Toughness and the existence of tree-connected $\{f,f+k\}$-factors
设$G$是一个图，$f$是$V(G)$上满足$2m\le f\le b$的正整数值函数，其中$b$和$m$是两个正整数，且满足$b\ge 4m^2$ .在本文中，我们表明，如果$G$是$b^2$ -tough和$|V(G)|\ge b^2$，那么它有一个$m$ -树连通因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$$d_H(v)\in \{f(v), f(v)+1\}.$$接下来，我们推广了这个结果，给出了一个强硬的图有一个树连通因子$H$，使得对于每个顶点$v$，$d_H(v)\in \{f(v), f(v)+k\}$。作为应用，我们证明了每一个阶至少为$b+1$且具有$ab|V(G)|$的$64b(b-a)^2$ -坚韧图$G$甚至允许一个度在$\{a,b\}$集合中的连通因子，其中$a$和$b$是两个具有$2\le a< b < \frac{6}{5}a$的整数.此外，我们证明了每一个$16$ -坚韧图$G$的顺序至少为3承认$2$ -连接的因素，其程度在于在集合$\{2,3\}$，如果$G$有一个$2$ -因素的围长至少为5。这个结果证实了Chvátal（1973）提出的一个长期猜想的一个较弱版本。
2022-05-22 math.CO
Connectivity, toughness, spanning trees of bounded degree, and the spectrum of regular graphs
本文给出了正则图的谱与其广义连通度、坚韧度以及有界度支撑树的存在性之间的关系的一些新结果。
2016-02-18 cs.DM math.CO
Disconnected Forbidden Subgraphs, Toughness and Hamilton Cycles
1974年，Goodman和Hedetniemi证明了任何2-连通无$(K_{1,3},K_{1,3}+e)$图都是Hamilton图。这一结果在附加连通性条件下给出了各种禁止连通子图对和禁止连通子图三重图的其他哈密尔顿性条件。1997年证明了2-连通图中的单个禁止连通子图$R$只能生成一类平凡的具有$R=P_3$的哈密顿图（完全图）。本文证明了：如果$R$是不连通的，则一个禁止子图$R$可以生成一个非平凡的哈密顿图类：$(\ast1)$：每个无$(K_1\cup P_2)$的图都是Hamilton图或属于一个定义良好的非哈密顿图类; $(\ast2)$：每个无1-tough $(K_1\cup P_3)$的图都是Hamilton图.我们证明了每个1-tough $(K_1\cup P_4)$ -free图是Hamilton图，每个1-tough $P_4$ -free图是Hamilton图
2012-07-24 math.CO
Spectral radius, toughness and $k$-factor of graphs
School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；College of Mathematics and System Science, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）
本文研究了连通1-韧性图中k-因子的存在条件，基于谱半径提出并证明了当δ(G)≥k时，存在k≥3的k-因子的充分条件。
2026-03-22 math.CO
Hamiltonicity of $1$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
给定一个图$H$，如果$G$不包含作为导出子图的$H$，则图$G$是无$H$的.对于正实数$t$，称一个非完全图$G$是$t$ -tough的，如果对$G$的每个点割$S$，$|S|$与$G-S$的分支数之比至少为$t$ .一个完整的图被称为$t$ -tough，对于任何$t>0$都是如此。Chvátal的坚韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton的，一般来说仍然是开放的。Chvátal和Erdös \cite{CE}证明了，对任意整数$k\ge 1$，每个至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.根据Chvátal-Erdös定理，Shi和Shan证明了对任意整数$k\ge 4$，每个至少有三个顶点的$4$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图，并提出了对任意整数$k\ge 1$，任意$1$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图的猜想.在本文中，我们证实了这个猜想，并进一步证明，如果$k\ge 3$，那么条件“$2k$ -连通”可以减弱为“$2(k-1)$ -连通”。作为直接结果，对于任何整数$k\ge 3$，每个$…
2023-03-20 math.CO
Long Cycles in 2-Connected Tough Graphs
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Broersma等人关于2-连通坚韧图周长下界的猜想，证明其周长至少为对数阶，方法结合Win的生成树定理与树深度界。
2026-09-14 math.CO
Some conditions for hamiltonian cycles in 1-tough $(K_2 \cup kK_1)$-free graphs
令$k \geq 2$为整数。如果图$G$不包含$K_2 \cup kK_1$作为导出子图，我们称它是$(K_2 \cup kK_1)$ -free图.最近，Shi和Shan证明了所有的$1$ -tough和$2k$ -连通的$(K_2 \cup kK_1)$ -free图都是Hamilton图.本文证明了：每一个最小度至少为$\frac{3(k-1)}{2}$的$1$ -坚韧和$k$ -连通的$(K_2 \cup kK_1)$ -自由图是Hamilton图或Petersen图.
