On $θ$-congruent numbers, rational squares in arithmetic progressions, concordant forms and elliptic curves
具有有理边的直角三角形、算术连续的有理平方的三元组和某些二次型的积分解之间的对应关系是众所周知的。我们展示了如何这种对应关系可以扩展到广义概念的合理$θ$ -三角形，合理的平方发生在等差数列和和谐的形式。在我们的方法中，我们建立了一对一的映射到某些椭圆曲线上的有理点，并详细研究了$θ$ -同余数问题和相应的椭圆曲线上的非平凡扭点的协调形式问题的解决方案的作用。这种方法使我们能够组合和扩展许多作者获得的一些不相交的结果，澄清文献中的一些陈述并回答一些迄今为止悬而未决的问题。
2014-08-22 math.NT
Sums of four rational squares with certain restrictions
本文主要研究四个有理平方在一定限制条件下的和问题。令$\mathbb Q_{\ge0}$是非负有理数的集合。我们建立了以下有理数的四平方定理：对于任何$a,b,c,d\in\mathbb Q_{\ge0}$，每个$r\in\mathbb Q_{\ge0}$都可以写为$x^2+y^2+z^2+w^2$，其中$x,y,z,w\in\mathbb Q_{\ge0}$使得$ax+by+cz+dw$是有理数平方（或有理数立方）。本文还包含了许多推论，例如，对于任何正整数$a$和$b$ with $\gcd(a,b)=1$，我们猜想每个$r\in\mathbb Q_{\ge0}$都可以写成$aw^4+bx^4+y^2+z^2$ with $w,x,y,z\in\mathbb Q$ .
2022-01-25 math.NT
Examples of non-simple abelian surfaces over the rationals with non-square order Tate-Shafarevich group
设A是定数域上的阿贝尔曲面.如果A是主极化的，则已知A的泰特-沙法列维奇群的阶如果是有限的，则必须是平方或平方的两倍。A的情况主要不是两极分化的仍然不清楚。对于{1，2，3，5，6，7，10，13}中的每个k，我们在其Tate-Shafarevich群的阶为k乘平方的有理数上构造一个非简单的非主极化阿贝尔曲面。为了得到这个结果，我们探讨了Birch和Swinnerton-Dyer猜想在等距条件下的不变性。
2014-02-24 math.NT
On simultaneous rational approximations to a real number, its square, and its cube
我们给出了一个用具有相同分母的有理数逼近三元组（xi，xi^2，xi^3）的一致指数的上界，该上界对任何超越实数xi都有效。这个上界改进了Davenport和Schmidt以前的一个结果。作为结果，我们得到了这样一个数xi的逼近指数的一个更清晰的下界的次数最多为4的代数整数。
2007-12-15 math.NT
Squarefree values of polynomials over the rational function field
本文研究了有限域F上的多项式环F[t]中的无平方多项式用F[t][x]中的多项式表示。这是用整数多项式表示无平方数整数的问题的函数域版本，其中证明了具有整数系数的可分多项式f（x）具有无穷多个无平方数值，除了一些简单的例外情况，事实上f（n）是无平方数的整数n具有正密度。我们证明了如果f（x）在F[t][x]中是可分的，且无平方成分，有界的次数和高度，那么当有限域大小#F趋于无穷大时，对几乎所有的首一多项式a（t），多项式f（a）是无平方成分的.
