Large connected strongly regular graphs are Hamiltonian
László Pyber
证明了在充分多的顶点上的强连通正则图是Hamilton图。我们证明了这一点，除了三个家庭，连接强正则图是（高度）伪随机。我们的研究结果提出了一些新的问题和建议。
We prove that every connected strongly regular graph on sufficiently many vertices is Hamiltonian. We prove this by showing that, apart from three families, connected strongly regular graphs are (highly) pseudo-random. Our results suggest a number of new questions and conjectures.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hamiltonian-connectedness of triangulations with few separating triangles
证明了至多含有一个分离三角形的3-连通三角剖分是Hamilton连通的。为了证明这个定理的最强形式的界，我们证明了对于任何$s\geq4$，都存在3-连通三角剖分，其中$s$将非Hamilton连通的三角剖分。我们还提出了计算结果表明，所有的'小' 3-连通三角形，最多3个分离的三角形是汉密尔顿连接。
4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles
该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。
The most general structure of graphs with hamiltonian or hamiltonian connected square
本文刻画使图平方 $G^2$ 为哈密顿图或哈密顿连通图的最一般块-割点结构，并借鉴哈密顿全图的研究思路。
4-connected 1-planar chordal graphs are Hamiltonian-connected
本文研究了4-连通1-平面弦图，利用1-平面4-树的特性作为证明工具，证明所有此类图均为哈密顿连通的。
Proof of a conjecture on hamiltonian-connected graphs
证明了控制数不超过3的3-连通无爪图是Hamilton连通的。结果是尖锐的，它受到Zheng，Broersma，Wang和Zhang在2020年提出的猜想的启发。
The maximum degree of a minimally hamiltonian-connected graph
确定了给定阶的极小Hamilton-连通图的可能最大度。这回答了Modalleliyan和Omoomi在2016年提出的问题。我们还提出了两个未解决的问题。
Hamiltonian cycles in 4-connected planar and projective planar triangulations with few 4-separators
惠特尼在1931年证明了每一个4连通平面三角剖分是哈密尔顿的。后来在1979年，Hakimi，Schmeichel和Schlassen证明了$n$顶点上的每个三角剖分至少有$2(n - 2)(n - 4)$哈密顿圈。沿着这个方向，Brinkmann，Souffriau和Van Cleemput建立了4连通平面三角剖分中哈密顿圈个数的线性下界。与此形成鲜明对比的是，Alahmadi、Aldred和Aldassen证明了平面或射影平面的每个5-连通三角剖分都有指数数量的哈密顿圈。这给出了研究具有少量4-分隔符的4-连通三角剖分的哈密顿圈的个数的动机。最近，Liu和Yu证明了每一个具有$O(n / \log n)$ 4-分隔符的4-连通平面三角剖分都有二次方个哈密顿圈.通过调整Alahmadi等人的框架，我们加强了前面提到的最后两个结果。证明了每个具有$O(n)$ 4-分隔符的4-连通平面或射影平面三角网都有指数多个哈密顿圈。
Hamiltonian cycles in some family of cubic $3$-connected plane graphs
Barnette证明了所有最大面尺寸至多为$6$的三次$3$连通平面图都是Hamilton图.本文给出了在任意三次的、具有这样一个面$g$的$3$ -连通平面图中构造一个哈密顿圈（对偶项）的一种方法，该面$g$使得与$g$相关联的每一个面至多有$5$边，而每一个其它面至多有$6$边.
