The primitive solutions to x^3+y^9=z^2
我们确定有理整数x，y，z使得x^3+y^9=z^2和gcd（x，y，z）=1。首先，我们确定亏格为10的曲线的有限集，使得x^3+y^9=z^2的任何原始解对应于其中一条曲线上的有理点。我们观察到这10条亏格曲线中的每一条都覆盖了Q的某个扩张上的一条椭圆曲线。我们使用这个封面应用Chabauty样的方法来嵌入的曲线在韦尔限制的椭圆曲线。这使我们能够找到所有的有理点，从而推导出原始方程的原始解。
2003-10-31 math.NT
Primitive rational points on expanding horocycles in products of the modular surface with the torus
证明了环面与模曲面乘积中的本原有理点和由单项式定义的本原有理点沿长时圆轨道的有效等距分布。这回答了第一个和最后一个作者与Shahar Mozes和Uri Shapira联合工作中提出的问题。在一定的同余条件下，证明了二环面和模曲面上共轭有理点的联合等分布。
2019-10-20 math.DS math.NT
Counting flags of primitive lattices
我们计算原始格的标志，这些标志是${0}=Λ^{(0)}<Λ^{(1)}< \cdots <Λ^{(\ell)}= \mathbb{Z}^n$形式的对象，其中每个$Λ^{(i)}$是$\mathbb{Z}^n$中的原始格。计数是关于两个不同的自然高度函数，使我们能够给一个新的证明的Manin猜想旗品种超过有理数。我们推导了旗簇中有理点的等分布，以及相继商格$Λ^{(i)}/Λ^{(i-1)}$的形状的等分布。在这样做时，我们推广以前的工作施密特，以及我们自己的，计数原始格的秩$d<n$。
2022-02-25 math.NT
Primitive values of rational functions at primitive elements of a finite field
给定一个素数幂$q$和一个整数$n\geq2$，我们建立了一个本原对$(α,f(α))$存在的充分条件，其中$α\in \mathbb{F}_q$和$f(x) \in \mathbb{F}_q(x)$是次数$n$的有理函数. (Here $f=f_1/f_2$，其中$f_1, f_2$分别是次数为$n_1,n_2$和$n_1+n_2=n$的互质多项式。）对于任何$n$，这样的一对是保证存在足够大的$q$。事实上，当$n=2$时，这样的对肯定只对$q$的28个值存在{ \em不}，并且可能（但不太可能）只对最多$3911$其他$q$值存在。
2019-09-28 math.AC math.NT
Primitive Normal Values of Rational Functions over Finite Fields
本文考虑有限域$\mathbb{F}_{q^n},$上的有理函数$f$，其中$q=p^k$对某些素数$p$和正整数$k$ .我们建立了$\mathbb{F}_{q^n}$上$\mathbb{F}_{q}.$存在一对$(α,f(α))$的充分条件.此外，对于具有二次分子和二次子的$q=2^k$和有理函数$f$，我们明确地发现至多存在$55$有限域$\mathbb{F}_{q^n}$，其中不可能存在这样一对$(α,f(α))$.
2021-12-14 math.NT math.RA
Convex Lattice Polygons with $k\ge3$ Interior Points
本文研究了具有 $n$ 个边界格点和 $k\geq 3$ 个共线内部格点的凸格 $n$ 边形的几何性质，提出了一种通过构造本原格三角形来添加边的方法，并给出了必要条件与次数上界，最终完整分类了存在具有 $k$ 个共线及非共线内部点的凸 $n$ 边形的正整数。
2025-01-29 math.CO math.NT
Effective joint equidistribution of primitive rational points on expanding horospheres
我们证明了Einsiedler，Mozes，Shah和Shapira等人在至少$3$维的幺模格空间中建立了扩张半球上本原有理点的等分布的结果的一个有效版本.他们的证明使用齐次动力学的技术，特别是依赖于测量分类定理-一种不适合有效界限的方法。我们实现了一个战略的基础上的谱理论，傅里叶分析和Weil的界Kloosterman总和，以量化的速率均匀分布的一个特定的horosphere子群在任何维度。我们应用我们的结果提供了一个收敛速率的极限分布的适当重新缩放的直径的随机循环图。
2021-04-12 math.DS math.NT
Primitive ideals in rational, nilpotent Iwasawa algebras
给定一个$p$ -进域$K$和一个幂零一致pro-$p$群$G$，证明了$K$ -有理Iwasawa代数$KG$中的所有本原理想都是极大的，并且可以约化为一个特殊的标准型.设$\mathcal{L}$为$G$的伴随$\mathbb{Z}_p$ -李代数，研究了$KG$对仿射包络$\widehat{U(\mathcal{L})}_K$上的Dixandom模$\widehat{D(λ)}$的作用，并证明了所有的本原理想都可以约化为这种模的零化子.
