Ryutaro Sato, Shinzo Bannai
In this paper, we introduce the terminology of matroids into the study of Zariski-pairs related to rational elliptic surfaces, aiming to simplify the presentation and arguments involved. As an application, we provide new examples of Zariski $N$-ples of relatively low degree. Namely we show that a Zariski 102-ple of degree 18 exists.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Mordell-Weil groups of a hyperkähler manifold - a question of F. Campana
超凯勒流形的不同交换纤维化的Mordell-Weil群甚至在无限阶的元素之间也可能有非平凡的关系，但本质上没有关系，就像它的双有理变换一样。“本质上没有关系”的精确定义将在引言中给出。
From the product of two elliptic curves, Shioda and Inose constructed an elliptic $K3$ surface having two $\mathrm{II}^*$ fibers. Its Mordell-Weil lattice structure depends on the morphisms between the two elliptic curves. In this paper, we give a method of writing down generators of the Mordell-Weil lattice of such elliptic surfaces when two elliptic curves are $3$-isogenous. In particular, we obtain a basis of the Mordell-Weil lattice for the singular $K3$ surfaces $X_{[3,3,3]}$, $X_{[3,2,3]}$ and $X_{[3,0,3]}$.
The Mordell Weil Groups of Cubic Pencils
该研究聚焦三次束基点对Mordell-Weil群的影响，完成了一般位置下含6至8个基点的三次束的探究与分类，并给出了相关应用。
On Mordell-Weil group of isotrivial abelian varieties over function fields
我们表明，Mordell Weil秩的isovarious阿贝尔簇与循环holonomy只取决于基本群的补充判别式提供的判别式有奇点在这里介绍CM类。这类奇点包括所有单分支平面曲线的奇点。作为推论，我们给出了二元有理函数域上的一族简单Jacobian，其中Mordell Weil秩是任意大的。
Mordell-Weil groups and automorphism groups of elliptic K3 surfaces
本文提出计算椭圆K3曲面Mordell-Weil群在数值Néron-Severi格上作用的方法，并据此给出与6尖点环面型六次曲线分支双平面双有理等价的K3曲面自同构群的有限生成集。
The Mordell-Weil lattice of an Inose surface arising from isogenous elliptic curves
该研究针对Inose曲面（含两条$II^{*}$纤维的椭圆K3曲面），提出寻找对应一般次数椭圆曲线同源的有理截面的方法，并给出5次、6次同源生成的Inose曲面的Mordell-Weil格基实例。
We describe two constructions of elliptic K3 surfaces starting from the Kummer surface of the Jacobian of a genus 2 curve. These parallel the base-change constructions of Kuwata for the Kummer surface of a product of two elliptic curves. One of these also involves the analogue of an Inose fibration. We use these methods to provide explicit examples of elliptic K3 surfaces over the rationals of geometric Mordell-Weil rank 15.
Composition of points and Mordell-Weil problem for cubic surfaces
令$V$是一个平面光滑三次曲线在一个生成域$k.$上$V$的Mordell-Weil定理指出，存在一个有限子集$P\subset V(k)$，使得整个$V(k)$可以从$P$通过画割线和切线通过先前构造的点对，并连续添加它们的新交点与$V.$等值，通过相对于$k$ -点的反射生成的$V$的双有理变换的组被逆生成。本文利用文献[M 3]的思想，建立了一类双有理平凡三次曲面$W$的Mordell-Weil型有限生成结果.相反，我们证明了如果$W(k)$是无限的，则由反射生成的双有理自同构群不能是非线性生成的。
Mordell--Weil groups of quasi-elliptic surfaces in characteristic 3
本文在特征3下建立了拟椭圆曲面整体截面的挠秩与超椭圆曲线p-秩的联系，并据此确定了一类拟椭圆曲面Mordell--Weil群的挠秩。
Mordell-Weil Problem for Cubic Surfaces, Numerical Evidence
