4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles
Carsten Thomassen, Carol T. Zamfirescu
该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。
我们证明存在无穷多族的4-正则4-连通哈密顿图，其哈密顿环的数量有界。我们尚不清楚是否存在这样的5-正则5-连通哈密顿图族。
We prove that there exists an infinite family of 4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with a bounded number of Hamiltonian cycles. We do not know if there exists such a family of 5-regular 5-connected Hamiltonian graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Large cycles in 4-connected graphs
对于具有最小度$δ$和连通度$κ$的4-连通图$G$，要么含有长度至少为$4δ-κ-4$的圈，要么$G$中的最长圈是控制圈.
On the Cycle Space of a 3--Connected Graph
本文给出了Tutte定理的一个简单证明：3-连通图的圈空间是由图的非分离圈集生成的。关键词：图，圈，回路，圈空间，不可分离回路，强同构。
Counting Connected Graphs without Overlapping Cycles
简单连通图可以根据其圈组成（圈的数目和长度）进行分类。本文导出了圈数和圈长不受限制但无重叠圈的简单连通图的计数级数。这些感兴趣的图的圈对必须没有公共节点或边。计算这些图的配方是基于相关的种植图的计数系列，种植图的多集，丰富的树的递归合成，以及将底层有根块图映射到底层块图的广义Otter公式。
Gaps in the cycle spectrum of 3-connected cubic planar graphs
证明了对任意自然数$k$，任意充分大的3-连通三次可平面图都有一个长在$[k,2k+9]$内的圈.我们还表明，这个界是接近最优的，通过构建，为每一个甚至$k\geq 4$，一个无限的家庭3-连通的三次可平面图，不包含周期的长度是在$[k,2k+1]$。
Distance-balancing of cube-connected cycles graphs
该研究证明立方体连接循环图$CCC_n$具有距离平衡性，且仅当$n$为偶数时具备良好距离平衡性。
Hamiltonian cycles in 4-connected planar and projective planar triangulations with few 4-separators
惠特尼在1931年证明了每一个4连通平面三角剖分是哈密尔顿的。后来在1979年，Hakimi，Schmeichel和Schlassen证明了$n$顶点上的每个三角剖分至少有$2(n - 2)(n - 4)$哈密顿圈。沿着这个方向，Brinkmann，Souffriau和Van Cleemput建立了4连通平面三角剖分中哈密顿圈个数的线性下界。与此形成鲜明对比的是，Alahmadi、Aldred和Aldassen证明了平面或射影平面的每个5-连通三角剖分都有指数数量的哈密顿圈。这给出了研究具有少量4-分隔符的4-连通三角剖分的哈密顿圈的个数的动机。最近，Liu和Yu证明了每一个具有$O(n / \log n)$ 4-分隔符的4-连通平面三角剖分都有二次方个哈密顿圈.通过调整Alahmadi等人的框架，我们加强了前面提到的最后两个结果。证明了每个具有$O(n)$ 4-分隔符的4-连通平面或射影平面三角网都有指数多个哈密顿圈。
Hamilton cycles in 5-connected line graphs
Carsten Schlassen的一个猜想指出，每个4-连通线图都是哈密尔顿的。已知该猜想对于7连通线图成立。我们通过证明任何最小度至少为6的5-连通线图是哈密尔顿的来改进这一点。结果扩展到无爪图和Hamilton连通性。
Large cycles in essentially 4-connected graphs
Tutte证明了每一个4-连通可平面图都含有一个Hamilton圈，但也存在3-连通$n$ -顶点可平面图，其最长圈的长度为$Θ(n^{\log_32})$ .另一方面，Jackson和Wormald在1992年证明了本质4-连通$n$ -顶点可平面图包含长度至少为$(2n+4)/5$的圈，最近Fabrici { \it et al}将其改进为$5(n+2)/8$.在本文中，我们改进了这个界$\lceil (2n+6)/3\rceil$为$n\ge 6$，这是最好的可能性，通过证明一个定量版本的Tutte路径的结果。
Hamiltonian cycles in some family of cubic $3$-connected plane graphs
Barnette证明了所有最大面尺寸至多为$6$的三次$3$连通平面图都是Hamilton图.本文给出了在任意三次的、具有这样一个面$g$的$3$ -连通平面图中构造一个哈密顿圈（对偶项）的一种方法，该面$g$使得与$g$相关联的每一个面至多有$5$边，而每一个其它面至多有$6$边.
