Dante Bonolis, Tim Browning
We apply a variant of the square-sieve to produce a uniform upper bound for the number of rational points of bounded height on a family of surfaces that admit a fibration over the projective line, whose general fibre is a hyperelliptic curve.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Infinitely many hyperelliptic curves with exactly two rational points
本文构造了一类具有两个有理点的亏格为$2$的无穷多条超椭圆曲线。在证明中，我们首先证明了这些超椭圆曲线的Mordell-Weil秩是$0$，然后利用Grant证明的超椭圆曲线的Lutz-Nagell型定理确定有理点集.
Guo and Yang give defining equations for all geometrically hyperelliptic Shimura curves $X_0(D,N)$. In this paper we compute the $\mathbb{Q}$-rational points on the Atkin-Lehner quotients of these curves using a variety of techniques. We also determine which rational points are CM for many of these curves.
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
Splitting curves on a rational ruled surface, the Mordell-Weil groups of hyperelliptic fibrations and Zariski pairs
设$Σ$为光滑射影曲面，$f' : S' \to Σ$为$Σ$的双覆盖，$μ: S \to S'$为正则分解.放入$f = f'\circμ$。如果$f^*C$的形式为$C^+ + C^- + E$，则称$Σ$上的不可约曲线$C$是关于$f$的分裂曲线，其中$C^- = σ_f^*C^+$，$σ_f$是$f$的覆盖变换，并且$E$的所有不可约分量都包含在$μ$的例外集中。本文证明了有理直纹曲面上某对曲线的分裂曲线的一种“互易性”。作为应用，我们考虑了有理直纹曲面上某些曲线的补曲线的拓扑。
Two-cover descent on hyperelliptic curves
我们描述了一个算法，确定一组unramified覆盖的给定超椭圆曲线，与任何有理点将提升到一个覆盖的属性。特别地，如果算法返回空集，则超椭圆曲线没有有理点。这为超椭圆曲线的可解性提供了一个比较有效的检验准则。本文还讨论了该算法在亏格为1的曲线和具有有理点的曲线上的应用。
2-Selmer groups of even hyperelliptic curves over function fields
本文计算了函数域上偶超椭圆曲线族的2-Selmer群的平均长。结果将通过基于群$G=\text{PSO}(2n+2)$的Vinberg表示和希钦纤维化的几何方法获得。与Arul Shankar和Xiaoheng Wang [超椭圆曲线上有显著非Weierstrass点的有理点，Compos.数学、154（1）：188-222，2018]，我们提供了平均值的上界和下界。然而，如果我们限制到族的横向超椭圆曲线，我们得到精确的数字6。
Most hyperelliptic curves over Q have no rational points
所谓Q上的超椭圆曲线，我们指的是Q上的光滑的、几何上不可约的、完备的曲线C，它具有一个定义在Q上的到P^1的2次固定映射。因此，任何亏格为g的Q上的超椭圆曲线C都可以通过以下形式的方程嵌入加权射影空间P（1，1，g+1）：z^2 = f（x，y）= f_0 x^n + f_1 x^{n-1} y +.. + 其中n=2g+2，系数fi位于Z中，f在Q-棒上分解为不同的线性因子。通过H（C）：=max{ |f_i| }定义C的高度H（C），并按高度对亏格g的Q上的所有超椭圆曲线进行排序。证明了当g趋于无穷大时：1）亏格g的超椭圆曲线的密度接近100%时没有有理点; 2）亏格g的局部处处有点的超椭圆曲线的密度接近100%时不满足Hasse原理; 3）亏格g的超椭圆曲线的密度接近100%时有空Brauer集，即有一个Brauer-Manin障碍来获得有理点。我们还证明了这种类型的个别属，包括g = 1的正比例结果。
100% of odd hyperelliptic Jacobians have no rational points of small height
该研究将奇次超椭圆曲线雅可比簇的有理点高度与李群表示的约化理论结合，证明密度为1的子集中这类雅可比簇没有非平凡小高度有理点。
