Four-coloring Eulerian triangulations of the torus
本文证明了环面上表示度至少为10的欧拉三角剖分必为4-可着色，并指出该界不能降至8以下，因存在表示度为7的非4-可着色例子。
2024-09-27 math.CO
Extending triangulations of the 2-sphere to the 3-disk preserving a 4-coloring
本文证明了顶点严格4-染色的二维球面的任意三角剖分都可以看作是顶点相同且保持4-染色的三维圆盘的三角剖分的边界。
2011-02-03 math.CO math.GT
Sperner's colorings of hypergraphs arising from edgewise triangulations
本文研究逐边三角剖分超图的 Sperner 着色，通过图 $G_π$、正 $k$ 边形剖分及二面体群作用刻画结构，并构造出比贪心着色产生更多单色超边且对某些排列最优的着色。
2025-06-08 math.CO
The Last Temptation of William T. Tutte
1999年，在他最后一次公开演讲中，图特讨论了一个他自四色猜想时代以来一直在考虑的问题。他问是否4着色复杂的平面三角可以有两个组成部分，其中所有着色有相同的奇偶性。在这份说明中，我们回答Tutte的问题，相反，他的猜测表明，有三角形的平面，其着色复合物有任意多的偶数和奇数组件。最后，我们得到了一个密切相关的猜想，这是基于一个广泛的计算，并声称，对于每一个平面三角形的4-着色复合体是不连通的有一个组成部分的偶宇称和一个奇宇称。
2019-12-16 math.CO
Reconfiguration of colorings in triangulations of the sphere
1973年，Fisk证明了$2$ -球面的$3$ -可着色三角剖分的任何$4$ -着色都可以通过一系列Kempe-变换从任何$3$ -着色得到。另一方面，在每一步中只允许对单个顶点重新着色的情况下，这是肯普变换的特殊情况，存在不能从任何$3$ -着色获得的$4$ -着色。本文给出了$2$ -球面的$3$ -可着色三角剖分的$4$ -着色的一个特征，它可以由$3$ -着色通过一系列单顶点的邻接操作得到，并给出了$2$ -球面的$3$ -可着色三角剖分的一个判据，即所有的$4$ -着色都可以由这样一个序列的$3$ -着色得到.此外，我们的第一个结果可以推广到高维情形，其中对于$k \geq 4$，上面的“$4$ -着色”、“$3$ -可着色”和"$2$ -球“分别替换为" $k$ -着色”、"$(k-1)$ -可着色“和" $(k-2)$ -球”。此外，我们表明，问题的决定，对于给定的两个$(k+1)$着色，一个可以从其他这样的序列是PSPACE完全的任何固定的$k \geq 4$。上述结果可以作为组合重构领域的基本问题{ \sc $k$ -Recoloring}和{ \sc连通性的$k$ -着色重构图}的新结果。
2022-10-31 cs.CG cs.DS math.CO
Monochromatic subgraphs in iterated triangulations
对于整数$n\ge 0$，迭代三角剖分$Tr(n)$递归定义如下：$Tr(0)$是三个顶点上的平面三角剖分，对于$n\ge 1$，$Tr(n)$是从平面三角剖分$Tr(n-1)$获得的平面三角剖分，对于$Tr(n-1)$的每个内面$F$，在$F$内添加新顶点和将该新顶点连接到与$F$关联的三个顶点的三条边。本文证明了$Tr(n)$存在2-边着色，使得对于任何$k\ge 5$，$Tr(n)$都不包含循环$C_k$的单色拷贝.因此，对Axenovich、Schade、Schaassen和Ueckerdt提出的两个问题之一的回答是否定的。我们还确定了半径为2的图$H$，对于该图存在$n$，使得$Tr(n)$的每一个2-边染色都包含$H$的一个单色拷贝，推广了上述作者关于半径为2的树的一个结果.
