Quadratic Chabauty and $p$-adic Gross-Zagier
令$X$为模曲线$X_0(N)$的商，其雅可比矩阵$J_X$为$J_0(N)^{new}$除以$\mathbb{Q}$的单因子。令$f$为$N$级的新形式，与$J_X$关联的权重为2;假设$f$的分析秩为1。通过计算$f$的两个$p$ -adic Gross-Zagier公式，给出了利用二次Chabauty确定$X$有理点的解析方法.二次Chabauty需要在曲线或其雅可比矩阵上提供有理点;这种新方法消除了这一要求。为了实现这一点，我们给出了一个算法来计算的特殊值的反分圆$p$ -adic $L$ -函数的$f$构造的Bertolini，Darmon，和Prasanna，它位于插值范围之外。
2023-03-13 math.NT
Computing integral points on hyperelliptic curves using quadratic Chabauty
给出了奇次超椭圆曲线上亏格等于其雅可比行列式的Mordell-Weil秩的有理数上整点的计算方法。我们的方法包括一个组合的$p$ -进近似技术在以前的工作中介绍了Mordell-Weil筛
2015-11-09 math.NT
Linear and quadratic Chabauty for affine hyperbolic curves
该研究给出仿射双曲曲线线性与二次精细化Chabauty-Kim轨迹有限性的充分条件，通过构造基本群深度≤2商群实现，并结合Betts权滤波机制给出S-整点数量的无条件显式上界。
2023-07-27 math.NT
Quadratic Chabauty for Atkin-Lehner quotients of modular curves via weakly holomorphic modular forms: Hodge Filtrations
本研究针对素级亏格≥2的Atkin-Lehner商模曲线，提出用弱全纯模形式计算二次Chabauty方法中关键的Hodge滤过的算法，提升了计算效率，并在$X_0^+(193)$上发现了权2尖点形式积分的同余关系。
2025-09-02 math.NT
Quadratic Chabauty and rational points I: p-adic heights
我们给出的第一个明确的例子超出了Chabauty-Coleman方法，金的nonabelian Chabauty程序确定的一组有理点的曲线定义在$\mathbb{Q}$或二次数域。我们通过研究$p$ -进高度在显式非阿贝尔Chabauty中的作用来实现这一点。
2018-05-01 math.AG math.NT
Local heights on hyperelliptic curves and quadratic Chabauty
本研究提出一种计算奇素数ℓ≠p处超椭圆曲线局部高度的算法，拓宽了二次Chabauty方法的适用范围，并给出含双非平凡局部高度素数曲线的首次计算实例。
2025-05-21 math.AG math.NT
Integral Points on Elliptic Curves and Modularity
本文利用Chabauty-Kim方法证明了无复乘的穿孔有理椭圆曲线的S-整点集的有限性。这推广了Kim在复乘情形下的结果.我们的方法的关键输入是使用模块化技术来证明消失的某些Selmer组中涉及的Chabauty-Kim方法。
2020-06-08 math.NT
Geometric quadratic Chabauty over number fields
本文将Edixhoven和Lido在$\mathbb{Q}$上提出的几何二次Chabauty方法推广到定义在任意数域上的曲线。的主要结果是一个条件约束的数量上的有理点曲线，满足一个额外的Chabauty型条件的Mordell-Weil秩的雅可比矩阵。该方法给出了一个更直接的方法推广Dogra的二次Chabauty方法到任意数域。
2022-08-01 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty and rational points II: Generalised height functions on Selmer varieties
我们给出了新的例子，Chabauty-金集可以被证明是有限的，通过发展的概念“广义高度函数”的Selmer品种。我们还解释了如何计算这些广义高度的迭代积分，并给出第一个明确的nonabelian Chabauty结果曲线$X/\mathbb{Q}$的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩大于其属。
2018-07-20 math.AG math.NT
Explicit Chabauty-Kim for the Split Cartan Modular Curve of Level 13
我们扩展显式二次Chabauty方法在以前的工作中开发的前两个作者的情况下，非超椭圆曲线。这导致一个算法来计算曲线上的有理点亏格$g \ge 2$在有理数的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩$g$和Picard数大于1，并满足一些额外的条件。然后将该算法应用于模曲线$X_{s}(13)$上，完成了$\mathbf{Q}$上非CM椭圆曲线的分类，由于Bilu-Parent和Bilu-Parent-Rebolledo的存在，使其具有分裂Cartan水平结构.