In the previous paper, Hirakawa and the author determined the set of rational points of a certain infinite family of hyperelliptic curves $C^{(p;i,j)}$ parametrized by a prime number $p$ and integers $i$, $j$. In the proof, we used the standard $2$-descent argument and a Lutz-Nagell theorem that was proven by Grant. In this paper, we extend the above work. By using the descent theorem, the proof for $j=2$ is reduced to elliptic curves of rank $0$ that are independent of $p$. On the other hand, for odd $j$, we consider another hyperelliptic curve $C'^{(p;i,j)}$ whose Jacobian variety is isogeno…
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves II
该研究提出精细化方法证明带单有理魏尔斯特拉斯点的超椭圆曲线的Chabauty--Coleman--Kim集合有限性，给出模2 Bloch--Kato塞尔默群的2进与实进塞尔默条件计算方法，验证了多数LMFDB中秩2亏格2曲线的有限性，还得到超椭圆曲线雅可比簇二次下降的域论描述。
The density of fibres with a rational point for a fibration over hypersurfaces of low degree
证明了锥束纤维化中具有有理点的纤维比例的渐近性。纤维化的基是一般的低次超曲面。
Rational points on certain hyperelliptic curves over finite fields
令$K$为字段，$a, b\in K$和$ab\neq 0$。让我们考虑多项式$g_{1}(x)=x^n+ax+b, g_{2}(x)=x^n+ax^2+bx$，其中$n$是固定的正整数。本文证明了对每个$k\geq 2$，由方程\begin{equation*} S_{k}^{i}: u^2=\prod_{j=1}^{k}g_{i}(x_{j}),\quad i=1, 2. \end{equation*}给出的超曲面包含一条有理曲线.使用上述内容和Woestijne最近的结果\cite{Woe}，我们展示了如何在多项式时间内构造与有限域上定义的曲线$C_{i}:y^2=g_{i}(x), (i=1, 2)$上无穷远点不同的有理点。
Fast Jacobian arithmetic for hyperelliptic curves of genus 3
研究了特征不为2的域上亏格为3的超椭圆曲线的雅可比矩阵的有效计算问题。对于具有有理Weierstrass点的曲线，快速显式公式是众所周知的并且广泛可用。在这里，我们解决的一般情况下，我们不假设存在一个合理的维尔斯特拉斯点，使用平衡除数的方法。
Methods for constructing elliptic and hyperelliptic curves with rational points
我提供的方法来构建椭圆和超椭圆曲线在全球领域的有趣的有理点在给定的领域或超过大的域扩张。给出了定义在任意给定数域上的椭圆曲线的一个有理点，（分别为）有两个有理点）和最简三次域上有两个有理点的有理数上的椭圆曲线。我还提供了亏格超过任何给定数的超椭圆曲线在任何给定数域上，其点（在给定数域上）跨越该曲线的雅可比矩阵的有理点组中的秩至少为$g$的子群。我还提供了一种方法来构建超椭圆曲线的有理函数域上的有理点定义在域扩张与大型有限简单伽罗瓦群，如马蒂厄组$M_{24}$。
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
证明了当所有亏格为$n\geq 1$且具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线按高排序时，其Jacobian的2-Selmer群的平均大小等于3.由此可知，它们的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩至多为3/2。Chabauty的方法，然后可以被用来获得一个有效的界限上的合理的点的数量，这些超椭圆曲线，例如，我们表明，大多数的超椭圆曲线属$n\geq 3$与理性Weierstrass点有不到20个有理点。
Hyperelliptic parametrizations of $\mathbb{Q}$-curves
对于一个无平方的整数$N$，我们提出了一个程序来计算$\mathbb{Q}$ -曲线参数化的有理点的模曲线$X_0^*(N)$时，这是超椭圆。
Vanishing of Hyperelliptic L-functions at the Central Point