2023-02-21 math.CO
10-tough chordal graphs are Hamiltonian
Chen等人证明了每个18-tough弦图都有一个Hamilton圈[Networks 31（1998），29-38]。改进他们的界限，我们证明了每一个10-坚韧弦图是哈密尔顿（实际上，哈密尔顿连通）。我们使用Aharoni和Haxell的超图推广霍尔定理作为我们的主要工具。
2016-07-03 math.CO
The relation between Hamiltonian and $1$-tough properties of the Cartesian product graphs
图的哈密尔顿性与坚韧性之间的关系是一个长期的研究问题。本文研究了图$G_1$和$G_2$的笛卡儿积图$G_1\square G_2$的哈密尔顿性，满足$G_1$是可迹的，且$G_2$与一个路因子连通.设Pn是序$n$的路，$H$是连通的二部图.在一定的$n$要求下，我们证明了以下三个陈述是等价的：（i）$P_n\square H$是Hamilton的;（ii）$P_n\square H$是$1$ -tough的;（iii）$H$有路径因子.
2020-03-06 math.CO
Spectral and size conditions for spanning k-trees in tough graphs
Fujian Normal University（福建师范大学）
针对韧度在[1/k, 1/(k-1))范围内的图，利用谱半径和无符号拉普拉斯谱半径给出存在生成k-树的充分条件，并建立边数下界。
2026-06-19 math.CO
A proof of Haemers' toughness conjecture
Division of Mathematical Sciences Nanyang Technological University（南洋理工大学数学科学部）
本文证明了连通图的韧性下界与拉普拉斯特征值的关系，提出韧性下界为μ₂/(μ_n-δ)。
2026-05-15 math.CO
A proof of Brouwer's toughness conjecture
连通图$G$的韧性$t(G)$被定义为$t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中在所有真子集$S\subset V(G)$上取最小值，使得$c(G-S)>1$，其中$c(G-S)$表示$G-S$的分量数.用PDMATHAMT表示图的邻接矩阵的第二大绝对特征值。对于任何连通的$d$ -正则图$G$，Alon已经证明了$t(G)>\frac{1}{3}(\frac{d^2}{dλ+λ^2}-1)$，通过它，Alon能够证明对于每个$t$和$g$，存在围长严格大于$g$的$t$ -坚韧图，从而在很强的意义上反驳了Chvátal关于泛圈性的猜想。Brouwer独立地发现了一个更好的边界$t(G)>\frac{d}λ-2$为任何连接$d$ -正则图$G$，而他也证明了下界可以改进为$t(G)\ge \frac{d}λ - 1$。我们证实了这一猜想。
2021-05-15 math.CO
A note on hamiltonian cycles in $4$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.我们说$G$是$t$ -tough的，如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少是$t$。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开放的。对于任意给定的整数$k\ge 1$，如果$G$不包含$P_2$和$k$孤立点的不交并作为导出子图，则图$G$是$(P_2\cup kP_1)$自由的.本文证明了至少有三个顶点的4-坚韧$2k$ -连通无$(P_2\cup kP_1)$图是Hamilton图.这个结果在某种意义上是经典的Chvátal-Erdés定理的“推广”，该定理证明了至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.