2013-07-13 math.NT
On the Distribution of Rational Squares
令$a$为正整数，令$σ(a)$表示最小自然数$s$，使得整数平方位于$s^2 a$和$s^2 (a+1)$之间;令$τ_s(a)$表示这样的整数平方的数目。函数$σ(a)$和序列$(τ_s(a))_{s \in \mathbb{Z}^+}$进行了研究，并观察到表现出令人惊讶的混沌行为。推导出$σ(a)$的上界和下界，以及它们何时是尖锐的标准。
2015-10-26 math.NT
Units from square-roots of rational numbers
令$D,Q$为自然数$(D,Q)=1$，使得$D/Q>1$和$D/Q$不是平方。令$q$是$Q$的最小除数，使得$Q|\, q^2$。我们证明了环$\mathbb Z[\sqrt{Dq^2/Q}]$的单位$>1$与环$\sqrt{D/Q}$的某些转化有关.在这些单位中，$\mathbb Z[\sqrt{DQ}]$的单位起着特殊的作用，因为它们对应于在每个周期结束之前发生的$\sqrt{D/Q}$的转换。我们还表明，最后提到的单位允许阅读（定期）连续的分数扩展某些二次无理数从（有限）连续的分数扩展某些有理数。
2022-11-22 math.NT
Strong rational Diophantine D(q)-triples
证明了对无穷多个无平方数的整数q，存在无穷多个有理数的三元组{a，b，c}使得a^2 + q，b^2 + q，c^2 + q，ab + q，ac + q和bc + q是有理数的平方.
2020-01-15 math.NT
Perfect squares representing the number of rational points on elliptic curves over finite field extensions
设$q$是素数$p$的完全幂，$E({\mathbb F}_q)$是由方程$y^2=x^3+Ax+B$给出的${\mathbb F}_q$上的椭圆曲线。对于一个正整数$n$，我们用$ \# E({\mathbb F}_{q^n})$表示在扩张${\mathbb F}_{q^n}$上$E$（包括无穷大）上的有理点的数目。在较温和的技术条件下，我们证明了序列$\lbrace \# E({\mathbb F}_{q^n}) \rbrace_{n>0}$至多包含$10^{200}$完满平方。如果不满足温和条件，则$\#E({\mathbb F}_{q^n})$是无限多个$n$（包括所有$24$的倍数）的完全平方。我们的证明使用了子空间定理的定量版本。我们还找到了$q < 50$和$n\leq 1000$范围内所有这些序列的所有完满平方。
2020-03-22 math.NT
A Dynamical Analogue of a Question of Fermat
本文研究二次多项式迭代轨道中的连续平方数问题，构造了含三个连续平方数的单参数族，并证明存在x^2+c形式的多项式其轨道含四个连续平方数，同时在标准猜想下给出周期点轨道仅含有理平方数的充要条件。
2023-10-27 math.NT
Sequences related to convergents to square root of rationals
本文研究了某些比收敛于有理数的平方根的序列。进一步分析了上述比值简化后得到的相关序列。
2003-06-30 math.CO math.NT
Sums of squares of polynomials with rational coefficients
我们构造一族显式多项式f的有理系数是多项式的平方和的实数，但不是在有理数。是否存在这样的例子是一个开放的问题最初提出的斯特姆费尔斯。我们还研究了表示的f的平方和的有理函数与合理的系数。在三元四次曲线的情况下，我们证明了我们的反例Sturmfels的问题是唯一的。
2013-06-14 math.AG math.NT
On a theorem of Bertolini-Darmon about rationality of Stark-Heegner points over genus fields of real quadratic fields
本文去掉了Bertolini-Darmon关于实二次域的窄亏格类域上Stark-Heegner点的合理性定理中的某些假设。一路上，我们建立了某些规范化的特殊值的$L$ -功能是平方的有理数，结果是独立的利益，并可以被视为实例的秩零的情况下，伯奇和Swinnerton-dyer猜想模平方。
2018-01-28 math.NT
On geometry of numbers and uniform rational approximation to the Veronese curve