得到了有理函数域上二次Dirichlet L函数在中心点$s = 1/2$为零的个数的一个下界.这与有理数的情形相反，在有理数情形中，Chowla的一个猜想预言不应该有这样的L函数。该方法是基于观察，消失在中心点可以解释几何，作为一个固定的阿贝尔簇从超椭圆曲线相关的字符的映射的存在。
The number of rational points of hyperelliptic curves over subsets of finite fields
证明了两个与有限域子集上超椭圆曲线有理点数有关的集中不等式。特别是，我们调查的概率之间的二次残留物和非残留物的数量在这样的子集的图像均匀随机超椭圆曲线的给定程度的大的差异。我们发现一个恒定的概率，这样一个高的差异，并显示存在一个非常大的差异集。
Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point
考虑曲线y ^2 =f（x）的光滑投影模型C，其中f（x）在Z[x]中是一元的，且是2g+1次可分的。我们证明了，对于g >= 3，这些正分数只有一个有理点，在无穷远无穷远点。我们证明了这个分数的下界，趋于1的g趋于无穷大。最后，我们表明，C（Q）可以算法计算这样的曲线的一部分。该方法可以概括如下：利用p-adic分析和McCallum的思想，我们发展了Chabauty方法的一个重新表述，表明某些可计算条件意味着#C（Q）=1;另一方面，利用进一步的p-adic分析，算术曲面理论，关于超椭圆曲线上挠点的一个新结果，关键的是非零2-Selmer群元素的Bhargava-Gross等分布定理，我们证明了当p=2时，这些条件经常满足.
2-Selmer groups of hyperelliptic curves with two marked points
研究了一类具有固定亏格的$\Q$上的超椭圆曲线族，以及一个标记有理Weierstrass点和一个标记有理非Weierstrass点.当这些曲线按高度排序时，我们证明了它们的雅可比矩阵的平均Mordell-Weil秩在5/2以上有界。我们证明了这一点，表明2-塞尔默群的平均秩是有界以上的6。我们还证明了与这个家族相关的同源家族的$ϕ$-Selmer群的平均大小正好是2。
We compute rational points on genus $3$ odd degree hyperelliptic curves $C$ over $\mathbb{Q}$ that have Jacobians of Mordell-Weil rank $0$. The computation applies the Chabauty-Coleman method to find the zero set of a certain system of $p$-adic integrals, which is known to be finite and include the set of rational points $C(\mathbb{Q})$. We implemented an algorithm in Sage to carry out the Chabauty-Coleman method on a database of $5870$ curves.
Brauer-Manin obstructions on hyperelliptic curves
本研究提出一种计算数域超椭圆曲线Brauer-Manin障碍的实用算法，无需依赖大次数数域类群与单位群计算，实验显示对亏格≥5的有理曲线有理点判定准确率超99%，还给出亏格50的反例，核心理论是扩展带限制分歧挠子的下降理论。
On geometric progressions on hyperelliptic curves
令$C$是由$y^2=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n$，$a_i\in\mathbb Q$描述的$\mathbb Q$上的超椭圆曲线。如果有理数$x_{i}$、$i=1,2,...,k,$在$\mathbb Q$中形成几何级数序列，则称点$P_{i}=(x_{i},y_{i})\in C(\mathbb{Q})$、$i=1,2,...,k,$在长度$k$的几何级数中，即，$x_i=pt^{i}$换一些$p,t\in\mathbb Q$。本文证明了在长度至少为8的几何级数中存在有理点列的超椭圆曲线的无限族的存在性。
Partial Descent on Hyperelliptic Curves and the Generalized Fermat Equation x^3+y^4+z^5=0
设C：y^2=f（x）是定义在有理数上的超椭圆曲线.设K是数域，设K上的f因子是不可约多项式f=f_1 f_2..的乘积。f_r.我们将定义一个“塞尔默集”对应于这个分解的性质，如果它是空的，那么曲线C没有有理点。我们将证明我们的新方法的有效性，通过解决广义费马方程的签名（3，4，5），这是无懈可击的，通过以前的方法。
The Number of Rational Points On Genus 4 Hyperelliptic Supersingular Curves in Characteristic 2
有限域上曲线领域的一个大问题是关于点的个数的分布：在亏格为$g$的曲线上，哪些数是点的个数？同样的问题也可以问到曲线的各种子类。本文对$2^n$，$n$奇阶有限域上亏格为4的超奇异超椭圆曲线上点数的可能性进行了分类.