The (2k-1)-connected multigraphs with at most k-1 disjoint cycles
1963年，Corrádi和Hajnal证明了对于所有的$k \ge 1$和$n \ge 3k$，每个最小度至少为2k的n阶（简单）图都包含k个不交圈。同年，狄拉克描述了不包含两个不相交圈的3-连通重图，并提出了一个更一般的问题：哪些（2k-1）-连通重图不包含k个不相交圈？最近，作者刻画了具有最小度$δ(G) \ge 2k-1$且不含k个不交圈的单图G.我们用这个结果来完整地回答狄拉克的问题。
2-connected claw-free chordal graphs are cycle extendable
图$G$中长度为$k$的圈$C$是可扩的，如果在$G$中存在另一个具有$V(C) \subset V(C')$和长度$k+1$的圈$C'$。一个图是圈可扩的，如果每个非哈密顿圈都是可扩的. 1990年Hendry证明了任何Hamilton弦图（不含长度大于3的诱导圈的哈密顿图）都是圈可扩的，并对区间图、可平面图和分裂图的Hamilton弦图证明了这一猜想.证明了任意2-连通无爪弦图都是圈可扩的。
Rooted prism-minors and disjoint cycles containing a specified edge
Dirac和Lovász独立地刻画了不含点不交圈对的$3$ -连通图.等价地，他们刻画了所有没有棱镜子项的$3$ -连通图。本文完全刻画了边不包含在任何一对顶点不相交圈的并中的$3$ -连通图.作为应用，我们回答了边不相交圈和$4$ -连通图的类似问题，并利用一条特定的边完全刻画了无棱镜子图的$3$ -连通图。
Edge disjoint Hamiltonian cycles in highly connected tournaments
Kassen证明了存在一个函数$f(k)$使得每个强$f(k)$连通竞赛图都包含$k$边不相交的哈密顿圈.这个猜想最近由Kühn，Lapinskas，Osthus和Patel证明，他们证明了$f(k)\leq O(k^2(\log k)^2)$，并证明了存在一个常数$C$使得$f(k)\leq Ck^2$。我们证明了这个猜想。
Cycle lengths modulo $k$ in large 3-connected cubic graphs
证明了对所有的自然数$m$和$k$（其中$k$是奇数），存在一个自然数$N(k)$，使得任何顶点数至少为$N(k)$的3-连通三次图包含一个长度为$m$模$k$的圈.我们还构建了一个家庭的图表明，这是不正确的2-连通三次图，如果$m$和$k$是由3和$k\geq 12$整除。
Counterexamples to a conjecture of Merker on 3-connected cubic planar graphs with a large cycle spectrum gap
Merker证明了，如果$k \ge 2$是一个整数，$G$是一个周长至少为$k$的3连通三次可平面图，那么$G$的圈长集必须包含区间$[k, 2k+2]$中的至少一个元素.本文证明了对每一个偶数$k \ge 6$都有无穷多个反例。
Unavoidable cycle-contraction minors of large $2$-connected graphs
本文研究了大2连通图的不可避免循环收缩minors，通过收缩循环得到minors，建立了与诱导子图定理对偶的结论。
On the Odd Cycle Game and Connected Rules
我们研究的位置游戏中，两个球员，制造商和断路器，交替选择分别$1$和$b$以前无人认领的边缘$K_n$。如果制造者成功地在$K_n$中获得某个奇数周期的所有边缘，则她获胜，否则破坏者获胜。改进Bednarska和Pikhurko的结果，证明了如果$b \leq ((4 - \sqrt{6})/5 + o(1)) n$，Maker会赢得奇数循环博弈.我们还介绍了“连接规则”，并研究了奇数循环游戏下，无论是在制造商，断路器以及在客户端服务员的变体。
Longest cycles in 3-connected hypergraphs and bipartite graphs
在超图的语言中，我们的主要结果是一个Dirac-type界：我们证明了每个具有$ δ(H)\geq \max\{|V(H)|, \frac{|E(H)|+10}{4}\}$的$3$ -连通超图$H$有一个Hamilton Berge圈。这是尖锐和完善的猜想杰克逊从1981年（在语言的二部图）。我们的证明是在二部图的语言，因为每个超图的关联图是二部的。
