Kempe changes in degenerate graphs
我们考虑图的$n$顶点上的$k$ -染色的Kempe变换.如果图是$(k-1)$ -退化的，则它的所有$k$ -着色直到Kempe变化都是等价的。然而，从证明中产生的两个$k$着色之间的序列在顶点数上可以是指数的。一个有趣的开放性问题是它是否可以变成多项式。我们证明了这是可能的，在更强的假设下，图的树宽最多$k-1$。也就是说，任何两个$k$ -着色等价于$O(kn^2)$ Kempe变化。我们调查其他限制（列表着色，有界最大平均度，度界）。作为主要结果，我们得到了：给定一个具有最大度$Δ$的$n$ -顶点图，除非$Δ= 3$和某个连通分支是一个3-棱柱，否则$Δ$ -着色直到$O(n^2)$ Kempe变换都是等价的.
2021-12-04 cs.DM math.CO
Switching 3-edge-colorings of cubic graphs
一个三次图的色指数是3或4。边-Kempe转换，它可以用来转换边染色，在这里考虑的3-边染色的三次图。计算结果的边Kempe开关的三次图的顺序高达30和二部三次图的顺序高达36制成表格。给出了具有$2^n$边-Kempe等价类的阶为$4n+2$和$4n+4$的三次图族，证明了不存在具有更多边-Kempe等价类的三次图.另外还得到了一类新的具有一个边Kempe等价类的非平面二部三次图。边Kempe切换进一步连接到Steiner三元系的循环切换，其中建立的分类算法的改进。
2021-05-04 cs.DM math.CO
Examining Kempe equivalence via commutative algebra
Kwansei Gakuin University（关西学院大学）；Toho University（东海大学）
本文通过交换代数方法研究图论中的Kempe等价性，提出利用理想判定两种k-着色是否等价，并通过Gröbner基计算所有k-着色及Hilbert函数确定k-Kempe类数量。
2025-12-05 math.AC math.CO
Counting edge-Kempe-equivalence classes for 3-edge-colored cubic graphs
一个图的两个边着色是{ \em edge-Kempe等价}的，如果一个边着色可以通过一系列的边-Kempe交换从另一个边着色得到.本文给出了三次图的边-Kempe等价类个数的一些结果。特别地，我们证明了每个2-连通平面二部三次图恰好有一个边-Kempe等价类。此外，我们展示了无限多个非平面二部三次图的边Kempe等价类的数量范围。技术的发展，将是有用的分析其他类别的图形以及。
2012-09-08 math.CO
Kempe Equivalent List Edge-Colorings of Planar Graphs
本文研究了具有较大最大度的平面图线图的 $L$-可交换性，证明了在 $Δ(G)\ge 9$ 且为 $(Δ(G)+1)$-分配，或 $Δ(G)\ge 15$ 且为 $Δ(G)$-分配时线图均 $L$-可交换。
2022-09-12 math.CO
Kempe equivalence of almost bipartite graphs
本文研究几乎二部图的Kempe等价性问题，提出相关猜想并证明若干部分结果，同时指出该猜想后被Cranston和Feghali证明在一般情况下不成立。
2023-07-06 cs.DM math.CO
Solution of Vizing's Problem on Interchanges for Graphs with Maximum Degree 4 and Related Results
设$G$是一个具有最大度$4$的1类图，$t\geq 5$是一个整数.我们证明了，任何适当的$t$边染色的$G$可以转换到任何适当的$4$边染色的$G$仅使用转换的$2$着色的子图（所谓的互换）。这解决了最小的以前未解决的情况下，一个众所周知的问题Vizing的立交桥，在1965年提出的。利用我们的结果，我们对两类图的Mohar问题给出了肯定的回答：我们证明了最大度为4的第一类图的所有真$5$-边染色都是Kempe等价的，即可以通过交换相互转化;最大度为5的第二类图的所有真7-边染色都是Kempe等价的.