Ranks of rational points of the Jacobian varieties of hyperelliptic curves
本文给出了定义在数域$F$上的一系列阿贝尔簇的分圆扩张上的Mordell-Weil秩的界，其中$F$上的素数在$F/\mathbb{Q}$上全分歧.我们假设阿贝尔簇在这些素数处可能有很好的非平凡约化。我们的工作是\cite{Kim}的推广，其中第二作者将Perrin-Riou的Iwasawa理论推广到定义在上述数域$F$上的具有超奇异约化的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线（\cite{Perrin-Riou}）。在非平凡约化和域$F$的衍生物的基础上，我们处理了阿贝尔簇的维数可以是任何大于1的数的额外困难，这会导致各种问题。其结果是，我们得到的秩的界限分圆扩展$\mathbb{Q}(μ_{p^{\max(M,N)+n}})$的雅可比簇的{ \it分歧}超椭圆曲线$y^{2p^M}=x^{3p^N}+ax^{p^N}+b$等。
We complete the computation of all $\mathbb{Q}$-rational points on all the $64$ maximal Atkin-Lehner quotients $X_0(N)^*$ such that the quotient is hyperelliptic. To achieve this, we use a combination of various methods, namely the classical Chabauty--Coleman, elliptic curve Chabauty, quadratic Chabauty, and the bielliptic quadratic Chabauty method combined with the Mordell-Weil sieve. Additionally, for square-free levels $N$, we classify all $\mathbb{Q}$-rational points as cusps, CM points (including their CM field and $j$-invariants) and exceptional ones. We further indicate how to use this …
Computing integral points on hyperelliptic curves using quadratic Chabauty
给出了奇次超椭圆曲线上亏格等于其雅可比行列式的Mordell-Weil秩的有理数上整点的计算方法。我们的方法包括一个组合的$p$ -进近似技术在以前的工作中介绍了Mordell-Weil筛
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves I
本文提出了一种通过 Galois 协同论方法确定超椭圆曲线 Jacobian 的 Bloch-Kato Selmer 组秩的方法，并利用该方法回答了关于有理点的问题。
The number $N_9(5)$, the maximal number of $\mathbb{F}_9$-rational points on curves over $\mathbb{F}_9$ of genus $5$ is unknown, but it is known that $32 \le N_9(5)\le 35$. In this paper, we enumerate hyperelliptic curves and trigonal curves over $\mathbb{F}_3$ which have many $\mathbb{F}_9$-rational points (and $\mathbb{F}_3$-rational points), especially the maximal number of $\mathbb{F}_9$-rational points of those curves is $30$. Kudo-Harashita studied the nonhyperelliptic and nontrigonal case,where they found a new example of curves (over $\mathbb{F}_3$) of genus five which attains $32$ and…
Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves with rational Weierstrass points
设$C$是离散赋值环$R$的分式域$K$上亏格为$g$的超椭圆曲线.假设$R$的剩余字段$k$是完美的，并且$\mathop{\textrm{char}} k \neq 2$ .假设$C$的Weierstrass点是$K$ -有理数。让$S = \mathop{\textrm{Spec}} R$。设$\mathcal{X}$是$S$上的$C$的最小真正则模型.令$\mathop{\textrm{Art}} (\mathcal{X}/S)$表示$S$ -方案$\mathcal{X}$的Artin导体，令$ν(Δ)$表示$C$的最小判别式。我们证明了$-\mathop{\textrm{Art}} (\mathcal{X}/S) \leq ν(Δ)$ .作为推论，我们得到了$\mathcal{X}$的特殊纤维的分支数上界于$ν(Δ)+1$ .
