Rank jumps for Jacobians of Hyperelliptic curves on K3 surfaces
研究数域上K3表面超椭圆曲线雅可比矩阵秩跃迁现象，证明有限扩展下秩跃迁无限集的存在，并描述K3表面几何条件下的非薄纤维秩跃迁。
2026-04-04 math.AG math.NT
Chabauty-Coleman experiments for genus 3 hyperelliptic curves
我们描述了一个计算有理点格为3的超椭圆曲线$C$定义在$\mathbb{Q}$的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩1。利用Chabauty和Coleman的方法，提出并在Sage中实现了一个计算两个Coleman积分的零轨迹的算法，并分析了由这些积分的消失所切出的有限集。我们运行的算法约17,000曲线从即将到来的数据库属3超椭圆曲线，并讨论了一些有趣的例子，其中零集包括全球点没有发现在$C(\mathbb{Q})$。
2018-05-09 math.AG math.NT
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
证明了当所有亏格为$n\geq 1$且具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线按高排序时，其Jacobian的2-Selmer群的平均大小等于3.由此可知，它们的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩至多为3/2。Chabauty的方法，然后可以被用来获得一个有效的界限上的合理的点的数量，这些超椭圆曲线，例如，我们表明，大多数的超椭圆曲线属$n\geq 3$与理性Weierstrass点有不到20个有理点。
2013-04-29 math.AG math.NT
Modularity and effective Mordell I
给出了奇次全实数域上映射到Hilbert模栈的曲线的Faltings定理的一个有效证明。我们这样做，给出了一个有效的证明的Shafarevich猜想阿贝尔簇品种的$\mathrm{GL}_2$型在奇数度全实数域。例如，当$K$是奇次全实时，我们推导出曲线$C_a : x^6 + 4y^3 = a^2$（$a\in K^\times$）上$K$ -点的有效高度界。(Over $\overline{\mathbb{Q}}$所有双曲超椭圆曲线都允许一个控制$C_1$的代数覆盖。）
2021-11-24 math.AG math.NT
Point générique et saut du rang du groupe de Mordell-Weil
设$k$是数域，$U$是光滑积分$k$簇.设$X \to U$是一个阿贝尔方案。我们考虑集合$\mathcal{R}$的有理点$m \in U(k)$，使得纤维$U_{m}$的Mordell-Weil秩严格大于一般纤维的Mordell-Weil秩。我们证明了以下结果。如果$k$ -簇$X$是$k$ -单有理的，那么对于$U$上的Zurski拓扑，$\mathcal{R}$是稠密的.如果$X$是$k$ -有理数，则$\mathcal{R}$在$U$中不是稀疏的。这推广了Billard和Salgado的结果。其主要思想可以追溯到Néron的论文：使用家族的通用纤维的泛点。
2020-03-03 math.AG math.NT
Extremal hyperelliptic fibrations on rational surfaces
我们考虑具有相对最小纤维化的有理曲面。这样一个曲面的皮卡数是有界的一般纤维的亏格。当Picard数为最大时，我们用奇异纤维刻画了一个Mordell-Weil群为平凡的曲面.此外，我们明确地描述了定义方程。
2010-06-24 math.AG
Uniform Bounds for the Number of Rational Points on Symmetric Squares of Curves with Low Mordell-Weil Rank
丢番图几何中的一个中心问题是平滑曲线$X/K$上$K$ -有理点的个数根据$K$及其亏格$g$一致有界. Stoll最近发表的一篇论文证明了超椭圆曲线$X$上$K$ -有理点数量的一致界，前提是$X$的雅可比矩阵的秩最多为$g - 3$。Katz，Rabinoff和Zureick-Brown将他的结果推广到满足相同秩条件的任意曲线。本文证明了当Jacobian的秩至多为$g-4$时，$X$的对称平方上在其代数特殊集之外的有理点个数的条件一致界.在超椭圆情况下，我们还找到了有利于秩的一致界（即，取决于雅可比矩阵秩的界）。
2018-10-03 math.AG
Rational points on hyperelliptic Atkin-Lehner quotients of modular curves and their coverings
我们完成了所有$64$极大Atkin-Lehner商$X_0(N)^*$上的所有$\mathbb{Q}$ -有理点的计算，使得商是超椭圆的。为了实现这一点，我们使用各种方法的组合，即经典的Chabauty-科尔曼，椭圆曲线Chabauty，二次Chabauty，和双椭圆二次Chabauty方法结合Mordell-Weil筛。另外，对于无平方的$N$，我们将所有的$\mathbb{Q}$ -有理点分为尖点、CM点（包括CM域和$j$ -不变量）和例外点.我们进一步指出如何使用它来计算$\mathbb{Q}$ -有理点的所有模块覆盖。