2017-11-15 math.AG math.NT
Modular Chabauty: Effective S-Integral Point Computation On Curves with Elliptic Fibrations
本研究提出Modular Chabauty算法，通过模周期映射结合有效沙法列维奇步骤与纤维计算步骤，可高效计算带椭圆纤维化曲线的S-整点，经Python/Sage实现验证了在多类模曲线上的快速计算效果。
2025-05-19 math.NT
Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples
我们描述了如何二次Chabauty方法可应用于明确确定一组有理点的点上模曲线属$g>1$的雅可比矩阵有Mordell-Weil秩$g$。这扩展了我们以前在13级的分裂Cartan曲线上的工作，并允许我们考虑在坏约化的素数处可能具有很少的已知有理点或非平凡局部高度贡献的模曲线。我们说明了我们的算法与一些例子，我们确定了一组合理的点上的几个模曲线的亏格2和3：这包括Atkin-Lehner等价物$X_0^+(N)$的素数水平$N$，曲线$X_{S_4}(13)$，以及其他一些曲线相关的Mazur的程序B。我们还描述了亏格为6的非分裂Cartan模曲线$X_{\textrm{ns}} ^+ (17)$上有理点的计算。
2023-03-07 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty for (bi)elliptic curves and Kim's conjecture
我们探讨了一些有关的问题，二次Chabauty方法确定积分点的双曲曲线。我们删除了半稳定性的假设，在描述的二次Chabauty集$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2$包含整点$\mathcal{X}(\mathbb{Z})$的秩最多$1$的椭圆曲线。出于金的猜想，我们然后从理论上和计算上研究集理论的差异$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2\setminus \mathcal{X}(\mathbb{Z})$。我们还考虑了Balakrishnan-Dogra的显式二次Chabauty的有理点的亏格2双椭圆曲线的算法问题。作为一个例子，我们提供了一个新的解决方案的丢番图，这是第一次解决了Wetherell。在计算上，与之前的二次Chabauty方法的主要区别是使用$p$ -adic σ函数代替双Coleman积分。
2020-06-20 math.AG math.NT
Geometric quadratic Chabauty and $p$-adic heights
本文针对亏格大于1的有理曲线，在满足秩条件下，将几何二次Chabauty方法转化为p进高度与p进积分的语言，给出对应算法，证明其生成的p进点集包含于上同调方法的结果并描述差异。
2024-03-06 math.AG math.NT
Semi-stable models, local heights and quadratic Chabauty for $X_0(N)^*$
University of Zagreb（萨格勒布大学）；IBM Deutschland Research & Development（德国IBM研究与开发部）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Rijksuniveriteit Groningen, Bernoulli Institute（格罗宁根大学伯努利研究所）；Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
针对 $X_0(N)^*$ 的二次 Chabauty 计算，提出构造全局 $p$-adic 高度使坏约化素数贡献消失，证明 $N>714$ 时存在，并应用于确定有理点。
2026-10-01 math.NT
Finding Integral Points of Elliptic Curves over Imaginary Quadratic Fields
本文利用二次Chabauty方法，首次实现了非基变换椭圆曲线的反圆塔高度及相关筛法，并给出确定虚二次域上秩为2且非基变换椭圆曲线整点的首个例子。
2024-09-04 math.NT
Rational points on hyperelliptic Atkin-Lehner quotients of modular curves and their coverings