2022-02-13 math.CO
Degree Conditions for Dominating Cycles in 1-tough Graphs
我们证明：（i）若$G$是1-坚韧图，其阶为$n$，最小度为$δ$，且有$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈，除非$G$属于一类容易指定的图，且有$κ(G)=2$和$τ(G)=1$ .第二个结果紧接着第一个结果：（ii）如果$G$是一个3-连通1-坚韧图，$δ\ge(n-2)/3$，那么每个最长的圈在$G$是一个控制圈。
2012-02-13 math.CO
Thinning and sprinkling: from robust sampling to almost Hamiltonicity
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出稀疏化-喷洒技术，证明坚韧图等图类的随机子图保持鲁棒性，并据此构造几乎哈密顿圈，解决Chvátal和Lovász的长期猜想。
2026-09-25 math.CO
A Fan-type condition for cycles in $1$-tough and $k$-connected $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
本文推广了关于$1$-tough且$(P_2\cup kP_1)$-free图哈密顿性的猜想，提出并证明了一个Fan型定理：在$k$-连通且满足特定距离条件$\mu_{k+1}(G)\geq\frac{7k-6}{5}$时，该图必为哈密顿图或Petersen图。
2024-07-27 math.CO
Bipartite partition-connected factors with small degrees
本文证明了每个$2m$ -划分连通图$G$都有一个二部$m$ -划分连通因子$H$，使得对每个顶点$v$，$d_H(v)\le \lceil \frac{3}{4}d_G(v)\rceil$ .一个图$H$称为$m$ -划分连通的，如果它包含$m$边不相交的生成树.作为应用，我们得到了具有适当顶点数的足够坚韧的图具有最大度至多为$3m+1$的二部$m$ -划分连通因子。最后，我们证明了足够坚韧的图的阶至少$3k$允许一个二部连通因子，其度位于集合$\{k,2k,3k,4k\}$。
2019-05-29 math.CO
Strengthening some complexity results on toughness of graphs
设$t$为正实数。一个图被称为$t$ -tough，如果删除任何断开图的顶点集$S$，最多只留下$|S|/t$组件。图的韧性是图是$t$ -tough的最大$t$。本文的主要结果如下。对于任何正有理数$t \le 1$和任何$k \ge 2$和$r \ge 6$整数，识别$t$ -坚韧二部图是coNP-完全的（$t=1$的情况是已知的），并且这个问题对于$k$ -连通二部图仍然是coNP-完全的，识别1-坚韧r-正则二部图的问题也是如此。为了证明这些陈述，我们也处理其他相关的韧性复杂性问题。%在本文中，我们证明了以下内容。对于任意正有理数$t$，判定$τ(G)=t$是否DP-完全，如果是$t < 1$，则该问题对于二部图仍是DP-完全的.对任意整数$k \ge 2$和正有理数$t \le 1$，识别$t$ -坚韧$k$ -连通二部图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 5$，识别$1/2$ -坚韧$r$ -正则图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 6$，识别1-坚韧$r$ -正则二部图是coNP-完全的.对于任意正有理数$t < 2/3$，给出了识别具有韧性$t$的3-正则图的多项式时间算法.最后，我们证明了每个连通4-正则图都是1/2-坚韧的。
2019-10-19 cs.DM math.CO
Logarithmic Circumference In Tough Graphs
Stanford Online High School（斯坦福在线高中）；Department of Mathematics, University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文证明每个2连通t-坚韧图在满足特定阶数条件时包含长度至少为ℓ的圈，证实了对数周长猜想。
2026-09-17 math.CO
Toughness and spectral radius in graphs
本文结合韧度变体与谱条件，给出了图成为$τ$-韧度（整数或倒数整数）且具有最小度$δ$的谱条件，并探讨了平衡二分图的类似问题。
2023-10-14 math.CO
Toughness and normalized Laplacian eigenvalues of graphs