On the regular 2-connected 2-path Hamiltonian graphs
一个图$G$是$l$ -路哈密尔顿图，如果每一条长度不超过$l$的路都包含在一个哈密尔顿圈中.众所周知，一个2-连通的$k$ -正则图$G$在至多$3k-1$顶点上是边Hamilton的，如果对于$G$的每条边$uv$，$\{u,v\}$不是割集.因此，如果对于$G$的每条边$uv$都连接$G\setminus \{u,v\}$，则$G$是单路哈密尔顿算子。设$P=uvz$是2-连通$k$ -正则图$G$的至多有$2k$个顶点的2-路.本文证明了当$G\setminus V(P)$连通时，存在一个包含2路$P$的Hamilton圈.因此，本文的工作给出了2-连通$k$ -正则图是2-路Hamilton图的一个条件.一个例子表明，$2k$几乎是尖锐的，即，该号码最多为$2k+1$。
Hamiltonian cycles and Hamiltonian paths in $2k$-connected, $1$-tough and $(P_{3}\cup kP_{1})$-free graphs
本文针对k≥2，证明了2k-连通、1-坚韧且不含(P₃∪kP₁)子图的图必为哈密顿图，(2k+1)-连通、坚韧度大于1且不含(P₃∪kP₁)子图的图必为哈密顿连通图。
Minimal induced subgraphs of two classes of 2-connected non-Hamiltonian graphs
1981年，Duffus，Gould，and Jacobson证明了每个连通图要么有一条Hamilton路，要么包含一个爪（$K_{1,3}$）或一个网（固定的六顶点图）作为诱导子图。Brousek（1998）刻画了$2$ -连通的、非Hamilton的、不包含爪的极小图作为诱导子图。本文对两类图：（1）分裂图，（2）无三角形图，刻画了它们的最小图是$2$ -连通的非Hamilton图。我们注意到，在这两个类的Hamilton性测试是NP-难的。
Edge disjoint Hamiltonian cycles in highly connected tournaments
Kassen证明了存在一个函数$f(k)$使得每个强$f(k)$连通竞赛图都包含$k$边不相交的哈密顿圈.这个猜想最近由Kühn，Lapinskas，Osthus和Patel证明，他们证明了$f(k)\leq O(k^2(\log k)^2)$，并证明了存在一个常数$C$使得$f(k)\leq Ck^2$。我们证明了这个猜想。
Hamiltonian Properties of 3-Connected Claw-Free Graphs and Line Graphs of 3-Hypergraphs
本文研究了3-连通无爪图的哈密顿性质，证明了支配数不超过5的此类图是哈密顿图，且支配数不超过4的图是哈密顿连通的，并探讨了3超图线图的哈密顿性。
Every 2-connected, cubic, planar graph with faces of size at most 6 is Hamiltonian
本文证明面大小至多为6的2-连通、三次、平面图均为哈密顿图且6-面条件紧致，从而将Barnette-Goodey猜想的连通性条件推至最弱可能。
Hamiltonicity in connected regular graphs
1980年，Jackson证明了至多有$3k$顶点的2-连通$k$ -正则图是Hamilton图.这一结果已在几篇论文中得到推广。本文确定了连通$k$ -正则图中非Hamilton的最小顶点数，并解决了Hamilton路的类似问题.进一步，我们刻画了不含哈密顿圈的最小连通$k$ -正则图。
On Hamiltonian and Hamilton-connected digraphs
C.在\cite{[11]}中建议的（也参见\cite{[2]}，J. C.Bermond，C.有向图中的循环-综述，J.图论5（1981）1-43，猜想1.6.7和1.6.8）下列猜想：1.每一个3-强连通有向图的最小度至少为$n+1$且其序为$n$，都是强Hamilton连通的. 2.设$D$是一个4-强连通有向图，其序为$n$，使得任意一对不邻顶点的度之和至少为$2n+1$ .则$D$是强Hamilton连通的.我们反驳了猜想1，并证明了两个结果，为猜想2提供了一些支持。这篇文章的主要目的是提出这些结果的详细证明（英文）。
A counterexample to prism-hamiltonicity of 3-connected planar graphs
图$G$上的棱柱是$G$与完全图$K_2$的笛卡儿积。一个图$G$是哈密尔顿图，如果$G$中存在一个生成圈;如果$G$上的棱柱是哈密尔顿图，则$G$是棱柱-哈密尔顿图.在[M.~ Rosenfeld，D.~ Barnette，Hamiltonian circuits in certain prismers，Discrete Math.5（1973），389- 394]作者证明了每个3-连通可平面图都是棱镜-哈密尔顿图。我们构造一个反例来证明这个猜想。
An extension of a cubic 2-connected plane graph G to a hamiltonian plane graph contained in G^{2}
