Half-integral weight modular forms and real quadratic $p$-rational fields
Jilali Assim, Zakariae Bouazzaoui
利用半整权模形式给出了实二次$p$ -有理域存在的一个判别准则。对于$p=5$，我们证明了无穷多个实二次$p$ -有理域的存在性.
Using half-integral weight modular forms we give a criterion for the existence of real quadratic $p$-rational fields. For $p=5$ we prove the existence of infinitely many real quadratic $p$-rational fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Meromorphic modular forms with rational cycle integrals
研究了与正定二元二次型相关的亚纯模形式测地循环积分的有理性。特别地，我们得到了这些亚纯模形式的适当线性组合的循环积分的有限有理公式。
Galois characterization of Endoscopy for rational Siegel modular forms
对于亏格为2的Siegel尖点形式，我们建立了Galois约化与Endoscopy之间的关系，这些Siegel形式具有有理特征值，且在3处是非分歧的
On the rationality of cycle integrals of meromorphic modular forms
我们导出了某些亚纯模形式的循环积分迹的有限有理公式。此外，我们还证明了这种迹的生成函数的完备化的模性。这些结果的理论框架是一个扩展的Shintani θ电梯的亚纯模形式的积极甚至重量。
Rational points on ellipsoids and modular forms
该研究运用模形式理论与球谐分析，在球面和高维椭球有理点的计数与等分布问题上得到新的最优界，展现了模形式的强大应用价值。
Lifting from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree
在所构造的Siegel模形式不恒为零的假设下，给出了从两个椭圆模形式对到偶数次半整权Siegel模形式的提升.证明的关键是引入一般次数半整权Siegel模形式的Maass关系的某种推广。
Half-Integral Weight Modular Forms and Modular forms for Weil representations
我们建立了一个同构的某些复值和向量值的模形式空间的半整数重量，推广了著名的同构之间的模形式的$Γ_0(4)$与Kohnen的加号条件和模形式的Weil表示与格矩阵$(2)$的判别形式。有了这样一个同构，我们证明了Zagier对偶和写下来的Borcherds电梯明确。
Fault-Tolerant Modular Reconstruction of Rational Numbers
在本文中，我们提出了两个有效的方法来重建一个有理数从几个剩余模对，其中一些可能是不正确的。一种方法是Wang、Guy和Davenport在\cite{WGD1982}中提出的方法的自然推广（用于从\textit{correct}模块图像重建有理数），也是在\cite{Abb1991}中提出的算法的自然推广，用于从几个剩余模对重建\textit{integer}值，其中一些可能是不正确的。
Analogues of the Bol operator for half-integral weight weakly holomorphic modular forms
我们在半整权的弱全纯模形式空间上定义了类似的Bol算子。我们建立了它的主要性质和与其他对象的关系。
On Modular Signs Of Half Integral Weights
本文考虑半整权k + 1/2的特征形的第一负特征值，得到了一个概型界.
Rational points on modular curves: parameterization and geometric explanations
该研究在Zywina的Serre均匀性猜想条件下，通过参数化方法揭示了模曲线上的有理点与椭圆曲线j不变量之间的几何联系。
Sign of Fourier coefficients of modular forms of half integral weight
我们建立下界（i）的数量的正，负的条款和（ii）的数量的符号变化的序列中的傅里叶系数在平方无整数的半整数的重量模块Hecke特征形。
On Hecke $L$-functions attached to half-integral weight modular forms
当$f$是$Γ_0(4).$上半整权$k+{1\over 2}$的Hecke特征形时，我们研究了$L(f,s)$在实直线上的非零性质
A Note on the Fourier coefficients of half-integral weight modular forms
本文证明了半整权模形式的傅里叶系数的代数性可以通过检验前几个系数的代数性来确定。在只考虑多项的情况下，给出了半整权模形式在Kohnen +-子空间中的充要条件.