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
Longest cycles intersect linearly in highly connected graphs
本文针对史密斯猜想，证明任意$k$-连通图中两个最长圈至少共享$k/600$个顶点，首次给出线性下界，并采用新结构方法推广至相关路径问题。
Disjoint chorded cycles in a $2$-connected graph
本文针对2-连通图解决Gould提出的问题，将顶点不交带弦圈的邻域并集条件从4s+1优化为4s，且该界是紧的。
Parity linkage and the Erdős-Pósa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs
我们证明了以下每个充分连通图$G$，$G$的任何顶点子集$S$，和给定的整数$k$：有$k$不相交的奇循环在$G$每个包含一个顶点的$S$或有一个集合$X$的最多$2k-2$顶点，使$G-X$不包含任何奇循环，包含一个顶点的$S$。我们通过Kawarabayashi和Reed关于奇偶- $k$ -链接图的结果（Combinatorica 29，215-225）的推广证明了这一点。从这个结果很容易推出其他几个著名的关于高连通图中奇圈的Erdens-Pósa性质的结果。这分别加强了Rautenbach和Reed（Combinatorica 21，267-278）的结果。
Proof of a conjecture of Thomassen on Hamilton cycles in highly connected tournaments
1982年的一个猜想是，对于每个k，存在一个f（k），使得每个强f（k）-连通竞赛图包含k个边不相交的Hamilton圈。Camion的一个经典定理，即每个强连通竞赛图包含一个Hamilton圈，暗示f（1）=1。到目前为止，甚至f（2）的存在性也是公开的。本文通过证明f（k）=O（k^2*log^2（k）），证明了Kassen猜想.这是最好的可能达到对数因子。作为一个工具，我们证明了每个强10^4*k*log（k）-连通竞赛图是k-连通的（这改进了以前的指数界）。后者的证明是基于Ajtai，Komlós和Szemerédi关于渐近最优排序网络的基本结果。
The highly connected even-cycle and even-cut matroids
偶圈拟阵、带阻塞对的偶圈拟阵和偶割拟阵的类都有数百个被排除的子阵。我们表明，排除未成年人的这些类的数量可以大大减少，如果我们认为在每个类只有足够大的高度连接拟阵。
Hamilton cycles in highly connected and expanding graphs
本文证明了Hamilton圈存在的一个充分条件，它适用于各种各样的图，包括相对稀疏的图。与以前的标准相比，我们的标准只基于两个属性：一个要求扩展“小”集，另一个确保任何两个不相交的“大”集之间存在边。我们还讨论了位置游戏，随机图和极值图论中的应用。
On Hamilton cycles in connected vertex-transitive graphs of order $2pq$
本文针对阶为$2pq$且满足特定自同构子群条件的连通点传递图，证明其均含哈密顿圈，为解决代数图论中相关公开问题提供了重要进展。
A hypergraph analog of Dirac's Theorem for long cycles in 2-connected graphs, II: Large uniformities
本文研究了超图中Berge圈的Dirac型定理，针对k ≤ r+1的情况，证明了n顶点r-均匀2-连通超图在最小度为k时包含长度至少为min{2k, n, |E(H)|}的Berge圈。
The Connected Bipartite Turán Problem for Long Cycles and Paths
本文针对Caro等人提出的连通二部图极值边数问题，精确确定了不含特定长度路径的连通二部图的极值边数与结构，还建立了不含长环的2-连通二部图的精确结构，并应用结果简洁证明了经典定理。
On 2-connected hypergraphs with no long cycles
给出了不含长度为$k$或更长Berge圈的$n$ -点2连通$r$ -一致超图的最大边数的一个上界，其中$n\geq k \geq 4r\geq 12$ .对于相对于$r$和$k$较大的$n$，该界限是尖锐的，并且显著强于没有连接性限制的界限。事实证明，这是更简单的证明范围更广泛的类Sperner家庭的大小，每个集是最多$r$。对于这样的家庭，我们的界限是尖锐的所有$n\geq k\geq r\geq 3$。
