Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
2020-09-23 math.AG math.NT
Linear quadratic Chabauty
Charles University（查理大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）
本文提出一种新的二次柴布尔方法，用于计算某些偶次双曲曲线上的整数点。通过非平凡的零度除子限制$p$-adic高度为线性函数，并利用Coleman积分提取整数点。
2025-11-28 math.NT
Quadratic Chabauty Experiments on Genus 2 Bielliptic Modular Curves in the LMFDB
本文对LMFDB中亏格2双椭圆模曲线进行二次Chabauty实验，在有理数和二次虚域上应用方法，发现代数无理点，并提出模曲线水平与潜在数域关系的猜想。
2025-09-26 math.NT
Quadratic Chabauty and $p$-adic Gross-Zagier
令$X$为模曲线$X_0(N)$的商，其雅可比矩阵$J_X$为$J_0(N)^{new}$除以$\mathbb{Q}$的单因子。令$f$为$N$级的新形式，与$J_X$关联的权重为2;假设$f$的分析秩为1。通过计算$f$的两个$p$ -adic Gross-Zagier公式，给出了利用二次Chabauty确定$X$有理点的解析方法.二次Chabauty需要在曲线或其雅可比矩阵上提供有理点;这种新方法消除了这一要求。为了实现这一点，我们给出了一个算法来计算的特殊值的反分圆$p$ -adic $L$ -函数的$f$构造的Bertolini，Darmon，和Prasanna，它位于插值范围之外。
2023-03-13 math.NT
Linear and quadratic Chabauty for affine hyperbolic curves
该研究给出仿射双曲曲线线性与二次精细化Chabauty-Kim轨迹有限性的充分条件，通过构造基本群深度≤2商群实现，并结合Betts权滤波机制给出S-整点数量的无条件显式上界。
2023-07-27 math.NT
Quadratic Chabauty for Modular Curves
设$X/\mathbb{Q}$是亏格为$g \ge 2$的曲线，其Jacobian为$J$，$\ell$是良好约化的素数.利用Selmer簇，Kim定义了一个降序序列\[ X(\mathbb{Q}_\ell) \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_1 \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_2 \supseteq \cdots \]，它包含$X$的有理点。由于科尔曼的工作，“Chabauty集”$X(\mathbb{Q}_\ell)_1$被称为是有限的，提供了$J$的Mordell-Weil秩小于$g$。在这种情况下，人们有一个实用的策略，往往成功地计算$X$的有理点集。Balakrishnan和Dogra最近证明了“二次Chabauty集”$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$是有限的，只要Mordell-Weil秩小于$g + ρ-1$，其中$ρ$是$J/\mathbb{Q}$的Néron-Severi秩。鉴于这一点，这是有趣的家庭曲线，其中$ρ\ge 2$，因此二次Chabauty更有可能成功比经典Chabauty。本文证明了亏格至少为3的所有模曲线都是如此。
2017-04-03 math.NT
Quadratic Chabauty for Atkin-Lehner Quotients of Modular Curves of Prime Level and Genus 4, 5, 6
本文利用二次Chabauty方法对模曲线$X_0(N)$的有理函数$X_0^+(N)$通过它们的Scherke对合可证明地计算了亏格为4、5和6的素数水平$N$上这些曲线的所有有理点.我们发现，只有这样的曲线与例外的有理点是水平$137$和$311$。特别地，在亏格5和亏格6的曲线上不存在例外的有理点。更精确地说，我们确定曲线$X_0^+(N)$上的有理点，用于$N=137,173,199,251,311,157,181,227,263,163,197,211,223,269,271,359$。
2021-05-11 math.NT
Quadratic Chabauty for modular curves and modular forms of rank one
在本文中，我们提供了二次Chabauty方法产生一个有限集的点的细化充分条件，与雅可比矩阵的秩的条件取代的条件的雅可比矩阵加上一个相关的Chow-Heegner点空间的商的秩。然后，我们应用这个条件证明了有限的这个集合的任何模曲线$X_{\mathrm{ns} }^+ (N)$和$X_0 ^+ (N)$亏格至少为2与N素数。证明依赖于存在商的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩等于它的维数（至少为2），这是通过分析估计的消失阶的L-函数的模形式，感谢Kolyvagin-Logachev型结果。
2019-10-25 math.NT
Quadratic Chabauty and rational points I: p-adic heights