2019-11-30 math.CO
Torus knots as loop-edges in three-sphere triangulations
The University of Sydney（悉尼大学）
提出一种从互素整数对构造三维球面单顶点三角剖分的方法，使对应环面纽结成为一条边，其大小在最坏情况下线性，可小至交叉数的对数，可作为交叉数的替代组织原则。
2026-09-15 math.CO math.GT
Three-color graph as the 1-skeleton of the 2-sphere triangulation
本文研究了2-球面三角剖分的1-骨架的边的三种颜色着色问题，使得每个面的三条边都有不同的颜色。首先，通过在三角形内或三角形边上增加一个顶点的方法，列举出顶点数不超过8个的三角形剖分。其次，找到了一个顶点数为6和7的三角剖分，每个顶点有两种不同的颜色，最后，证明了其他顶点数小于小于8的三角剖分，每个三角剖分都有一种颜色。
2022-09-13 math.CO math.GT
There is no triangulation of the torus with vertex degrees 5, 6, ..., 6, 7 and related results: Geometric proofs for combinatorial theorems
环面不存在5，7-三角剖分，也就是说，不存在恰好有两个例外顶点（5度和7度）的三角剖分。同样，也没有3，5-四边形。环面的2，4-六角化的顶点不能是双色的。类似的陈述适用于4，8-三角剖分和2，6-四边形剖分。我们证明了这些结果，其中前两个是已知的和其他似乎是新的，作为定理的推论的和乐群的欧氏锥度量的环面上只有两个锥点。我们提供了这个定理的两个证明：一个论点是度量的性质，其他依赖于诱导共形结构和收益调用留数定理。类似的方法可以用来证明一个定理的衣服上的无限三角剖分的平面正好有两个不规则的顶点。环面分解的不存在性结果提供了不能嵌入环面的无限族图。
2012-08-29 math.CO math.GT
Irreducible triangulations of the once-punctured torus
对于具有固定拓扑型的曲面，若没有边可以收缩到顶点，而又保持曲面的拓扑和单纯复形范畴，则称该曲面的三角剖分是不可约的。一个完整的不可约三角形的组合结构的列表是手工制作的一次穿孔环面，由297个非同构三角形。
2021-03-05 math.CO math.GR math.GT
$SL_2(\mathbb{Z})$-tilings of the torus, Coxeter-Conway friezes and Farey triangulations
$SL_2$镶嵌的概念是对经典Coxeter-Conway中楣图案概念的推广。我们对包含正整数矩形域的双反周期$SL_2$ -镶嵌进行分类。每个这样的$SL_2$ -镶嵌对应于一对镶边图案和一个具有正整数系数的幺模$2\times2$ -矩阵。我们将这个概念与Farey图中的三角化$n$ -图联系起来。
2014-04-16 math.CO math.NT
Quandle Coloring Quivers of general Torus links by dihedral quandles
本研究通过先穷尽着色数再分析着色间关联的方法，完整刻画了一般环面链环的二面体广群着色广群图，明确了其含完全子图且结构随着色数变化的特性。
2024-03-07 math.CO math.GT math.QA
Coloring count cones of planar graphs
对于外表面由循环$C$界定的平面近三角剖分$G$，令$n^\star_G$表示这样的函数，该函数为$C$的每个$4$着色$ψ$分配$ψ$扩展到$G$的$4$着色的方式的数目。块计数归约论证（它是在四色定理的尝试证明中发展起来的）等价于这样的陈述：函数$n^\star_G$属于从$C$到实数的$4$ -着色的所有函数的空间中的某个锥。我们研究了$|C|=5$的这个锥的性质，提出了一个加强四色定理的猜想，并给出了支持这个猜想的证据。
2021-10-25 math.CO
Scaling limits for random triangulations on the torus
研究了环面上本质简单三角剖分的尺度极限。我们认为，对于每一个$n\geq 1$，一个均匀随机三角剖分$G_n$上的一组（适当的根）本质上是简单的三角剖分的环面上的$n$顶点。我们认为$G_n$作为一个度量空间，通过赋予它的一组顶点的图的距离表示为$d_{G_n}$和显示的随机度量空间$(V(G_n),n^{-1/4}d_{G_n})$在Gromov-Hausdorff意义下的分布收敛时，$n$走向无穷大，至少沿连续性，朝着一个随机度量空间。论证中的关键步骤之一是在映射上构造一个简单的标号，并证明它收敛到一个显式的标度极限。此外，我们还表明，这种标记近似于到根的距离，直到阶数$o(n^{1/4})$的统一校正。