Counting $k$-cycles in $5$-connected planar triangulations
该研究证明了5-连通平面三角剖分中5圈数上界为9n-50且紧，并给出k≥6时k圈数的渐近紧上界C(k)·n^{⌊k/3⌋}。
Cycles of consecutive lengths in $3$-connected graphs
本文证明了 Lin、Wang 和 Zhou 关于 3-连通非二部图在最小度条件下包含连续长度圈的猜想对 k=4,5 成立，主要借鉴 Gao、Huo、Liu 和 Ma 的方法。
Longest cycles and longest chordless cycles in $2$-connected graphs
本文研究了2连通图中最长环与无弦环的关系，提出猜想等价于Harvey猜想，并证明该猜想在特定图类中成立。
Number of Hamiltonian cycles in planar triangulations
惠特尼在1931年证明了4-连通平面三角剖分是哈密尔顿的。Hakimi、Schmeichel和Schlassen在1979年证明了，如果$G$是一个4连通的平面三角网，其顶点是$n$，那么$G$至少包含$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，当且仅当$G$是一个双轮时，$G$相等。另一方面，最近的结果Alahmadi，Aldred，和Aldassen国家，有指数许多哈密顿圈在5-连通平面三角形。本文研究了4-连通平面$n$ -顶点三角剖分$G$，它不具有太多的分离4-圈或最小度为5。证明了若$G$有$O(n/{\log}_2 n)$分隔4-圈则$G$有$Ω(n^2)$哈密顿圈，若$δ(G)\ge 5$有$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.这两个结果改进了以前的工作。此外，证明涉及一个“双轮”结构，提供了进一步的证据，上述猜想。
Super connected direct product of graphs and cycles
互连网络的拓扑可以用图$G=(V(G),E(G))$来建模。图$G$的连通度是衡量相应网络可靠性的一个参数。直积是一种重要的图积。本文主要研究图与圈的直积的超连通性。$G$的连通性，用$κ(G)$表示，是最小顶点集$S\subseteq V(G)$的大小，使得$G-S$不连通或只有一个顶点。称图$G$是超连通的，简称为超$κ$，如果每个最小点割都是最小度点的邻域。两个图$G$和$H$的直积，记作$G\times H$，是指具有点集$V(G \times H) = V (G)\times V (H)$和边集$E(G \times H) = \{(u_{1} ,v_{1} )(u_{2} ,v_{2} )|\ u_{1}u_{2} \in E(G), v_{1}v_{2} \in E(H)\}$的图。本文给出了直积$G\times C_{n}$是超连通的几个充分条件，其中$C_{n}$是$n$顶点上的圈.此外，这些充分条件是最好的可能。
Chords of longest cycles in graphs with large circumferences
本文证明了对于具有大周长的图，Thomassen 和 Harvey 关于最长圈弦的猜想均成立，并推广至包含线性森林的最长圈情形。
Intersections of longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
针对顶点传递图和高度连通图中最长圈交集问题，提出纯组合方法强化现有界，证明k-连通图中最长圈交集顶点数达Ω(k^(2/3))，解决Babai问题并引入新构造方法。
Connectedness and Cycle Spaces of Friends-and-Strangers Graphs