我们给出的第一个明确的例子超出了Chabauty-Coleman方法，金的nonabelian Chabauty程序确定的一组有理点的曲线定义在$\mathbb{Q}$或二次数域。我们通过研究$p$ -进高度在显式非阿贝尔Chabauty中的作用来实现这一点。
2018-05-01 math.AG math.NT
Irrational points on random hyperelliptic curves
研究了环$\mathbb{Q}$上亏格为$g$的超椭圆曲线，其有理Weierstrass点按高度排序.如果$d < g$是奇数，我们证明，在一个假设下，存在$B_d$，使这些曲线的正比例有最多$B_d$点的程度$d$。如果$d < g$是偶数，我们有条件地绑定度$d$点，而不是从投影线上的度$d/2$点拉回。此外，我们还证明了可以取$B_2=24$，B_3=114$.我们的证明进行精炼最近的工作公园，热带几何对称功率Chabauty，然后应用结果Bhargava和格罗斯的平均职级的超椭圆曲线的雅可比。
2019-08-25 math.NT
Explicit Chabauty-Kim for the Split Cartan Modular Curve of Level 13
我们扩展显式二次Chabauty方法在以前的工作中开发的前两个作者的情况下，非超椭圆曲线。这导致一个算法来计算曲线上的有理点亏格$g \ge 2$在有理数的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩$g$和Picard数大于1，并满足一些额外的条件。然后将该算法应用于模曲线$X_{s}(13)$上，完成了$\mathbf{Q}$上非CM椭圆曲线的分类，由于Bilu-Parent和Bilu-Parent-Rebolledo的存在，使其具有分裂Cartan水平结构.
2017-11-15 math.AG math.NT
Geometric quadratic Chabauty over number fields
本文将Edixhoven和Lido在$\mathbb{Q}$上提出的几何二次Chabauty方法推广到定义在任意数域上的曲线。的主要结果是一个条件约束的数量上的有理点曲线，满足一个额外的Chabauty型条件的Mordell-Weil秩的雅可比矩阵。该方法给出了一个更直接的方法推广Dogra的二次Chabauty方法到任意数域。
2022-08-01 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty and rational points II: Generalised height functions on Selmer varieties
我们给出了新的例子，Chabauty-金集可以被证明是有限的，通过发展的概念“广义高度函数”的Selmer品种。我们还解释了如何计算这些广义高度的迭代积分，并给出第一个明确的nonabelian Chabauty结果曲线$X/\mathbb{Q}$的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩大于其属。
2018-07-20 math.AG math.NT
Semi-stable models, local heights and quadratic Chabauty for $X_0(N)^*$
University of Zagreb（萨格勒布大学）；IBM Deutschland Research & Development（德国IBM研究与开发部）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Rijksuniveriteit Groningen, Bernoulli Institute（格罗宁根大学伯努利研究所）；Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
针对 $X_0(N)^*$ 的二次 Chabauty 计算，提出构造全局 $p$-adic 高度使坏约化素数贡献消失，证明 $N>714$ 时存在，并应用于确定有理点。
2026-10-01 math.NT
Finding Integral Points of Elliptic Curves over Imaginary Quadratic Fields
本文利用二次Chabauty方法，首次实现了非基变换椭圆曲线的反圆塔高度及相关筛法，并给出确定虚二次域上秩为2且非基变换椭圆曲线整点的首个例子。
2024-09-04 math.NT
Quadratic Chabauty for (bi)elliptic curves and Kim's conjecture
我们探讨了一些有关的问题，二次Chabauty方法确定积分点的双曲曲线。我们删除了半稳定性的假设，在描述的二次Chabauty集$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2$包含整点$\mathcal{X}(\mathbb{Z})$的秩最多$1$的椭圆曲线。出于金的猜想，我们然后从理论上和计算上研究集理论的差异$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2\setminus \mathcal{X}(\mathbb{Z})$。我们还考虑了Balakrishnan-Dogra的显式二次Chabauty的有理点的亏格2双椭圆曲线的算法问题。作为一个例子，我们提供了一个新的解决方案的丢番图，这是第一次解决了Wetherell。在计算上，与之前的二次Chabauty方法的主要区别是使用$p$ -adic σ函数代替双Coleman积分。