Another look at rational torsion of modular Jacobians
研究了无平方数整数$N$的模Jacobian $J_0(N)$的有理扭子群.对Ogg猜想的推广给出了Ohta的一个结果的新证明：对素数$p \nmid 6N$，有理挠子群的$p$-准素部分等于尖点子群的准素部分.而以前的证明这一结果使用显式计算这些群体的基数，而不是使用它们的结构作为模块的赫克代数。
Sign changes of fourier coefficients of modular forms of half integral weight, 2
本文研究了半整权Hecke本征形的傅里叶系数的符号变化，给出了两个关于符号变化次数的定量结果。
Rational torsion of generalised modular Jacobians of odd level
我们考虑水平$N$的模数曲线$X_{0}(N)$的广义雅可比矩阵$J_{0}(N)_{\mathbf{m}}$，关于由模曲线上的所有尖点组成的模数$\mathbf{m}$。当$N$是奇数时，我们确定了任意素数$l$除$N$的有理挠$J_{0}(N)_{\mathbf{m}}(\mathbb{Q})_{tor}$到$2$ -准素部分和$l$ -准素部分的群结构.我们的结果推广了Wei-Yamazaki对无平方能级和Yamazaki-Yang对素幂能级的结果。
Periodicities for Taylor coefficients of half-integral weight modular forms
模形式的傅里叶系数的同余关系一直是人们研究的中心问题。相比之下，模形式的其它展开式，特别是上半平面上点的Taylor展开式的算法研究得较少。最近，Romik提出了一个关于经典Jacobi θ函数的$τ=i$附近系数周期性的猜想。在这里，我们证明了这一猜想，并推广的现象所观察到的Romik一般类的模形式的半整重量。
Rational torsion points on Jacobians of modular curves
设$p$是大于3的素数。考虑$\mathbb{Q}$上的模曲线$X_0(3p)$及其$\mathbb{Q}$上的雅可比变种$J_0(3p)$。设$\mathcal{T}(3p)$和$\mathcal{C}(3p)$分别是$J_0(3p)$上的有理扭点群和$J_0(3p)$的尖点群。我们证明，$3$ -初级亚组的$\mathcal{T}(3p)$和$\mathcal{C}(3p)$一致，除非$p\equiv 1 \pmod 9$和$3^{\frac{p-1}{3}} \equiv 1 \!\pmod {p}$。
A variant of multiplicity one theorems for half-integral weight modular forms
我们表明，傅里叶系数的迹象，在某些子家庭，确定半积分权尖点特征形唯一的，直到一个积极的常数。我们还研究了两个不同的半整数权特征形的傅里叶系数的乘积的符号变化结果。
Equations and Rational Points of the Modular Curves $X^+_0(p)$
设$p$为奇素数，$X_0^+(p)$为经典模曲线$X_0(p)$在Atkin-Lehner算子$w_p$作用下的商.在本文中，我们将展示如何计算明确的方程的正则模型的$X_0^+(p)$。然后，我们展示了如何计算模块化参数化，当它存在时，从$X_0^+(p)$到其雅可比矩阵$J_0^+(p)$的维度为1的Issuing因子$E$。最后，我们展示了如何使用这个地图，以确定$X_0^+(p)$上的有理点到一个大的固定高度。
Counting modular forms by rationality field
本文研究权为2新形式的有理性域分布，给出无平方因子级下次数d出现频率的启发式上界，预测d≥7时有限，并猜想Q(√5)是最常见二次有理性域。
Supnorm of Modular Forms of half-integral Weight in the Weight Aspect
将Fourier展开的上界与Bergman核的放大方法相结合，给出了半整数权Hecke特征形在$4$级Kohnen+空间上的权上界.
On multiplier systems and theta functions of half-integral weight for the Hilbert modular group $\mathrm{SL}_2(\mathfrak{o})$
设$F$是全实数域，$\mathfrak{o}$是$F$的整数环.研究了Hilbert模群$\mathrm{SL}_2(\mathfrak{o})$的半整权Hilbert模形式的θ函数.得到了$\mathrm{SL}_2(\mathfrak{o})$存在半整数权乘子系的一个等价条件。我们确定了$F$存在一个θ函数的条件，该θ函数是$\mathrm{SL}_2(\mathfrak{o})$的半整权的Hilbert模形式。θ函数由$F$的分式理想$\mathfrak{a}$上的和定义。
Bounds on sup-norms of half-integral weight modular forms
模形式的上范数在水平上的界是近年来研究的热点。本文证明了半整权尖点形式的上范数在水平上是有界的。
Fast computation of half-integral weight modular forms
为了研究模形式的统计特性，包括例如Sato-Tate类问题，必须具有大量的傅里叶系数。在这篇文章中，我们展示了三个基地的任何半整重量和水平4的模形式的空间，它具有的性质，许多系数可以计算（相对）快速的计算机上。
$p$-adic Limit of Weakly Holomorphic Modular Forms of Half Integral Weight
Serre得到了$p=2,3,5,7$在$SL_2(\mathbb{Z})$上的模形式的积分傅里叶系数的p-adic极限.本文将Serre的结果推广到$Γ_{0}(4N)$上的半整权弱全纯模形式，并推广到$N=1,2,4$上。利用半整权的模形式的傅里叶系数之间的线性关系给出了一个证明。作为应用，我们得到了Borcherds指数的同余，Eisentein级数的商的同余以及$L$ -函数在某一点的值的同余.利用Ikeda提升，得到了Maass空间上Siegel模形式的傅里叶系数的同余关系.