如果$X=(V(X),E(X))$和$Y=(V(Y),E(Y))$是$n$ -顶点图，则它们的朋友-陌生人图$\mathsf{FS}(X,Y)$是其顶点是从$V(X)$到$V(Y)$的双射的图，其中两个双射$σ$和$σ'$相邻当且仅当存在边$\{a,b\}\in E(X)$使得$\{σ(a),σ(b)\}\in E(Y)$和$σ'=σ\circ (a\,\,b)$，其中$(a\,\,b)$是交换$a$和$b$的$V(X)$的置换。我们证明一般定理，提供必要和/或充分条件$\mathsf{FS}(X,Y)$连接。作为推论，我们得到了图$Y$的一个完整的特征，使得$\mathsf{FS}(\mathsf{Dand}_{k,n},Y)$是连通的，其中$\mathsf{Dand}_{k,n}$是一个连通图;这基本上推广了第一作者和Kravitz在$k=3$情况下的一个定理。对于$Y$的具体选择，我们描述了蜘蛛图$X$，使$\mathsf{FS}(X,Y)$连接。在另一种情况下，我们研究了朋友-陌生人图的圈空间。Naatz证明了，如果$X$是一个路径图，那么$\mathsf{FS}(X,Y)$的循环空间是由$4$ -循环和$6$ -循环构成的;我们证明了当$X$是一个循环并且$Y$的控制数至少为$3$时，同样的命题成立。当$X$是一个循环和$Y$的控制数至少$2$，我们的证明揭示了如何行走在…
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
Chords of longest cycles passing through a specified small set
本文研究经过指定小集合的最长圈的弦，推广Thomassen和Zhang的相关结果，证明了2-连通立方图、最小度≥4的3-连通图及3-连通平面图中满足特定条件的最长圈必含弦，并扩展了Li和Liu的结果。
On the cycle structure of hamiltonian k-regular bipartite graphs of order 4k
证明了一个$2n>8$阶的Hamilton $n/2$ -正则二部图$G$包含一个长为$2n-2$的圈.此外，如果可以选择这样一个圈来省略一对相邻的顶点，则$G$是双泛圈的。
Convex subgraphs and spanning trees of the square cycles
本文对平方圈的连通生成凸子图进行了分类。证明了$C_n^2$的每一个生成树都包含在$C_n^2$的一个唯一的非平凡连通生成凸子图中.其结果是，我们得到了一个纯粹的组合推导公式的生成树的平方圈的数目。
Independent Sets and Balanced Cycle-Linkings in 2-Connected Graphs
本研究确定了2-连通图中最大化各大小独立集数量的唯一极值图，即团阶差至多1的平衡环链，并将连通图的极值结果推广至2-连通情形。
Hamilton Cycles In Primitive Graphs of Order $2rs$
经过长期的努力，最近在\cite{DKM2}中证明了除Peterson图外，$rs$阶的连通点传递图都有Hamilton圈，其中$r$和$s$是素数.解决$2rs$的连通点传递图的Hamilton问题是一个很自然的课题。这个话题是相当琐碎的，因为即使对于$r=3$来说，这个问题仍然没有解决。本文证明了除Coxeter图外，$2rs$阶连通点传递图都含有Hamilton圈，只要自同构群连续作用于点.
Hamiltonian cycles and Hamiltonian paths in $2k$-connected, $1$-tough and $(P_{3}\cup kP_{1})$-free graphs
本文针对k≥2，证明了2k-连通、1-坚韧且不含(P₃∪kP₁)子图的图必为哈密顿图，(2k+1)-连通、坚韧度大于1且不含(P₃∪kP₁)子图的图必为哈密顿连通图。
On planar regular graphs degree three without Hamiltonian cycles
给出了可平面图存在哈密顿圈的必要条件。给出了不含哈密顿圈的三度正则可平面图的例子。
3-colored asymmetric bipartite Ramsey number of connected matchings and cycles
令$k,l,m$为整数，并且$r(k,l,m)$为最小整数$N$，使得对于$K_{N,N}$的任何红-蓝-绿着色，在组件中存在大小至少为$k$的红色匹配，或者在组件中存在大小至少为$l$的蓝色匹配，或者在组件中存在大小至少为$m$的绿色匹配。本文完全确定了$r(k,l,m)$的精确值。应用一种技术起源于Zuuczak，应用Szemerédi的正则引理，以减少问题的存在，显示一个单色的循环，以显示存在的单色匹配的一个组件，我们获得了3色不对称的二分拉姆齐数的循环渐近。
Cycle Double Covers via Kotzig Graphs
我们证明了每个$2$连通三次图$G$都有圈双覆盖，如果$G$有一个生成子图$F$，使得（i）$F$的每个分支都有偶数个顶点，（ii）$F$的每个分支要么是圈，要么是Kotzig图的一个细分，（iii）$F$的分支以某种一般的方式相互连通.
