C}$的任何横截$T$，使得任何一对色类诱导连通图，是否存在这样一个具有成对相邻集的划分$\mathfrak{H}$（这将证明唯一最优可着色图类的Hadwiger猜想）？这对于小的$k \geq 5$是开放的，本文给出了$k=5$与由$T$导出的子图连通的证明.此外，我们还证明了对于$k\geq 7$，仅仅强制任意两个横截顶点通过一条2-色路连接是不足以使$\mathfrak{H}$存在的。
2022-11-29 math.CO
Solution of Vizing's Problem on Interchanges for Graphs with Maximum Degree 4 and Related Results
设$G$是一个具有最大度$4$的1类图，$t\geq 5$是一个整数.我们证明了，任何适当的$t$边染色的$G$可以转换到任何适当的$4$边染色的$G$仅使用转换的$2$着色的子图（所谓的互换）。这解决了最小的以前未解决的情况下，一个众所周知的问题Vizing的立交桥，在1965年提出的。利用我们的结果，我们对两类图的Mohar问题给出了肯定的回答：我们证明了最大度为4的第一类图的所有真$5$-边染色都是Kempe等价的，即可以通过交换相互转化;最大度为5的第二类图的所有真7-边染色都是Kempe等价的.
2014-03-23 math.CO
A renewal approach to prove the Four Color Theorem unplugged, Part II: R/G/B Kempe chains in an extremum non-4-colorable MPG
本文通过 R/G/B Kempe 链和 RGB 铺砌重新审视极值非四色可染极大平面图，提出无需计算机验证四色定理的更新方法，并发现一系列与四色可染性相关的基本定理。
2023-09-17 math.CO
A note on extendable sets of colorings and rooted minors
本文将 DeVos 和 Seymour 关于平面图中 3-着色可扩展集合的结果推广到无 $K_{k+2}$ 子式且以 $X$ 为根的无 $K_{k+1}$ 子式图上的 $k$-着色情形。
2025-04-10 math.CO
A note on transformations of edge colorings of chordless graphs and triangle-free graphs
本文指出通过对Bonamy等人（2023）关于无三角形图边着色Kempe变换结论的证明进行微小修改，可将该结论推广到包含无三角形图和无弦图的更大类简单图中。
2024-11-29 math.CO
Coloring Graphs with Forbidden Minors
Hadwiger在1943年提出的猜想指出，对于每一个整数$t\ge1$，每一个图都可以是$t$着色的，或者有一个子图可以在$t+1$的顶点上收缩为完全图。正如保罗·西摩在他最近对哈德维格猜想的调查中指出的那样，证明没有$K_7$子图的图是$6$ -可着色的是哈德维格猜想的第一个仍然开放的情况。目前还不知道没有$K_7$子图的图是否是$7$可着色的。利用Kempe-链的论证以及在独立数为2的图中，三个顶点上的诱导路是支配路的事实，我们首先给出了Albar和Gonçalves最近的一个结果的一个非常简短且无需计算机的证明，并将其推广到下一步，证明了每个没有$K_t$子图的图都是$(2t-6)$ -可着色的，其中$t\in\{7,8,9\}$ .证明了不含$K_8^-$子图的图是$9$ -可着色的，不含$K_8^=$子图的图是$8$ -可着色的.最后证明了如果$K_p$子图的极值函数的Mader界为真，则不含$K_p$子图的图对所有$p\ge5$都是$(2t-6)$ -可着色的.这意味着我们的第一个结果。我们相信，我们在本文中开发的肯普链方法是独立的利益。
2016-12-21 math.CO
Kempe equivalence and quadratic toric rings
Kwansei Gakuin University（关西学院大学）；Toho University（东海大学）
本文通过Kempe等价与二次稳定集环的关系，揭示了图的稳定集环二次性的判定条件，并将其与完美可缩图理论联系起来，提出新的组合猜想。
2026-04-08 math.AC math.CO
Schröder Coloring and Applications
我们提出了几个双射，在组合对象计数的施罗德数，然后使用（通过着色）的建设和枚举的合理施罗德道路的整数斜率，有序有根树，和简单的有根outerplanar地图。另一方面，我们推导出部分贝尔多项式身份的小和大的施罗德数，这使我们能够获得明确的枚举公式。
2019-08-21 math.CO
Kempe Classes and Almost Bipartite Graphs
本文研究近似二部图的 k-着色 Kempe 等价类，给出保证唯一等价类的新增边数阈值，并构造反例证明其渐近紧、反驳相关猜想。
2024-05-11 math.CO
A simple and fast heuristic algorithm for edge-coloring of graphs