On Fourier coefficients of modular forms of half integral weight at squarefree integers
证明了在无平方因子的整数下，与半整权Hecke本征形的傅里叶系数相关的狄利克雷级数解析地扩展到半平面$\re s\textgreater{}\tfrac{1}{2}$中的全纯函数.这表现出系数在无平方整数处的高波动。
Geometric and $p$-adic modular forms of half-integral weight
本文介绍了一种研究半整权的模形式的几何形式，并探讨了它的一些基本性质。构造了几何Hecke算子，并引入了$p$ -adic形式的基本空间. $p$ -adic理论在随后的论文中得到了很大的扩展，使得本文的这一部分基本上过时了。
Number of $K$-rational points with given $j$-invariant on modular curves
本文研究了模曲线中具有给定j不变量的K有理点数目，并提出算法确定CM点数目，同时探讨了椭圆曲线的循环同源性质。
Equidistribution of signs for Hilbert modular forms of half-integral weight
证明了半整权Hilbert模形式的傅里叶系数的符号的等分布。我们的研究重点是某些子族的系数，可通过志村对应。这是Inam和Wiese的结果在全实数域上的推广
The graded ring of modular forms on the Cayley half-space of degree two
Hashimoto和Ueda确定了二次Cayley半空间上分次模分次环生成元的权。在本文中，我们描述显式生成器。通过计算齐次分支的维数，证明了分次环可以由Eisenstein级数生成。此外，我们还给出了权252的斜对称形式的两种不同的构造。
$p$-adic properties of certain half-integral weight modular forms
本文研究了弱全纯（分别为Zagier和Folsom-Ono）网格的平行情形。弱全纯和模拟模）形式的权重3/2和1/2，研究它们在Hecke运算符作用下的$p$ -adic性质。
The rational torsion subgroups of Drinfeld modular Jacobians and Eisenstein pseudo-harmonic cochains
设$\frak{n}$是$\mathbb{F}_q[T]$的无平方理想。研究了Drinfeld模曲线$X_0(\frak{n})$的雅可比簇$J_0(\frak{n})$的有理扭子群.证明了对任何不整除$q(q-1)$的素数$\ell$，此群的$\ell$ -准素部分与尖除子类群的准素部分重合.我们进一步确定的结构的$\ell$ -主要部分的尖形除子类群的任何素数$\ell$不划分$q-1$。
On sign changes for almost prime coefficients of half-integral weight modular forms
对于一个半整数的重量模块形式$f = \sum_{n=1}^{\infty} a_f(n)n^{\frac{k-1}{2}} q^n$的重量$k = l +\frac{1}{2}$ $Γ_0(4)$，使$a_f(n)$（$n$ $\in$ $\mathbb{N}$）是真实的，我们证明了一个固定的适当的自然数$r$，$a_f(n)$改变符号无限经常$n$变化的数字，最多$r$素因子，假设半整数重量形式的Ramanujan猜想的模拟。
Half-integral weight Eichler integrals and quantum modular forms
与积分权模形式的艾希勒积分的经典理论类似，劳伦斯和扎吉尔考虑了某些半积分权模形式的艾希勒积分的例子。这些都是一种新型物体的早期原型，后来扎吉尔称之为量子模形式。从那时起，其他一些人也研究了类似的例子。在这里，我们发展的理论在一般情况下，产生了一个定义明确的类量子模形式。由于这类元素经常出现在组合和数论兴趣的例子中，我们建议研究量子模形式空间的一般性质。最后，我们给出了一套关于这个空间的对象，值得进一步研究的基本问题。
Large Fourier coefficients of half-integer weight modular forms
本文研究了正空间中半整数权的尖点形式（不一定是特征形式）的傅里叶系数。我们给出了一个软证明，有无穷多个基本判别$D$，使得在$|D|$评估的傅里叶系数是非零的。通过调整共振法，我们还证明了这样的傅里叶系数必须采取相当大的值。
Sign changes of coefficients of half integral weight modular forms