考虑$\mathbb{R}^{n}$中有理同时逼近一点的经典问题。Marnat和Moshchevitin在2018年建立了诱导的普通和一致逼近指数之间的差距的最佳下限。最近，阮，Poels和罗伊提供的信息，最好的逼近合理的向量点的差距是接近这个极小值。结合后一个结果和参数数的几何，我们有效地限制了对偶线性形式指数在所描述的情况。作为应用，我们对均匀丢番图逼近$\widehatλ_{n}(ξ)$的经典指数的上界作了改进，对于偶数的$n\geq 4$ .不幸的是，我们的改进很小，对于$n=4$只有第五位十进制数。然而，原则上可以通过更多的努力来改进底层方法，以提供更好的边界。我们确实建立了合理的更强的结果，几乎满足平等的估计，由Marnat和Moshchevitin。我们的结论与后果的经典问题的逼近实数的代数数/整数的一致有界度。
2021-03-10 math.NT
Squared edge lengths of regular simplices with rational vertices
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济系与数学科学及应用中心）；a16z crypto（a16z 加密）
研究正则d-单纯形在有理数空间中的平方边长，发现当n-d≥3时所有正有理数都出现，而余维数0、1、2需满足特定条件。
2026-05-12 math.MG math.NT
On a problem of Hajdu and Tengely
我们证明了Hajdu和Tengely在最近的一篇论文中完成的关于由平方和五次幂组成的本原等差数列的研究的一个结果：唯一的互质整数形式为（a^2，b^2，c^2，d^5）的等差数列是（1，1，1，1）.为了证明，我们首先将问题归结为确定亏格为4的三条特定超椭圆曲线上的有理点集的问题。一个2-覆盖下降计算表明，有两个这些曲线上没有有理点。我们找到了最后一条曲线的Mordell-Weil群的有限指数子群的生成元。应用Chabauty方法，我们证明了这条曲线上仅有的有理点是明显点.
2010-05-29 math.NT
Sequences of consecutive squares on quartic elliptic curves
设$C: y^2=ax^4+bx^2+c$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线。一个有理点集$(x_i,y_i) \in C(\mathbb Q)$，$i=1,2,\cdots,$称为一个连续的正方形序列，如果对于某些$u\in \mathbb Q$，有$x_i= (u + i)^2$，$i=1,2,\cdots$.利用Mestre的思想，我们构造了无穷多条长度至少为$6$的连续平方序列的椭圆曲线$C$。这6个有理点是相互独立的。然后，我们加强这一结果证明，对于一个固定的$6$长期序列的连续平方，有无穷多个椭圆曲线$C$与后者的序列形成的$x$ -坐标的六个合理的点在$C(\mathbb Q)$。
2018-03-06 math.NT
Applications of the square sieve to a conjecture of Lang and Trotter for a pair of elliptic curves over the rationals
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$p$是$E$的好约化素数.然后，对于素数$p \neq \ell$，与$p$相关联的Frobenius自同构（直到共轭为止是唯一的）作用于$E$的$\ell$ -adic Tate模。Frobenius自同构的特征多项式具有有理整数系数，并且与$\ell$无关。它的分裂场称为$E$在$p$的Frobenius场。令$E_1$和$E_2$是在$\mathbb{Q}$上定义的两条椭圆曲线，它们在$\overline{\mathbb{Q}}$上是非同构的，并且在$\overline{\mathbb{Q}}$上也没有复数乘法。与著名的单椭圆曲线的朗-特罗特猜想类似，自然要考虑计算素数$p \leq x$个数的函数的渐近行为，使得$E_1$和$E_2$在$p$处的弗罗贝纽斯场重合。在这个简短的说明中，使用Heath-Brown平方筛，我们提供了条件（基于广义黎曼假设）和无条件上界。
2018-06-14 math.NT
Equidistribution, covering radius, and Diophantine approximation for rational points on the sphere
University of Zurich（苏黎世大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究球面上固定高度有理点在缩小尺度下的分布，证明了二维球面本原平方级林尼克集的无条件方差估计，得到不同类型的均匀分布，并推导出在覆盖、丢番图逼近及相关猜想方面的应用。
2026-07-16 math.NT
Bounding the rational sums of squares over totally real fields
设K是一个全实Galois数域。C. J.Hillar证明了如果f在Q[x_1，...，x_n]是K[x_1，...，x_n]，则f是Q[x_1，.，x_n]。对Hillar的证明进行了改进，改进了N（m）的上界，证明也是构造性的.