2019-05-06 cs.DM math.CO math.PR
Maximal Green Sequences for Cluster Algebras Associated to the n-Torus
给定一个标记曲面（S，M），我们可以将弧添加到曲面上，以创建该曲面的三角剖分T。对于每个三角剖分T，我们可以关联一个簇代数。在本文中，我们将考虑亏格n的环面有两个内部标记点（称为穿孔）。我们将构建一个特定的三角剖分，这产生一个特定的曲面。然后在Keller工作的意义下，我们将为这个矩阵产生一个最大的绿色序列。
2014-12-11 math.CO math.QA
Three-edge-coloring (Tait coloring) cubic graphs on the torus: A proof of Grünbaum's conjecture
本文证明可嵌入环面的循环4边连通立方体图除类Petersen图外均可3边着色，刻画了环面snark的点积构造，并推出环面图上的强化版Tutte 4流结论。
2025-05-11 math.CO
Torpid Mixing of Local Markov Chains on 3-Colorings of the Discrete Torus
本文研究离散环面$T_{L,d}={0,..., L-1}^d$的3-着色抽样的局部马尔可夫链。证明了存在一个常数$ρ\approx .22$，使得对于所有足够大的偶数$L \geq 4$和$d$，某些局部马尔可夫链需要指数时间才能收敛到平衡点.更准确地说，如果$\cM$是$T_{L,d}$的真3-着色集上的马尔可夫链，在每一步更新至多$ρL^d$顶点的颜色，并且其平稳分布是均匀的，则$\cM$在$L^{d-1}$中收敛到平稳性是指数的。我们的证明是基于电导参数，建立在敏感的新组合枚举技术。
2012-06-14 cs.DM math.CO
Generalized Heawood Graphs and Triangulations of Tori
本文基于排列多面体平铺引入了由正整数序列索引的广义Heawood图，证明其为与高维三角剖分环面对偶的环面图，并给出了$f$-向量的显式公式及自同构群。
2023-08-02 math.CO
Coloring Planar Graphs via Colored Paths in the Associahedra
1931年的哈斯勒·惠特尼定理将寻找2-球面三角剖分的正确顶点4-着色的任务减少到寻找具有哈密顿回路的2-球面三角剖分的类\(\mathfrak H\)的这种着色。惠特尼和其他人从1936年到现在一直使用这一方法来寻找四色定理（4CT）的等价重新表述。最近有一些活动试图使用这些reformuations找到一个更短的证明4CT。\(\mathfrak H\)中的每个三角剖分都有一个对偶图，它是两个叶子数相同的二叉树的并集。一个被称为汤普森群\(F\)的群的元素是具有相同叶数的二叉树对的等价类。本文探讨了这种相似性，并发现，最近的一些重新制定的4CT本质上是试图颜色元素的\(\mathfrak H\)使用表达式的元素\(F\)作为单词在一定的生成集\(F\)。由此，我们不仅可以获得有关\(\mathfrak H\)某些元素的可着色性的信息，还可以获得有关对这些元素着色的所有可能方法的信息。正因为如此，我们提出（并回答一些）关于枚举的问题。我们还引入了组\(F\)的扩展\(E\)，并询问某些元素是否“参数化”了使用所有四种颜色的\(\mathfrak H\)的元素的所有着色的集合。
2013-05-12 math.CO math.GR
Difference of facial achromatic numbers between two triangular embeddings of a graph
本文研究曲面三角剖分的面3-无彩色数在不同三角嵌入下的差异，并证明该差异以曲面亏格为参数的上界。
2021-04-04 math.CO
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
New York University（纽约大学）
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色，即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色，且边色异于端点色，证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理，并给出 Lean 4 形式化。
2026-10-02 math.CO
Continued Fractions and the 4-Color Theorem
本文通过连分数的几何解释，研究了具有特定度序列的球面三角剖分的四色着色问题，并提出一个猜想性的等周不等式。