2020-06-20 math.AG math.NT
Computing p-adic heights on hyperelliptic curves
Charles University（查理大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）
本文提出一种计算双曲曲线在p处的局部Coleman-Gross p进高度的算法，该算法比之前的算法更高效且适用于奇数和偶数次双曲曲线。
2024-11-12 math.NT
Geometric quadratic Chabauty and $p$-adic heights
本文针对亏格大于1的有理曲线，在满足秩条件下，将几何二次Chabauty方法转化为p进高度与p进积分的语言，给出对应算法，证明其生成的p进点集包含于上同调方法的结果并描述差异。
2024-03-06 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty for Atkin-Lehner quotients of modular curves via weakly holomorphic modular forms: Hodge Filtrations
本研究针对素级亏格≥2的Atkin-Lehner商模曲线，提出用弱全纯模形式计算二次Chabauty方法中关键的Hodge滤过的算法，提升了计算效率，并在$X_0^+(193)$上发现了权2尖点形式积分的同余关系。
2025-09-02 math.NT
p-adic elliptic polylogarithms and cubic Chabauty
Boston University（波士顿大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究p进椭圆多项式对数在立方查巴图方法中的应用，通过p进log和局部p进高度构造有限集，验证Kim猜想新实例。
2026-04-22 math.AG math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves II
该研究提出精细化方法证明带单有理魏尔斯特拉斯点的超椭圆曲线的Chabauty--Coleman--Kim集合有限性，给出模2 Bloch--Kato塞尔默群的2进与实进塞尔默条件计算方法，验证了多数LMFDB中秩2亏格2曲线的有限性，还得到超椭圆曲线雅可比簇二次下降的域论描述。
2024-03-12 math.NT
Polylogarithmic Chabauty--Kim loci over number fields
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥尔登堡卡尔·冯·奥西埃茨基大学）
本研究针对数域上射影直线的S-整点，对比动机与平展上同调Selmer概形，推导相关局部化映射公式，确定二次域上多对数Chabauty–Kim轨迹，证明Kim猜想在新情形成立，还给出虚二次域上S-Selmer截面猜想的Chabauty–Kim理论证明。
2026-08-24 math.NT
On a non-abelian analogue of a conjecture of Michael Stoll
本文提出Stoll猜想的非阿贝尔推广，并证明其秩0二次情形，从而确定秩0一次穿孔椭圆曲线的二次Chabauty轨迹结构，证明借助几何二次Chabauty方法归结为相对Manin--Mumford猜想。
2025-08-27 math.NT
Bounds on the Chabauty--Kim Locus of Hyperbolic Curves
在两个猜想成立的前提下，利用有效Chabauty--Kim方法给出亏格不小于2的光滑射影曲线的p进Chabauty--Kim轨迹及有理点个数的显式上界，推广了此前相关方法得到的界。
2023-10-09 math.NT
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
证明了当所有亏格为$n\geq 1$且具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线按高排序时，其Jacobian的2-Selmer群的平均大小等于3.由此可知，它们的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩至多为3/2。Chabauty的方法，然后可以被用来获得一个有效的界限上的合理的点的数量，这些超椭圆曲线，例如，我们表明，大多数的超椭圆曲线属$n\geq 3$与理性Weierstrass点有不到20个有理点。
2013-04-29 math.AG math.NT
Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point
考虑曲线y ^2 =f（x）的光滑投影模型C，其中f（x）在Z[x]中是一元的，且是2g+1次可分的。我们证明了，对于g >= 3，这些正分数只有一个有理点，在无穷远无穷远点。我们证明了这个分数的下界，趋于1的g趋于无穷大。最后，我们表明，C（Q）可以算法计算这样的曲线的一部分。该方法可以概括如下：利用p-adic分析和McCallum的思想，我们发展了Chabauty方法的一个重新表述，表明某些可计算条件意味着#C（Q）=1;另一方面，利用进一步的p-adic分析，算术曲面理论，关于超椭圆曲线上挠点的一个新结果，关键的是非零2-Selmer群元素的Bhargava-Gross等分布定理，我们证明了当p=2时，这些条件经常满足.