对于半整权模形式$f$，我们研究了Fourier系数$a(n)$的符号.若$f$是具有实Neumypus特征标的水平$ N$的Hecke特征形，且$t$是具有$a(t)\neq 0$的固定无平方正整数，则证明了对除100个素数外的所有素数$p$序列$(a(tp^{2m}))_{m}$有无穷多个符号变化.此外，我们证明了类似的（部分条件）的任意尖点形式$f$不一定是赫克特征形的结果。
Periodicity properties of coefficients of half integral weight modular forms
本文证明了半整权模形式块中系数的一个定理。我们证明了Serre和Stark关于权1/2形式的结果不能推广到更高的权。设f是权至少为3/2的半整权尖点形式。我们考虑块的系数f和证明，在一些弱的假设下，f，如果这样的系数块是周期性的，当被认为是一个函数的平方根的指数，那么它必须完全消失。证明是分析的性质，并使用志村的提升定理连同估计的增长顺序的傅里叶系数的模形式。
Rationality fields of CM modular forms
本文研究有界次数新形式有理性域的有限性，在广义 Riemann 假说下证明 CM 形式情形，并分类权 2 CM 形式的二次、三次有理性域。
$p$-adic Properties for Taylor Coefficients of Half-integral Weight Modular Forms on $Γ_1(4)$
对于素数$p\equiv 3$ $(\text{mod }4)$和$m\ge 2$，Romik提出了一个问题，关于经典雅可比θ函数$θ_3$的$\sqrt{-1}$周围的泰勒系数是否最终以$p^m$为模消失。这个问题可以推广到$Γ_1(4)$和CM点上的一类半整权的模形式，本文对素数$p\ge5$证明了一个肯定的答案.我们的结果也是Larson和Smith关于$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$上积分权的模形式的结果的推广.
Fourier coefficients of half-integral weight modular forms in arithmetic progressions
研究了等差数列中傅里叶系数和的概率行为。我们证明了一个结果类似于以前的工作Fouvry-Ganguly-Kowalski-Michel和Kowalski-Ricotta的上下文中的半整数重量全纯尖点形式和素数的功率模。我们实际上表明，这些总和在一个适当的范围内的混合高斯分布，来自渐近混合分布的Salié和。
Weights of modular forms on $\mathrm{SO}^{+}(2,l)$ and congruences between Eisenstein series and cusp forms of half-integral weight on $\mathrm{SL}_{2}$
令$E$是一个1级的半整数权向量值Eisenstein级数，归一化使得系数都在$\mathbb{Z}$中。我们证明了存在一个一级向量值尖点形式$f$，其权值与$E$相同，系数在$\mathbb{Z}$中，它与$E$模$E$的常数项全等。
Non-zero coefficients of half-integral weight modular forms mod $\ell$
得到了半整权不能被某个素数$\ell$整除的弱全纯模形式的傅里叶系数个数的新下界.在这方面的应用，我们表明，有$\gg \sqrt{X}/\log \log X$整数$n \leq X$的分区函数$p(n)$是不可分的$\ell$，并有$\gg \sqrt{X}/\log \log X$值的$n \leq X$的$c(n)$，$n$ th傅立叶系数的$j$不变，是奇数。
Zeros of modular forms of half integral weight
研究了$\mathbb{Z}+\frac{1}{2}$中4级弱全纯模形式空间的标准基和权，证明了几乎所有的模形式都具有这样的性质，即在$Γ_0(4)$的基本域中，它们的许多零点都位于基本区的下边界弧上.此外，我们表明，在许多地方在这条弧上，Hurwitz类数的生成函数是等于一个特定的模拟模块庞加莱系列，并表明，对于正权重，一组特定的傅里叶系数的尖点形式在这个规范的基础上不能同时消失。
A formula for the action of Hecke operators on half-integral weight Siegel modular forms and applications
我们引入了一组替代的生成元的Hecka代数，并给出了一个明确的公式，这些运营商对傅里叶系数的作用。有了这个，我们计算的Hecke运营商的特征值平均西格尔theta系列与半整数的重量（提供的素数相关的运营商不划分的theta系列的水平）。接下来，我们根据傅里叶系数的界来约束这些算子的本征值。证明了半整权Kitaoka子空间在所有Hecke算子下都是稳定的。最后，我们观察到加权$k+1/2$的Siegel模形式和加权$k+1$的“偶”Jacobi模形式之间的同构是Heck不变的（这里的水平和特征是任意的）.