2026-01-09 math.CO math.NT
Rigidity of 3-colorings of the discrete torus
证明了当$d$维数足够高时，$d$维离散环面的一致选择的适当$3$ -染色具有非常刚性的结构.我们表明，以高概率的着色几乎所有的偶数或奇数子环面上只需要一种颜色。特别是，一种颜色出现在近一半的环面网站。该模型是统计物理学中$3$态反铁磁Potts模型的零温度情形。我们的工作扩展了先前获得的结果与特定的边界条件的离散环面。在这个扩展的主要挑战是克服某些拓扑障碍时出现的模型上没有施加边界条件。局部地，适当的$3$ -着色定义了整数值高度函数的离散梯度，其在相邻位点之间恰好改变1。然而，这些局部定义的函数并不总是在整个环面上产生高度函数，因为当围绕环面缠绕时，梯度可能累积到非零量。我们的主要结果是，在高维，一个全球高度函数是很好地定义了高概率，允许推导出刚性结构的着色从以前已知的结果。此外，梯度累积到矢量$m$（对应于在每个$d$方向上的绕组）的概率在$\|m\|_\infty$和环面的横截面面积的乘积中至多是指数小的。在证明的过程中，我们开发离散类似物的概念，从代数拓扑。这一理论是在某种普遍性上发展起来的，可以用于其他模型的研究。
2017-03-09 math-ph math.CO math.MP
Odd list-coloring of graphs of small Euler genus with no short cycles of specific types
本文研究了图的奇列表着色问题，证明了在无特定短圈的环面和克莱因瓶可嵌入图上存在使用5种颜色的最优奇列表着色方案。
2025-10-13 math.CO
Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
2022-06-14 math.AG math.AT math.CO
Coloring near-quadrangulations of the cylinder and the torus
设G是一个简单连通平面图，C_1和C_2是G中分别包围面f_1和f_2的圈.对于一个正整数l，令r（l）表示整数n的个数，使得-l<=n<=l，n可被3整除，且n与l具有相同的奇偶性;特别地，r（4）=1。设r_{f_1,f_2}（G）是r（|f|）在G的所有不同于f_1和f_2的面f上的乘积，q（G）=1+ sum_{f:|f|\neq 4} |f|，其中和是在G的所有面f上的.本文给出了一个时间复杂度为O（r_{f_1,f_2}（G）q（G）|G|）的算法，该算法在给定C_1和C_2的3-着色psi的情况下，要么找到psi到G的3-着色的扩张，要么正确地判定不存在这样的扩张.该算法是基于整数2-商品流的一个变种的最小-最大定理，因此在负的情况下产生的存在的扩展的障碍。作为推论，我们证明了在环面上边宽不小于21的无三角形图是3-可着色的。
2019-09-26 cs.DM math.CO
Thoroughly Distributed Colorings
我们考虑（不一定是正确的）着色的顶点的图，每一个颜色是完全分布的，也就是说，出现在每个开放的邻域。等价地，每个颜色都是一个全控制集。我们将$\td(G)$定义为这种着色中的最大颜色数，而将$\FTD(G)$定义为其分数版本。特别地，我们证明了每个最小度至少为~ $2$的无爪图都有~ $\FTD(G)\ge 3/2$，并且这是最好的可能。对于可平面图，我们证明了每个三角形圆盘都有$\FTD(G) \ge 3/2$，这是最好的可能，每个平面图都有$\td(G) \le 4$，这是最好的可能，而我们猜想每个平面三角剖分有$\td(G)\ge 2$。此外，虽然有任意大的例子，连接，三次图与$\td(G)=1$，我们表明，对于一个连接的三次图$\FTD(G) \ge 2-o(1)$，并推测，它总是至少~ $2$。我们还考虑了超图中的相关概念。
2016-09-30 math.CO
On the cyclic coloring conjecture
平面图$G$的循环着色是指平面图的顶点的着色，使得与同一面关联的顶点具有不同的颜色。平面图$G$的循环染色的最小颜色数是它的循环色数$χ_c(G)$。设$Δ^*(G)$是图$G$的最大面度。证明了Borodin在1984年提出的循环着色猜想，即每个连通平面图$G$都有$χ_c(G) \leq \lfloor \frac{3}{2}Δ^*(G)\rfloor$，对于简单$3$ -连通平面图的剖分，证明了这一猜想.我们已经发现了四个新的不同的上界$χ_c(G)$的图$G$从这个限制家庭，其中三个界限是紧的。作为推论，我们证明了该猜想对平面三角剖分、简单$3$ -连通平面四边形剖分和具有偶数最大面度的简单$3$ -连通平面五角剖分成立，对最大度至少为10的简单$3$ -连通平面图的正则剖分成立，对于简单$3$ -连通平面图的最大面度与其最长路的顶点数相比足够大的图的剖分，本文给出了一个新的证明.