我们完成了所有$64$极大Atkin-Lehner商$X_0(N)^*$上的所有$\mathbb{Q}$ -有理点的计算，使得商是超椭圆的。为了实现这一点，我们使用各种方法的组合，即经典的Chabauty-科尔曼，椭圆曲线Chabauty，二次Chabauty，和双椭圆二次Chabauty方法结合Mordell-Weil筛。另外，对于无平方的$N$，我们将所有的$\mathbb{Q}$ -有理点分为尖点、CM点（包括CM域和$j$ -不变量）和例外点.我们进一步指出如何使用它来计算$\mathbb{Q}$ -有理点的所有模块覆盖。
2022-09-23 math.AG math.NT
Equationless quadratic Chabauty for non-split Cartan modular curves
University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Università di Roma Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；Università di Pisa（比萨大学）；Trinity College Dublin（都柏林三一学院）；Université de Bordeaux（波尔多大学）
本文针对素数级N≥13的非分裂Cartan模曲线$X_{\rm{ns}}^+(N)$，提出一种无方程的二次Chabauty方法，结合除子算术算法，成功重新推导了$X_{\rm{ns}}^+(13)$的有理点集合。
2026-08-12 math.AG math.NT
Polylogarithmic Chabauty--Kim loci over number fields
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥尔登堡卡尔·冯·奥西埃茨基大学）
本研究针对数域上射影直线的S-整点，对比动机与平展上同调Selmer概形，推导相关局部化映射公式，确定二次域上多对数Chabauty–Kim轨迹，证明Kim猜想在新情形成立，还给出虚二次域上S-Selmer截面猜想的Chabauty–Kim理论证明。
2026-08-24 math.NT
Quadratic Chabauty: p-adic height pairings and integral points on hyperelliptic curves
给出了超椭圆曲线上0次因子的p-adic高度配对在p处的分量的计算公式。我们用这个给一个Chabauty一样的方法找到p-进近似的p-积分点的曲线时，Mordell-Weil秩的雅可比等于属。在这种情况下，我们得到了一个明确的界限，这样的p-整点的数量，我们能够使用显式计算的方法。该方法的一个重要方面是，它只需要一个基的Mordell-Weil组张量与有理数。
2014-12-30 math.AG math.NT
On a non-abelian analogue of a conjecture of Michael Stoll
本文提出Stoll猜想的非阿贝尔推广，并证明其秩0二次情形，从而确定秩0一次穿孔椭圆曲线的二次Chabauty轨迹结构，证明借助几何二次Chabauty方法归结为相对Manin--Mumford猜想。
2025-08-27 math.NT
Bounds on the Chabauty--Kim Locus of Hyperbolic Curves
在两个猜想成立的前提下，利用有效Chabauty--Kim方法给出亏格不小于2的光滑射影曲线的p进Chabauty--Kim轨迹及有理点个数的显式上界，推广了此前相关方法得到的界。
2023-10-09 math.NT
Geometric quadratic Chabauty
本文仅用 jacobian 线丛与整数模型等简单代数几何语言，重新几何化阐述二次 Chabauty 方法。
2021-06-18 math.AG math.NT
A geometric linear Chabauty comparison theorem
Chabauty-Coleman方法是一种$p$方法，用于找到其Jacobian具有Mordell-Weil秩$r < g$的亏格$g$曲线上的所有有理点。最近，Edixhoven和Lido开发了一种几何二次Chabauty方法，该方法由Spelier改编以覆盖几何线性Chabauty的情况。我们比较了几何线性Chabauty方法和Chabauty-Coleman方法，并证明了几何线性Chabauty方法在某些情况下优于Chabauty-Coleman方法。然而，由于Chabauty-Coleman对于一般计算仍然更实用，我们讨论如何加强Chabauty-Coleman，使其在理论上等价于几何线性Chabauty。我们将这些方法应用于亏格2和亏格3曲线。
2021-12-10 math.AG math.NT
Rational points on the non-split Cartan modular curve of level 27 and quadratic Chabauty over number fields