该研究针对简单三次2-连通平面图，证明其含n个分支的2-因子对应存在包含于G²、满足边数与最大度条件的简单哈密顿平面图，拓展了相关图论结论。
Graphs with Many Hamiltonian Paths
本文构造了非哈密顿但几乎任意顶点对都有哈密顿路径的图族，并给出边数达到3n/2下界的无限哈密顿连通图族。
Every $2k$-connected $(P_2\cup kP_1)$-free graph with toughness greater than one is hamiltonian-connected
针对 Shi–Shan Hamilton 性猜想已获证实的背景，本文证明更强结论：韧度大于一的 $2k$-连通 $(P_2\cup kP_1)$-无关图必为 Hamilton 连通。
Minimum degree ensuring that a hypergraph is hamiltonian-connected
本文研究 r-一致超图的哈密顿连通性，确定了所有 3≤r<n 情形下保证该性质的精确最小度下界，并揭示其与哈密顿 Berge 圈度界及普通图情形的差异。
A note on eigenvalues and Hamiltoinan properties of $k$-connected graphs
令$λ_{1}(G)$和$μ_{1}(G)$分别表示图$G$的谱半径和拉普拉斯谱半径。Li在[Electronic J.线性代数34（2018）389-392]中证明了基于连通性的$λ_{1}(G)$的尖锐上界，以确保连通图分别是Hamilton和可追踪的。本文给出了$k$ -连通图为Hamilton连通图和均匀可迹图的$λ_{1}(G)$的最佳可能上界。此外，首次证明了$μ_{1}(G)$的最佳可能上界，以预测$k$ -连通图是哈密尔顿连通的，哈密尔顿的和可迹的。
How many randomly colored edges make a randomly colored dense graph rainbow hamiltonian or rainbow connected?
本文研究了在任意随机边着色稠密图上添加随机边得到的随机边有色图。特别是，我们问有多少颜色和多少随机边缘需要，使所得的图包含一个固定数量的边缘不相交的彩虹汉密尔顿周期。我们还问，在结果图中，每对顶点都由彩虹路径连接。
On Hamiltonian-Connected and Mycielski graphs
一个图$G$是Hamilton连通的，如果在图$G$的任意两个顶点之间存在一条Hamilton路.已知如果$G$是2-连通的，则图$G^2$是哈密尔顿连通的。本文证明了阶数大于4的自补图的平方是Hamilton连通的。若$G$是$k$ -临界图，则我们证明了Mycielski图$μ(G)$是$(k+1)$ -临界图. Jarnicki等人[7]证明了对每一个奇阶Hamilton图，$G$的Mycielski图$μ(G)$是Hamilton连通的.他们还提出了一个猜想，如果$G$是哈密尔顿连通的，而不是$K_2$，那么$μ(G)$是哈密尔顿连通的。在本文中，我们也证明了这个猜想。
Existence of connected regular and nearly regular graphs
对于整数$k \geq 2$和$n \geq k+1$，证明了：如果$n\cdot k$是偶数，则在$n$的顶点上存在连通的$k$ -正则图.如果$n\cdot k$是奇数，则在$n$的顶点上存在连通的几乎$k$ -正则图.
A sharp Ore-type condition for a connected graph with no induced star to have a Hamiltonian path
我们说一个图$G$有一条哈密尔顿路，如果它有一条包含$G$的所有顶点的路。对于图$G$，令$σ_2(G)$表示$G$的两个不相邻顶点的最小度和;对$σ_2(G)$的限制被称为Ore型条件。给定一个整数$t\geq 5$，证明了如果$n$顶点上的连通图$G$满足$σ_2(G)>{t-3\over t-2}n$，则$G$有一条与$K_{1, t}$同构的Hamilton路或诱导子图.此外，我们还刻画了所有的$n$ -顶点图$G$，其中$σ_2(G)={t-3\over t-2}n$和$G$既没有Hamilton路，也没有与$K_{1, t}$同构的诱导子图。这是Momège最近的一个类似结果，他在研究$t=4$时就研究了该病例。
Graph powers and k-ordered Hamiltonicity
已知如果G是连通的单图，则G ^3是哈密尔顿图（实际上是哈密尔顿连通图）。一个单图是k-序Hamilton图，如果对任意序列v_1，v_2，.，v_k的k个顶点，存在一个按给定顺序包含这些顶点的哈密顿圈.本文证明了对于至少有k个顶点的连通图G，G^（3 k/2 + 1）是k-序Hamilton.我们进一步证明了如果G是连通的，则G^4是4-阶Hamilton，如果G是Hamilton，则G^3是5-阶Hamilton。对于G=P_n和G=C_n，给出了使G^p_k是k-序Hamilton的最小幂p_k的界.