2014-03-23 math.CO
A renewal approach to prove the Four Color Theorem unplugged, Part II: R/G/B Kempe chains in an extremum non-4-colorable MPG
本文通过 R/G/B Kempe 链和 RGB 铺砌重新审视极值非四色可染极大平面图，提出无需计算机验证四色定理的更新方法，并发现一系列与四色可染性相关的基本定理。
2023-09-17 math.CO
Kempe Chains and Rooted Minors
一个划分的（最小）断面是一个集合，它只包含来自划分的每个成员的一个元素，没有其他元素。一个图的着色是将它的顶点集划分成若干个反顶点，即两两不相邻的顶点集。我们研究以下问题：给定某个图$G$的一个真染色$\mathfrak{C}$的横截$T$，是否存在将$V(G)$的子集划分为连通集的划分$\mathfrak{H}$，使得$T$是$\mathfrak{H}$，并且如果来自$T$的两组$\mathfrak{H}$的对应顶点在$G$中通过路径连接，仅使用两种颜色？第一作者曾建议研究以下问题：对于某个图$G$的$k$阶着色$\mathfrak{C}$的任何横截$T$，使得任何一对色类诱导连通图，是否存在这样一个具有成对相邻集的划分$\mathfrak{H}$（这将证明唯一最优可着色图类的Hadwiger猜想）？这对于小的$k \geq 5$是开放的，本文给出了$k=5$与由$T$导出的子图连通的证明.此外，我们还证明了对于$k\geq 7$，仅仅强制任意两个横截顶点通过一条2-色路连接是不足以使$\mathfrak{H}$存在的。
2022-11-29 math.CO
Grünbaum Colorings of Toroidal Triangulations
证明了若G是环面的三角剖分，且χ（G）\neq 5，则G的边存在3-着色，使得包围每个面的边被赋予3种不同的颜色.
2008-05-04 math.CO
$5$-list-coloring toroidal $6$-regular triangulations in linear time
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Indian Institute of Technology Jodhpur（印度理工学院焦特普尔分校）
本文提出了一种在线性时间内对球面6正则三角剖分进行5-列表着色的算法，并证明此类图不满足3-可选择性。
2026-02-07 math.CO
A note on transformations of edge colorings of chordless graphs and triangle-free graphs
本文指出通过对Bonamy等人（2023）关于无三角形图边着色Kempe变换结论的证明进行微小修改，可将该结论推广到包含无三角形图和无弦图的更大类简单图中。
2024-11-29 math.CO
Efficient total facial coloring of combinatorial maps
University of Puerto Rico（波多黎各大学）
将图的高效全染色概念推广到2-胞腔复形，通过1-骨架的染色诱导出覆盖复形的全胞腔染色，并应用于平面铺砌、环面三角剖分等。
2026-11-10 math.CO
Coloring Graphs with Forbidden Minors
Hadwiger在1943年提出的猜想指出，对于每一个整数$t\ge1$，每一个图都可以是$t$着色的，或者有一个子图可以在$t+1$的顶点上收缩为完全图。正如保罗·西摩在他最近对哈德维格猜想的调查中指出的那样，证明没有$K_7$子图的图是$6$ -可着色的是哈德维格猜想的第一个仍然开放的情况。目前还不知道没有$K_7$子图的图是否是$7$可着色的。利用Kempe-链的论证以及在独立数为2的图中，三个顶点上的诱导路是支配路的事实，我们首先给出了Albar和Gonçalves最近的一个结果的一个非常简短且无需计算机的证明，并将其推广到下一步，证明了每个没有$K_t$子图的图都是$(2t-6)$ -可着色的，其中$t\in\{7,8,9\}$ .证明了不含$K_8^-$子图的图是$9$ -可着色的，不含$K_8^=$子图的图是$8$ -可着色的.最后证明了如果$K_p$子图的极值函数的Mader界为真，则不含$K_p$子图的图对所有$p\ge5$都是$(2t-6)$ -可着色的.这意味着我们的第一个结果。我们相信，我们在本文中开发的肯普链方法是独立的利益。
2016-12-21 math.CO