本文针对27级非分裂Cartan子群正规化子这一3进伽罗瓦像分类的唯一遗留问题，发展数域上模曲线的二次Chabauty方法，结合局部高度分析确定相关模曲线有理点，完成非复乘椭圆曲线3进伽罗瓦像分类。
2025-01-14 math.AG math.NT
Explicit Motivic Mixed Elliptic Chabauty-Kim
本文的主要观点是将Dan-Cohen-Wewers和Dan-Cohen等人的论文中提出的显式动力学Chabauty-Kim方法推广到非有理曲线上。特别地，我们计算了穿孔椭圆曲线上$\mathbb{Z}[1/\ell]$ -点的Chabauty-Kim理想的元素的抽象形式，为某些高亏格曲线的构造奠定了基础.为此，我们开发了一个“显式Tannakian Chabauty-Kim方法”使用$\mathbb{Q}_{p}$ -Tannakian类别的伽罗瓦表示的地方$\mathbb{Q}$ -线性动机。在未来的工作中，我们打算使用这种方法来明确地应用Chabauty-Kim方法的曲线的正亏格的情况下，二次Chabauty不适用。
2021-02-16 math.AG math.NT
Rational points on rank 2 genus 2 bielliptic curves in the LMFDB
在Balakrishnan，Dogra和第一作者的工作基础上，我们对显式二次Chabauty方法进行了一些改进，以计算$\mathbb{Q}$上亏格$2$双椭圆曲线上的有理点，其Jacobian的Mordell-Weil秩等于$2$ .我们通过精确的分析来补充这一点，以保证正确的输出。再加上Mordell-Weil筛，这个双椭圆二次Chabauty方法是主要的工具，我们使用它来计算$411$局部可解曲线上的有理点从LMFDB满足上述条件。
2022-12-22 math.NT
p-adic adelic metrics and Quadratic Chabauty I
Be’er-Sheva（贝尔谢巴）；Groningen（格罗宁根）；Boston（波士顿）
本文提出了一种基于p-进阿雷克洛夫理论的新方法，用于构造abelian簇上的p-进高度，并简化了二次查巴乌方法用于计算有理点。
2026-01-16 math.AG math.NT
p-adic elliptic polylogarithms and cubic Chabauty
Boston University（波士顿大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究p进椭圆多项式对数在立方查巴图方法中的应用，通过p进log和局部p进高度构造有限集，验证Kim猜想新实例。
2026-04-22 math.AG math.NT
Quadratic Points on Non-Split Cartan Modular Curves
本文研究了非分裂Cartan模曲线$X_{ns}(p)$上的二次点，其中包括$p = 7, 11,$和$13$ .最近，Siksek证明了$X_{ns}(7)$上的所有二次点都是$X_{ns}^+(7)$上有理点的回调。使用类似的技术$p=11$，并采用一个版本的Chabauty的对称功率曲线的$p=13$，我们表明，同样适用于$X_{ns}(11)$和$X_{ns}(13)$。作为结果，我们证明了某些类的椭圆曲线在二次域是模。
2021-05-13 math.NT
Explicit Chabauty-Kim theory for the thrice punctured line in depth two
令$X= \mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$和令$S$表示素数的有限集合。在2005年的一篇文章中，Minhyong Kim给出了$X$的西格尔定理的一个新证明：$X$的$S$ -整点的集合$X(\mathbb{Z}[S^{-1}])$是有限的。证明依赖于一个'nonabelian'版本的经典Chabauty方法。它的核心是一个模块化的解释unipotent $p$ -adic霍奇理论，由塔的态射$h_n$之间的某些$\mathbb{Q}_p$ -品种。我们着手更好地了解$h_2$。它的神秘部分是$2|S|$变量的多项式。我们的主要定理指出，这个多项式是二次的，并给出了一个程序，写其系数的$p$ -adic矩阵和diamonds。
2014-03-18 math.AG math.NT
Rigorous expansions of modular forms at CM points, I: Denominators
提出一种严格计算权2尖点形式在CM点幂级数展开的算法，通过界定因分歧产生的分母且无需模曲线显式模型，为实现无方程Chabauty奠定基础。
2025-02-01 math.AG math.NT
$p$-adic Periods and Selmer Scheme Images