Hamilton cycles in 5-connected line graphs
Carsten Schlassen的一个猜想指出，每个4-连通线图都是哈密尔顿的。已知该猜想对于7连通线图成立。我们通过证明任何最小度至少为6的5-连通线图是哈密尔顿的来改进这一点。结果扩展到无爪图和Hamilton连通性。
Are highly connected 1-planar graphs Hamiltonian?
众所周知，每个平面4连通图都有一个Hamilton圈。本文研究了1-平面4-连通图是否存在Hamilton圈的问题。我们表明，这是假的一般情况下，即使是5-连通图，但真正的，如果图形有一个1-平面图，每个区域是一个三角形。
Minimal induced subgraphs of the class of 2-connected non-Hamiltonian wheel-free graphs
给定一个图$G$和一个图的性质$P$，如果没有$G$的真诱导子图具有该性质$P$，则称$G$关于$P$是极小的. HC-障碍是极小2-连通非哈密顿图。给定一个图$H$，如果图$G$没有与图$H$同构的诱导子图，则图$G$是$H$ -free的.本文的主要动机来自于Duffus，Gould，and Jacobson（1981）的一个定理，该定理刻画了所有不含Hamilton路的极小连通图。类似地，Chiba和Furuya（2021）刻画了所有（不仅是最小的）2-连通非Hamilton $\{K_{1,3}, N_{3,1,1}\}$ -free图。最近，Cheriyan，Hajebi和我们中的两个（2022），刻画了所有无三角形的HC-障碍和所有分裂图的HC-障碍。轮是从一个圈中添加一个新顶点而得到的图，该顶点在圈中至少有三个邻居。在本文中，我们刻画了所有的HC-障碍，这是无轮图。
A computer-assisted proof of Barnette-Goodey conjecture: Not only fullerene graphs are Hamiltonian
富勒烯图，即，3-连通的平面三次图，具有五角面和六角面，被证明是哈密尔顿图。这是Barnette和Goodey猜想的一个特例，即3-连通可平面图的面数不超过6的图是哈密尔顿图。我们证明了这个猜想。
Number of Hamiltonian cycles in planar triangulations
惠特尼在1931年证明了4-连通平面三角剖分是哈密尔顿的。Hakimi、Schmeichel和Schlassen在1979年证明了，如果$G$是一个4连通的平面三角网，其顶点是$n$，那么$G$至少包含$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，当且仅当$G$是一个双轮时，$G$相等。另一方面，最近的结果Alahmadi，Aldred，和Aldassen国家，有指数许多哈密顿圈在5-连通平面三角形。本文研究了4-连通平面$n$ -顶点三角剖分$G$，它不具有太多的分离4-圈或最小度为5。证明了若$G$有$O(n/{\log}_2 n)$分隔4-圈则$G$有$Ω(n^2)$哈密顿圈，若$δ(G)\ge 5$有$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.这两个结果改进了以前的工作。此外，证明涉及一个“双轮”结构，提供了进一步的证据，上述猜想。
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
On regular 2-path Hamiltonian graphs
本文研究2-路哈密顿图相关问题，刻画了说明2k界紧性的一类图，并证明排除该类图后，满足顶点数条件的2-连通、3-连通k-正则图在G\V(P)连通时存在含指定2-路的哈密顿圈。
Disconnected Forbidden Subgraphs, Toughness and Hamilton Cycles
1974年，Goodman和Hedetniemi证明了任何2-连通无$(K_{1,3},K_{1,3}+e)$图都是Hamilton图。这一结果在附加连通性条件下给出了各种禁止连通子图对和禁止连通子图三重图的其他哈密尔顿性条件。1997年证明了2-连通图中的单个禁止连通子图$R$只能生成一类平凡的具有$R=P_3$的哈密顿图（完全图）。本文证明了：如果$R$是不连通的，则一个禁止子图$R$可以生成一个非平凡的哈密顿图类：$(\ast1)$：每个无$(K_1\cup P_2)$的图都是Hamilton图或属于一个定义良好的非哈密顿图类; $(\ast2)$：每个无1-tough $(K_1\cup P_3)$的图都是Hamilton图.我们证明了每个1-tough $(K_1\cup P_4)$ -free图是Hamilton图，每个1-tough $P_4$ -free图是Hamilton图
On the Prevalence of Bridge Graphs Among Non-3-Connected Cubic Non-Hamiltonian Graphs