提出了一种简单但经验有效的启发式图边着色算法。它的基本思想是沿着邻顶点的路径置换“冲突”（入射到顶点的边中的重复颜色），相邻顶点的入射边通过交换交替颜色（即进行肯普交换）来重新着色。给出了随机立方图和$Δ$ -正则图上的性能测试结果，并给出了算法的完整实现，以便于使用和结果的重复性。
2012-10-18 cs.DM math.CO
Vizing's edge-recoloring conjecture holds
1964年Vizing证明了从图G的任意k-边染色出发，仅用Kempe交换就可以得到G的（$Δ$ + 1）-边染色，其中$Δ$是G的最大度。一年后，他证明了如果存在G的一个边，那么也可以得到G的一个$Δ$ -边染色。Bonamy et. al证明了该猜想对于无三角形图的情形是成立的。在本文中，我们证明了所有图的猜想。
2023-02-24 cs.DM math.CO
Injectively $k$-colored rooted forests
我们枚举注入$k$着色的有根森林与给定数量的顶点的每种颜色和一个给定的序列的根颜色。利用这个结果，我们得到了Fuss-Catalan数的一些新的多参数分布。作为一个附加的应用，我们列举了规则的凸多边形三角剖分，根据其适当的3-着色类型。
2021-07-28 math.CO
The crumby coloring conjecture for subcubic outerplanar graphs
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN–BME Stochastics Research Group（匈牙利研究与教育网络–布达佩斯技术与经济大学随机过程研究组）
研究次立方外平面图的碎屑着色猜想，引入有根文法，将碎屑着色扩展为可接受碎屑的着色，通过计算机辅助验证和手工证明，得出每个有限简单次立方外平面图都允许碎屑着色的结论。
2026-07-08 math.CO
From semi-total to equitable total colorings, and their induced partitions into perfect and total perfect codes
University of Puerto Rico（波多黎各大学）
研究通过改进的Kempe算法获取对称立方图和笼图的公平总着色，探讨总着色猜想的可行性。
2026-11-01 math.CO
Injective colorings of Sierpiński-like graphs and Kneser graphs
本文建立单射色数与色数、边色数的关系，确定 Sierpiński 图及根积的单射色数，并刻画 Sierpiński 图与 Kneser 图的完美单射可着色性。
2024-09-16 math.CO
Strengthening a theorem of Meyniel
对于整数$k \geq 1$和图$G$，设$\mathcal{K}_k(G)$是一个图，它的顶点集是$G$的所有真$k$ -着色，并且当着色~ $β$可以由$α$通过一次Kempe变换得到时，在两个顶点$α$和~ $β$之间有一条边. Meyniel在1978年提出的一个定理指出，对于每个平面图$G$，$\mathcal{K}_5(G)$与直径$O(5^{|V(G)|})$连通。通过证明存在正常数$c$使得对于每个平面图$G$，$\mathcal{K}_5(G)$具有直径$O(|V(G)|^c)$，我们显著地加强了这一结果。
2022-01-19 cs.DM math.CO
Distinguishing threshold for some graph operations
图$G$的一个顶点染色是可区别的，如果非单位自同构不保持它，可区别数$D(G)$是这样一个染色所需的最小颜色数，可区别阈值$θ(G)$是使得任意$k$ -染色是可区别的最小颜色数~ $k$.此外，$Φ_k (G)$是最多使用$k$颜色的$G$的区别着色数。本文利用$Φ_k (G)$给出了图的顶点和、根积、冠积、字典积等运算的可区分数和阈值的计算公式。
2022-12-16 math.CO
Color-avoiding connected colorings and orientations
该研究刻画了边避色k-边连通图的特征，证明k=1时相关问题可多项式时间求解、k≥2时为NP难，还研究了对应定向问题及顶点着色、多色故障等推广情形，为网络鲁棒性分析提供理论支撑。
2025-09-05 math.CO
Coloring, sparseness, and girth
一个$r$扩充树是一个有根树加上从每个叶子到祖先添加的$r$边。对于$d,g,r\in\mathbb{N}$，我们构造了一棵围长至少为$g$的二分$r$ -增广完全$d$ -二叉树.这种树的高度必须以极快的速度增长。利用所得到的图，我们构造了稀疏的非$k$ -可选的二部图，证明了最大平均度至多为$2(k-1)$是二部图中$k$ -可选的一个尖锐的充分条件，即使在要求大围长的情况下也是如此.我们还给出了具有任意围长$g$的非$k$ -可着色图和超图的一个新的简单构造.