Kempe equivalence and quadratic toric rings
Kwansei Gakuin University（关西学院大学）；Toho University（东海大学）
本文通过Kempe等价与二次稳定集环的关系，揭示了图的稳定集环二次性的判定条件，并将其与完美可缩图理论联系起来，提出新的组合猜想。
2026-04-08 math.AC math.CO
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
2022-06-15 math.CO
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
2022-06-13 math.CO
Kempe Classes and Almost Bipartite Graphs
本文研究近似二部图的 k-着色 Kempe 等价类，给出保证唯一等价类的新增边数阈值，并构造反例证明其渐近紧、反驳相关猜想。
2024-05-11 math.CO
Total coloring of 1-toroidal graphs of maximum degree at least 11 and no adjacent triangles
图$G$的{ \em全着色}是对$G$的顶点和边的颜色分配，使得每对相邻/关联元素接收不同的颜色。图$G$的{ \em色数}，记为$\chiup''(G)$，是图$G$的全色中的最小颜色数。著名的全染色猜想（TCC）指出，每个具有最大度$Δ$的图都允许至多有$Δ+ 2$色的全染色.一个图是{ \em $1$ -toroidal}，如果它可以画在环面上，使得每条边至多与另一条边相交。本文研究了$1$ -环面图的全染色问题，证明了对于最大度至少为~ $11$且三角形有一定限制的$1$ -环面图，TCC是成立的.因此，如果$G$是一个$1$ -环形图，其最大度$Δ$至少为~ $11$且没有相邻三角形，则$G$允许至多有$Δ+ 2$色的全染色。
2018-11-18 cs.DM math.CO
A simple and fast heuristic algorithm for edge-coloring of graphs
提出了一种简单但经验有效的启发式图边着色算法。它的基本思想是沿着邻顶点的路径置换“冲突”（入射到顶点的边中的重复颜色），相邻顶点的入射边通过交换交替颜色（即进行肯普交换）来重新着色。给出了随机立方图和$Δ$ -正则图上的性能测试结果，并给出了算法的完整实现，以便于使用和结果的重复性。
2012-10-18 cs.DM math.CO
The odd chromatic number of a toroidal graph is at most 9
可平面图是$4$ -可着色的。环形图是可以嵌入到环面上的图。证明了环图是$7$ -可着色的。一个图的正常染色称为\emph{odd}，如果每个非孤立点至少有一个颜色在其邻域中出现奇数次。图$ G $允许奇染色的最小颜色数记为$χ_{o}(G)$。本文证明了：若$G$是环面图，则$χ_{o}\left({G}\right)\le9$ ;注意，$K_7$是环面图，其上界不小于$7$ .
2022-06-12 math.CO
A Note on (3,1)-Choosable Toroidal Graphs
$(L,d)^*$着色是一种映射$ϕ$，它将颜色$ϕ(v)\in L(v)$分配给每个顶点$v\in V(G)$，使得$v$的至多$d$邻居接收颜色$ϕ(v)$ .一个图称为$(m,d)^*$ -可选择的，如果$G$允许对每个列表分配$L$都有$(L,d)^*$ -着色，且对所有$v\in V(G)$都有$|L(v)|\geq m$.本文证明了对于某些$l \in \{5,7\}$，不含邻接三角形且不含6-圈和$l$ -圈的环面图是$(3,1)^*$ -可选的.
2006-09-27 math.CO
Vizing's edge-recoloring conjecture holds
1964年Vizing证明了从图G的任意k-边染色出发，仅用Kempe交换就可以得到G的（$Δ$ + 1）-边染色，其中$Δ$是G的最大度。一年后，他证明了如果存在G的一个边，那么也可以得到G的一个$Δ$ -边染色。Bonamy et. al证明了该猜想对于无三角形图的情形是成立的。在本文中，我们证明了所有图的猜想。
2023-02-24 cs.DM math.CO
Dynamic coloring parameters for graphs with given genus