几乎所有的三次非哈密顿图都是桥图，这一点有经验证据支持。在本文中，我们提出了一个相关的猜想，并证明了原来的索赔成立的非3-连通图，如果猜想是真的。
Hamiltonicity of planar graphs with a forbidden minor
Tutte证明了$4$ -连通可平面图是Hamilton图，但众所周知$3$ -连通可平面图不一定是Hamilton图.证明了无$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通可平面图是Hamilton图.这并不延伸到$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通图in general，如Petersen图所示，也不延伸到$K_{2,6}$ -minor-free $3$ -connected可平面图，如我们通过无限族的例子所示。
On minors of non-hamiltonian graphs
本文加强了Tutte定理，证明每个4连通非哈密顿图必含$K_{3,4}$子式，并确认了Ding和Marshall关于3连通非哈密顿图含特定子式的猜想。
On planar regular graphs degree three without Hamiltonian cycles
给出了可平面图存在哈密顿圈的必要条件。给出了不含哈密顿圈的三度正则可平面图的例子。
2-connected claw-free chordal graphs are cycle extendable
图$G$中长度为$k$的圈$C$是可扩的，如果在$G$中存在另一个具有$V(C) \subset V(C')$和长度$k+1$的圈$C'$。一个图是圈可扩的，如果每个非哈密顿圈都是可扩的. 1990年Hendry证明了任何Hamilton弦图（不含长度大于3的诱导圈的哈密顿图）都是圈可扩的，并对区间图、可平面图和分裂图的Hamilton弦图证明了这一猜想.证明了任意2-连通无爪弦图都是圈可扩的。
On the cycle structure of hamiltonian k-regular bipartite graphs of order 4k
证明了一个$2n>8$阶的Hamilton $n/2$ -正则二部图$G$包含一个长为$2n-2$的圈.此外，如果可以选择这样一个圈来省略一对相邻的顶点，则$G$是双泛圈的。
Cayley graphs of order kp are hamiltonian for k < 48
本文通过计算机辅助证明，确立了阶为kp（k < 48且p为素数）的有限群上的所有连通Cayley图均为哈密顿图，并验证了阶小于48的连通Cayley图的哈密顿连通性或可迹性。
Unavoidable flats in connected regular matroids
本文证明，每个秩足够大的2-连通正则拟阵都有一个秩大的2-连通图拟阵平面子集，并明确列出了这些不可避免的平面子集。
On the spanning structure hierarchy of 3-connected planar graphs
图$G$上的棱柱是$G$与完全图$K_2$的笛卡儿积。如果$G$上的棱柱具有Hamilton圈，则$G$是棱柱-Hamilton的。一个好的偶仙人掌是一个连通图，其中每个块是一条边或一个偶圈，并且每个顶点最多包含在两个块中。众所周知，即使是好的仙人掌也是棱柱-哈密顿的。事实上，证明一个跨越良好的存在，甚至仙人掌已成为最常见的技术之一，在证明棱镜汉密尔顿。Špacapan问是否有一个良好的跨越甚至仙人掌相当于有一个3连通可平面图的哈密顿棱镜。本文通过证明存在无穷多个3连通平面棱柱-哈密顿图没有生成好的偶仙人掌，给出了否定的答案。我们还证明了存在一个无限类的3-连通可平面图，有一个生成良好的甚至仙人掌，但没有生成良好的甚至仙人掌的最大程度为3。
Decomposable twofold triple systems with non-Hamiltonian 2-block intersection graphs
二元三元系的2-块交图（2-BIG）是指其顶点集由二元三元系的块组成，且若对应的块恰好相交于两个元素，则两个顶点由一条边连接的图。2-BIG本身是有趣的图：每个分量是立方的和3-连通的，并且当TTS可分解为两个Steiner三元系时，2-BIG是二部的。任何没有Hamilton圈的连通二部2-BIG都是Tutte在1971年提出的一个猜想的反例。我们的主要结果是：存在一个整数$N$，使得对于所有的$v\geq N$，如果$v\equiv 1$或$3\mod{6}$，则存在一个TTS（$v$），其2-BIG是二部连通的，但不是Hamilton的.此外，$13<N\leq 663$。我们的方法是构造一个TTS（$u$），它的2-BIG是二部连通的和非Hamilton的，并将它嵌入到TTS（$v$）中，其中$v>2u$以这样一种方式，在一次交易后，得到的TTS（$v$）的2-BIG是二部连通的和非Hamilton的.