On rational Eisenstein primes and the rational cuspidal groups of modular Jacobian varieties
令$N$是非无平方正整数，令$\ell$是奇素数，使得$\ell^2$不能整除$N$。考虑Hecke环$\mathbb{T}(N)$的重量$2$为$Γ_0(N)$，其有理爱森斯坦素数的$\mathbb{T}(N)$包含$\ell$，在第3节中定义。如果$\mathfrak{m}$是这样一个有理Eisenstein素数，那么我们证明$\mathfrak{m}$是$(\ell, ~\mathcal{I}^D_{M, N})$的形式，其中$\mathbb{T}(N)$的理想$\mathcal{I}^D_{M, N}$也在第3节中定义。进一步证明了$\mathcal{C}(N)[\mathfrak{m}] \neq 0$，其中$\mathcal{C}(N)$是$J_0(N)$的有理尖点群.为了做到这一点，我们计算在第4节中定义的尖形因子$\mathcal{C}^D_{M, N}$的精确阶，以及$\mathcal{I}^D_{M, N}$在$\mathbb{T}(N)\otimes \mathbb{Z}_\ell$中的索引。
P-adic family of half-integral weight modular forms via overconvergent Shintani lifting
利用Heck-等变超收敛Shintani提升构造了超收敛半整权模形式的p-adic解析族.经典的Shintani映射是从整权的尖点形式空间到半整权的尖点形式空间的Heck-等变映射。Glenn Stevens在[St 1]中证明了该映射到Hida族的积分权的普通尖点形式有Lamda-adic提升，从而构造了半积分权的Lamda-adic模特征形式.很自然地，我们可以把他的结果推广到非一般的有限斜率情形，即有限斜率的过收敛尖点形式的Coleman p-adic解析族.为此，我们将使用紧支撑上同调的斜率h分解，其值在过收敛分布中，这可以被解释为Coleman p-adic族的上同调描述，并定义p-adic Hecke代数的斜率h部分。然后，我们在普通情况下遵循[St 1]的想法。利用超收敛模符号上的Hecke作用，我们还明确地描述了Hecke算子在泛超收敛半整权模形式的q-展开上的性质.
Spectacle cycles with coefficients and modular forms of half-integral weight
本文提出了一种几何方法，将同余子群的偶权尖点形式的Shintani提升推广到任意模形式，特别是Eisenstein级数。这是我们努力的一部分，以扩大在非紧的情况下，Kudla-Millson和Funke-Millson相关的傅里叶系数（西格尔）模形式与相交数的循环（系数）正交局部对称空间的结果。在本文中，所讨论的圈是具有非平凡系数的经典模符号。我们引入了系数为“capped”的模符号，我们称之为“景观圈”，并证明了景观圈上任何模形式的上同调周期的生成序列是半整权的模形式.在本文的最后一节中，我们开发了一个新的单纯同调论的局部系数（不是局部常数），使我们能够扩展上述结果的上半平面的orbifold同调。
Rational points on modular curves via maps to elliptic curves with rank zero
本文提出一种构造模曲线到秩为零的椭圆曲线的映射的方法，并系统确定了水平不超过70的模曲线中超过99%的有理点。
Effective construction of Hilbert modular forms of half-integral weight
给定一个Hilbert尖点新形式$g$，我们构造了一族半整权的模形式，其傅里叶系数由基本判别式给出了$g$的扭曲$L$ -级数的中心值.该家庭是参数化的二次条件划分$g$的水平上的素数，其中每一种形式的系数支持的判别满足条件。这些模形式是以广义θ级数的形式给出的，因此它们的系数可以有效地计算。我们的构造适用于任意的全实数域，除了在奇数度的情况下，平方水平被排除在外。它包括所有的判别式，除了那些可被其平方划分水平的素数整除的判别式。
On modular forms of rational weight satisfying the canonical second-order linear modular differential equation
通过将KZ方程转化为超几何微分方程并分析单值性表示，完全分类了使得KZ方程具有由主同余子群Γ(N)的模形式构成的基本解系的有理权k。
Distribution of integral Fourier Coefficients of a Modular Form of Half Integral Weight Modulo Primes
最近，Bruinier和Ono分类的尖形$f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_f(n)q ^n \in S_{λ+1/2}(Γ_0(N),χ)\cap \mathbb{Z}[[q]]$，不满足一定的分布性质的模奇素数$p$。本文利用Rankin-Cohen定理，将这一结果推广到素数$p \geq 5$的半整权模形式.作为我们的主要定理的应用，我们得到的分布性质，模素数$p\geq5$，奇异模和Hurwitz类数的迹。我们还研究了一个类似的纽曼猜想的超分区。