A note on cycles in cyclically $4$-edge-connected cubic planar graphs
研究通过删除两个相邻顶点得到的图H，证明当H的周长至少为k时，存在长度在k到3k/2之间的循环，并展示线图G中可避免特定顶点的循环长度。
Local Connectivity, Local Degree Conditions, some Forbidden Induced Subgraphs, and Cycle Extendability
Ryjáček猜想局部连通图是弱泛圈图，本文的研究是基于这一猜想。对于阶至少为$3$的连通局部连通图$G$，我们得到如下结果：如果$G$是$(K_1+(K_1\cup K_2))$ -free的，则$G$是弱泛圈的.如果$G$不含$(K_1+(K_1\cup K_2))$，则当且仅当$2δ(G)\geq n(G)$时，$G$可完全循环扩展。如果$G$不含$\{ K_1+K_1+\bar{K}_3,K_1+P_4\}$或不含$\{ K_1+K_1+\bar{K}_3,K_1+(K_1\cup P_3)\}$，则$G$可完全循环延长。如果$G$不同于$K_1+K_1+\bar{K}_3$且不含$\{ K_1+P_4,K_{1,4},K_2+(K_1\cup K_2)\}$，则$G$可完全循环延长。此外，如果$G$是阶至少为$3$的连通图，使得对于$G$中的阶为$3$的每个导出路$vuw$，$$|N_G(u)\cap N_G(v)\cap N_G(w)|>|N_G(u)\setminus (N_G[v]\cup N_G[w])|$$是完全圈可扩的，则$G$是完全圈可扩的，这意味着每个阶至少为$3$的连通局部Ore或局部Dirac图是完全圈可扩的。
A characterization of regular partial cubes whose all convex cycles have the same lengths
本文研究了部分立方体的凸环性质，证明正则部分立方体为超立方体等图当且仅当其所有凸环具有特定相同长度，并推广了正则中位图的相关结论。
A hypergraph analog of Dirac's Theorem for long cycles in 2-connected graphs
本文将 Dirac 关于 2-连通图长圈的定理推广到 r-一致超图，证明满足最小度阈值时存在长度至少 min{2k,n} 的 Berge 圈，并证明该界精确。
On the Minimum Number of Hamiltonian Cycles in Regular Graphs
本文描述了一种图的构造方法，它能产生n个顶点上的k-正则图，其中k ≥ 3，n = m（k+1），m ≥ 2。在这样的图中的哈密顿圈的数量可以明确地确定为n和k的函数，并且提供了经验证据表明，该函数给出了k-正则图中n个顶点上的哈密顿圈的最小数量的紧上界，其中k >= 5和n >= k + 3。本文给出了4-正则图的另一个图构造，当k = 4，n ≥ 11时，它的哈密顿圈数优于上述函数.