一个图$G$的正确顶点着色是$r$ -动态的，如果对于每个$v\in V(G)$，至少有$\min\{r,d(v)\}$颜色出现在$N_G(v)$中。在本文中，我们研究$r$ -动态版本的着色，列表着色，可绘性。我们证明了平面图和环形图是3-动态10-可着色的，并且这个界对于环形图是尖锐的。我们还给出了任何$r$所需的最小颜色数的界限在图的亏格方面：对于足够大的$r$，每个图的亏格$g$是$r$ -动态$((r+1)(g+5)+3)$ -可着色时，$g\leq2$和$r$ -动态$((r+1)(2g+2)+3)$ -可着色时，$g\geq3$。此外，$r$ -动态$k$ -可着色性的这些上限中的每一个也适用于$r$ -动态$k$ -可选择性和$r$ -动态$k$ -可着色性.我们开发了一种方法来证明，某些配置是可减少的每个相应的$r$动态参数。
2015-11-12 math.CO
From semi-total to equitable total colorings, and their induced partitions into perfect and total perfect codes
University of Puerto Rico（波多黎各大学）
研究通过改进的Kempe算法获取对称立方图和笼图的公平总着色，探讨总着色猜想的可行性。
2026-11-01 math.CO
Variable degeneracy on toroidal graphs
本文研究环面图与平面图的严格$f$-退化横贯，通过结构分析证明若干禁止构型下图的DP-$4$-可染色性及列表顶点树性度至多2，改进了已有结果。
2025-02-27 cs.DM math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
Some orientation theorems for restricted DP-colorings of graphs
本文推广对应分配概念，借助辅助有向图证明Alon-Tarsi型定理，并得到三个DP染色推论，应用于环面网格的受限情形。
2024-12-07 math.CO
Improper coloring of toroidal graphs
本文研究环面图在缺陷值不全相等条件下的不当染色问题，证明了环面图满足若干新的缺陷染色结果，并将 $(0,0,0,14)$-可染改进为 $(0,0,0,4)$-可染，同时刻画了 $6$-正则环面图及可嵌入 $N_1$ 的图的可染性。
2025-09-19 cs.DM math.CO
Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.本文首先给出了两个图的笛卡儿积的星色数的上界。然后，我们确定的确切值的恒星色指数的$2$维网格。对于任意正整数$d$，我们还得到了路径与圈、$d$维网格、$d$维超立方体和$d$维环形网格的笛卡儿积的星色指数的上界.
2018-11-21 math.CO
Three-edge-coloring (Tait coloring) cubic graphs on the torus: A proof of Grünbaum's conjecture
本文证明可嵌入环面的循环4边连通立方体图除类Petersen图外均可3边着色，刻画了环面snark的点积构造，并推出环面图上的强化版Tutte 4流结论。
2025-05-11 math.CO
Strengthening a theorem of Meyniel
对于整数$k \geq 1$和图$G$，设$\mathcal{K}_k(G)$是一个图，它的顶点集是$G$的所有真$k$ -着色，并且当着色~ $β$可以由$α$通过一次Kempe变换得到时，在两个顶点$α$和~ $β$之间有一条边. Meyniel在1978年提出的一个定理指出，对于每个平面图$G$，$\mathcal{K}_5(G)$与直径$O(5^{|V(G)|})$连通。通过证明存在正常数$c$使得对于每个平面图$G$，$\mathcal{K}_5(G)$具有直径$O(|V(G)|^c)$，我们显著地加强了这一结果。
2022-01-19 cs.DM math.CO
Note on $4$-coloring $6$-regular triangulations on the torus
在1973年，Altshirt的特点是$6$ -定期三角形的环面，正是那些从定期三角形的$r \times s$环形网格，其中顶点在第一和最后一列连接的移位$t$顶点。这样的图表示为$T(r, s, t)$。1999年，Collins和Hutchinson用$T(r, s, t)$-可着色图进行了分类.在本文中，我们指出了他们的分类差距，并显示如何可以固定。结合Yeh和Zhu在2003年对$4$ -可着色图$T(1, s, t)$的分类，完成了环面上所有$6$ -正则三角剖分的可着色性刻画.