给定一个连通图$G$，韧性$τ_G$定义为比率$|S|/ω_{G-S}$的最小值，其中$S$的范围是$G$的所有顶点割集，$ω_{G-S}$是从$G$中删除$S$的所有顶点得到的子图$G-S$中连通分支的个数.在本文中，我们提供了韧性$τ_G$的最大程度，最小程度和归一化拉普拉斯特征值的$G$的下界。这可以被视为Brouwer韧性猜想的轻微推广，Gu（2021）证实了这一点。此外，我们给出了达到Gu和Haemers（2022）给出的关于韧性和Laplacian特征值的两个下界的图的特征。
2023-01-08 math.CO math.SP
Sufficient conditions for the variation of toughness under the distance spectral in graphs involving minimum degree
本文研究图韧性变化问题，基于最小度和距离谱半径提出并证明了一个图为tau-韧性的充分条件，推广了Chen、Fan和Lin关于t-韧性的结果。
2025-04-09 math.CO
Toughness, hamiltonicity and spectral radius in graphs
研究图中Hamilton圈的存在性是图论中的一个经典问题。通过结合韧性和谱条件，我们可以从另一个角度考虑Chvátal猜想：什么是谱条件，以保证存在的哈密尔顿圈之间的$t$ -坚韧图？首先给出$1$ -tough图的答案，即如果$ρ(G)\geqρ(M_{n})$，则$G$包含一个Hamilton圈，除非$G\cong M_{n}$，其中$M_{n}=K_{1}\nabla K_{n-4}^{+3}$和$K_{n-4}^{+3}$是由$3K_{1}\cup K_{n-4}$通过在$3K_{1}$和$K_{n-4}$之间添加三条独立边而得到的图. Brouwer韧性定理指出，每个$d$ -正则连通图总是有$t(G)>\frac{d}λ-1$，其中$λ$是邻接矩阵的第二大绝对特征值。本文利用图的谱半径推广了这一结果，即分别给出了一个图是1-坚韧的最小度$δ$和$t$ -坚韧的谱条件.
2022-04-05 math.CO
Explicit tough Ramsey graphs
一个图G是t-坚韧的，如果它的任何诱导子图的连通分支x > 1，都是从G中删除至少tx个顶点得到的. Chvatal证明了存在一个绝对常数t_0，使得每个t_0-tough图都是泛圈图. Bauer，van den Heuvel和Schmeichel通过对每个实t_0构造一个t_0-tough triangular free图来证明了这个猜想是错误的。对每个q为奇数的有限域F_q，我们考虑与F_q上的有限欧几里德平面和有限上半平面有关的图.这些图已经受到了严重的关注，因为它们已经被证明是Ramanujan（或渐近Ramanujan）大q。我们将证明，对于无穷多个q，这些图提供进一步的反例Chvatal的猜想。它们也为Ramsey数R（3，k）提供了一个很好的构造性下界.
2008-07-17 math.CO
Spectral radii and star-factors with large components
Xinjiang University of Political Science and Law（新疆政法学院）；Nanjing Normal University（南京师范大学）；Jiangsu University of Science and Technology（江苏科技大学）
本文研究了连通图的孤立韧性与谱半径的关系，建立谱半径、无符号拉普拉斯谱半径和距离谱半径的下界，以保证图包含特定类型的星因子，并通过构造极值图证明所获界是紧的。
2026-03-21 math.CO
Long Cycles in 1-tough Graphs
1952年，Dirac证明了每一个具有最小度$δ$的2-连通图要么是哈密尔顿图，要么包含一个长度至少为$2δ$的圈。1986年，Bauer和Schmeichel在附加的1-tough条件下，将约束$2δ$扩大为$2δ+2$，1-tough条件是图是哈密尔顿图的另一个更自然的必要条件。事实上，当$n\equiv 1(mod\ 3)$时，对于$n$顶点上的图，$2δ+2$的界是尖锐的。在本文中，我们提出了最终版本的结果是尖锐的每个$n$：每个1-tough图要么是哈密尔顿或包含一个周期的长度至少$2δ+2$时，$n\equiv 1(mod\ 3)$，至少$2δ+3$时，$n\equiv 2(mod\ 3)$或$n\equiv 1(mod\ 4)$，至少$2δ+4$，否则。
2014-01-22 math.CO
On hamiltonian cycles of 1-tough $(P_{2} \cup kP_{1})$-free graphs
Tokyo University of Science（东京科学大学）
