非分裂Cartan模曲线的无方程二次Chabauty方法
Equationless quadratic Chabauty for non-split Cartan modular curves
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中文总结 AI 辅助
本文针对素数级N≥13的非分裂Cartan模曲线$X_{\rm{ns}}^+(N)$，提出一种无方程的二次Chabauty方法，结合除子算术算法，成功重新推导了$X_{\rm{ns}}^+(13)$的有理点集合。
中文摘要 AI 辅助
本文旨在描述一种无方程方法，用于确定素数级N≥13的非分裂Cartan曲线$X_{\rm{ns}}^+(N)$上的有理点。该方法不使用模曲线的射影模型，而是利用曲线的模解释，即直接处理椭圆曲线和Cartan级结构。为实现这一点，我们采用二次Chabauty方法的几何版本，并表明可将其与Makdisi和Mascot开发的除子算术算法结合，以应用于模曲线。作为示例，我们重新推导了曲线$X_{\rm{ns}}^+(13)$上的有理点集合。
英文摘要
The aim of this article is to describe an equationless method for determining the rational points on the non-split Cartan curve $X_{\rm{ns}}^+(N)$ of prime level $N \geqslant 13$. Instead of using a projective model for the modular curve, our method uses the moduli interpretation of the curve, namely we work directly with elliptic curves and Cartan level structures. To accomplish this, we use the geometric version of the quadratic Chabauty method. We show that this can be combined with algorithms for divisor arithmetic developed by Makdisi and Mascot so as to apply to modular curves. As an illustration, we rederive the set of rational points on the curve $X_{\rm{ns}}^+(13)$.
