$X_0(N)^*$ 的半稳定模型、局部高度与二次 Chabauty 方法

中文摘要 AI 辅助

对于 $X_0(N)^*$ 的二次 Chabauty 计算，在坏约化素数处的局部高度贡献使其变得复杂。对于无平方因子 $N$，我们提出了一种构造全局 $p$-adic 高度的策略，使得所有坏约化素数处的贡献消失。作为我们的第一个主要结果，我们证明这样的 $p$-adic 高度对所有无平方因子水平 $N>714$ 存在。为此，我们首先给出 $X_0(N)^*$ 在坏约化素数处的最小正则模型的显式描述，并证明该模型是半稳定的。该模型的每个分量产生一个线性条件，确保该分量处的贡献消失。利用二次序到四元数代数的嵌入，我们获得了这些条件数量的上界；当 $X_0(N)^*$ 的亏格大于该上界加一时，就有足够的自由度来选择适当的对应，从而简化二次 Chabauty 计算。作为应用，我们确定了若干此前未解决的曲线 $X_0(N)^*$ 上的有理点。

英文摘要

Quadratic Chabauty computations for $X_0(N)^*$ are complicated by local height contributions at primes of bad reduction. For squarefree $N$, we explain a strategy for constructing a global $p$-adic height for which all the contributions at the primes of bad reduction vanish. As our first main result, we show that such a $p$-adic height exists for all squarefree levels $N>714$. In order to do this, we first give an explicit description of the minimal regular model of $X_0(N)^*$ at primes of bad reduction, and show this model is semi-stable. Each component of this model gives rise to a linear condition which ensures that the contribution at that component vanishes. Using embeddings of quadratic orders into quaternion algebras, we obtain an upper bound for the number of these conditions; when the genus of $X_0(N)^*$ is greater than one more than this bound, there is enough freedom to choose a suitable correspondence, simplifying quadratic Chabauty computations. As an application, we determine the rational points on several curves $X_0(N)^*$ for which this was not done before.

发表机构

• University of Zagreb（萨格勒布大学）
• IBM Deutschland Research & Development（德国IBM研究与开发部）
• Universität Würzburg（维尔茨堡大学）
• Rijksuniveriteit Groningen, Bernoulli Institute（格罗宁根大学伯努利研究所）
• Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）

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