Paucity of rational points on fibrations with multiple fibres
本文研究射影直线上的簇族中处处局部可解纤维的密度，利用对数几何提出新的稀疏性判据并推广Loughran-Smeets猜想，通过Chebotarev定理和筛法给出证据。
Counting rational points on elliptic and hyperelliptic curves over function fields
结合2-下降、Riemann-Roch和Bézout定理，给出函数域上椭圆与超椭圆曲线有界高度有理点及S-整点数的上界，并应用于小有限域上雅可比簇挠部分，改进了已知上界。
Explicit Rational Group Law on Hyperelliptic Jacobians of any Genus
众所周知，阿贝尔簇是射影的，因此存在明确的多项式和有理函数来定义簇及其群律。然而，很难找到任何明确的多项式和有理函数来描述这些变量或它们在大于2维中的群律。一个例外可以在Mumford的经典“Lectures on Theta”中找到，在那里他描述了如何获得超椭圆Jacobian的显式模型，作为描述为显式多项式方程的消失轨迹的几个仿射片段的联合。在这篇文章中，我们推广了这一工作，给出了稠密开集上的群律的显式方程。人们可以把这些方程看作是椭圆曲线上通常的基于弦的群律的推广。
Integral Points on Hyperelliptic Curves
给出了超椭圆曲线仿射模型上积分点的完全显式上界，条件是至少知道一个有理点和雅可比矩阵的Mordell-Weil基.我们还解释了一个强大的改进Mordell-Weil筛，结合上界，是能够确定所有的积分点。我们的方法是通过确定两个亏格2超椭圆曲线的积分点，Mordell-Weil雅可比秩为3和6。
We study weak approximation on rationally connected varieties under an assumption of strong approximation for a "simple" variety or under Schinzel's hypothesis. We also get some unconditional results.
Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves
Manjul Bhargava和Benedict Gross在文献[5]中考虑了$\Q$上的超椭圆曲线族具有固定的亏格和一个标记的有理Weierstrass点.他们表明，当按高度排序时，这些曲线的雅可比行列式的2-Selmer群的平均大小为3。本文考虑了$\Q$上的一类具有固定亏格和一个标记有理非Weierstrass点的超椭圆曲线.我们表明，当这些曲线的高度排序，其雅可比矩阵的2-Selmer群的平均大小是6。这就产生了这些超椭圆曲线的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩的上界为5/2。最后，使用等分布结果，我们修改了[16]的技巧，从而得出结论：当$g$趋于无穷大时，具有亏格$g$的这些一元偶次超椭圆曲线中趋于1的部分恰好具有两个有理点-无穷远处的标记无穷远点及其超椭圆共轭。
Uniform bounds for the number of rational points on hyperelliptic curves of small Mordell-Weil rank
证明了数域K上亏格为g的超椭圆曲线C上的K-有理点个数存在一个仅依赖于g和[K：Q]的界，使得其Jacobian的Mordell-Weil秩r至多为g-3.若K = Q，则显式界为8 rg + 33（g - 1）+ 1。证明是基于Chabauty的方法，新的成分是一个估计的对数在一个p进的“环”的曲线，这概括了磁盘上的标准约束的零的数量。关键的观察是，对于一个p-adic域k，C上的k-点集可以被一个圆盘和圆环的集合覆盖，这些圆盘和圆环的数量根据g（和k）是有界的。我们还证明了，加强了Poonen和作者最近的一个结果，当亏格g趋于无穷大时，Q上唯一有理点是无穷远无穷远点的奇次超椭圆曲线的下密度在由同余条件定义的族上一致趋于1.