2022-10-09 math.CO
Toroidal graphs containing neither $K_5^{-}$ nor 6-cycles are 4-choosable
图$G$的可选性$χ_\ell(G)$是最小$k$，使得在每个顶点处具有可用的$k$颜色保证适当的着色。给定一个环形图$G$，已知有$χ_\ell(G)\leq 7$和$χ_\ell(G)=7$当且仅当$G$包含$K_7$。Cai，Wang和Zhu证明了不含7-圈的环形图$G$是6-可选的，并且$χ_\ell(G)=6$当且仅当$G$包含$K_6$ .证明了不含6-圈的环形图$G$是5-可选的，并推测了$χ_\ell(G)=5$当且仅当$G$包含$K_5$ .我们通过构造一个无限族的非4-可着色的环面图来反驳这个猜想，其中既没有$K_5$，也没有长度至少为6的圈;而且，这个图族是可嵌入除了平面和射影平面之外的任何表面上的。相反，我们证明了以下稍弱的陈述建议朱：环形图既不包含$K^-_5$（一个$K_5$失踪的一个边缘），也不是6-圈是4-choosable。这是尖锐的，因为禁止两个结构中的一个并不能确保图是4-可选的。
2013-07-11 math.CO
A method to optimize antipodal coloring span of graphs and its application
本文提出对径染色最小的充分条件，并应用于确定广义彼得森图GP(n,1)及环形网格T_{r,s}的对径数，同时给出奇数情形下界。
2025-01-08 math.CO
On the 1-switch conjecture in the Hypercube and other graphs
Feder和Subi证明，对于$n$维立方体的边的任何$2$ -着色，我们可以找到由最多改变一次颜色的路径连接的顶点对。我们讨论的情况下，随机着色，我们证明了猜想的广泛的一类着色。我们的方法可以应用到一个更一般的问题，其中$Q_n$可以被任何图形$G$，由一个固定的自同构$ϕ\in Aut(G)$的反足性的概念取代。因此，对于$E(G)$的任何$2$ -着色，我们都在寻找一对顶点$u,v$，使得$u= ϕ(v)$和它们之间有一条尽可能少的颜色变化的路径。我们解决了这个问题的环形网格$G=C_{2a} \square c_{2b}$的自同构，使每个顶点到其唯一的最远对。我们的结果指向一个更一般的猜想，原来是支持以前的定理Feder和Subi。
2015-04-22 math.CO
Toroidal maps : Schnyder woods, orthogonal surfaces and straight-line representations
施奈德木是满足简单局部性质的平面地图边缘的方向和着色。我们提出了一个推广的施奈德伍兹嵌入在环面上的图形与应用程序的图形绘制。我们证明了这个新的对象上的几个属性。其中，我们证明了嵌入在环面上的图允许这样的Schnyder木材当且仅当它是一个本质上3-连通的环面映射。我们证明，这些施奈德树林可以用于将本质上3连通的环形映射的泛覆盖嵌入到无限且周期性的正交曲面上。最后，我们使用这种嵌入，以获得一个直线平坦的环面表示的任何环形地图在一个多项式大小的网格。
2012-07-06 cs.DM math.CO
Variable degeneracy of graphs with restricted structures
Bernshteyn和Lee定义了一个新的概念，弱简并，它比普通简并稍弱。证明了严格$f$ -退化断面是列表染色、$L$ -森林染色和DP-染色的共同推广.在本文中，我们考虑三类图，包括图2中没有任何配置的可平面图，图5中没有任何配置的环形图，以及没有相交$5$ -圈的可平面图。我们给出了每类图的结构结果，证明了每类图的结构对于弱$3$ -退化是可约的，并且证明了严格$f$ -退化断面的存在性。作为推论，这三类图都是弱$3$ -退化的，并且具有严格的$f$ -退化断面.则这三类图的DP-paint数最多为4，列表点荫度最多为2。这大大改进了[2-4，11-13，16-18，22，25，32，34]中的所有结果。此外，第一类和第三类图的Alon-Tarsi数最多为4。
2022-07-02 math.CO
Minimal counterexamples and discharging method
近年来，笔者发现一些文献在运用极小反例和放电法时，存在一个常见的错误。本文首先讨论了错误的产生原因，并给出了一种纠正错误的方法。作为例证，我们考虑平面图或环形图的全色数，证明了：如果$G$是最大度至多为$κ- 1$的平面图或环形图，其中$κ\geq 11$，则色数至多为$κ$ .
2014-03-03 cs.DM math.CO
Albertson's Conjecture for Chromatic Numbers at Most 29
Wuchang Shouyi College（武昌首义学院）
本文在Cranston研究基础上，通过Kempe链构造等方法，证明了Albertson猜想在r=27、28、29时成立，填补了相关剩余情况的研究空白。
2026-09-07 math.CO
Generalized Heawood Graphs and Triangulations of Tori
本文基于排列多面体平铺引入了由正整数序列索引的广义Heawood图，证明其为与高维三角剖分环面对偶的环面图，并给出了$f$-向量的显式公式及自同构群。
2023-08-02 math.CO