2009-07-14 math.NT math.RA
Rational Solids with Equal Surface Area and Volume
Harvard University（哈佛大学）；University of Delaware（特拉华大学）
本文对具有有理底边长和高、且表面积与体积均相等的正四棱锥和正四棱柱进行分类，证明仅存在唯一此类对，通过二次Chabauty计算结合Mordell-Weil筛法解决亏格2双椭圆曲线的有理点问题，还给出正圆锥与正圆柱的类似分类。
2026-09-28 math.NT
Rational points on symmetric squares of constant algebraic curves over function fields
考虑有限域上的光滑射影曲线C/ $\mathbb{F}$及其对称平方$C^{(2)}$ .对于整体函数域$K/\mathbb{F}$，研究了$C^{(2)}$的$K$ -有理点.我们描述了$C^{(2)}$生存Frobenius下降的adelic点，以及$K$ -有理点如何在那里拟合。我们的方法还导致了一个明确的限制的数量$K$ -有理点的$C^{(2)}$满足一个额外的条件。我们的一些结果适用于任意常数子品种的阿贝尔簇，但我们产生的例子表明，并不是所有的强有力的结论延伸。
2021-11-29 math.AG math.NT
Height of rational points on congruent number elliptic curves
证明了正比例的无平方数是全等数，使得相应的椭圆曲线上最低无挠有理点的标准高度满足强下界.
2018-02-20 math.NT
Rational Points and Zeta Functions of Humbert Surfaces with Square Discriminant
Oakland University（奥克兰大学）；Rio de Janeiro State University（里约热内卢州立大学）
本文研究有限域上具(n,n)分裂雅可比矩阵的2类曲线轨迹算术性质，计算多有限域有理点并推导n=2、3时的泽塔函数，据此提出分裂雅可比矩阵高效检测法，推动后量子2类系统的曲线选择、安全分析与协议设计。
2025-04-27 math.NT
Rational Diophantine sextuples with strong pair
本文研究了有理丢番图多元组问题，通过引入强对条件，成功构造出包含强丢番图对的有理丢番图六元组的无限族。
2024-03-12 math.NT
Approximation simultanée d'un nombre et de son carré [Simultaneous approximation to a real number and its square]
1969年，H. Davenport和W.施密特建立了一个同时逼近一个实数和它的平方由有理数具有相同分母的措施，假设只有一个实数不是有理数，也不是二次超过Q。在这里，我们通过一个例子表明，这种措施是最佳的。我们还指出了几个属性的数字，这一措施是最佳的，特别是关于近似的代数整数的程度最多三个。
2002-10-24 math.NT
Some Rational Diophantine Sextuples
一个著名的问题所提出的丢番图是要找到一套不同的积极有理数，使产品的任何两个是一个小于一个合理的平方。一些六个这样的数字的集合，并描述了用于找到它们的计算算法。文中还给出了四元组和五元组的分类，并附有实例和统计。
1999-02-13 math.NT
On sequences of consecutive squares on elliptic curves
令$C$是由方程$y^2=x^3+Ax+B$在$\mathbb Q$上定义的椭圆曲线，其中$A,B\in\mathbb Q$。一个有理点序列$(x_i,y_i)\in C(\mathbb Q),\,i=1,2,\ldots,$被称为在$C$上形成一个连续的正方形序列，如果$x$ -坐标序列$x_i,i=1,2,\ldots$由连续的正方形组成。我们产生了一个无限族的椭圆曲线$C$与$5$ -项序列的连续平方。此外，该序列由$C(\mathbb Q)$中的五个独立有理点组成。具体地，$C(\mathbb Q)$的秩$r$满足$r\ge 5$。
2016-02-18 math.NT
Points at rational distances from the vertices of certain geometric objects
我们考虑各种问题有关寻找点在$\Q^{2}$和$\Q^{3}$位于合理的距离从顶点的一些指定的几何对象，例如，一个正方形或矩形在$\Q^{2}$，和立方体或四面体在$\Q^{3}$。
2015-02-25 math.NT
Ideal Classes of Order $2^n$ in a Family of Totally Real Cubic Fields and Rational Points on Associated Elliptic Curves