Rational Points on a Family of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文研究一族亏格 3 超椭圆曲线的有理点，改进 Dem'yanenko–Manin 方法并结合根数约束 Jacobian 分解中椭圆曲线的秩，从而比 Chabauty–Coleman 方法更高效地确定 \\(C_a(\mathbb Q)\\)。
We introduce an algorithm to compute the rational torsion subgroup of the Jacobian of a hyperelliptic curve of genus 3 over the rationals. We apply a Magma implementation of our algorithm to a database of curves with low discriminant due to Sutherland as well as a list of curves with small coefficients. In the process, we find several torsion structures not previously described in the literature. The algorithm is a generalisation of an algorithm for genus 2 due to Stoll, which we extend to abelian varieties satisfying certain conditions. The idea is to compute p-adic torsion lifts of points ov…
On the fibration method for zero-cycles and rational points
关于数域上任意光滑投射簇上存在零圈的猜想是由Colliot-Thélène，Santiago，Kato和Saito在20世纪80年代提出的。我们证明，这些结构是兼容的纤维化，纤维化成理性连接品种的曲线。特别地，它们对于具有连通几何稳定子的线性群的齐性空间的族的全空间成立。我们证明了类似的结果为有理点，条件上的猜想局部分裂值的多项式，最近的工作Matthiesen建立在线性多项式的情况下的理性。
Rational torsion on hyperelliptic jacobian varieties
本文证明了对于特定范围内的 N，存在超椭圆雅可比变元家族具有有理 torsion 点，并给出了具体应用实例。
Non hyperelliptic curves of genus three over finite fields of characteristic two
设k=F_q是偶特征的有限域。本文给出了定义在k上的非奇异四次平面曲线的一个完全分类，直至k-同构。我们发现明确的理性正常的模式，我们给闭公式的总数k-同构类。通过这些计算，我们导出了亏格为3的曲线的模空间M_3的非超椭圆轨迹M_3^{nh}的牛顿多边形的不同层次的k-有理点的个数。通过把已知的超椭圆轨迹的结果加到这些计算中，我们得到了M_3的这些地层的完整图象。
We revisit the abstract framework underlying the fibration method for producing rational points on the total space of fibrations over the projective line. By fine-tuning its dependence on external arithmetic conjectures, we render the method unconditional when the degree of the non-split locus is $\leq 2$, as well as in various instances where it is $3$. We are also able to obtain improved results in the regime that is conditionally accessible under Schinzel's hypothesis, by incorporating into it, for the first time, a technique due to Harari for controlling the Brauer--Manin obstruction in fa…
Abelian fibrations and rational points on symmetric products
给定数域上的一个簇，它的有理点是否潜在稠密，即，是否存在一个有限扩张，在其上的有理点是Zebraki稠密的？本文研究了曲面的对称积的势密度问题。与曲线的情况相反，有理点在足够高的对称乘积上不一定是潜在密集的。我们的主要结果是，有理点是潜在的密集的第N次对称产品的K3曲面，其中N是明确确定的几何曲面。其基本构造是，对于一定的N，K3曲面的N次对称幂是P^N上阿贝尔纤维化的双有理曲面。寻找具有此性质的最小N是一个有趣的几何问题。
Fibrations with few rational points
研究了具有有理点的家系中品种数的统计问题。我们给条件的奇异纤维，迫使很少的品种在家庭中包含一个有理点，在一个精确的定量意义上。这概括和统一了文献中的Serre，Browning-Dietmann，Escherich-Browning-Loughran，Graber-Harris-Mazur-Starr等人的现有结果。
Explicit construction of decomposable Jacobians
本文给出了特征0域上可分解超椭圆 Jacobian 簇的显式构造，并应用于构造具有无穷多二次扭转且含有有理非 Weierstrass 点的超椭圆曲线族。
We consider the problem of counting the number of varieties in a family over $\mathbb{Q}$ with a rational point. We obtain lower bounds for this counting problem for some families over $\mathbb{P}^1$, even if the Hasse principle fails. We also obtain sharp results for some multinorm equations and for specialisations of certain Brauer group elements on higher dimensional projective spaces, where we answer some cases of a question of Serre. Our techniques come from arithmetic geometry and additive combinatorics.
