偶超椭圆系综中二次狄利克雷 $L$-函数的一次矩
The first moment of quadratic Dirichlet $L$-functions in the even hyperelliptic ensemble
- Chungbuk National University（忠北国立大学）
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AI总结：
本文在偶超椭圆系综中建立了二次狄利克雷 L-函数一次矩的渐近公式，发现次级项系数具有周期 3 的模性，与早期公式不同，并经数值验证。
AI中文摘要：
我们建立了在 $\mathbb{F}_q[x]$ 上的偶超椭圆系综 $\mathcal{H}_{2g+2}$ 中，对于每个固定的奇素数幂 $q$，二次狄利克雷 $L$-函数中心值的一次矩的渐近公式。利用完备化 $L$-函数，我们得到了一个精确的两项中心值公式，其截断水平为 $g$ 和 $g-1$；在平方对偶围道平移之前结合这两个截断，使得三个三次点 $z^3 = q^{-4}$ 成为仅有的次级极点，它们贡献了次级项 $q^{2g/3+2}(a_g g + b_g)$，误差为 $O_\varepsilon(q^{g(1+\varepsilon)/2})$。系数是实数，且 $m \mapsto (a_m, b_m)$ 的最小周期恰好为三，因此在 $q^{2g/3}$ 阶上 $g$ 的系数依赖于 $g$ 模 3，这与早期的偶次数公式形成对比；这一差异已通过数值计算得到证实。
英文摘要：
We establish an asymptotic formula for the first moment of the central values of quadratic Dirichlet $L$-functions in the even hyperelliptic ensemble $\mathcal{H}_{2g+2}$ over $\mathbb{F}_q[x]$, for every fixed odd prime power $q$. Working with the completed $L$-function yields an exact two-term central-value formula with truncation levels $g$ and $g-1$; combining the two truncations before the square-dual contour shifts leaves the three cubic points $z^3 = q^{-4}$ as the only secondary poles, and they contribute the secondary term $q^{2g/3+2}(a_g g + b_g)$ with an error $O_\varepsilon(q^{g(1+\varepsilon)/2})$. The coefficients are real and $m \mapsto (a_m, b_m)$ has minimal period exactly three, so the coefficient of $g$ at the order $q^{2g/3}$ depends on $g$ modulo 3, in contrast with the earlier even-degree formulas; the difference is confirmed numerically.