2020-09-22 math.CO
H-coloring tori
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持邻接的函数。$H$ -着色编码图论概念，如独立集和适当的着色，并且是统计物理学中硬约束模型研究的自然环境。本文研究了偶离散环面${\mathbb Z}^d_m$的$H$ -染色集，即顶点集${0, ..., m-1}^d$（$m$偶）上的图，如果两个相邻的字符串在一个坐标上相差1（mod $m$），而在其他坐标上都一致.这是一个二分图，具有二分类${\mathcal E}$和${\mathcal O}$。在$m=2$的情况下，偶数离散环面是离散超立方体或汉明立方体$Q_d$，${0,1}^d$上通常的最近邻图。对任何$H$和固定的$m$，我们得到了${\mathbb Z}^d_m$的$H$ -着色空间的结构特征.我们表明，它可以被划分成一个特殊的子集可以忽略不计的大小（$d$增长）和集合的子集索引的某些对$(A,B) \in V(H)^2$，每个$H$着色的子集索引的$(A,B)$有所有，但一个消失的比例的顶点从${\mathcal E}$映射到顶点从$A$，和所有，但一个消失的比例的顶点从${\mathcal O}$映射到顶点从$B$。这意味着对于$m$固定和$d$增长的${\mathbb Z}^d_m$的均匀选择的$H$着色的长程相关现象。我们的证明是通过分析一致选择的$H$ -染色的熵来进行的，并…
2012-06-14 math.CO
On the interval coloring impropriety of graphs
本文研究了图的区间着色不当性，为完全多部图子类提供了区间着色构造以支持相关猜想，并改进了2-树、迭代三角剖分图和外可平面图的上界，同时探讨了冠积图的着色不当性。
2024-05-30 math.CO
Sperner type lemma for quadrangulations
Sperner引理指出，单形的三角剖分的每一个Sperner着色都包含一个完全着色的单形。我们提出了一个推广的引理，而不是三角被认为是四边形。
2014-06-28 math.CO math.MG
B-coloring of grid graphs
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）
本文确定了矩形、圆柱形、环形等网格图的B-着色最少颜色数，高维情形下也得到了相关精确结果与界。
2026-08-25 math.CO
Vertex spanning planar Laman graphs in triangulated surfaces
证明了环面、射影平面和克莱因瓶的每个三角剖分都包含一个顶点生成的平面拉曼图作为子复形。推广了Kir{á}ly的结果，得到了非负欧拉示性数曲面的三角剖分的每个$1$ -骨架在平面上至多有26个顶点的刚性实现.
2022-05-01 math.CO
Characterization of Word-Representable Near-Triangulations
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文通过禁止诱导子图完整刻画了可字表示的近三角剖分图，统一并扩展了先前子类的刻画结果。
2026-05-25 cs.DM math.CO
The extremal number of surfaces
1973年，Brown，Erdés和Sós证明了：如果$\mathcal{H}$是一个在$n$顶点上的3-一致超图，且不包含球面的三角剖分，则$\mathcal{H}$至多有$O(n^{5/2})$边，并且这个界是一个常数因子下的最佳可能界。解决一个猜想的Linial，也重申Keevash，长，Narayanan，和斯科特，我们表明，同样的结果适用于三角形的环面。进一步地，我们将所得结果推广到所有闭可定向曲面$\mathcal{S}$ .