2022-09-23 math.AG math.NT
Mordell-Weil lattices and toric decompositions of plane curves
我们扩展的结果Cogolludo-Agustin和Libgober有关的亚历山大多项式的平面曲线$C$与Mordell-Weil秩的某些isovirary家庭的雅可比族在$\mathbf{P}^2$的判别式$C$。在第二部分中，我们引入了平面曲线的$(2,3,6)$拟复曲面分解上的高度对。我们使用这种配对和本文第一部分的结果来构造一对具有30个尖点和Alexander多项式$t^2-t+1$的12次曲线，但具有不同的高度配对。我们使用高度配对来表明这些曲线来自Zagliki对。
2015-08-18 math.AG math.AT math.NT
Zariski K3 surfaces
我们构造了具有Artin不变量1，2，3的ZaprikiK3曲面.特别是，我们证明了任何supersingular库默尔表面是Zeromki，如果特征是不全等1模12。我们的方法结合了不同的方法，如通过组计划$α_p$，库默尔表面，和自同构的椭圆和超椭圆曲线的双折射。
2017-10-24 math.AG
Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves
Manjul Bhargava和Benedict Gross在文献[5]中考虑了$\Q$上的超椭圆曲线族具有固定的亏格和一个标记的有理Weierstrass点.他们表明，当按高度排序时，这些曲线的雅可比行列式的2-Selmer群的平均大小为3。本文考虑了$\Q$上的一类具有固定亏格和一个标记有理非Weierstrass点的超椭圆曲线.我们表明，当这些曲线的高度排序，其雅可比矩阵的2-Selmer群的平均大小是6。这就产生了这些超椭圆曲线的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩的上界为5/2。最后，使用等分布结果，我们修改了[16]的技巧，从而得出结论：当$g$趋于无穷大时，具有亏格$g$的这些一元偶次超椭圆曲线中趋于1的部分恰好具有两个有理点-无穷远处的标记无穷远点及其超椭圆共轭。
2014-02-17 math.AG math.NT
Mordell--Weil groups of quasi-elliptic surfaces in characteristic 3
The University of Tokyo（东京大学）
本文在特征3下建立了拟椭圆曲面整体截面的挠秩与超椭圆曲线p-秩的联系，并据此确定了一类拟椭圆曲面Mordell--Weil群的挠秩。
2026-09-22 math.AG
Using hyperelliptic curves to find positive polynomials that are not a sum of three squares in R(x, y)
本文涉及希尔伯特第十七问题的一个定量方面：产生一个集合的实多项式在两个变量的次数为8的一个变量是积极的，但不是一个总和的三个平方的有理分式。正如Huisman和Mahe所解释的那样，一个给定的二元x和y的一元无平方正多项式，其次数在y中可被4整除，当且仅当某个超椭圆曲线（与P相关）的雅可比簇有一个“反中性”点。利用这一准则，我们采用Cassels，Ellison和Pfister提出的方法来解决我们的问题：首先证明与某个多项式相关联的雅可比簇J的Mordell-Weil秩为零（这一步是通过2-下降来完成的），然后我们检验雅可比簇J没有反中性扭点.
2007-09-13 math.AG math.NT
The Hilbert Property for integral points of affine smooth cubic surfaces
本文证明了数域$k$上的光滑三次曲面在$\mathbb{A}^3$中的$S$ -积分点集不是稀疏的，对于适当的$k$和$S$ .作为推论，我们得到了光滑三次曲线在$\mathbb{P}^2$中的补数的结果，改进了Beukers关于$S$ -整点是Zberki稠密的证明，对于合适的$S$和$k$ .用我们的方法我们重新证明了Zagliki密度，但我们的结果更强大，因为它是Zagliki密度的更强形式。此外，我们证明了合理的整数点的费马三次曲面$x^3+y^3+z^3=1$形成一个非薄集，我们链接我们的方法到以前的结果Lehmer，米勒-Woollett和Mordell。
2018-07-09 math.AG math.NT
Rational points on elliptic K3 surfaces of quadratic twist type
在研究椭圆K3曲面上的有理点的形式为$f(t)y^2=g(x)$，其中$f,g$是三次或四次多项式（无重根），我们引入了一个条件，二次扭曲的椭圆曲线同时具有正的Mordell-Weil秩。利用这个条件证明了有理点的Zebriki稠密性的一个充要条件，并将它与Hilbert性质联系起来.应用于Cassels-Schinzel型曲面，我们无条件地证明了在Zebraki拓扑和实拓扑中的有理点都是稠密的.