本文研究了1-坚韧且$(P_2 \cup kP_1)$自由的图是否为哈密顿图的问题，证明了当图满足一定条件时，该图是哈密顿图，从而解决了该问题对大图的正确定义。
2026-05-19 math.CO
Fractional factors and component factors in graphs with isolated toughness smaller than 1
本文证明了孤立顶点数不等式条件与特定分支因子存在的等价性，并通过二部划分刻画了相关树族结构。
2024-09-23 math.CO
Eigenvalues, edge-disjoint perfect matchings and toughness of regular graphs
该研究针对连通d-正则图，推导得到边不交完美匹配数的下界（改进已有结果），并给出非二部情形下保证韧度大于1的第二大特征值紧上界。
2024-10-06 math.CO
Toughness Bounds for Fractional Hamiltonicity and Resistance Positivity
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文通过构造非哈密顿弦生成超图，结合弦图的哈密顿性定理，证明10-韧性图为分数哈密顿图，进而证实Devriendt关于10-韧性图为电阻正图的猜想，同时构造出韧性接近3/2的非电阻非负图。
2026-09-04 math.CO
Toughness of recursively partitionable graphs
一个简单的图$G=(V,E)$在$n$顶点上被称为是递归可分的（RP），如果$G \simeq K_1$，或者如果$G$是连通的并且满足以下递归性质：对于$n$的每个整数划分$a_1, a_2, \dots, a_k$，存在$V$的一个划分$\{A_1, A_2, \dots, A_k\}$，使得每个$|A_i|=a_i$和每个导出子图$G[A_i]$是RP（$1\leq i \leq k$）。我们证明，如果$S$是具有$|S|\geq 2$的RP图$G$的顶点割，则$G-S$最多有$3|S|-1$分量。此外，这个界限是尖锐的$|S|=3$。我们提出了两种方法来构造新的RP图从旧的。我们使用这些方法表明，对于所有的正整数$s$，存在无限多的RP图的$s$ -顶点削减其删除叶$2s+1$组件。此外，我们证明了一个简单的必要条件，一个图有一个RP生成树，我们提出了一类极小2-连通RP图。
2022-10-19 math.CO
A lower bound of toughness of regular graphs: in terms of second largest eigenvalue
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
研究正则图的 toughness 与第二大的特征值的关系，证明 toughness 下界与特征值有关。
2026-05-01 math.CO
Toughness and Aα-spectral radius in graphs
Jiangsu University of Science and Technology（江苏科技大学）；Dalian Jiaotong University（大连交通大学）；Yantai University（烟台大学）
本文研究了图的 toughness 与 Aα-谱半径的关系，证明了在特定条件下图的 toughness 与谱半径的联系，并给出了 t-tough 图的谱半径条件。
2026-01-22 math.CO
On the Hamiltonicity, traceability and toughness of complements of line graphs
School of Mathematics and Statistics UNSW Sydney（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文通过最长环方法证明了线图补图的Hamilton性特征化，并指出某些特定图如K_5的补图为彼得森图。
2026-09-16 math.CO
Toughness in regular graphs from eigenvalues
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）；School of Finance and Business, Shanghai Normal University（上海师范大学金融商学院）
本文通过特征值分析，证明了连通正则图的 toughness 与特征值之间的关系，并给出了相关上界和构造，强化了已有结论。
2025-12-12 math.CO
A construction of a $\frac{3}{2}$-tough plane triangulation with no 2-factor
