Points at rational distances from the vertices of certain geometric objects
Andrew Bremner, Maciej Ulas
我们考虑各种问题有关寻找点在$\Q^{2}$和$\Q^{3}$位于合理的距离从顶点的一些指定的几何对象，例如，一个正方形或矩形在$\Q^{2}$，和立方体或四面体在$\Q^{3}$。
We consider various problems related to finding points in $\Q^{2}$ and in $\Q^{3}$ which lie at rational distance from the vertices of some specified geometric object, for example, a square or rectangle in $\Q^{2}$, and a cube or tetrahedron in $\Q^{3}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Points at Rational Distance from the Vertices of a Unit Polygon
本文研究了单位多边形平面上与其顶点相距有理距离的点的存在性。几乎在所有情况下都得到了否定的答案。
Squared edge lengths of regular simplices with rational vertices
研究正则d-单纯形在有理数空间中的平方边长，发现当n-d≥3时所有正有理数都出现，而余维数0、1、2需满足特定条件。
Circles with four rational points in geometric progression
本文证明了存在无穷多个具有有理半径的圆，其上含有四个横坐标或纵坐标成等比数列的有理点，推广了已知的三个点的情形。
A transference inequality for rational approximation to points in geometric progression
建立了由Badziahin和Bugeaud证明的关于等比数列中点的有理逼近指数的转移不等式.
Rational points on Atkin-Lehner quotients of geometrically hyperelliptic Shimura curves
Guo和Yang给出了所有几何超椭圆Shimura曲线$X_0(D,N)$的定义方程。在本文中，我们计算$\mathbb{Q}$ -有理点上的Atkin-Lehner矩这些曲线使用各种技术。我们还确定哪些有理点是CM的许多这些曲线。
The Rational Distance Problem for Equilateral Triangles
设（P）表示给定三角形T的平面上一点的存在性问题，即该点与T的所有顶点都有有理距离。在这篇文章中，我们提供了一个完整的解决方案（P）的所有等边三角形。
Rational Points in Geometric Progression on the Unit Circle
代数平面曲线上的一列有理点称为构成$r$ -等比数列，如果这些点的横坐标或纵坐标构成一个比为$r$的等比数列。本文证明了存在无穷多个有理数$r$，使得对于每个$r$，在单位圆$x^2 + y^2 = 1$上存在无穷多个长度至少为$3$的$r$ -等比数列.
On the Chow groups of certain geometrically rational 5-folds
我们给出了Pirutka（2011）中研究的二次纤维化的显式正则模型。作为应用，我们证明了这种构造是一个充分大的有限域上任意奇特征的Tate积分猜想的反例.我们研究了这个正则模型的余上同调，并由此得到这些反例不是挠的。
On rational triangles via algebraic curves
有理三角形是边长为有理的三角形。我们考虑三种不同的有理三角形，它们有一个固定的边，其顶点是平面上的有理点。我们显示了一个一对一的对应关系，每个家庭和一个代数曲线的有理点的集合。这些代数曲线是：亏格为0的曲线、椭圆曲线和亏格为3的曲线。我们研究了这些曲线上的有理点的集合，并明确地描述了其中的一些有理点。
A Congruence Condition For The Four-Distance Problem
将矩形的顶点放置在$\{(0, \pm 1/2), (a, \pm 1/2)\}$处，其中$a$是有理数。我们表明，如果$v_3(a) = 0$，那么任何点$(x,y)$，是合理的距离，从所有四个顶点的矩形有$v_3(x) < 0$或$v_3(y)<0$，其中$v_3(\cdot)$是3-adic赋值。特别感兴趣的情况是长开四距离问题，它询问在单位正方形的$a=1$情况下是否存在这样的有理距离点。对于四距离问题，我们的结果排除了四分之一的所有潜在的解决方案与有界的高度。
Rational points on modular curves: parameterization and geometric explanations
该研究在Zywina的Serre均匀性猜想条件下，通过参数化方法揭示了模曲线上的有理点与椭圆曲线j不变量之间的几何联系。
Rational Angle Bisection Problem in Higher Dimensional Spaces and Incenters of Simplices over Fields
本文将有理角平分问题推广到n维空间k^n中，研究了在k子域下，两直线方向向量的角平分线方向向量的条件，并推导了积分解公式，讨论了单纯形内心为k有理数的充要条件及三角形性质。
The Rational Distance Problem for Isosceles Triangles with one rational side
对于三角形$Δ$，令（P）表示在$Δ$的平面中存在点的问题，这些点与$Δ$的3个顶点具有有理距离。在下列情况下，（P）的答案已知为正：$Δ$有一条有理边，所有边的平方都是有理的。进一步地，在$Δ$的平面上，解点的集合是稠密的。[3]读者可以说服自己，一方的合理性是一个合理的最低条件，否则问题（P）将保持模糊和分散。现在，即使假设有一个理性的一面，问题（P）仍然很难。在本文中，我们把注意力限制在等腰三角形上，并给出了一个\textit{complete description}，使（P）有一个正解。
An Ancient Diophantine Equation with applications to Numerical Curios and Geometric Series