Yang-En University（杨恩大学）
本文构造了具有指定理想类阶的Ennola三次域，并通过椭圆曲线和Pell方程获得多个独立有理点及高秩纤维。
2026-10-27 math.NT
Fermat's Four Squares Theorem
很容易找到一个面积为6的边长为整数的直角三角形。不存在面积为5的三角形，但存在一个具有有理边的三角形（“\emph{Pythagorean triangle}”）。由于历史的原因，整数如6或5是（平方的部分）的面积的一些毕达哥拉斯三角形被称为“\emph{congruent numbers}”。这些数字实际上很有趣，原因如下：注意序列$\frac14$、$6\frac14$、$12\frac14$。它是一个具有公差6的算术级数，由有理数的平方$(\frac12)^2$、$(\frac52)^2$、$(\frac72)^2$组成。事实上，AP中三个有理平方的公差是一个全等数，每个全等数是算术级数中三个有理平方的公差。由$9^{2}+40^{2}=41^{2}$给出的三角形的面积为$180=5\cdot6^{2}$，如果$x=11{97/144}$，则数字$x-5$、$x$和$x+5$都是有理数平方。回想一下，通过取$x=4uv$，$y=\pm(4u^{2}-v^{2})$，$z=4u^{2}+v^{2}$，可以得到所有具有互质整数边的毕达哥拉斯三角形，其中$u$和$v$是具有$2u$和$v$互质的整数。费马证明，没有AP超过三个平方的有理数。
2007-12-22 math.HO math.NT
Beyond the square-root barrier: cubic forms of Perazzo type
IST Austria（奥地利科学技术研究所）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Academia Sinica（中央研究院）
通过圆法研究特定立方四次型上的有理点，突破平方根障碍。
2026-04-21 math.NT
On the Moments of the Number of Representations as Sums of Two Prime Squares
本文研究整数表为两个素数平方之和的表示数的各阶矩，利用 Selberg 筛法获得无条件上界，并在 Green-Tao 定理推广的条件下证明下界，且从第五阶矩起得到预期数量级。
2024-03-02 math.NT
There are infinitely many rational Diophantine sextuples
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，吉布斯发现了第一个有理丢番图六元组的例子。本文证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。
2015-11-30 math.NT
Uniform bounds for rational points on hyperelliptic fibrations
我们应用一个变种的平方筛产生一个统一的上界的数量的有理点的有界高度的表面上的家庭，承认纤维化的投影线，其一般纤维是一个超椭圆曲线。
2021-09-27 math.NT
Rational Diophantine sextuples containing two regular quadruples and one regular quintuple
一组$m$不同的非零有理数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+1$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方，称为有理丢番图$m$ -元组。最近证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。本文构造了具有特殊结构的有理丢番图六元组的无限族，即含有某种类型的四元组和五元组的六元组。
2019-03-31 math.NT
Bertrand's and Rodriguez Villegas' conjecture for real multi-quadratic Galois extensions of the rationals
Bertrand和Rodriguez Villegas的猜想断言数域单位的外幂中非零元的1-范数有一定的下界。我们证明了这个猜想的外部平方的情况下，数域是一个真正的多二次伽罗瓦扩张的任何程度的有理数。
2024-10-04 math.NT
Congruent Numbers and Heegner Points
穆罕默德本Alhocain，在阿拉伯手稿的第十世纪，指出，主要对象的理论合理的直角三角形是找到一个广场时，增加或减少了一定数量$m$成为一个广场（见迪克森）。在现代语言中，这个目标是在椭圆曲线$my^2=x^3-x$上找到无限阶的有理点。Heegner建造（也见Monsky）这种有理点的情况下，$m$是素数全等5，7模8或两次素数全等6模8。本文将Heegner的结果推广到具有多个素除子的整数$m$.