本文通过构造一个没有2-因子的极大$\ rac{3}{2}$-坚韧平面图，填补了坚韧平面图中2-因子存在性问题的最后遗留情况，回答了Owens等人的疑问。
2024-04-28 math.CO
Distance signless Laplacian spectral radius and tough graphs involving minimun degree
本文利用距离无符号拉普拉斯谱半径，给出了具有给定最小度的图为1-坚韧以及1/t为正整数时图为t-坚韧的充分条件，并讨论了谱半径与t-坚韧图在阶数方面的关系。
2025-04-11 math.CO
Toughness and spectral radius in graphs
本文研究连通图的谱半径与 $\frac{1}{t}$-韧度之间的关系，给出由谱半径阈值保证图韧度的充分条件及唯一例外图。
2024-06-12 math.CO
The toughness of random graphs
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文针对二项随机图G(n,p)，证明其韧性τ(G(n,p))以高概率满足τ(G(n,p))=(n−a)/a+o(1)，并存在序列n_m→∞使得其韧性以高概率小于(n_m−a)/a−1/a。
2026-09-09 math.CO
Non-Hamiltonian $\frac{3}{2}$-Tough Plane Triangulations
Auburn University（奥本大学）
该研究否定了Hao等人提出的‘度数为3的顶点两两距离至少3的3/2-坚韧平面三角剖分是哈密顿图’的问题，证明了存在满足任意长距离条件的此类非哈密顿图，明确哈密顿圈的障碍源于局部构型而非其邻近性。
2026-09-07 math.CO
Classification of strictly resistance nonnegative graphs
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文证明了2-连通严格电阻非负图必为规模差1的二分图，从而不存在1-坚韧的严格RN图，并推出1-坚韧RN图必为电阻正图，最后量化了RN图低于1的坚韧值。
2026-09-22 math.CO
Binding Number, Toughness and General Matching Extendability in Graphs
本文研究图中绑定数与韧度条件对一般匹配可扩展性的影响，证明在足够大的图中，若绑定数不低于4/3+ε或韧度不低于1+ε且高连通，则图具有E(m,n)-可扩展和(n,k)-可扩展性。
2019-01-15 math.CO
The Laplacian spectral ratio of connected graphs
设$G$是一个简单连通的无向图. $G$的Laplacian谱比（$R_L(G)$）定义为图$G$的最大Laplacian特征值与次小Laplacian特征值之商，它与图的结构参数密切相关本文给出了Laplacian谱比的一些界，并讨论了Laplacian谱比的一些性质，如直径、$t$ -tough、完美匹配、平均割密度、可同步性等，这改进了已知的结果。此外，我们还对树的Laplacian谱比猜想的上界给出了反例，并提出了一个新的猜想。
2023-02-21 math.CO
The existence of $m$-tree-connected $(g,f+f'-m)$-factors using $(g,f)$-factors and $m$-tree-connected $(m,f')$-factors
设$G$是一个图，$g$、$f$和$f'$是$V(G)$上的三个正整数值函数，其中$g\le f$ . Tokuda，Xu，and Wang（2003）证明了如果$G$包含一个$(g,f)$ -因子和一个生成$f'$ -树，那么$G$也包含一个连通的$(g,f+f'-1)$ -因子.在本文中，我们通过证明如果$G$包含一个$(g,f)$ -因子和一个$m$ -树连接的$(m,f')$ -因子，则$G$也包含一个$m$ -树连接的$(g,f+f'-m)$ -因子，条件是$f\ge m$。此外，我们表明，$g$允许非负。
2022-05-13 math.CO
Connectivity keeping edges of trees in 3-connected or 3-edge-connected graphs
Hasunuma [J. Graph Theory 102（2023）423-435]证明，对于阶为$m$的任何树$T$，具有至少$k+m-1$的最小度的每个$k$ -连通（或$k$ -边连通）图$G$包含树$T'\cong T$，使得$G-E(T')$仍然是$k$ -连通（或$k$ -边连通）。莲沼用$k\leq 2$验证了这一猜想。本文对$k=3$证明了这一猜想。
2023-03-07 math.CO
Spanning k-ended trees of 3-regular connected graphs