2020-10-14 math.CO
On interval edge-colorings of outerplanar graphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于一个区间可着色图$G$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值记为$w(G)$ .一个图$G$是外平面的，如果它可以嵌入到平面中，使得它的所有顶点都位于同一个（无界的）面上。本文证明了如果$G$是2-连通外平面图，且具有$Δ(G)=3$，则$G$是区间可着色的，并且\begin{center} $w(G)=\left\{\begin{tabular}{ll} 3, & if $| V(G)|$ is even, \ 4, & if $| V(G)|$ is odd. \end{tabular}% \right.$ \end{center}也是区间可着色的。
2013-03-05 cs.DM math.CO
Contractible Hamiltonian Cycles in Triangulated Surfaces
曲面的三角剖分称为$q$ -等价三角剖分，如果曲面的每个顶点都与$q$三角形精确关联。在1972年Altshirt已经表明，等值三角形的环面有一个哈密尔顿电路。本文给出了曲面等距三角剖分中存在可缩哈密顿圈的充要条件。
2010-03-27 cs.CG math.CO math.GT
Minimal Simplicial Degree $d$ Maps from Genus $g$ Surfaces to the Torus
本文研究了从亏格 g 曲面到环面的最小 simplicial 度数 d 映射，针对不同亏格情况提出了极小构造及开放问题。
2026-01-06 math.CO math.GT
Polyhedral tori with minimal coordinates
我们给出了明确的实现与小整数坐标的所有三角形环面与多达12个顶点。特别是，我们提供了坐标最小的实现在一般位置的所有三角形的环面与7，8，9和10个顶点。对于唯一的7顶点三角形的环面，我们证明了所有相应的72个定向拟阵是可实现的6 × 6 × 6立方体。此外，我们还给出了2x2 x2-立方体中8个顶点的多面体环面，2x2 x3-立方体中8个顶点的三角化环面以及1x 2x2-立方体中9个和10个顶点的多面体环面的一般位置实现。
2007-09-18 math.CO math.MG
Completions of epsilon-dense partial Latin squares; quasirandom k-colorings of graphs
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方$P$，什么时候我们可以将$P$完全化为一个拉丁方$L$？本文研究了\textbf{$ε$-dense partial Latin squares}类：\ partial拉丁方，其中每个符号、行和列包含不超过$εn$ -许多非空单元格.基于Nash-Williams的一个猜想，Daykin和Häggkvist证明了所有$\frac{1}{4}$稠密的部分拉丁方都是可补的。在本文中，我们将讨论的证明方法和结果在以前的尝试来解决这个猜想，介绍了一种新的技术，来自Jacobson和Matthews的论文产生随机拉丁方，并使用这种新的技术来研究$ ε$ -密集的部分拉丁方，包含不超过$δn^2$填充细胞总数。特别地，我们构造了所有$ ε$ -稠密部分拉丁方的完备化，它们总共包含不超过$δn^2$填充的单元格，给定$ε< \frac{1}{12}, δ< \frac{ \left(1-12ε\right)^{2}}{10409}$ .特别是，我们证明了所有$9.8 \cdot 10^{-5}$稠密的部分拉丁方是可完成的。我们进一步表明，这样的完成总是可以在多项式时间内找到。这与科尔伯恩的结果形成对比。在第三章中，我们加强了Colbourn的结果，证明了对任意$ε> 0$，完备任意$\left(\frac{1}{2} + ε\right)$ -稠密…
2013-06-03 math.CO
A new Kempe invariant and the (non)-ergodicity of the Wang-Swendsen-Kotecky algorithm
我们证明了对于闭定向曲面的三色三角剖分类，四色模12的度在Kempe变换下是不变的。利用这个一般性结果证明了：对于环面的所有三角剖分T（3L，3 M），当3<= L <= M时，至少存在两个Kempe等价类.这个结果特别意味着零温四态Potts反铁磁体在环面三角剖分T（3L，3 M）上的Wang-Swendsen-Kotecky算法不是遍历的。
2009-05-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Winding number and circular coloring