2020-12-04 math.AG math.NT
On the Existence of Hyperelliptic Curves over $\mathbb{Q}(T)$ with Certain Jacobian Ranks
University of Chicago（芝加哥大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Williams College（威廉姆斯学院）；University of Michigan（密歇根大学）
该研究构造了定义在$\text{Q}(T)$上的亏格$g$的虚、实超椭圆曲线，结合广义Nagao猜想与Shioda-Tate定理，证明了满足特定秩范围的无穷多此类超椭圆曲线的存在性。
2026-08-18 math.AG math.NT
Generically Ordinary One-parameter Hyperelliptic Families are Dense
University at Buffalo, State University of New York（纽约州立大学布法罗分校）
该论文研究d>4的单参数超椭圆族的约化性质，证明扎里斯基一般系数对应的超椭圆族在大素数处有一般平凡约化，且平凡素数的自然密度在基变换后为1。
2026-08-25 math.AG math.NT
The Dynamical Mordell-Lang Conjecture for skew-linear self-maps
设k是特征为0的代数闭域，X=P^1 \times A^N，f是X的有理自同态，由（x，y）->（g（x），A（x）y）给出，其中g是有理函数，A是元素在k（x）中的N × N矩阵.证明了若g具有x->ax+b的形式，则X的每一条与f的某个轨道相交于无穷多点的不可约曲线C在f的作用下必是周期的.如果g是一个大于1的自同态，则我们证明了X的每个与f的轨道相交的不可约子簇Y在一个Zebriki稠密点集中也必是周期的.我们的结果在一些新的例子中提供了动力学Mordell-Lang猜想中所期望的结论。此外，我们的结果有有趣的后果对Rubel的猜想和Wibmer提出的广义Skolem-Mahler-Lech问题的背景下的差分方程。在附录中，它表明，结果也可以用来构建Picard-Vessiot扩展环的序列。
2018-03-11 math.AG math.DS math.NT
Uniform bounds for the number of rational points on curves of small Mordell--Weil rank
设$X$是度为$d = [F:Q]$的数域$F$上亏格为$g\geq 2$的曲线.关于$X$的$F$ -有理点的个数$\#X(F)$上的一致有界$N(g,d)$的存在性问题是算术几何中一个突出的公开问题，由[CHM 97]已知，它是由Battieri-Lang猜想导出的.一个相关的猜想假定存在关于$X$的Jacobian $J$在Abel-Jacobi映射下位于$X$的像上的几何扭点个数的一致界$N_{{\rm tors},\dagger}(g,d)$.对于固定的$X$，Manin-Mumford证明了这个量是有限的，Raynaud [Ray 83]也证明了这个量是有限的。当$X$具有Mordell-Weil秩$r\leq g-3$时，给出了$\#X(F)$的一个显式一致界.这将Stoll最近的工作推广到任意曲线的小秩超椭圆曲线上的统一界。利用同样的技巧，我们给出了一个明确的，无条件的一致界的$F$ -有理扭点的$J$躺在图像的$X$下的Abel-Jacobi映射。当$X$的约化类型是高度退化的时，我们还给出了落在$X$上的$J$的几何扭点个数的显式一致界.我们的方法结合Chabauty-科尔曼的$p$进积分，非阿基米德潜在的理论上的Berkovich曲线，和理论的线性系统和因子的度量图。
2017-01-06 math.AG math.NT
The mixed Hodge structure on the fundamental groups of the Collino surfaces
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
研究Collino表面开集根本群的混合Hodge结构，揭示第二延伸类与阿贝尔-雅各布不变量及标记点的关系。
2026-04-16 math.AG
Unlikely intersections on the $p$-adic formal ball
我们调查沿线的Mordell-朗猜想的作者的$p$ -进正式Manin-芒福德结果$n$ -维$p$ -可分正式组$\mathcal{F}$。特别是，给定一个生成的子群$Γ$的$\mathcal{F}(\overline{\mathbb{Q}}_p)$和一个封闭的子计划$X\hookrightarrow \mathcal{F}$，我们显示在适当的假设下，任何点$P\in X(\mathbb{C}_p)$满足$nP\inΓ$的一些$n\in\mathbb{N}$，最小这样的订单$n$是一致有界的$X$不包含一个正式的子群平移的正维。与此相反，我们然后提供反例，一个完整的$p$进正式Mordell-Lang结果。最后，我们概述了一些后果的研究的Zagliki-密度集的自守对象在$p$ -adic变形。具体来说，我们这样做的背景下，几乎普通的$p$ -进家庭的尖点上同调自守形式的一般线性组由飞。
2022-05-24 math.AG math.NT
Explicit Chabauty-Kim for the Split Cartan Modular Curve of Level 13
我们扩展显式二次Chabauty方法在以前的工作中开发的前两个作者的情况下，非超椭圆曲线。这导致一个算法来计算曲线上的有理点亏格$g \ge 2$在有理数的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩$g$和Picard数大于1，并满足一些额外的条件。然后将该算法应用于模曲线$X_{s}(13)$上，完成了$\mathbf{Q}$上非CM椭圆曲线的分类，由于Bilu-Parent和Bilu-Parent-Rebolledo的存在，使其具有分裂Cartan水平结构.