设V是一个平面光滑的三次曲线，它在一个非线性生成域k上。V的Mordell-Weil定理指出，存在一个有限子集P \subset V（k），使得整个V（k）可以从P通过画割线和切线通过对先前构建的点，并连续增加他们的新交点与V.在本文中，我们提出了类似的声明三次曲面的数值数据.对于检查的表面，我们还测试马宁的猜想有关的渐近性的有理点的有界高度上的法诺品种的皮卡德组的表面的秩。
Consider an ordinary elliptic curve $E_b\!: y^2 = x^3 - b$ (of $j$-invariant $0$) over a finite field $\mathbb{F}_{\!q}$ such that $\sqrt[3]{b} \notin \mathbb{F}_{\!q}$. This article tries to resolve the problem of constructing a rational $\mathbb{F}_{\!q}$-curve on the Kummer surface of the direct product $E_b \!\times\! E_b^\prime$, where $E_b^\prime$ is the quadratic $\mathbb{F}_{\!q}$-twist of $E_b$. More precisely, we propose to search such a curve among infinite order $\mathbb{F}_{\!q}$-sections of some elliptic surface of $j=0$, analyzing its Mordell--Weil group. Unfortunately, we prove…
On arithmetic in Mordell-Weil groups
本文利用约化映射研究了阿贝尔簇的Mordell-Weil群中点的线性依赖性。特别是，我们试图通过有限数量的减少，以确定检测线性相关的条件在Mordell-Weil群。
Elliptic K3 surfaces with geometric Mordell-Weil rank 15
证明了椭圆曲面y^2=x^3+2（t^8+14t^4+1）x+4t^2（t^8+6t^4+1）的几何Mordell-Weil秩为15.这完成了Kuwata的列表，他给出了具有几何Mordell-Weil秩0，1，.的椭圆K3-曲面的明确例子，十四十六十七十八
Lehmer Inequality and the Mordell-Weil Theorem for Drinfeld modules
本文证明了Drinfeld模的Lehmer不等式的一个特殊情形。同时，基于这个不等式，我们证明了某些无限生成域的Mordell-Weil型定理。
On a Hasse principle for Mordell-Weil groups
本文建立了数域上阿贝尔簇的Mordell-Weil群中非挠点对$\Z$的线性依赖的Hasse原理。
We prove results on the Mordell--Weil rank of elliptic curves $y^2=x(x-αa^2)(x-βb^2)$ parametrized by binary quadratic forms $αa^2+βb^2=γc^2$. We express our explicit lower bounds over number fields and offer a detailed description of the corresponding Mordell-Weil group structure in the function field case.
Mordell-Weil groups and Zariski triples
本文构造了三条12次不可约曲线，它们尖点数相同但Alexander多项式不同，从而给出Zariski三元组的新例子，并进一步研究了相关椭圆三维流形的Mordell-Weil群生成元及一般基变换下等奇异变形空间的维数。
Upper bounds for the growth of Mordell-Weil ranks in pro-p towers of Jacobians
研究了固定数域上pro-p塔中曲线雅可比行列式的Mordell-Weil秩的变化。特别是，我们表明，在温和的条件下，塔中的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩是有界的，其尺寸的一个常数倍以上。在费马曲线塔的情况下，我们表明，常数可以任意接近1。主要结果被用于即将发表的Guillermo Mantilla-Soler关于模雅可比矩阵J（Np^m）的Mordell-Weil秩的论文中。
An elliptic Calabi-Yau threefold of Mordell-Weil rank twelve
本文构造了一个Mordell-Weil秩为十二的平坦椭圆纤维化Calabi-Yau三维流形，其Hodge数为(25,1)，通过Kummer曲面出发并给出十二个独立截面及crepant解消。
The average Mordell-Weil rank of elliptic surfaces over number fields
该研究证明了椭圆面在数域上平均Mordell-Weil秩的猜想，并展示了稀疏集性质及类似结果。
Mordell-Weil problem for cubic surfaces
通过三次曲面上两个有理点的割线，我们可以得到第三个有理点。有理点集是否是随机生成的？我们讨论了一些数值数据，并证明了一个有限生成语句的修改后的复合律。
Hodge theory and the Mordell-Weil rank of elliptic curves over extensions of function fields
利用Hodge理论证明了函数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的秩的一个新上界，该上界是对基域进行正则几何伽罗瓦扩张后得到的，改进了Silverman和Ellenberg以前的结果，当基域具有特征零点并且椭圆曲线导体的支撑和扩张的分歧因子的支撑不相交时。