2014-06-15 math.NT
Computation of the Unipotent Albanese Map on Elliptic and Hyperelliptic Curves
研究了Minhyong Kim的非交换Chabauty方法中出现的幂幺Albanese映射。特别是，我们探讨了显式计算的$p$ -进德拉姆周期映射$j^{dr}_n$椭圆曲线和超椭圆曲线通过其泛幂幺连接数域$\mathcal{U}$。几个算法形成的计算有限水平版本$j^{dr}_n$的幂幺Albanese映射的一部分。$\mathcal{U}$的对数扩张的计算一般需要用开覆盖来描述，并且可以被视为计算下降理论的一个简单例子。我们还证明了一个建设性的版本的Hadian引理中使用的Hodge过滤$\mathcal{U}$上的仿射椭圆和奇超椭圆曲线的计算。我们使用这些算法提出了一些新的例子来描述这些周期图的坐标。该描述将以迭代$p$ -adic Coleman积分的形式给出。我们还考虑了用切向基点代替有理基点时坐标的计算，并给出了一些新的例子。
2019-10-10 math.NT
A refined Chabauty--Coleman bound for surfaces
本文利用 Caro 和 Pasten 的方法，改进了亏格为 3 的超椭圆曲线所对应曲面 $W_2$ 上有理点数目的 Chabauty-Coleman 界，并结合 Siksek 的工作在选定例子中确定了有理点。
2025-02-03 math.AG math.NT
Geometric quadratic Chabauty
本文仅用 jacobian 线丛与整数模型等简单代数几何语言，重新几何化阐述二次 Chabauty 方法。
2021-06-18 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples
我们描述了如何二次Chabauty方法可应用于明确确定一组有理点的点上模曲线属$g>1$的雅可比矩阵有Mordell-Weil秩$g$。这扩展了我们以前在13级的分裂Cartan曲线上的工作，并允许我们考虑在坏约化的素数处可能具有很少的已知有理点或非平凡局部高度贡献的模曲线。我们说明了我们的算法与一些例子，我们确定了一组合理的点上的几个模曲线的亏格2和3：这包括Atkin-Lehner等价物$X_0^+(N)$的素数水平$N$，曲线$X_{S_4}(13)$，以及其他一些曲线相关的Mazur的程序B。我们还描述了亏格为6的非分裂Cartan模曲线$X_{\textrm{ns}} ^+ (17)$上有理点的计算。
2023-03-07 math.AG math.NT
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
2025-09-24 math.NT
Refined effective bounds for Bloch-Kato Selmer groups associated to hyperelliptic curves
本文推广 Dogra 的显式 $2$-下降方法，在无有理 Weierstrass 点及 $2$ 处好通常约化条件下给出 Bloch–Kato Selmer 群维数的有效界，并据此建立深度 $2$ Chabauty–Kim 集有限性的新判定准则。
2025-05-15 math.NT
A geometric linear Chabauty comparison theorem
Chabauty-Coleman方法是一种$p$方法，用于找到其Jacobian具有Mordell-Weil秩$r < g$的亏格$g$曲线上的所有有理点。最近，Edixhoven和Lido开发了一种几何二次Chabauty方法，该方法由Spelier改编以覆盖几何线性Chabauty的情况。我们比较了几何线性Chabauty方法和Chabauty-Coleman方法，并证明了几何线性Chabauty方法在某些情况下优于Chabauty-Coleman方法。然而，由于Chabauty-Coleman对于一般计算仍然更实用，我们讨论如何加强Chabauty-Coleman，使其在理论上等价于几何线性Chabauty。我们将这些方法应用于亏格2和亏格3曲线。
2021-12-10 math.AG math.NT
On Quadratic Twists of Hyperelliptic Curves
设C是定义在具有代数闭剩余域k的离散赋值域K上的具有好约化的超椭圆曲线.此外，假设char k \ne 2.给定d \in K^* \K^* 2，我们引入了C的二次扭曲的最小正则模型的明确描述。作为应用，我们证明了：如果C/Q是由y ^2 = f（x）给出的非奇异超椭圆曲线，其中f是不可约多项式，则存在C的非处处局部可解的二次素扭的正密度族.