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息与随机研究所）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Hainan Bielefeld University of Applied Sciences（海南比勒费尔德应用科技大学）
本文利用绕数概念将圆色数间隙结果推广到具有定向偶环的图，统一并简化了曲面嵌入图（所有面为偶数长）的证明，并建立了所有面为奇数长时的类似间隙。
2026-06-25 math.CO
Total coloring of 1-toroidal graphs of maximum degree at least 11 and no adjacent triangles
图$G$的{ \em全着色}是对$G$的顶点和边的颜色分配，使得每对相邻/关联元素接收不同的颜色。图$G$的{ \em色数}，记为$\chiup''(G)$，是图$G$的全色中的最小颜色数。著名的全染色猜想（TCC）指出，每个具有最大度$Δ$的图都允许至多有$Δ+ 2$色的全染色.一个图是{ \em $1$ -toroidal}，如果它可以画在环面上，使得每条边至多与另一条边相交。本文研究了$1$ -环面图的全染色问题，证明了对于最大度至少为~ $11$且三角形有一定限制的$1$ -环面图，TCC是成立的.因此，如果$G$是一个$1$ -环形图，其最大度$Δ$至少为~ $11$且没有相邻三角形，则$G$允许至多有$Δ+ 2$色的全染色。
2018-11-18 cs.DM math.CO
Canonical ordering for graphs on the cylinder, with applications to periodic straight-line drawings on the flat cylinder and torus
我们扩展的概念规范订购（最初开发的平面三角和3-连通平面地图）圆柱形（基本上是简单的）三角形，更一般的圆柱形（基本上是内部）$3$连接的地图。这使我们能够扩展的增量直线绘制算法de Fraysseix，Pach和Pollack（在三角形的情况下）和康德（在$3$连接的情况下），以这种设置。精确地说，对于任何具有$n$顶点的圆柱形本质内$3$ -连通映射$G$，我们可以在线性时间内得到$G$在规则网格$\mathbb{Z}/w\mathbb{Z}\times[0..h]$上的周期（在$x$中）直线图，它是无交叉的和内（弱）凸的，具有$w\leq 2n$和$h\leq n(2d+1)$，其中$d$是两个边界之间的面距离。这也产生了一个有效的周期性绘制算法的图上的环面。确切地说，对于环面上的任何基本上$3$连接的映射$G$（即，$3$ -在周期表示中连接）与$n$顶点，我们可以在线性时间内计算$G$的周期性直线绘图，该绘图是无交叉和（弱）凸的，在周期性规则网格$\mathbb{Z}/w\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$上，具有$w\leq 2n$和$h\leq 1+2n(c+1)$，其中$c$是$G$的面宽度。自$c\leq\sqrt{2n}$起，网格区域为$O(n^{5/2})$。
2017-11-21 cs.DM math.CO
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
2022-06-15 math.CO
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
2022-06-13 math.CO
The odd chromatic number of a toroidal graph is at most 9
可平面图是$4$ -可着色的。环形图是可以嵌入到环面上的图。证明了环图是$7$ -可着色的。一个图的正常染色称为\emph{odd}，如果每个非孤立点至少有一个颜色在其邻域中出现奇数次。图$ G $允许奇染色的最小颜色数记为$χ_{o}(G)$。本文证明了：若$G$是环面图，则$χ_{o}\left({G}\right)\le9$ ;注意，$K_7$是环面图，其上界不小于$7$ .
2022-06-12 math.CO
All face 2-colorable d-angulations are Grünbaum colorable
曲面的$d$ -角化是3连通图在该曲面上的嵌入，该曲面将其划分为$d$ -角化面。如果一个$d$ -角化的边可以被$d$ -着色，使得每个面都使用所有的$d$颜色，则称该角化是Grünbaum可着色的。到目前为止，Grünbaum着色的概念仅与三角测量（$d = 3$）相关，但在本说明中，该概念被推广到任意面部大小$d \geqslant 3$。证明了$d$ -角化$P$的面2-可染性蕴涵了$P$的Grünbaum可染性.一些大类的三角剖分已被证明是面2可着色的。
2015-01-06 math.CO math.HO
Modular flip-graphs of one holed surfaces