Mordell-Weil lattices in characteristic 2, III: A Mordell-Weil lattice of rank 128
在本系列的第一篇文章中，我们对正整数n构造了一个2^{n+1}维格族，并证明了对于n的几个值，相关的球面格填充等于或超过以前的记录。在本文中，我们分析的情况下n=6，这是现在的第一种情况下，由此产生的晶格MW 128产生一个以前未知的记录密度的晶格。我们证明了用于构造该格的椭圆曲线具有平凡的Tate-Shafarevich群，并且在该曲线上存在一个有理点，其标准高度达到我们关于MW 128的最小范数的下界。因此，我们得到了归一化的中心密度的晶格。然后，我们报告的计算，确定所有的有理点的最小范数，从而获得的接吻数MW 128。像堆积密度一样，MW 128的接吻数是这个维度上已知的最大的接吻数。
Using the Shioda-Tate theorem and an adaptation of Silverman's specialization theorem, we reduce the specialization of Mordell-Weil ranks for abelian varieties over fields finitely generated over infinite finitely generated fields $k$ to the the specialization theorem for Néron-Severi ranks recently proved by Ambrosi in positive characteristic. More precisely, we prove that after a blow-up of the base surface $S$, for all vertical curves $S_x$ of a fibration $S \to U \subseteq \mathbf{P}^1_k$ with $x$ from the complement of a sparse subset of $|U|$, the Mordell-Weil rank of an abelian scheme o…
We discuss the distribution of Mordell--Weil ranks of the family of elliptic curves $y^2=(x+αf^2)(x+βb g^2)(x+γh^2)$ where $f,g,h$ are coprime polynomials that parametrize the projective smooth conic $a^2+b^2=c^2$ and $α,β,γ$ are elements from $\overline{\mathbb{Q}}$. In our previous papers we discussed certain special cases of this problem and in this article we complete the picture by proving the general results.
We use methods for computing Picard numbers of reductions of K3 surfaces in order to study the decomposability of Jacobians over number fields and the variance of Mordell-Weil ranks of families of Jacobians over different ground fields. For example, we give examples of surfaces whose Picard numbers jump in rank at all primes of good reduction using Mordell-Weil groups of Jacobians and show that the genus of curves over number fields whose Jacobians are isomorphic to a product of elliptic curves satisfying certain reduction conditions is bounded. The isomorphism result addresses the number fiel…
On Mordell-Weil groups of Jacobians over function fields
研究了域$K=k(t)$上阿贝尔簇的算法，其中$k$是任意域.主要结果是将$K$上某些Jacobian的Mordell-Weil群与$k$上其它Jacobian的同态联系起来。我们的方法也产生完全显式点的椭圆曲线上的无界秩在$\Fpbar(t)$和一个新的建设的椭圆曲线适度高秩在$\C(t)$。
A central problem in Diophantine geometry is to uniformly bound the number of $K$-rational points on a smooth curve $X/K$ in terms of $K$ and its genus $g$. A recent paper by Stoll proved uniform bounds for the number of $K$-rational points on a hyperelliptic curve $X$ provided that the rank of the Jacobian of $X$ is at most $g - 3$. Katz, Rabinoff and Zureick-Brown generalized his result to arbitrary curves satisfying the same rank condition. In this paper, we prove conditional uniform bounds on the number of rational points on the symmetric square of $X$ outside its algebraic special set, pr…