2012-06-03 math.NT
Equationless quadratic Chabauty for non-split Cartan modular curves
University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Università di Roma Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；Università di Pisa（比萨大学）；Trinity College Dublin（都柏林三一学院）；Université de Bordeaux（波尔多大学）
本文针对素数级N≥13的非分裂Cartan模曲线$X_{\rm{ns}}^+(N)$，提出一种无方程的二次Chabauty方法，结合除子算术算法，成功重新推导了$X_{\rm{ns}}^+(13)$的有理点集合。
2026-08-12 math.AG math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves I
本文提出了一种通过 Galois 协同论方法确定超椭圆曲线 Jacobian 的 Bloch-Kato Selmer 组秩的方法，并利用该方法回答了关于有理点的问题。
2026-02-27 math.AG math.NT
Rational points on rank 2 genus 2 bielliptic curves in the LMFDB
在Balakrishnan，Dogra和第一作者的工作基础上，我们对显式二次Chabauty方法进行了一些改进，以计算$\mathbb{Q}$上亏格$2$双椭圆曲线上的有理点，其Jacobian的Mordell-Weil秩等于$2$ .我们通过精确的分析来补充这一点，以保证正确的输出。再加上Mordell-Weil筛，这个双椭圆二次Chabauty方法是主要的工具，我们使用它来计算$411$局部可解曲线上的有理点从LMFDB满足上述条件。
2022-12-22 math.NT
From Picard groups of hyperelliptic curves to class groups of quadratic fields
设$C$是定义在$\mathbb{Q}$上的超椭圆曲线，其Weierstrass点定义在$\mathbb{Q}$的至多三次扩张上，且至少有一个Weierstrass点是有理的.推广了R. Soleng（在椭圆曲线的情况下），我们证明了任何线丛的程度$0$ $C$这不是扭转可以专门化为理想类的虚二次域，其顺序可以任意大。这给出了一个肯定的答案，这样的曲线，一个问题，由Agboola和Pappas。
2020-12-15 math.NT
Classifying Galois groups of small iterates via rational points
我们建立了$c\in\mathbb{Q}$的$ϕ_c(x)=x^2+c$的小迭代的伽罗瓦群的满射性定理。为了做到这一点，我们使用明确的技术，从理论的有理点的曲线，包括方法的Chabauty-Coleman和Mordell-Weil筛。例如，我们成功地找到所有有理点的超椭圆曲线的属$7$，秩$5$雅可比，其点参数化二次多项式与一个“新的小”伽罗瓦群在第五阶段的迭代。
2017-09-26 math.NT
Explicit Motivic Mixed Elliptic Chabauty-Kim
本文的主要观点是将Dan-Cohen-Wewers和Dan-Cohen等人的论文中提出的显式动力学Chabauty-Kim方法推广到非有理曲线上。特别地，我们计算了穿孔椭圆曲线上$\mathbb{Z}[1/\ell]$ -点的Chabauty-Kim理想的元素的抽象形式，为某些高亏格曲线的构造奠定了基础.为此，我们开发了一个“显式Tannakian Chabauty-Kim方法”使用$\mathbb{Q}_{p}$ -Tannakian类别的伽罗瓦表示的地方$\mathbb{Q}$ -线性动机。在未来的工作中，我们打算使用这种方法来明确地应用Chabauty-Kim方法的曲线的正亏格的情况下，二次Chabauty不适用。
2021-02-16 math.AG math.NT
2-Selmer Parity for Hyperelliptic Curves in Quadratic Extensions
研究数域上超椭圆曲线的Jacobian的2-宇称猜想。在对它们的约化作一些适当的假设下，我们证明了关于基域的二次扩张的猜想。证明收益通过一个公式的克雷默和Tunnell有关的局部不变量的曲线，这可能是独立的利益。一个新的特点，这种概括是外观的条款，管理是否卡塞尔-泰特配对的雅可比矩阵是交替的，这首先出现在工作的Poonen-斯托尔。我们在许多情况下建立的本地公式，并表明，在其余情况下，它遵循标准的全球astronautures。