A sufficient condition for cubic 3-connected plane bipartite graphs to be hamiltonian
本文针对Barnette猜想，证明了三次3-连通平面二部图在无面拥有超过四个大面邻居的条件下是哈密顿图，并给出了当每个顶点同时关联大小面时哈密顿圈数量的下界。
Hamiltonicity of Domination Vertex-Critical Claw-Free Graphs
一个图$G$称为$k$-$γ$-顶点临界图，如果对$G$的任一顶点$v$，$G$的控制数$γ(G)$是$k$，且$γ(G - v) < k$.类似地，一个图$G$称为$γ_{c}$ -顶点临界的，如果对于$G$的任何顶点$v$，$G$的连通控制数$γ_{c}(G)$是$k$和$γ_{c}(G - v) < k$.我们感兴趣的问题是确定$2$ -连通$k$ - $γ$ -点临界图是否是Hamilton图.本文对所有的$k \geq 3$，给出了一个$2$ -连通的非Hamilton的$k$ - $γ$ -顶点临界图。证明了所有$2$ -连通的$3$-$γ$-顶点临界无爪图都是Hamilton图，且无爪条件是必要的。对于$k$ - $γ_{c}$ -点临界图，给出了一种新的方法，证明了每个$2$ -连通的$3$ - $γ_{c}$ -点临界无爪图都是Hamilton图.此外，对于$4 \leq k \leq 5$，我们证明了每个$3$ -连通的$k$ - $γ_{c}$ -顶点临界无爪图都是Hamilton图.通过给出含有爪的$k$ - $γ_{c}$ -顶点临界非Hamilton图作为$3 \leq k \leq 5$的导出子图，证明了无爪的条件是必要的.
Spanning k-ended trees of 3-regular connected graphs
一棵树被称为k端树，如果它最多有k个叶子，其中叶子是度为1的顶点。本文证明了：任意n阶3-正则连通图，当n ≥大于8时，其生成子树最多含有[（2n+4）/9]-端树。最后给出了3-正则连通图上生成k-端树的一个猜想。
On the Minimum Number of Hamiltonian Cycles in Regular Graphs
本文描述了一种图的构造方法，它能产生n个顶点上的k-正则图，其中k ≥ 3，n = m（k+1），m ≥ 2。在这样的图中的哈密顿圈的数量可以明确地确定为n和k的函数，并且提供了经验证据表明，该函数给出了k-正则图中n个顶点上的哈密顿圈的最小数量的紧上界，其中k >= 5和n >= k + 3。本文给出了4-正则图的另一个图构造，当k = 4，n ≥ 11时，它的哈密顿圈数优于上述函数.