Bounds on the Mordell-Weil rank of elliptic fibrations
本文通过两种证明方法，给出了某些椭圆纤维Mordell-Weil群秩的界，应用于Calabi-Yau簇，并提出高维情况的猜想。
Periodic points on Veech surfaces and the Mordell-Weil group over a Teichmueller curve
周期点是Veech曲面上的点，其在仿射同态群下的轨道是有限的。如果Veech曲面被适当地映射到其雅可比矩阵或其适当的因子，则我们将这些点视为扭点。对于亏格为2的原始Veech曲面，我们证明了唯一的周期点是Weierstrass点和奇点。我们的主要工具是泰希米勒曲线的霍奇理论表征。我们从它推出的有限性结果的家庭雅可比Teichmueller曲线上的Mordell-Weil群。
Let $k$ be a number field and $U$ a smooth integral $k$-variety. Let $X \to U$ be an abelian scheme. We consider the set $\mathcal{R}$ of rational points $m \in U(k)$ such that the Mordell-Weil rank of the fibre $U_{m}$ is strictly bigger than the Mordell-Weil rank of the generic fibre. We prove the following results. If the $k$-variety $X$ is $k$-unirational, then $\mathcal{R}$ is dense for the Zariski topology on $U$. If $X$ is $k$-rational, then $\mathcal{R}$ is not thin in $U$. This generalizes results of Billard and of Salgado. The main idea goes back to Néron's thesis: use the generic po…
The Smooth Narrow Mordell-Weil Group of Elliptically Fibered 4-Manifolds
本文推广Farb与Looijenga的工作，定义椭圆纤维化4流形的光滑窄Mordell-Weil群，构造其与H²(M)平凡格正交补的同构，给出其秩的显式公式并证明有理椭圆曲面是两类Mordell-Weil群秩相同的唯一椭圆曲面。
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples
研究了由勾股三元组$(a,b,c)$参数化的椭圆曲线族$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$.证明了对于一般三元组，$\mathbb{Q}$上的Mordell-Weil群的秩的下界为1，对于某些显式给定的无限族，秩为2.对每个家庭，我们附加一个椭圆表面纤维的投影线。我们表明，下界的秩是最佳的，在这个意义上说，这样的椭圆形表面的每一个通用的纤维，其相应的Mordell-Weil组的功能领域$\mathbb{Q}(t)$有秩1或2，分别。为了证明这一点，我们计算的特征多项式的弗罗贝尼乌斯自同构作用于第二个$\ell$ -进上同调群附加到椭圆形表面的Kodaira尺寸0和1。
Mordell-Weil groups of elliptic threefolds and the Alexander module of plane curves
本文证明了以结点和尖点为唯一奇点的不可约平面代数曲线的Alexander多项式的次数不超过${5 \over 3}d-2$，其中$d$是曲线的次数.我们还表明，亚历山大多项式$Δ_C(t)$的不可约曲线$C=\{F=0\}\subset \mathbb P^2$的奇点是节点和尖点是非平凡的当且仅当存在齐次多项式$f$，$g$，和$h$，使$f^3+g^2+Fh^6=0$。这是作为一个后果的对应关系，这里所描述的，亚历山大多项式和排名之间的莫德尔-韦伊集团的某些threefolds功能领域。所有结果也被推广到可约曲线和亚历山大多项式$Δ_{C,ε}(t)$对应于满射$ε: π_1(\mathbb P^2\setminus C_0 \cup C) \rightarrow \mathbb Z$的情况，其中$C_0$是无穷远的直线。此外，我们提供了一个详细的描述收集的关系$F$如上所述的根的多重性的$Δ_{C,ε}(t)$。这种推广是在一个更大的奇异类的背景下，即那些导致合理的椭圆型orbifolds。
In this paper, we study rational sections of the relative Picard scheme of a linear system on a smooth projective variety. We prove that if the linear system is basepoint-free and the locus of non-integral divisors has codimension at least two, then all rational sections of the relative Picard scheme come from restrictions of line bundles on the variety. As a consequence, we describe the group of sections of the Hitchin fibration for moduli spaces of Higgs bundles on curves.