2022-04-06 math.NT
An application of "Selmer group Chabauty" to arithmetic dynamics
我们描述了如何可以使用"塞尔默组Chabauty"的方法开发的作者表明，某些超椭圆曲线的形式$$ C \colon y^2 = x^N + h(x)^2 \,, $$其中$N = 2g + 1$是奇数，$h \in \mathbb{Z}[x]$与$\operatorname{deg} h \le g$和$h(0)$奇数，只有"明显的"合理的点$\infty$（唯一的点在无穷远的光滑投影模型的曲线）和$(0, \pm h(0))$。作为该方法的一个应用，我们证明了如下结果.设$c \in \mathbb{Q}$并写为$f_c(x) = x^2 + c$。我们用$f_c^{\circ n}$表示$f_c$的迭代;即，我们设置$f_c^{\circ 0}(x) = x$和$f_c^{\circ(n+1)}(x) = f_c(f_c^{\circ n}(x))$。如果$f_c^{\circ 2}$是不可约的，那么$f_c^{\circ 6}$也是不可约的。假设广义黎曼假设（GRH），它也遵循$f_c^{\circ 10}$是不可约的。
2019-12-17 math.AG math.DS math.NT
Correlation of shifted values of $L$-functions in the hyperelliptic ensemble
函数域上二次Dirichlet $L$ -函数的矩最近随着Andrade和Keating的工作而引起了人们的广泛关注。在这篇文章中，我们建立了有限域$\mathbb{F}_q$上亏格为$g$的超椭圆曲线的二次Dirichlet $L$ -函数乘积在大亏格极限下的均值下界.利用A. Florea \cite{FL3}，得到了它们的上界.作为结果，我们找到了它的导数的上界。这些上下上界给出了与具有不同过渡的超椭圆曲线相关的二次狄利克雷$L$ -函数的相关性。
2021-09-13 math.NT
Rational points on the non-split Cartan modular curve of level 27 and quadratic Chabauty over number fields
本文针对27级非分裂Cartan子群正规化子这一3进伽罗瓦像分类的唯一遗留问题，发展数域上模曲线的二次Chabauty方法，结合局部高度分析确定相关模曲线有理点，完成非复乘椭圆曲线3进伽罗瓦像分类。
2025-01-14 math.AG math.NT
p-adic adelic metrics and Quadratic Chabauty I
Be’er-Sheva（贝尔谢巴）；Groningen（格罗宁根）；Boston（波士顿）
本文提出了一种基于p-进阿雷克洛夫理论的新方法，用于构造abelian簇上的p-进高度，并简化了二次查巴乌方法用于计算有理点。
2026-01-16 math.AG math.NT
Rational Points on a Family of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文研究一族亏格 3 超椭圆曲线的有理点，改进 Dem'yanenko–Manin 方法并结合根数约束 Jacobian 分解中椭圆曲线的秩，从而比 Chabauty–Coleman 方法更高效地确定 \\(C_a(\mathbb Q)\\)。
2025-10-20 math.AG math.NT
Uniform bounds for the number of rational points on hyperelliptic curves of small Mordell-Weil rank
证明了数域K上亏格为g的超椭圆曲线C上的K-有理点个数存在一个仅依赖于g和[K：Q]的界，使得其Jacobian的Mordell-Weil秩r至多为g-3.若K = Q，则显式界为8 rg + 33（g - 1）+ 1。证明是基于Chabauty的方法，新的成分是一个估计的对数在一个p进的“环”的曲线，这概括了磁盘上的标准约束的零的数量。关键的观察是，对于一个p-adic域k，C上的k-点集可以被一个圆盘和圆环的集合覆盖，这些圆盘和圆环的数量根据g（和k）是有界的。我们还证明了，加强了Poonen和作者最近的一个结果，当亏格g趋于无穷大时，Q上唯一有理点是无穷远无穷远点的奇次超椭圆曲线的下密度在由同余条件定义的族上一致趋于1.