一棵树被称为k端树，如果它最多有k个叶子，其中叶子是度为1的顶点。本文证明了：任意n阶3-正则连通图，当n ≥大于8时，其生成子树最多含有[（2n+4）/9]-端树。最后给出了3-正则连通图上生成k-端树的一个猜想。
2016-06-21 math.CO
Nonseparating trees in 2-connected graphs and oriented trees in strongly connected digraphs
Mader [J. Graph Theory 65（2010）61-69]证明了对于每一个正整数$k$和每一个阶为$m$的有限树$T$，每一个$k$ -连通的，具有$δ(G)\geq \lfloor\frac{3}{2}k\rfloor+m-1$的有限图$G$包含一个与$T$同构的子树$T'$，使得$G-V(T')$是$k$ -连通的。该猜想已被证实的道路，树时，$k=1$，和明星或双星时，$k=2$。本文证明了两类树当$k=2$ .对于有向图，Mader [J. Graph Theory 69（2012）324-329]证明，对于正整数$m$，具有最小半度$δ(D)=min\{δ^+(D),δ^-(D)\}\geq 2k+m-1$的每个$k$ -连通有向图$D$具有$κ(D-V(P))\geq k$的$m$阶的有向路$P$。该猜想仅在与$m=1$、与$m=2$和$k=1$的导径中得到了验证。证明了每一个具有最小半度$δ(D)=min\{δ^+(D),δ^-(D)\}\geq m+1$的强连通有向图都含有一棵定向树$T$，它同构于某些给定的定向星或双星，使$D-V(T)$仍是强连通的.
2017-10-08 math.CO
Sufficient conditions for $(K_2 \cup kK_1)$-free graphs to be Hamilton-connected
Fujian Normal University（福建师范大学）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
研究不含\((K_2 \cup kK_1)\)的图为哈密顿连通图的充分条件。通过加强连通度、最小度等条件，以及对独立数施加限制，证明了不同条件下此类图是哈密顿连通的，且部分条件界限是紧的。
2026-07-14 math.CO
On spanning tree packings of highly edge connected graphs
本文证明了Tutte/Nash-Williams关于有限图的树填充定理的一个改进。这个结果被用来获得一个类似的结果，在某些无限图的端忠实生成树包装，从而建立一个充分的哈密尔顿性条件，这种图的线图。
2013-09-18 math.CO
Tutte's $3$-Flow Conjecture in $3$-tree-connected graphs
Tutte的$3$ -流猜想指出，每个$4$ -边连通图都存在一个无处为零的$3$ -流. Kochol（2001）证明了对$5$ -边-连通图证明这个猜想是足够的. Former，Jaeger，Linial，Payan，and Tarsi（1992）证明了每个$5$ -边连通图都是$Z_3$ -连通的，因此它允许一个无处为零的$3$ -流.本文证明了如果第二个猜想成立，则每个$3$ -树连通图也必定是$Z_3$ -连通的，从而Tutte的$3$ -流猜想可以推广到这类图.
2022-05-13 math.CO
Spectral condition for spanning $k$-ended trees in $t$-connected graphs
该研究针对$t$-连通图中生成$k$-端树的存在性问题，给出了紧的谱半径条件，推广了已有相关研究结果。
2023-05-07 math.CO
Spectral conditions for spanning $k$-trees or $k$-ended-trees of $t$-connected graphs
本文研究 $t$-连通图中生成 $k$-树与生成 $k$-端树的存在性，给出若干新的谱充分条件，并推广和改进了多项已有结果。
2025-06-09 math.CO
A Necessary and Sufficient Hall Condition for Hypergraphs
University of Michigan（密歇根大学）
该研究证明了带环超图族的充要霍尔条件，将其应用后得出5-坚韧弦图为哈密顿连通的结论，改进了此前哈密顿性的充分坚韧度界。
2026-08-18 cs.DM cs.DS math.CO
l-connectivity, l-edge-connectivity and spectral radius of graphs
本文研究了简单图的l-连通性、l-边连通性与谱半径之间的联系，并探讨了有向图及边版本的类似问题，是对正则图基于第二大绝对特征值下界研究的拓展。
2023-09-11 math.CO