Rank jumps and Multisections of elliptic fibrations on K3 surfaces
本文研究了K3曲面上椭圆纤维的Mordell-Weil秩跃迁性质，证明了特定条件下该性质的存在，并提供了具体例子和扩展。
To a pair of elliptic curves, one can naturally attach two K3 surfaces: the Kummer surface of their product and a double cover of it, called the Inose surface. They have prominently featured in many interesting constructions in algebraic geometry and number theory. There are several more associated elliptic K3 surfaces, obtained through base change of the Inose surface; these have been previously studied by Kuwata. We give an explicit description of the geometric Mordell-Weil groups of each of these elliptic surfaces in the generic case (when the elliptic curves are non-isogenous). In the non-…
Conic bundles and Mordell--Weil ranks of elliptic surfaces
本文通过探索定义在函数域上的椭圆曲线的圆锥丛结构，获得了其Mordell--Weil秩的上下界。
Mordell-Weil lattices and toric decompositions of plane curves
我们扩展的结果Cogolludo-Agustin和Libgober有关的亚历山大多项式的平面曲线$C$与Mordell-Weil秩的某些isovirary家庭的雅可比族在$\mathbf{P}^2$的判别式$C$。在第二部分中，我们引入了平面曲线的$(2,3,6)$拟复曲面分解上的高度对。我们使用这种配对和本文第一部分的结果来构造一对具有30个尖点和Alexander多项式$t^2-t+1$的12次曲线，但具有不同的高度配对。我们使用高度配对来表明这些曲线来自Zagliki对。
Calculating the Mordell-Weil rank of elliptic threefolds and the cohomology of singular hypersurfaces
本文提出计算二元有理函数域上一般椭圆曲线秩的新方法，将其转化为加权射影4-空间中奇异超曲面的上同调计算，并推广了Dimca的孤立奇点结果。
On ring class eigenspaces of Mordell-Weil groups of elliptic curves over global function fields
若E是奇特征的整体函数域F上的非等平凡椭圆曲线，只要适当的Drinfeld-Heegner点在本征空间上的投影不为零，我们证明了E的某些Mordell-Weil群具有相对于固定复环类特征标的一维本征空间.这代表了模拟功能领域设置的一个定理，合理的椭圆曲线由于贝尔托利尼和达蒙，并在同一时间是一个推广的主要结果证明布朗在他的专着Heegner模块。在数域的情况下，我们的证明采用Kolyvagin型参数，和上同调的机器启动的控制伽罗瓦结构的扭转E提供的经典结果的正特征。
We present the first examples of smooth elliptic Calabi-Yau threefolds with Mordell-Weil rank 10, the highest currently known value. They are given by the Schoen threefolds introduced by Namikawa; there are six isolated fibers of Kodaira Type IV. We explicitly compute the Shioda homomorphism for the generators of the Mordell-Weil group and their induced height pairing. Compactification of F-theory on these threefolds gives an effective theory in six dimensions which contains ten abelian gauge group factors. We compute the massless matter spectrum. In particular, we show that the charged single…
Let $f: W \rightarrow T$ be an elliptic threefold that is a Weierstrass model, which is locally defined by $y^2 = x^3 + fx + g$ over $T$, with a singular fiber such that $(f,g,4f^3 + 27g^2)$ vanishes of order $(4,6,12)$ over an isolated point over $T$. Such a fiber can be explicitly resolved to fibers with smaller vanishing order and the resulting model, $Y$, contains a rational elliptic surface, $S$, where some sections of $S$ are flopping curves on $Y$. As a consequence of this arithmetic and geometric connection, we are able to describe some constraints between flops of $Y$ and the properti…
Let $X$ be a smooth cubic hypersurface of dimension $n \ge 1$ over the rationals. It is well-known that new rational points may be obtained from old ones by secant and tangent constructions. In view of the Mordell--Weil theorem for $n=1$, Manin (1968) asked if there exists a finite set $S$ from which all other rational points can be thus obtained. We give an affirmative answer for $n \ge 48$, showing in fact that we can take the generating set $S$ to consist of just one point. Our proof makes use of a weak approximation theorem due to Skinner, a theorem of Browning, Dietmann and Heath-Brown on…
The real Mordell-Weil group of rational elliptic surfaces and real lines on del Pezzo surfaces of degree $K^2=1$
研究实理查德·莫德尔-韦伊尔群的拓扑性质及德尔皮佐表面上的实线，推导其在映射类群中的显式描述及作用公式。
Determining the rational points on a curve of genus 2 and Mordell-Weil rank 1
本文给出在 Mordell–Weil 秩为 1 时，利用 Jacobi 簇上有限指数生成点高效计算亏格 2 曲线全部有理点的方法。
We explore how introducing a non-trivial Mordell-Weil group changes the structure of the Coulomb phases of a five-dimensional gauge theory from an M-theory compactified on an elliptically fibered Calabi-Yau threefolds with a I$_2$+I$_4$ collision of singularities. The resulting gauge theory has a semi-simple Lie algebra $\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{sp}(4)$ or $\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(4)$. We compute topological invariants relevant for the physics, such as the Euler characteristic, Hodge numbers, and triple intersection numbers. We determine the matter representation geometric…
We introduce the use of $p$-descent techniques for elliptic surfaces over a perfect field of characteristic not $2$ or $3$. Under mild hypotheses, we obtain an upper bound for the rank of a non-constant elliptic surface. When $p=2$, this bound is an arithmetic refinement of a well-known geometric bound for the rank deduced from Igusa's inequality. This answers a question raised by Ulmer. We give some applications to rank bounds for elliptic surfaces over the rational numbers.