2021-02-08 math.GR math.NT math.RA
Primitive pairs of rational functions with prescribed traces over finite fields
本文研究有限域上有理函数本原对的构造问题，建立了在指定迹条件下存在本原对 $(f(ε), g(ε))$ 的充分条件，并显式计算了次数和为 3 时的例外情形。
2024-11-23 math.NT
Near-primitive roots
给定一个整数$t\ge 1$，一个有理数$g$和一个素数$p\equiv 1({\rm mod} t)$，我们说$g$是指数$t$的近本原根，如果$ν_p(g)=0$，并且$g$的阶为$(p-1)/t$模$p$ .在$g$不是负平方的情况下，我们在广义黎曼假设（GRH）下以$ρ(g)A$的形式计算这些素数的密度，其中$ρ(g)$是有理数，$A$是阿廷常数。在这方面，我们遵循瓦格斯塔夫的方法，瓦格斯塔夫在早些时候处理过$g$不是负平方的情况。结果与最近使用非常不同的，更代数的方法确定密度完全一致，这是由于Hendrik Lenstra，作者和Peter Stevenstrom。
2011-12-21 math.NT
Equidistribution of primitive rational points on expanding horospheres
本文证实了Marklof关于扩展极限球面上稀疏算术点集等分布的猜想，并借此给出了Schmidt关于正交于整数向量的格形状分布结果的类比。
2015-05-15 math.DS math.NT
On existence of primitive normal elements of rational form over finite fields of even characteristic
本文研究偶数特征有限域上形如 $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ 的有理函数所诱导的本原正规对的存在性，建立了充分条件并给出例外情形列表。
2024-11-08 math.NT
Generic A-family of exponential sums
本文对以a为参数的f = x^d+ ax ^s族的指数和的L函数构造了一般牛顿多边形有理数上的生成多项式，并证明了它的一些重要性质.生成多项式编码的信息，并确定一般牛顿多边形在每个素数p时，p是足够大，反之亦然。
2013-08-04 math.NT
The density of rational points on Cayley's cubic surface
凯莱三次曲面由方程sum_{i=1} ^4 X_i^{-1}=0给出。我们证明了大小至多为B的非平凡本原整数点的个数是B（log B）^[6]的正序，正如马宁猜想所预言的那样。
2002-10-21 math.NT
Zeta functions of totally ramified p-covers of the projective line
本文证明了在具有任意k个指定阶极点的一元有理函数空间中，存在定义在有理数Q上的一个Zebraki稠密开子集U，使得对于U（Qbar）$中的每一个几何点f，f在素数p处的指数和的L-函数有Newton多边形，当p趋于无穷大时，该Newton多边形逼近Hodge多边形.作为代数几何中的一个应用，我们证明了在任意k个指定阶点完全分歧的射影直线的p-覆盖的zeta函数的p进牛顿多边形有一个渐近通有下界.
2005-01-30 math.AG math.NT
Behaviour of Newton Polygon over polynomial composition
本文研究有理数域上多项式复合的牛顿多边形结构，建立充分条件以明确描述复合多项式g(fⁿ(x))关于素数p的牛顿多边形连续顶点，为其在迭代和复合下的演变提供见解并应用于相关数论问题研究。
2025-08-22 math.DS math.NT
Effective equidistribution of primitive rational points on expanding horospheres
本文利用矩阵 Kloosterman 和界、Hecke 点有效等分布及 Rogers 积分公式，证明扩张闭 horosphere 上本原有理点的有效等分布，并给出线性同余小解与有限域非方阵计数应用。
2023-07-17 math.DS math.NT
Rational Periodic Points for Degree Two Polynomial Morphisms on Projective Space
本文讨论了射影空间的态射的$\Q$ -有理周期点的存在性。特别是，我们构建了一个无限家庭的态射$¶^N$每个组件是一个度2齐次形式的$N+1$变量，其中有一个$\Q$ -周期点的原始周期$\frac{(N+1)(N+2)}{2} + \lfloor \frac{N-1}{2}\rfloor$。这个结果然后被用来表明，$N$足够大，存在态射的$¶^N$与$\Q$ -合理的周期点的本原周期大于$c(k)N^k$的任何$k$和一些常数$c(k)$。
2009-08-04 math.DS math.NT
Twists of X(7) and primitive solutions to x^2+y^3=z^7
我们找到x^2+y^3=z^7的原始整数解。一个非交换下降参数涉及单群168阶群减少了问题的一套有理点的有限集的扭曲的克莱因四次曲线X的确定。利用X与模曲线X（7）之间的同构关系，利用椭圆曲线的模性和降阶来限制相关twist的集合.这留下10个亏格-3曲线，其有理点通过组合的方法被发现。
2005-08-10 math.AG math.NT
Algorithms for commutative algebras over the rational numbers
本文考虑的代数是交换环，其加法群是有理数域上的有限维向量空间。我们提出了确定性的多项式时间算法，给定这样的代数，确定它的零根，所有的素理想，以及相应的本地化和剩余域，它的最大可分离的子代数，和它的本原幂等元。我们还解决了代数的乘法群中的离散对数问题。虽然确定性的多项式时间算法是已知的早期，我们的方法是从以前的不同。我们的工具之一是一个本原元算法;它决定代数是否有一个本原元，如果有，找到一个，所有在多项式时间。一种新颖的方法是使用导数来代替亨塞尔-牛顿迭代。它导致了一个明确的公式提升幂等元对幂零是有效的任何交换环。
2016-10-04 math.AC math.NT
Primitive Divisors in Arithmetic Dynamics
令F（z）是Q（z）中的一个次数至少为2的有理函数，其中F（0）= 0，并且使得F不会为0处的d阶消失。设b是在F的迭代下具有无穷轨道的有理数，记F^n（b）= A_n/B_n为最低项的最简分数.我们证明了对除n > 0以外的所有数，分子A_n都有一个本原除数，即，存在一个素数p，使得p整除A_n，且对所有i < n，p不整除A_i。更一般地，我们证明了一个类似的结果，当F定义在数域上，0是F的周期点。
2007-07-26 math.DS math.NT
L-functions of Exponential sums over one-dimensional affinoid: Newton over Hodge
设p是素数，F_pbar是p元有限域的代数闭包.设f（x）是F_pbar上任意一个单变量有理函数，其n阶极点为d_1，.，d_n。设对每一个i，p与di互质证明了存在一个只依赖于di的Hodge多边形，它是f（x）的指数和的L函数的Newton多边形的一个下界.此外，我们证明了这两个多边形重合，如果p=1 mod d_i，对于每个i=1，...，n.作为推论，得到了Artin-Schreier曲线的Newton多边形的一个紧下界.
2005-02-01 math.AG math.NT