本文旨在为扩展Chabauty-Kim方法到更一般的超曲线上奠定基础，通过定义更一般的$p$-adic周期映射和非交换Chabauty框架，连接$p$-adic迭代积分与Goncharov的动机迭代积分理论。
2026-04-13 math.AG math.NT
Two recent p-adic approaches towards the (effective) Mordell conjecture
我们给出了一个介绍性的帐户最近的两种方法对有效的证明莫德尔猜想，由于劳伦斯-文卡特什和金。后一种方法，通常被称为方法的Chabauty-金或非阿贝尔Chabauty在文献中，具有的优点是，在某些情况下，它已变成一种有效的方法来确定一组曲线上的有理点，我们说明这一点，提出三个新的例子，模曲线，这一套可以确定。
2020-01-19 math.AG math.NT
On quadratic periodic points of quadratic polynomials
有理系数二次多项式的预周期点个数的界是算术动力学中一致有界猜想的一种情形。在这里，我们提供了一个一般的框架，可以减少寻找周期点，这样的多项式在伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$找到周期点的有理数。此外，我们提出的证据表明，有没有这样的多项式（线性共轭）与周期点的确切周期5在二次域通过搜索点的代数曲线，分类二次周期点的确切周期5，并建议应用的方法Chabauty和科尔曼进一步的进展。
2015-04-16 math.DS math.NT
Quadratic points on modular curves with infinite Mordell--Weil group
Bruin-Najman和Ozman-Siksek最近确定了亏格为2，3，4，5且Mordell-Weil群秩为0的所有模曲线$X_0(N)$上的二次点.本文对亏格为2，3，4，5的正Mordell-Weil秩的$X_0(N)$也作了同样的处理. $N$的值为37、43、53、61、57、65、67和73。使用的主要工具是一个相对对称的Chabauty方法，结合Mordell-Weil筛。通常，二次点不是有限的，因为2次映射$X_0(N)\to X_0(N)^+$可以是无限多个这样的点的源。在这种情况下，我们描述这个映射和$X_0(N)^+$上的有理点，并指定$X_0(N)$上的例外二次点不是来自$X_0(N)^+$。特别是我们确定相应的椭圆曲线的$j$ -不变量，以及它们是否是$\mathbb{Q}$ -曲线或具有复乘。
2020-02-03 math.NT
The Unipotent Chabauty-Kim-Kantor Method for Relative Completions
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
该研究基于Kantor的相对完备化思路，开发了新的p进解析方法，验证了相关维数不等式，得到Faltings与Siegel定理的新条件证明，还取得多项关键技术贡献。
2026-09-09 math.AG math.NT
Quadratic points on bielliptic modular curves
Bruin和Najman，Ozman和Siksek，Box描述了亏格$2\leq g(X_0(n)) \leq 5$的模曲线上的所有二次点。由于所有的超椭圆曲线$X_0(n)$是属$\leq 5$和作为一条曲线可以有无限多个二次点，只有当它是属$\leq 1$，超椭圆或双椭圆，问题的描述二次点的双椭圆模曲线$X_0(n)$自然出现;这个问题最近也提出了马祖尔。我们完全回答马祖尔的问题，并描述了所有的双椭圆模曲线$X_0(n)$的二次点，这还没有这样做。我们处理的$n$的值是$n=60,62,69,79,83,89,92,94,95,101,119$和$131$ ;曲线$X_0(n)$的亏格直到$11$。我们找到了这些曲线上的所有例外点，并证明它们都对应于CM椭圆曲线。我们使用的两个主要方法是Box的相对对称Chabauty方法和$\Q$ -曲线的模描述的应用程序$d$度$m$的独立issues，这减少了问题，找到合理的点上的几个平行的模曲线。
2022-10-30 math.NT
Quadratic modular symbols on Shimura curves
引入了二次模符号的概念，并研究了这些符号与二次p进L函数的关系。这些对象在[3]中在模曲线的情况下引入。本文讨论了一种将二次模符号和二次p-adic L-函数附加到更一般的Shimura曲线上的方法。
2011-12-23 math.NT
Values of modular functions at real quadratics and conjectures of Kaneko
2008年，M.金子对模j不变量在实二次无理数上的值做了一些有趣的观察。实二次曲面上的模函数的值由它们沿测地线的循环积分来定义。本文证明了M.用于金子的一个通用模函数.