On the number of Mordell-Weil generators for cubic surfaces
设S是域K上的光滑三次曲面。众所周知，新的K-有理点可以通过割线和切线构造从旧的K-有理点获得。Mordell-Weil生成集是S（K）的最小基数子集B，它通过连续的割线和切线构造生成S（K）。设r（S，K）是这样一个Mordell-Weil生成集的基数。马宁提出了被称为三次曲面的莫德尔-韦伊问题：如果K是在其素子域上生成的，那么r（S，K）是有限的。本文证明了这一猜想的一个特例。也就是说，如果S包含两条定义在K上的斜直线，则r（S，K）= 1。研究三次曲面上的割线和切线过程的困难之一是它不像椭圆曲线那样导致结合的二元运算。作为一种部分的补救，我们引入了一个阿贝尔群H_S（K），它与一个由K-有理点自然生成的三次曲面S/K相联系，它保留了许多关于割线和切线过程的信息。特别地，只要H_S（K）的最小生成元数大，则r（S，K）也大。在弱近似成立的情况下，H_S具有良好的局部到全局性质。我们利用这些构造一族有理数上的光滑三次曲面，使得r（S，K）在这个族中是无界的.这是椭圆曲线秩猜想无界性的三次曲面模拟。
We compute characteristic numbers of elliptically fibered fourfolds with multisections or non-trivial Mordell-Weil groups. We first consider the models of type E$_{9-d}$ with $d=1,2,3,4$ whose generic fibers are normal elliptic curves of degree $d$. We then analyze the characteristic numbers of the $Q_7$-model, which provides a smooth model for elliptic fibrations of rank one and generalizes the E$_5$, E$_6$, and E$_7$-models. Finally, we examine the characteristic numbers of $G$-models with $G=\text{SO}(n)$ with $n=3,4,5,6$ and $G=\text{PSU}(3)$ whose Mordell-Weil groups are respectively $\ma…
Specializations of elliptic surfaces, and divisibility in the Mordell-Weil group
令$E$是定义在数域$k$上的曲线$C$上的椭圆曲面，令$P$是$E$的一部分，令$\ell$是有理数素数。对于任意非奇异纤维$E_t$，我们将$E_t$上的点$Q$的代数次数限定为至多$D$ over $k$，使得对于某些$n\geq 1$，有$\ell^n Q=P_t$.所得到的界仅取决于$\ell$、所讨论的表面和截面、$D$和度$[k(t):k]$ ;也就是说，它在所有有界度的纤维上是均匀的。在特殊情况下，我们得到更具体的，在某些情况下尖锐，界限。
In this paper we construct abelian varieties of large Mordell-Weil rank over function fields. We achieve this by using a generalization of the notion of Prym variety to higher dimensions and a structure theorem for the Mordell-Weil group of abelian varieties over function fields proven in our previous works. We consider abelian and dihedral covers of the projective space and apply the above results to the twists of their Albanese varieties.