Period -Index problem for hyperelliptic curves
本文研究双曲曲线的周期-指数问题，证明了2- torsion元素中指数与幂次相等，并通过同构建立与二次曲面 pencils 的关系，推导出弱Hasse原理。
A positive proportion of monic odd-degree hyperelliptic curves of genus $g \geq 4$ have no unexpected quadratic points
本文证明对每个亏格 $g\geq 4$，正比例的首一奇次数超椭圆曲线除拉回点外无二次点，推广了 Poonen-Stoll 关于有理点的结果。
We show that the average size of the $2$-Selmer group of the family of Jacobians of non-hyperelliptic genus-$3$ curves with a marked rational hyperflex point, when ordered by a natural height, is bounded above by $3$. We achieve this by interpreting $2$-Selmer elements as integral orbits of a representation associated with a stable $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-grading on the Lie algebra of type $E_6$ and using Bhargava's orbit-counting techniques. We use this result to show that the marked point is the only rational point for a positive proportion of curves in this family. The main novelties are t…
Integral points on quadratic twists and linear growth for certain elliptic fibrations
我们证明了一定的del Pezzo表面的度1定义在Q上的有界高度的有理点的数量线性增长，预测Manin的猜想。在此基础上，我们研究了具有完全有理2-挠率的固定椭圆曲线的二次挠率上小初始高度的整数点的平均个数。
On the linear bounds on genera of pointless hyperelliptic curves
$\mathbb{F}\_q$上的不可约光滑射影曲线称为\textit{pointless}，如果它没有$\mathbb{F}\_q$ -有理点.本文研究了固定有限域$\mathbb{F}\_q$上这类曲线的亏格的存在下界。利用超椭圆曲线的一些显式构造，我们建立了两个新的线性依赖于数$q$的界.在奇特性的情况下，这改进了R的结果。Becker和D.玻璃.当$q$为偶数时，我们也给出了一个类似的新界.
Chabauty-Coleman experiments for genus 3 hyperelliptic curves
我们描述了一个计算有理点格为3的超椭圆曲线$C$定义在$\mathbb{Q}$的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩1。利用Chabauty和Coleman的方法，提出并在Sage中实现了一个计算两个Coleman积分的零轨迹的算法，并分析了由这些积分的消失所切出的有限集。我们运行的算法约17,000曲线从即将到来的数据库属3超椭圆曲线，并讨论了一些有趣的例子，其中零集包括全球点没有发现在$C(\mathbb{Q})$。
Using hyperelliptic curves to find positive polynomials that are not a sum of three squares in R(x, y)
本文涉及希尔伯特第十七问题的一个定量方面：产生一个集合的实多项式在两个变量的次数为8的一个变量是积极的，但不是一个总和的三个平方的有理分式。正如Huisman和Mahe所解释的那样，一个给定的二元x和y的一元无平方正多项式，其次数在y中可被4整除，当且仅当某个超椭圆曲线（与P相关）的雅可比簇有一个“反中性”点。利用这一准则，我们采用Cassels，Ellison和Pfister提出的方法来解决我们的问题：首先证明与某个多项式相关联的雅可比簇J的Mordell-Weil秩为零（这一步是通过2-下降来完成的），然后我们检验雅可比簇J没有反中性扭点.
In this article, we show that in each of four standard families of hyperelliptic curves, there is a density-$1$ subset of members with the property that their Jacobians have adelic Galois representation with image as large as possible. This result constitutes an explicit application of a general theorem on arbitrary rational families of abelian varieties to the case of families of Jacobians of hyperelliptic curves. Furthermore, we provide explicit examples of hyperelliptic curves of genus $2$ and $3$ over $\mathbb Q$ whose Jacobians have such maximal adelic Galois representations.
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