2015-11-25 math.AG math.NT
The first moment of quadratic Dirichlet $L$-functions in the even hyperelliptic ensemble
Chungbuk National University（忠北国立大学）
本文在偶超椭圆系综中建立了二次狄利克雷 L-函数一次矩的渐近公式，发现次级项系数具有周期 3 的模性，与早期公式不同，并经数值验证。
2026-09-14 math.NT
Zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions in the hyperelliptic ensemble
我们研究$1$ -水平密度和二次狄利克雷$L$ -函数在功能领域的零对相关性，因为我们平均超过合奏$\mathcal{H}_{2g+1}$的一元，无平方多项式系数在$\mathbb{F}_q[x]$。在$1$水平密度的情况下，当测试函数的傅立叶变换在限制区间$(\frac{1}{3},1)$中得到支持时，我们计算大小为$q^{-\frac{4g}{3}}/g$的第二项，这不是由比率猜想预测的。此外，当支撑更严格时，我们得到几个低阶项。例如，如果在$(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$中支持傅立叶变换，则我们标识大小为$q^{-\frac{8g}{5}}/g$的另一低阶项。我们还计算对相关性，并且对于$1$ -水平密度，我们在某些限制下检测低阶项;例如，当$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$中支持傅立叶变换时，我们看到大小为$q^{-g}/g^2$的项。的$1$ -水平密度和对相关性，使我们能够获得非零的结果$L(\frac12,χ_D)$，以及下界的比例，简单的零这个家庭的$L$ -功能。
2016-05-23 math.NT
Vanishing of Hyperelliptic L-functions at the Central Point
得到了有理函数域上二次Dirichlet L函数在中心点$s = 1/2$为零的个数的一个下界.这与有理数的情形相反，在有理数情形中，Chowla的一个猜想预言不应该有这样的L函数。该方法是基于观察，消失在中心点可以解释几何，作为一个固定的阿贝尔簇从超椭圆曲线相关的字符的映射的存在。
2018-06-27 math.NT
Computing L-series of geometrically hyperelliptic curves of genus three
设C/Q是亏格为3的曲线，给定为平面二次曲线的双重覆盖。这样的曲线在Q的代数闭包上是超椭圆的，但在Q上可能没有通常形式的超椭圆模型。我们描述了一个算法，计算C的局部zeta函数在所有奇素数的好约化到一个规定的界限N。该算法依赖于适应的“累积剩余树”的矩阵中的一个二次域的条目。我们报告的实施，并比较其性能与以前的算法的普通超椭圆的情况下。
2016-05-16 math.NT
Quadratic Points on Non-Split Cartan Modular Curves
本文研究了非分裂Cartan模曲线$X_{ns}(p)$上的二次点，其中包括$p = 7, 11,$和$13$ .最近，Siksek证明了$X_{ns}(7)$上的所有二次点都是$X_{ns}^+(7)$上有理点的回调。使用类似的技术$p=11$，并采用一个版本的Chabauty的对称功率曲线的$p=13$，我们表明，同样适用于$X_{ns}(11)$和$X_{ns}(13)$。作为结果，我们证明了某些类的椭圆曲线在二次域是模。
2021-05-13 math.NT
Character Sums, Gaussian Hypergeometric Series, and a Family of Hyperelliptic Curves
研究了特征标和\[ϕ_{(m,n)}(a,b)=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}ϕ\left(x(x^{m}+a)(x^{n}+b)\right),\textrm{ and, } ψ_{(m,n)}(a,b)=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}ϕ\left((x^{m}+a)(x^{n}+b)\right)\]，其中$ϕ$是定义在$\mathbb{F}_q$上的二次特征标.这些和用$\mathbb{F}_q$上的高斯超几何级数表示。然后利用这些表达式给出了超椭圆曲线族及其雅可比簇上$\mathbb{F}_q$ -有理点的个数。
2015-12-08 math.NT
Quadratic points on bielliptic modular curves
Bruin和Najman，Ozman和Siksek，Box描述了亏格$2\leq g(X_0(n)) \leq 5$的模曲线上的所有二次点。由于所有的超椭圆曲线$X_0(n)$是属$\leq 5$和作为一条曲线可以有无限多个二次点，只有当它是属$\leq 1$，超椭圆或双椭圆，问题的描述二次点的双椭圆模曲线$X_0(n)$自然出现;这个问题最近也提出了马祖尔。我们完全回答马祖尔的问题，并描述了所有的双椭圆模曲线$X_0(n)$的二次点，这还没有这样做。我们处理的$n$的值是$n=60,62,69,79,83,89,92,94,95,101,119$和$131$ ;曲线$X_0(n)$的亏格直到$11$。我们找到了这些曲线上的所有例外点，并证明它们都对应于CM椭圆曲线。我们使用的两个主要方法是Box的相对对称Chabauty方法和$\Q$ -曲线的模描述的应用程序$d$度$m$的独立issues，这减少了问题，找到合理的点上的几个平行的模曲线。
2022-10-30 math.NT