Universal Cycles of Discrete Functions
一个连通有向图，其中任何顶点的入度等于它的出度是欧拉的;这个基线结果被用作几个组合对象的泛圈（也称为deBruijn圈或$U$ -圈）存在性证明的基础。我们提出了关于某些函数类的泛循环存在性的新结果。这些包括onto函数和二进制字母表上的1-不公平序列。在每种情况下，底层图的连通性都是要建立的非平凡方面。
Orientable embeddings and orientable cycle double covers of projective-planar graphs
在图的闭2-胞腔嵌入中，每个面同胚于一个开圆盘，并且被图中的一个圈所包围。可定向强嵌入猜想是指每个2-连通图在某个可定向曲面中有一个闭的2-胞腔嵌入。这同时包含了圈双覆盖猜想和强嵌入猜想。本文证明了2-连通投影平面立方图在某个可定向曲面中有一个闭2-胞腔嵌入。证明的三个主要部分是：（1）将不可定向嵌入转化为可定向嵌入的外科手术方法;（2）三次图的可定向闭2-胞嵌入或可定向圈双覆盖的4-圈约化;（3）三次图的射影-平面嵌入的结构结果。我们证明了2-边连通的射影-可平面图（不一定是立方的）有可定向圈双覆盖。
Existence of connected regular and nearly regular graphs
对于整数$k \geq 2$和$n \geq k+1$，证明了：如果$n\cdot k$是偶数，则在$n$的顶点上存在连通的$k$ -正则图.如果$n\cdot k$是奇数，则在$n$的顶点上存在连通的几乎$k$ -正则图.
Longer Cycles in Essentially 4-Connected Planar Graphs
一个平面3连通图$G$称为\emph{essentially $4$-connected}，如果对于每个3-分隔符$S$，$G-S$的两个分支中至少有一个是孤立点。Jackson和Wormald证明了本质4连通平面图$G$在$n$顶点上的最长圈的长度$\mathop{\rm circ}\nolimits(G)$至少为$\frac{2n+4}{5}$，Fabrici，Harant和Jendrol将这一结果改进为$\mathop{\rm circ}\nolimits(G)\geq \frac{1}{2}(n+4)$ .本文证明了$n$顶点上的本质4连通平面图包含一个长度至少为$\frac{3}{5}(n+2)$的圈，并且证明了这样的圈可以在时间$O(n^2)$中找到.
On $2$-connected graphs avoiding cycles of length $0$ modulo $4$
本文研究不含长度模4余0的圈的2-连通图的边数极值，证明了其至多有⌊(3n-1)/2⌋条边，并构造无穷多极值例子证明界是紧的。
Hamilton Cycles in Semisymmetric Graphs
本文研究了半对称图中哈密顿回路的存在性，证明了特定条件下半对称图存在哈密顿回路，并提出了构造无哈密顿回路的半对称图的问题。
On $2$-cycles of graphs
设$G=(V,E)$是一个有限无向图.以任意方式定向$G$的边。$G$上的$2$ -循环是函数$d : E^2\to \mathbb{Z}$，因此对于每个边$e$，$d(e, \cdot)$和$d(\cdot, e)$是$G$上的循环，并且当$e$和$f$具有公共顶点时，$d(e, f) = 0$。我们证明了每个$2$ -圈是三种特殊类型的$2$ -圈的和：圈对$2$ -圈，Kuratowski $2$ -圈和四$2$ -圈。在图是Kuratowski连通的情况下，我们证明了每个$2$ -圈是圈对$2$ -圈和至多一个Kuratowski $2$ -圈的和。进一步，如果$G$是Kuratowski连通的，我们刻画了每一个Kuratowski $2$ -圈是圈对$2$ -圈之和.如果对于所有边$e,f\in E$都是$d(e,f) = -d(f,e)$，则$2$ -在$G$上循环$d$是反对称的。我们证明了每个$2$ -圈是两种特殊类型的反对称$2$ -圈的和：反对称圈对$2$ -圈和反对称四$2$ -圈。在图是Kuratowski连通的情况下，我们证明了每个反对称$2$ -圈是反对称圈对$2$ -圈的和。类似的结果，这是以前获得的作者之一对称$2$ -周期。对称$2$ -循环是$2$ -循环$d$，使得对于所有边$e,f\in E$都是$d(e,f)=d(f,e)$。
Cycles with consecutive odd lengths
证明了存在一个绝对常数c > 0，使得对任意自然数k，任意平均度至少为ck的非二部2-连通图都含有k个连续奇长的圈.这意味着存在一个绝对常数d > 0，即每一个最小度至少为dk的非二部2-连通图都包含模k的所有长度的圈，从而（以强形式）回答了一个Quarassen问题.这两个结果在常数因子下都很尖锐。
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