本文研究丢番图方程$x^k-y^k=x-y$，其中$k$是正整数$\geq 2$，并考虑它的应用.虽然方程$x^k-y^k=x-y$在正有理数下的完全解在$k=2$或$3$时已经是已知的，但到目前为止，在$k=4$时仅发表了方程在正有理数下的一个数值解，并且在$k \geq 5$时不知道非平凡解。我们描述了当$k=4$ .我们使用正有理解的方程与$k=2,\, 3$或4产生的数值好奇，涉及平方根，立方根和四分之一根，作为这些解决方案的另一个应用，我们展示了如何构建的例子等比级数与一个有趣的性质。
Equidistribution of rational points and the geometric sieve for toric varieties
研究光滑恰当分裂环面簇上有理点等分布的马尼恩 - 佩雷原理，基于萨尔贝格尔方法给出有理点数量渐近公式及误差项，证明埃克达尔型几何筛法有效版本并得出相关应用。
Uniform polynomial bounds on torsion from rational geometric isogeny classes
本文证明了对于几何同源于至少一条有理椭圆曲线的椭圆曲线族，其挠群大小存在一致多项式界，推广了固定有理几何同源类的结果，并为有理$j$-不变量情形获得了最优指数界。
Primitive points in rational polygons
设$\mathcal A$是平面上的星形多边形，其有理顶点包含原点。在膨胀的$t\mathcal A$中的原始晶格点的数目渐近地为$\frac6{π^2}$面积$(t\mathcal A)$为$t\to \infty$。我们表明，误差项是$Ω_\pm\big( t\sqrt{\log\log t} \big)$和$O(t(\log t)^{2/3}(\log\log t)^{4/3})$。这两个界限延伸（上述类别的多边形）等腰直角三角形，这出现在文献中的误差项的界限欧拉的$ϕ(n)$的总和功能已知的结果。
Geometric and arithmetic aspects of rational elliptic surfaces
博士论文包括三条线的调查涉及合理的椭圆曲面，即1）圆锥丛在这些表面上的研究; 2）调查可能的相交数的两个部分和3）一个定理关于一组纤维的Mordell-Weil秩至少3个单位高于一般秩的椭圆纤维化。
Rational Right Triangles of a Given Area
从任何给定的有理边直角三角形开始，例如面积为$6$的$(3,4,5)$ -三角形，我们使用欧几里得几何来证明有无穷多个其他有理边直角三角形具有相同的面积。我们进一步证明了在我们的尺规作图法下，给定面积的所有这样的三角形的集合是可逆生成的。这样的区域被称为“全等数”，并且具有丰富的历史，其中本文中的所有结果都已被证明，甚至更多。然而，据我们所知，这似乎是第一次使用这种几何技术的探索。
Geometric consistency of Manin's Conjecture
我们猜想Manin猜想中的例外集有一个明确的几何描述。我们的建议包括任何具有较大几何不变量的一般有限映射的有理点贡献。我们证明了这个集合是包含在一个薄的有理点的子集，验证没有反例马宁猜想所产生的几何不变量的不相容性。
Asymptotics of the number of waves on rational polyhedra
计算到达多面体顶点的波的数量的问题是由物理学激发的。本文利用数论中的三个非平凡结果，解决了柏拉图立体的情形。这种增长被证明是次指数增长。证明了所有顶点具有有理全角的多面体的次指数上界。
Explicit and efficient formulas for the lattice point count in rational polygons using Dedekind-Rademacher sums
我们给出了明确的，多项式时间计算公式的整数点的数量在任何二维有理多边形。有理多边形是其顶点具有有理坐标的多边形。我们发现，我们的公式的基本积木是Dedekind-Rademacher和，这是多项式时间可计算的有限傅里叶级数。作为一个副产品，我们重新推导出这些款项由于Gessel，这推广了经典的Dedekind和的互易定律的互易定律。此外，我们的方法表明，Gessel的互惠法是一个特殊的情况下的Dedekind-Rademacher总和，由于Rademacher。
Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields
目前，定义在有限域F_q上的亏格为g的绝对不可约、光滑、射影的代数曲线上的有理点个数的最佳上界要么来自于Serre对Weil界的精化（如果亏格比q小），要么来自于Oesterle对显式方法的优化（如果亏格大）。本文提出了三种方法来改善这些界限。使用的参数是曲线的θ因子的不可分解性，伽罗瓦下降，和本田泰特理论。改进边界的例子包括当q=2^3，2^5，2^{13}，3^3，3^5，5^3，5^7时，以及当q=2^{2s}，s>1时，降低它们的小亏格范围。对于大的亏格，q= 3，8，9时得到了孤立的改进.
Rational Singularities and Rational Points
如果$X$是定义在有限域$\F_q$上的一个射影几何不可约簇，使得它是光滑的，并且它的0-圈的Chow群满足基变换，即$CH_0(X\times_{\F_q}\bar{\F_q(X)})=\Q$，那么第二作者的定理断言它的有理点的数目满足$|X(\F_q)| \equiv 1$模$q$。如果$X$不平滑，则不再为真。事实上，J. Kollár构建了一个例子，理性连接表面$\F_q$没有任何有理点。在Berthelot-Bloch和第二作者计算刚性上同调的斜率$<1$片的基础上，定义了特征$p>0$中的Witt有理奇点的概念.定理是，如果$X/\F_q$是一个射影的几何不可约簇，使得它具有维特有理奇点，并且它的0-圈的Chow群满足基变换，则$|X(\F_q)| \equiv 1$模$q$。
Moduli spaces for families of rational maps on P^1
设φ：P^1 --> P^1是定义在域K上的有理映射。构造了以形式周期N为点的d次映射共轭类的参数化模空间M_d（N），并给出了M_2（N）对N>1几何不可约的代数证明.限制我们自己到任意次数d >= 2的映射φ，使得对于PGL_2中的某个非平凡h，合成h^{-1} φ h = φ，我们证明了用形式周期N的点参数化这些映射的模空间对无穷多个N是几何可约的。
Explicit determination of a class of permutation rational functions in any characteristic
本文利用低次置换有理函数的分类结果及其几何性质，研究诱导乘法子群mu_q+1置换的有理函数，明确描述了小次置换有理函数的一类广泛类别的显式结构，并应用这些发现确定了由度3有理函数诱导的许多F_q^2上的置换四次多项式。
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