2017-11-15 math.AG math.NT
Monodromy groups of Jacobians with definite quaternionic multiplication
本文利用带定四元数乘法的超椭圆 Jacobi 簇显式族，证明对任意偶数 $g\ge4$，$\mathbb{Q}$ 上存在无穷多个几何不同源的 $g$ 维阿贝尔簇，其连通单值域严格大于自同态定义域。
2023-08-17 math.AG math.NT
Periodic points and arithmetic degrees of certain rational self-maps
本文研究代数数域上的上同调双曲双有理自映射，给出其周期点高度的有界性结果，还将二维有理自映射的Kawaguchi--Silverman猜想归约为动力Mordell--Lang猜想，验证了若干新情形并证明对应Zariski稠密轨道存在。
2023-06-12 math.AG math.DS math.NT
Rational curves and the Hilbert Property on Jacobian Kummer varieties
University of Glasgow（格拉斯哥大学）；Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文在特征零的有限生成域上，证明了与亏格2曲线的Jacobian相关联的所有Kummer曲面具有Hilbert性质，并推广证明与奇数次亏格≥2超椭圆曲线相关联的所有Jacobian Kummer簇也具有该性质。
2025-08-09 math.AG math.NT
Symmetric tensors on the intersection of two quadrics and Lagrangian fibration
本文证明两个二次曲面光滑交 X 上的对称张量代数为 n 元多项式代数，并构造余切丛到 C^n 的 Lagrangian 纤维化，刻画其一般纤维及 n=3 时与 Hitchin 纤维化的关系。
2023-04-21 math.AG
Genus-One Fibrations and the Jacobian of Linear Slices in the Quintic Equal-Sum Problem
本文研究五次等和方程在特定约束下的解结构，证明了雅可比纤维的秩界及非奇异特性的条件。
2026-03-15 math.AG math.NT
Square-tiled surfaces and rigid curves on moduli spaces
本文的工作是基于曲线的模空间的双有理几何中的两个中心问题-- Fulton猜想和$\bar M_g$的有效锥。我们研究了Teichmuller曲线参数化正方形平铺曲面的代数几何方面，有两个应用：（a）在超椭圆曲线的模空间上存在无穷多条刚性曲线，它们跨越活动曲线锥的同一条极值射线，且它们的并是Zapriki稠密的，因此它们在稳定的n点有理曲线的模空间上产生无穷多条具有相同性质的刚性曲线（n为偶数）;（2）Teichmuller曲线的斜率极限与Hodge丛的李雅普诺夫指数之和相互决定，从而更好地理解曲线模空间上的有效因子锥。
2010-03-03 math.AG math.DS
Dynamics of quadratic polynomials and rational points on a curve of genus $4$
本文在Flynn-Poonen-Schaefer猜想下，通过确定亏格4曲线上的有理点，证明二次多项式族中预周期点的有理参数集合大小的一致界，并给出Jacobian秩为1的解析与代数证明及强BSD猜想的数值验证。
2022-06-24 math.AG math.DS math.NT
Enriques surfaces with normal K3-like coverings
Heinrich-Heine-Universität（海因里希·海涅大学）
本文针对特征2下类K3覆盖为正规的单连通Enriques曲面，基于翻转变换Frobenius拉回的构造方法，结合多项代数几何经典结果，分析其结构并建立相关奇点、切层与典范覆盖理论。
2019-05-17 math.AG
Twelve points on the projective line, branched covers, and rational elliptic fibrations
在P^1上的十二个点的空间Sym^{12} P^1中，下列因子实际上是相同的：（A）有理椭圆纤维化中十二个节点纤维的可能轨迹（B）可以表示为立方体加正方形的12阶二进制形式;（C）光滑平面四次曲线从平面一般点的12条切线的轨迹;（D）超椭圆亏格为3的曲线到P^1的4次映射的分支轨迹;（E）由θ-特征诱导的从亏格4曲线到P^1的3次映射的分支轨迹;以及其他几个。相应的模空间是光滑的，但它们并不都是同构的;有些是其他的有限余覆盖。我们描述了这些空间之间的互联网络，并给出了单值性，合理性和普林相关的后果。列举的后果包括：（i）该位点的度为3762（例如，有3762个有理椭圆纤维化的节点高于11个给定的一般点的基础）;（ii）如果C -> P^1是一个覆盖，如（D），那么有135个不同的覆盖分支在相同的点;（iii）在（C）中出现的12条切线的一般集合以120种本质上不同的方式出现。这个故事的某些部分是众所周知的，而其他一些部分则是经典的（Zeuthen，Zebraki，Coble，Mumford等）。统一的图像是令人惊讶的复杂和连接许多美丽的结构，包括Recillas的三角结构和Shioda的E8-Mordell-Weil晶格。
1999-10-14 math.AG