Sign of Fourier coefficients of half-integral weight modular forms in arithmetic progressions
设$f$为$4N$的半整数权尖点形式，$f$为奇数且无平方的$N$，$a(n)$表示其$n^{\rm th}$归一化傅立叶系数.假设所有的系数$a(n)$都是实数，我们研究了当$n$通过一个等差数列时，$a(n)$的符号.因此，我们建立了整数$n\le x$的个数的下界，使得$a(n)>n^{-α}$，其中$x$和$α$是正的，并且$f$不一定是Hecke特征形。
On Rankin-Cohen Brackets of Hecke Eigenforms and Modular Forms of Half-Integral Weight
本文将Hecke特征形式平方与高阶特征形式的线性关系推广至一般阶Rankin-Cohen括号，并推广了Zagier的Petersson内积公式。
Ternary Quadratic Forms And Half-Integral Weight Modular Forms
令$k$是正整数，使得$k\equiv3\mod4$，并且令$N$是正的无平方整数。在本文中，我们计算的半整权模形式的二维子空间$S_{\frac{k}{2}}(Γ_{0}(4N),F)$的基础，通过志村对应，一个新的形式$F\in S_{k-1}(Γ_{0}(N))$，它满足$L(F,\frac{1}{2})\neq0$。这是通过使用Waldspurger的结果来实现的，一旦Kohnen空间中的形式被确定，Waldspurger的结果允许人们通过局部考虑来产生对应于给定$F$的形式的基础
Quadratic Chabauty for Atkin-Lehner Quotients of Modular Curves of Prime Level and Genus 4, 5, 6
本文利用二次Chabauty方法对模曲线$X_0(N)$的有理函数$X_0^+(N)$通过它们的Scherke对合可证明地计算了亏格为4、5和6的素数水平$N$上这些曲线的所有有理点.我们发现，只有这样的曲线与例外的有理点是水平$137$和$311$。特别地，在亏格5和亏格6的曲线上不存在例外的有理点。更精确地说，我们确定曲线$X_0^+(N)$上的有理点，用于$N=137,173,199,251,311,157,181,227,263,163,197,211,223,269,271,359$。
Primitive rational points on expanding horospheres in Hilbert modular surfaces
在Einsiedler、Mozes、Shah和Shapira最近的工作中，在任意维中考察了扩张半球上原始有理点的极限分布，并宣布了这一结果的一个暂停版本。受此启发，我们证明了一个类似的公告原始有理点在希尔伯特模曲面通过有效的混合。
On the Divisibility Properties of the Fourier Coefficients of Meromorphic Hilbert Modular Forms
本研究沿用Zagier的思路，借助theta提升与弱Maass形式，探究实二次域对应的亚纯希尔伯特模形式傅里叶系数的有理性和整除性，给出系数为分母有界有理数的条件，并证明其在合适线性组合下的整除特性。
Bianchi Modular Forms and the Rationality of Periods
本文通过显式 Eichler-Shimura-Harder 同构建立 Bianchi 周期的 Manin 有理性定理，从而在欧几里得虚二次域情形下给出 Hida 结果的新简短证明，并利用 Karabulut 的周期多项式空间显式描述 Hecke 算子作用。
Modular curves of prime-power level with infinitely many rational points
对于${\rm GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$的每个开子群$G$包含具有全行列式的$-I$，令$X_G/\mathbb{Q}$表示松散参数化椭圆曲线的模曲线，其Galois表示由其扭点上的Galois作用产生，具有包含在$G$中的图像。直到共轭，我们确定了一个完整的列表$248$这样的群$G$的素数功率水平，其中$X_G(\mathbb{Q})$是无限的。对于每个$G$，我们还构造了从每个$X_G$到$j$ -线的显式映射。该列表由属$0$的$220$模曲线和属$1$的$28$模曲线组成。对于每一个素数$\ell$，这些结果提供了一个明确的分类可能的图像的$\ell$ -进伽罗瓦表示所产生的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$是完整的，除了一个有限的例外$j$ -不变量。
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