There is no Diophantine $D(-1)$--quadruple
一组正整数的性质，其中任何两个产品是一个完满平方继承称为丢番图$D(-1)$ -集。这样的对象通常是通过一个系统的广义佩尔方程自然连接到一套审查。本文介绍了一种新的研究丢番汀$D(-1)$的方法--四元组。主要的新颖性是揭示了一个二次方程的各种参数描述一个假设的$D(-1)$ -四倍整数条目。结合大量的计算，这一想法导致确认的猜想，根据没有丢番图$D(-1)$ -四重。
2020-10-19 math.NT
Rational Diophantine sextuples containing two regular quadruples and one regular quintuple
一组$m$不同的非零有理数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+1$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方，称为有理丢番图$m$ -元组。最近证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。本文构造了具有特殊结构的有理丢番图六元组的无限族，即含有某种类型的四元组和五元组的六元组。
2019-03-31 math.NT
On elliptic curves induced by rational Diophantine quadruples
本文考虑由有理丢番图四元组诱导的椭圆曲线，即四个非零有理数的集合使得其中任意两个有理数加1的乘积是完满平方.我们表明，对于每个组$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$的$k = 2, 4, 6, 8$，有无穷多个合理的丢番图四元的属性，诱导的椭圆曲线有这个扭转群。我们还构建了在这四种情况下具有适度大秩的曲线。
2021-05-15 math.NT
$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
该研究在非交换环$M_2(\boldsymbol Z)$中引入$D(N)$-$m$元组的类似物，考虑标准矩阵乘积与若尔当乘积两种形式，聚焦上三角整数矩阵$UT_2(\boldsymbol Z)$，探究其中若尔当$D(N)$四元组的存在性。
2026-09-01 math.NT
Rational $D(q)$-quadruples
Faculty of Food Technology and Biotechnology, University of Zagreb（萨格勒布大学生物技术与食品技术学院）；Department of Mathematics, University of Zagreb（萨格勒布大学数学系）
本文研究了有理数D(q)-四元组的性质，通过椭圆曲线上的点来描述满足特定乘积条件的四元组结构。
2021-05-13 math.NT
Apollonian Equilateral Triangles
给定一个等边三角形，$a$是其边长的平方，其平面上的一点是$b$，$c$，$d$是从该点到三角形顶点的距离的平方，可以计算出$a$，$b$，$c$，$d$满足$3(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2$。本文导出了满足该方程的非负整数四元组$(a,\, b,\, c,\, d)$的性质，称之为三角形四元组。很容易验证从$(a,\, b,\, c,\, d)$生成$(a,\, b,\, c,\, a+b+c-d)$的操作保留了这个特征，并且它和其他元素的类似特征可以由四个矩阵表示。我们详细研究了三角形组，这些操作作为发电机组，并完全分类的轨道四倍体相对于三角形组行动。我们还计算了一定数量的操作后生成的三角形四元组的数量，并近似由最大元素等特征限定的四元组的数量。最后，我们证明了三角形群是一个双曲Coxeter群，并通过调用李群导出了三角形四元组的元素信息。我们还将问题推广到更高的维度。
2013-03-01 math.NT
Strong Eulerian triples
证明了存在无穷多个有理数a，b，c，且a^2-1，b^2-1，c^2 -1，ab-1，ac-1，bc-1都是完满平方.这提供了一个解决方案的一个变种的问题研究丢番图和欧拉。
2018-02-01 math.NT
Quartic Rational Diophantine Quadruples and the Euler Surface
University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering（萨格勒布大学土木工程学院）；University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文证明存在无限多个四次有理狄菲antine四元组，通过构造欧拉曲面得到首个显式无限族四次有理狄菲antine四元组，并扩展到任意指数k>1的情况。
2026-04-21 math.NT
There are infinitely many rational Diophantine sextuples with square denominators
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，吉布斯发现了第一个有理丢番图六元组的例子，2016年，杜杰拉、卡扎利茨基、米基奇和西克赛证明了有无穷多个这样的例子。本文证明了存在无穷多个有理丢番图六元组，使得六元组中所有元素的乘子都是完满平方。
2019-03-07 math.NT
Diophantine $D(n)$-quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{4k + 2}]$
本文研究了二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的 Diophantine $D(n)$-四元组，在特定条件下证明了对于满足特定同余关系的 $n$，存在无穷多个 $D(n)$-四元组，并给出了 $d=10$ 时的实例。
2024-06-26 math.NT
Extremal set theory, cubic forms on $\mathbb{F}_2^n$ and Hurwitz square identities
我们考虑一个家庭，$\mathcal{F}$，一个$n$集的子集，使任何两个元素的对称差的基数$F,F'\in\mathcal{F}$是不是4的倍数。我们证明了$\mathcal{F}$的最大尺寸是有界的$2n$，除非$n\equiv{}3\mod4$时，它是有界的$2n+2$。我们的方法使用$\mathbb{F}_2^n$上的三次型和Hurwitz-Radon平方恒等式理论。我们也应用这个理论来获得一些关于布尔三次型和所谓的加法四元组的信息。
2014-03-27 math.CO math.NT
Some Rational Diophantine Sextuples
一个著名的问题所提出的丢番图是要找到一套不同的积极有理数，使产品的任何两个是一个小于一个合理的平方。一些六个这样的数字的集合，并描述了用于找到它们的计算算法。文中还给出了四元组和五元组的分类，并附有实例和统计。
1999-02-13 math.NT
A polynomial variant of a problem of Diophantus and its consequences
证明了$\mathbb{R}[X]$中的丢番图四元组都是正则的。更准确地说，我们证明了如果$\{a, b, c, d\}$是来自$\mathbb{R}[X]$的四个非零多项式的集合，不都是常数，使得其不同元素中的任何两个被$1$增加的乘积是来自$\mathbb{R}[X]$的多项式的平方，则$$(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1).$$该结果的一个结果是不存在来自$\mathbb{Z}[X]$的四个非零多项式的集合，不都是常数，使得它们中的任何两个的乘积加上不是完满平方的正整数$n$是来自$\mathbb{Z}[X]$的多项式的平方。我们的结果还意味着不存在一组来自$\mathbb{Z}[X]$的五个非零多项式，不是所有的常数，使得它们中的任何两个的乘积增加正整数$n$，这是一个完满平方，是来自$\mathbb{Z}[X]$的多项式的平方。
2017-07-14 math.NT
Explicit construction of decomposable Jacobians
本文给出了特征0域上可分解超椭圆 Jacobian 簇的显式构造，并应用于构造具有无穷多二次扭转且含有有理非 Weierstrass 点的超椭圆曲线族。
2024-10-12 math.AG math.NT