Splitting curves on a rational ruled surface, the Mordell-Weil groups of hyperelliptic fibrations and Zariski pairs
设$Σ$为光滑射影曲面，$f' : S' \to Σ$为$Σ$的双覆盖，$μ: S \to S'$为正则分解.放入$f = f'\circμ$。如果$f^*C$的形式为$C^+ + C^- + E$，则称$Σ$上的不可约曲线$C$是关于$f$的分裂曲线，其中$C^- = σ_f^*C^+$，$σ_f$是$f$的覆盖变换，并且$E$的所有不可约分量都包含在$μ$的例外集中。本文证明了有理直纹曲面上某对曲线的分裂曲线的一种“互易性”。作为应用，我们考虑了有理直纹曲面上某些曲线的补曲线的拓扑。
Determining explicitly the Mordell-Weil group of certain rational elliptic surfaces
针对特定形式的有理椭圆曲线，本研究采用几何方法，为Desjardins与Naskrecki提出的确定其Mordell-Weil秩的算法给出了更简短的正确性证明，并探讨了该几何方法的适用范围。
Chevalley-Weil formula for hypersurfaces in $\mathbf{P}^n$-bundles over curves and Mordell-Weil ranks in function field towers
本文研究曲线上射影丛中超曲面在 Galois 基变换下的 Hodge 上同调群结构，给出 Chevalley-Weil 型公式，并借此几何证明椭圆曲面 Mordell-Weil 秩的 Pal 上界，同时比较其与 Shioda-Tate 公式界的强弱关系。
Picard number of the generic fiber of an abelian fibered hyperkaehler manifold
我们将证明射影空间上阿贝尔纤维超凯勒流形的一般纤维在概型意义下的Picard数总是1。然后，我们给出了一些应用的Mordell-Weil群。特别地，通过变形O 'Grady的10维流形，我们构造了一个Mordell-Weil秩为20的交换纤维超kähler流形，这是所有已知流形中的最大可能。
A New Model for Elliptic Fibrations with a Rank One Mordell-Weil Group: I. Singular Fibers and Semi-Stable Degenerations
我们引入了一个新的模型，椭圆纤维赋予一个Mordell-Weil群秩为1。我们称之为Q $_7(\mathscr{L},\mathscr{S})$模型。它自然地概括了以前的几个模型的椭圆纤维化流行的F-理论文献。该模型也是显式光滑的，因此相关的物理量可以直接根据拓扑不变量计算。由于一般纤维是由三次曲线定义的，因此可以使用弦切群定律对曲线进行基本算术运算。我们将使用这个模型来确定秩为一的椭圆纤维化的奇异纤维的谱，并计算其欧拉特征的生成函数。从弦论的观点出发，我们确定了一个半稳定的退化，它在F-理论中被理解为弱耦合极限。我们证明了它在同调陈类的水平上满足一个非平凡的拓扑关系。这个关系确保了F理论中的D3电荷与弱耦合极限中的D3电荷相同。
Uniform bounds for the number of rational points on hyperelliptic curves of small Mordell-Weil rank
证明了数域K上亏格为g的超椭圆曲线C上的K-有理点个数存在一个仅依赖于g和[K：Q]的界，使得其Jacobian的Mordell-Weil秩r至多为g-3.若K = Q，则显式界为8 rg + 33（g - 1）+ 1。证明是基于Chabauty的方法，新的成分是一个估计的对数在一个p进的“环”的曲线，这概括了磁盘上的标准约束的零的数量。关键的观察是，对于一个p-adic域k，C上的k-点集可以被一个圆盘和圆环的集合覆盖，这些圆盘和圆环的数量根据g（和k）是有界的。我们还证明了，加强了Poonen和作者最近的一个结果，当亏格g趋于无穷大时，Q上唯一有理点是无穷远无穷远点的奇次超椭圆曲线的下密度在由同余条件定义的族上一致趋于1.
The smooth Mordell-Weil group and mapping class groups of elliptic surfaces
该研究受数论Néron-Lang定理启发，证明椭圆纤维化的光滑Mordell-Weil群有限生成，显式计算一类单连通复曲面的对应群，证明其纤维化结构拓扑同痕唯一，结合Donaldson结果得到高亏格曲面微分同胚的同痕性质。
Three lectures on elliptic surfaces and curves of high rank
在过去的两年中，我们已经改进了几个（Mordell-Weil）秩记录的椭圆曲线在Q和非常数椭圆曲线在Q（t）。例如，我们发现了曲线E/Q在E（Q）中有28个独立点P_i的第一个例子（之前的记录是24，由R.Martin和W.McMillen在2000年发现），以及Q上的曲线的第一个例子，其Mordell-Weil群同构于（Z/2 Z）x Z ^[18]（之前的曲线的秩记录是15，由Dujella在2002年发现）。在这些讲座中，我们给出了导致这些新记录和相关应用的一些背景、理论和计算工具。一.背景和概述：定理的Mordell（-Weil）和Mazur;秩问题;的方法Neron-Shioda和梅斯特;椭圆曲面和Neron专业化;领域以外的Q。II椭圆曲面和K3曲面：Mordell-Weil和Neron-Severi群;高Neron-Severi秩的K3曲面及其模; Mordell-Weil秩为17的Q上的椭圆K3曲面。高秩K_3曲面及其模的其他应用III计算问题、技术和结果：Niemeier格的切片;寻找和转换高阶K3曲面的模型;寻找良好的专业化。椭圆曲线的新秩记录摘要。
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