2012-10-31 math.NT
Rational points on $X_0(N)^*$ when $N$ is non-squarefree
Brown University（布朗大学）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Leibniz Universität Hannover, Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik（汉诺威莱布尼茨大学代数、数论与离散数学研究所）；Laboratoire de mathématiques Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学数学实验室）
该研究针对非无平方因子$N$对应的正亏格模曲线商$X_0(N)^*$，证明相关模雅可比簇零秩商的存在性，建立非尖点有理点$j$-不变量的整性结果，完成1到5亏格下有限有理点的分类，并发现两个新的例外有理点，推进了Elkies猜想的相关研究。
2026-10-16 math.AG math.NT
Non-Euclidean Pythagorean triples, a problem of Euler, and rational points on K3 surfaces
我们发现了三个看似不同的问题之间令人惊讶的联系：在非欧几里德几何中找到有理边的直角三角形，找到三个整数，使得任何两个的平方差是平方，以及在代数几何中找到代数曲面上的有理点。我们还将重新解释欧拉的工作，第二个问题与现代的观点。
2006-06-28 math.AG math.NT
A note on the order of the Tate--Shafarevich group modulo squares
本文研究了阿贝尔簇的Tate--Shafarevich群模有理平方的阶，证明了每个无平方因子的自然数均可作为某个阿贝尔簇Tate--Shafarevich群的非无平方因子部分出现，从而验证了W. Stein的猜想。
2024-04-25 math.NT
New demonstrations about the resolution of numbers into squares
翻译自拉丁原文“Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata”（1774年）。Enestrom指数中的E445。见第三章，第十一节韦伊的“数论：一种方法，通过历史”。此外，基于欧拉定理的四平方定理的一个非常清楚的证明是Hardy和Wright的定理370，“An introduction to the theory of numbers”，第五版，它使用了Hardy和Wright的定理87，但在其他方面没有假设他们书中的任何东西。几个月前，我翻译了大部分论文，并检查了那些细节，但现在只完成了最后几部分。如果有什么不清楚的，请给我发电子邮件。
2008-05-31 math.HO math.NT
Square Eulerian Quadruples
我们考虑的问题，找到4个合理的平方，这样的产品的任何两个加上总和相同的两个总是给一个平方。我们给出了一些历史背景，并展示了这样一个四重。
2006-09-05 math.GM math.NT
Rational torsion in elliptic curves and the cuspidal subgroup
设$A$是正方形自由导体$N$的$\Q$上的椭圆曲线。证明了若$A$有一个素数阶有理扭点，使得$r$不整除$6N$，则$r$整除$J_0(N)$的尖子群的阶.
2008-10-29 math.AG math.NT
New sequences of non-free rational points
我们给出了$τ$的一些新的有理数的无限族，其中一些是有理数的平方，对于它们，由矩阵$\left( \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$和$\left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ τ& 1 \end{smallmatrix} \right)$生成的群甚至半群都不是自由的.
2021-01-09 math.GR math.NT
Inhomogeneous cubic congruences and rational points on del Pezzo surfaces
对于给定的非零整数a，b，q，我们研究了二元三次同余ax^2+by^3=0（mod q）的整数解（x，y）的密度.我们用它来建立Manin猜想的奇异del Pezzo曲面的度2定义的有理数和检查分布的椭圆曲线的平方免费的判别。
2011-09-02 math.AG math.NT
Density of rational points on diagonal quartic surfaces
设a，b，c，d是乘积为平方的非零有理数，设V是PP^3中由ax^4+by^4+cz^4+dw^4=0定义的对角四次曲面。我们证明了如果V包含一个有理点，且该有理点不位于V上的48条直线中的任何一条上，也不位于任何一个坐标平面上，则V上的有理点的集合在Zebraki拓扑和实解析拓扑中都稠密.
2009-02-27 math.AG math.NT