2015-04-30 math.CO
On the Long-Repetition-Free 2-Colorability of Trees
如果$\bar{u}$的长度至少为3，则字$\bar{w} = \bar{u}\bar{u}$是$long$ $square$;如果$\bar{w}$不包含长方形的子字，则字$\bar{w}$是$long$ - $square$ - $free$。我们可以使用词来生成图着色;如果图中每条路的着色所形成的词是无长平方的，则图着色称为$long$ - $repetition$ - $free$。我们的结果表明，半径小于或等于7的每一棵有根树都是长重复无二色的。证明了存在一类非长重复自由二色树。
2022-01-27 math.CO
Counting Colored Trees
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Canisius University（卡尼西乌斯大学）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；North Carolina School of Science and Mathematics（北卡罗来纳州科学与数学学校）；Institute of Discrete Mathematics, TU Graz（格拉茨工业大学离散数学研究所）；Department of Mathematics, Uppsala University（乌普萨拉大学数学系）
本文研究了根据特定着色规则计数平面树的问题，揭示了不同规则导致相同计数序列的条件，并给出了多种颜色下的计数序列及公式。
2026-07-22 math.CO
Strengthening Hadwiger's conjecture for $4$- and $5$-chromatic graphs
Hadwiger著名的着色猜想指出，每个$t$ -色图都包含一个$K_t$ -子图. Holroyd [Bull. London Math.Soc.29，（1997），pp. [139- 144]证明了Hadwiger猜想的以下加强：如果$G$是一个$t$ -色图，且$S \subseteq V(G)$取$G$的每个$t$ -色中的所有颜色，则$G$包含一个根在$S$的$K_t$ -子图.我们证明了这个猜想在第一个开放的情况下，$t=4$。值得注意的是，我们的结果也直接意味着一个更强的版本的Hadwiger猜想的$5$ -色图如下：每个$5$ -色图包含一个$K_5$ -子单支集。事实上，在一个$5$ -顶点临界图中，我们可以指定单点分支集为图的任何顶点。
2022-09-01 math.CO
A renewal approach to prove the Four Color Theorem unplugged, Part I: RGB-tilings on maximal planar graphs
本文提出不用计算机检验证明四色定理的三部分新方案，首篇在极大平面图上建立R/G/B与RGB边铺砌及其与顶点4-着色的联系。
2023-10-01 math.CO
Solving NP-hard Problems on \textsc{GaTEx} Graphs: Linear-Time Algorithms for Perfect Orderings, Cliques, Colorings, and Independent Sets
本文研究 $\mathsf{GaTEx}$ 图上的 NP-hard 问题，利用 galled-tree 结构作为指导，提出了在线性时间内求解最大团、最优顶点着色、完美排序和最大独立集的算法。
2024-04-26 cs.CC cs.DM cs.DS
On local antimagic vertex coloring for complete full $t$-ary trees
本文验证了关于完全满 $t$ 叉树的局部反魔幻色数猜想，并证明当 $t$ 为奇数时，其精确值为叶子数加一。
2022-04-14 math.CO
Structural and computational aspects of majority coloring games
Indian Institute of Technology Jodhpur（印度理工学院焦浦尔分校）；Indian Institute of Science（印度科学学院）；Amrita Vishwa Vidyapeetham（阿姆里塔大学）
本文研究多数染色博弈的结构与计算复杂性，证明多种图类上 Alice 可用至多 3 色获胜，并精确计算环的强多数博弈色数，同时证明相关判定问题为 PSPACE-完全或 NP-完全。
2026-09-30 cs.DM math.CO
Fractional coloring via entropy
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文通过熵分析方法，扩展了Martinsson和Steiner关于无K_3图分数着色数的研究，提出了局部r可着色图和r-均匀d-退化超图的分数着色数上界。
2026-09-28 cs.DM math.CO
Graphs with Eulerian unit spheres
图论中的d-球面被归纳地定义为所有单位球面S（x）都是（d-1）-球面并且去除一个顶点使图可收缩的图。欧拉d-球面是几何d-球面，它们是d+1可着色的。本文证明了G是欧拉球面当且仅当G中所有d-2维子单形的度数都是偶数。这推广了d=2时的Kempe-Heawood结果，并且是与猜想所有d-球面都有色数d+1或d+2相关的工作，该猜想基于几何猜想，即每个d-球面都可以嵌入到欧拉（d+1）-球面中。对于d=2，这样的嵌入到欧拉3-球面中将导致四色定理的几何证明，允许看到“为什么4种颜色就足够了”。为了实现用d+2种颜色着色d-球面G的目标，我们希望将其嵌入到（d+1）-球面中，并在不接触嵌入球面的情况下使用特殊的同伦变形来细化或稀疏后者。一旦被渲染为欧拉的并且因此是（d+2）-可着色的，它就给嵌入图G着色。为了定义单纯形的度，我们在一般有限单图G中引入子图H的对偶图H'的概念。这导致单纯形图上的自然球面丛。我们看几何图，承认一个独特的测地流：他们的单位球必须是欧拉。我们在理论上定义了柏拉图球图为d-球，使得所有单位球S（x）都是图同构的柏拉图（d-1）-球。高斯-博内允许在图论中进行分类：所有的球对于d=1都是柏拉图的，八面体和二十面体是柏拉图的2-球，16和600个胞是柏拉图的3-球。十字多面体是唯一的柏拉图d-球面，其中d>3。这是欧拉。
2015-01-12 cs.DM math.CO