Characterizing forbidden pairs for hamiltonian squares
图的平方是通过添加连接原始图中所有距离为2的顶点对的附加边来获得的。特别地，如果$C$是图$G$的哈密顿圈，则$C$的平方称为$G$的哈密尔顿平方。在本文中，我们刻画了4-连通图中所有可能的禁止对，这意味着包含一个哈密尔顿平方。连通性条件是必要的，因为除了$K_3$和$K_4$之外，循环的平方总是4-连通的。
Non-Hamiltonian 3-Regular Graphs with Arbitrary Girth
众所周知，存在围长任意大的3-正则图。给出了三种构造方法，利用前者在不减小围长的情况下生成非Hamilton 3-正则图，从而证明了具有任意大围长的图也是存在的。所得到的图可以是1-，2-或3-边连接的，这取决于所选择的结构。从建设产生（天真）上界的最小的非哈密顿3-正则图的大小与特定的围长。几个例子给出了最小的这样的图形的各种选择的围长和连通性。
Degree conditions restricted to induced paths for hamiltonicity of claw-heavy graphs
Broersma和Veldman证明了2-连通无爪无$P_6$图是Hamilton图。Chen等人通过证明每个2-连通重爪且无$P_6$的图都是Hamilton图来推广这一结果。另一方面，Li等人构造了一类2-连通图，它们是爪重图和$P_6$ - \emph{o} -重图，但不是Hamilton图.本文进一步给出了限制2-连通重爪图的诱导$P_6$的Ore型度条件，这些条件能保证图是Hamilton图。这改进了以前的一些相关结果。
Connectivity Preserving Hamiltonian Cycles in $k$-Connected Dirac Graphs
本文研究满足 Dirac 度条件的 $k$-连通图，证明存在线性阶阈值，使删除一个或多个边不交 Hamilton 圈后仍保持 $k$-连通，并改进连通度恰为 $k$ 时的阶数下界。
Decomposition of Augmented Cubes into Regular Connected Pancyclic Subgraphs
本文考虑了将增广立方体$AQ_n$分解为两个生成的正则连通泛圈子图的问题。我们证明了对于$ n \geq 4$和$ 2n - 1 = n_1 + n_2 $与$ n_1, n_2 \geq 2,$的增广立方体$ AQ_n$可以分解为两个生成子图$ H_1$和$ H_2$，使得每个$ H_i$是$n_i$ -正则的和$n_i$ -连通的。此外，如果$ n_i \geq 3.$
Infinitely many nonsolvable groups whose Cayley graphs are hamiltonian
证明了存在无穷多个有限群G，使得G上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈，且G不可解.具体地说，对于模30同余于1的素数p，证明了在p阶循环群与5个字母的交错群A_5的直积上，连通Cayley图中存在一个哈密顿圈.
On Cayley digraphs that do not have hamiltonian paths
我们构造了一个连通的2-生成Cayley有向图Cay（G;a，b）的无限族，它不具有Hamilton路径，使得生成元a和b的阶数是任意大的.我们还证明了：如果G是任意有限群，|[G，G]|< 4，则G上的每个连通Cayley有向图都有一条Hamilton路（但当|[G，G]|= 4或5）。
Distance signless Laplacian spectral radius and Hamiltonian properties of graphs
本文首先建立了二部图是Hamilton连通的一个充分条件。此外，我们还分别给出了图是Hamilton连通图和从每个顶点可迹图的距离无符号Laplacian谱半径的两个充分条件。最后，我们得到了图是Hamilton图的一个充分条件，它是关于$G^{C}$的距离无符号Laplacian谱半径的。
Asymptotic expansion of regular and connected regular graphs
本文利用 Laplace 方法及发散级数技巧，推导了 k-正则图与连通 k-正则图的渐近展开，并量化了两者展开之间的接近程度。
On Rainbow Connection of Strongly Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了如果$G$是一个强连通$r$ -正则图，且$r\geq 600$是一个强连通图，则$rc(G)\leq3$是一个强连通图.特别地，存在一个常数$c$，使得对任意连通强正则图$G$都有$rc(G)\leq c$.
Hamiltonian decompositions of 4-regular Cayley graphs of infinite abelian groups
Alspach的一个著名猜想是：阿贝尔群的每个$2k$ -正则Cayley图都可以分解为哈密顿圈.我们考虑无限阿贝尔群的一个类似问题。在这种情况下，哈密顿圈的一个自然类似物是生成双射线。然而，一个天真的概括Alspach的猜想未能举行在此设置由于存在$2k$ -定期凯莱图与有限削减$F$其中$|F|$和$k$不同的奇偶校验，这必然排除存在的分解成跨越双射线。证明了有限割为偶数的无限阿贝尔群的每一个$4$ -正则Cayley图都可以分解为生成双射线，当存在这样的分解时，也可以分解为生成双射线.我们还讨论了当这样的图可以分解成哈密顿圈，一个更拓扑概括的哈密顿圈在无限的图形，或到一个哈密顿圈和一个生成双射线。
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