我们研究拓扑曲面上的三角剖分翻转图，其中距离是通过计算两个三角剖分之间所需翻转操作的数量来度量的。我们专注于表面的正亏格$g$与一个单一的边界曲线和$n$标记点在这条曲线上，我们认为三角同胚的标记点作为其顶点。我们的主要结果是上和下界的最大距离取决于$n$的三角划分，可以被认为是边界上的直径翻转图的商的基础同胚群。主要结果断言，这些商图的直径增长至少像$5n/2$的所有$g\geq 1$。对于$g\geq 2$，我们的上界最多像$[4 -1/(4g)]n$那样增长，对于环面，最多像$23n/8 $那样增长。
2015-10-26 math.CO math.GT
Geometric realization of toroidal quadrangulations without hidden symmetries
它表明，每个四边形的2-环面的两个周期的笛卡儿积可以几何实现在（欧几里德）4-空间没有隐藏的对称性-也就是说，使每个组合细胞自同构的四边形扩展到一个几何对称的欧几里德实现。这样的实现结果是新的正则环面几何2-多面体，它们内接于4-空间中的Clifford 2-环面，正如5个正则球面2-多面体内接于3-空间中的2-球面。以下是两个公开问题：在四维空间中几何地实现（1）无隐对称的2-环面的正则三角剖分和（2）正则六角化。
2013-07-03 math.CO math.MG
Toroidal maps : Schnyder woods, orthogonal surfaces and straight-line representations
施奈德木是满足简单局部性质的平面地图边缘的方向和着色。我们提出了一个推广的施奈德伍兹嵌入在环面上的图形与应用程序的图形绘制。我们证明了这个新的对象上的几个属性。其中，我们证明了嵌入在环面上的图允许这样的Schnyder木材当且仅当它是一个本质上3-连通的环面映射。我们证明，这些施奈德树林可以用于将本质上3连通的环形映射的泛覆盖嵌入到无限且周期性的正交曲面上。最后，我们使用这种嵌入，以获得一个直线平坦的环面表示的任何环形地图在一个多项式大小的网格。
2012-07-06 cs.DM math.CO
A note on the vertex arboricity of signed graphs
符号图$(G,σ)$的符号树着色是顶点着色$c$使得$G^{c}(i,\pm)$是每个$i\in c(u)$和$u\in V(G)$的森林，其中$G^{c}(i,\pm)$是$(G,σ)$的子图，其顶点集是被$i$或$-i$着色的顶点集，边集是具有两个端点都被$i$或都被$-i$着色的正边集，以及一个端顶点由$i$着色而另一个由$-i$着色的负边集。如果$c$是从$V(G)$到$M_n$的函数，其中如果$n=2k$，则$M_n$是$\{\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$，如果$n=2k+1$，则$\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$，则$c$是$(G,σ)$的带符号树- $n$ -着色。使得$(G,σ)$允许符号树- $n$ -着色的最小整数$n$是$(G,σ)$的符号顶点荫度，记为$va(G,σ)$。本文首先证明了两个交换等价的符号图具有相同的符号顶点荫度，然后证明了对每个平衡符号三角剖分和对每个具有平衡符号的边极大$K_5$ -minor自由图，都有$va(G,σ)\leq 3$.这推广了平面图的顶点荫度至多为3的著名结果。
2017-08-10 cs.DM math.CO
Old and new geometric polyhedra with few vertices
本文研究了2-环面的三角剖分问题，其顶点标记为与完全四部图$K_{2,2,2,2}$同构的一般八面体图$O_4$，已知存在12个这样的三角剖分.我们在超八面体的施莱格尔图中找到了所有的12个三角剖分，并在3-空间中用相同的1-骨架几何地实现了所有的三角剖分。特别是，我们确定了两个几何多面体环面（都没有自交）在3空间中具有相同的1-骨架，但没有一个共同的面，或者换句话说，它们的交集（作为点集）只是它们共同的1-骨架。同样地，二维射影平面的所有12个三角剖分，其顶点标记为完全图$K_6$，都可以在5-单形的Schlegel图中找到，并且都是在4-空间中用相同的1-骨架几何实现的;特别地，我们得到了默比乌斯带的一对三角剖分和一对具有相同1-骨架的三角化射影平面（在每对内）分别在3-空间和4-空间中，没有单个公共面。构建的多面体建模和可视化与GeoGebra。
2022-01-06 math.CO math.GT math.MG
Clock theorems for triangulated surfaces
我们调查三角剖分的二维球和环面的脸适当着色的白色和黑色。我们专注于白色三角形和事件顶点之间的匹配。在环面上，我们的对象是完美的配对，而在球面上，这只有在去掉一个三角形及其顶点后才是真的。在后一种情况下，这种匹配（首先研究的Tutte）扩展的概念，国家在考夫曼的正式纽结理论，我们表明，他的时钟定理，在其形式由于吉尔默和Litherland，也延伸：一组匹配自然形成一个分配格。在这里，状态转置的作用是由一个简单的关于黑三角形的局部运算来实现的。相比之下，在环面上，类似的状态转移图通常是不连通的：它的一些组件仍然形成具有全局最大值和最小值的分配格，而其他组件包含有向循环并且没有局部极值。
2018-08-18 math.CO math.GT