2020-03-23 math.NT
Elliptic Curves over Real Quadratic Fields are Modular
证明了定义在实二次域上的所有椭圆曲线都是模曲线。
2014-07-18 math.NT
Half-integral weight modular forms and real quadratic $p$-rational fields
利用半整权模形式给出了实二次$p$ -有理域存在的一个判别准则。对于$p=5$，我们证明了无穷多个实二次$p$ -有理域的存在性.
2019-06-07 math.NT
Moments of quadratic twists of modular $L$-functions
本文证明了模$L$ -函数的二次扭的二阶矩的一个渐近性质。这是以前已知的GRH的工作Soundararajan和年轻的条件。
2022-08-21 math.NT
On the modularity of elliptic curves over a composite field of some real quadratic fields
设$K$是若干个实二次域的合成域.给出了$K$上的一个充分条件，使得$K$上的所有椭圆曲线都是模曲线.
2016-07-20 math.NT
Observations on the "values" of the elliptic modular function j(tau) at real quadratics
利用Hecke的双曲Fourier展开定义了椭圆模j函数在实二次无理数下的“值”，并给出了数值实验的结果.
2009-05-22 math.NT
Classifying Galois groups of small iterates via rational points
我们建立了$c\in\mathbb{Q}$的$ϕ_c(x)=x^2+c$的小迭代的伽罗瓦群的满射性定理。为了做到这一点，我们使用明确的技术，从理论的有理点的曲线，包括方法的Chabauty-Coleman和Mordell-Weil筛。例如，我们成功地找到所有有理点的超椭圆曲线的属$7$，秩$5$雅可比，其点参数化二次多项式与一个“新的小”伽罗瓦群在第五阶段的迭代。
2017-09-26 math.NT
Euler systems for modular forms over imaginary quadratic fields
我们构造了一个欧拉系统附加到一个重量为2的模形式扭曲的一个虚二次域的Groessen字符，并将其应用到绑定Selmer群。
2014-11-24 math.NT
Elementary divisor theory for the modular group over quadratic field extensions and quaternion algebras
本文对二次域扩张和四元数代数上的幺模和模群给出了一个初等因子理论。特别是，我们调查哪些集合的初等因子可以发生。在一个附加的假设下，我们建立了一个对应的幺模和模双陪集。
2010-03-01 math.NT
Cohomological interpretation of quadratic modular symbols
Bayer和Blanco-Chacón最近定义了判别式D的不定四元数有理代数的N级Eichler阶上的Shimura曲线X（D，N）的二次模符号.在本文中，我们给出了这些二次模符号的上同调解释。还提供了一些志村曲线的同调的显式计算。
2012-12-04 math.NT
On the frequency of vanishing of quadratic twists of modular L-functions
我们提出了理论和数值证据的随机矩阵理论方法的猜想消失的二次扭曲的某些L函数
2000-12-07 math.NT
Non-vanishing of quadratic twists of modular $L$-functions of prime-related moduli
本文研究了模为$8p$且$p$在奇素数上的模$L$ -函数的二次扭族的中心值.假设广义黎曼假设成立，我们建立了相应的$L$ -值的正比例非零结果。
2022-05-04 math.NT
The second moment of quadratic twists of modular $L$-functions
研究了模$L$ -函数的二次扭中心值的二阶矩。无条件地，我们得到一个下界，它匹配的渐近公式，而在GRH上，我们证明了渐近公式本身。
2009-07-27 math.NT
Sums of squares in real quadratic fields and Hilbert modular groups
利用实二次域的Hilbert-Maass型的谱理论，得到了整数环中涉及两个平方和表示数的和的渐近性.
2018-12-27 math.NT
Modularity of elliptic curves over cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions of real quadratic fields
本文证明了定义在实二次域的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张上的所有椭圆曲线都是模曲线，条件是扭$L$ -函数的中心值的代数部分是$p$ -进单位.我们的结果是X的一个结果的推广。张，这是一个真正的二次模拟的结果索恩。
2022-06-26 math.NT
