The average Mordell-Weil rank of elliptic surfaces over number fields
该研究证明了椭圆面在数域上平均Mordell-Weil秩的猜想，并展示了稀疏集性质及类似结果。
2022-04-26 math.AG math.NT
Hodge theory and the Mordell-Weil rank of elliptic curves over extensions of function fields
利用Hodge理论证明了函数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的秩的一个新上界，该上界是对基域进行正则几何伽罗瓦扩张后得到的，改进了Silverman和Ellenberg以前的结果，当基域具有特征零点并且椭圆曲线导体的支撑和扩张的分歧因子的支撑不相交时。
2014-01-04 math.AG math.NT
Mordell-Weil lattices in characteristic 2, III: A Mordell-Weil lattice of rank 128
在本系列的第一篇文章中，我们对正整数n构造了一个2^{n+1}维格族，并证明了对于n的几个值，相关的球面格填充等于或超过以前的记录。在本文中，我们分析的情况下n=6，这是现在的第一种情况下，由此产生的晶格MW 128产生一个以前未知的记录密度的晶格。我们证明了用于构造该格的椭圆曲线具有平凡的Tate-Shafarevich群，并且在该曲线上存在一个有理点，其标准高度达到我们关于MW 128的最小范数的下界。因此，我们得到了归一化的中心密度的晶格。然后，我们报告的计算，确定所有的有理点的最小范数，从而获得的接吻数MW 128。像堆积密度一样，MW 128的接吻数是这个维度上已知的最大的接吻数。
2000-11-22 math.AG math.NT
Specialization of Mordell-Weil ranks of abelian schemes over surfaces to curves
利用Shioda-Tate定理和Silverman特化定理的一个改进，我们将无穷域$k$上的交换簇的Mordell-Weil秩的特化约化为Ambrosi最近证明的Néron-Severi秩的正特征特化定理.更精确地说，我们证明了，在一个爆破的基面$S$，所有的垂直曲线$S_x$的纤维化$S \to U \subseteq \mathbf{P}^1_k$与$x$从$|U|$的稀疏子集的补充，Mordell-Weil秩的阿贝尔计划在$S$保持相同时，限制到$S_x$。
2023-01-30 math.AG math.NT
Distribution of Mordell--Weil ranks of families of elliptic curves
讨论了椭圆曲线族$y^2=(x+αf^2)(x+βb g^2)(x+γh^2)$的Mordell-Weil秩的分布，其中$f,g,h$是参数化射影光滑二次曲线的互质多项式，$a^2+b^2=c^2$和$α,β,γ$是$\overline{\mathbb{Q}}$的元素.在我们以前的论文中，我们讨论了这个问题的某些特殊情况，在这篇文章中，我们通过证明一般结果来完成这一过程。
2016-09-15 math.AG math.NT
Decomposability and Mordell-Weil ranks of Jacobians using Picard numbers
我们使用计算K3曲面约简的Picard数的方法来研究Jacobian在数域上的可分解性以及Jacobian族在不同基域上的Mordell-Weil秩的变化。例如，我们给出的例子，表面的皮卡德数跳秩在所有素数的好约化使用Mordell-Weil组的雅可比矩阵，并表明，亏格的曲线在数域的雅可比矩阵同构的产品满足一定的减少条件的椭圆曲线是有界的。同构结果解决了Ekedahl和Serre关于曲线的Jacobian可分解为椭圆曲线的一些问题的数域模拟。
2018-01-22 math.AG math.NT
On Mordell-Weil groups of Jacobians over function fields
研究了域$K=k(t)$上阿贝尔簇的算法，其中$k$是任意域.主要结果是将$K$上某些Jacobian的Mordell-Weil群与$k$上其它Jacobian的同态联系起来。我们的方法也产生完全显式点的椭圆曲线上的无界秩在$\Fpbar(t)$和一个新的建设的椭圆曲线适度高秩在$\C(t)$。
2011-02-18 math.AG math.NT
Point générique et saut du rang du groupe de Mordell-Weil
设$k$是数域，$U$是光滑积分$k$簇.设$X \to U$是一个阿贝尔方案。我们考虑集合$\mathcal{R}$的有理点$m \in U(k)$，使得纤维$U_{m}$的Mordell-Weil秩严格大于一般纤维的Mordell-Weil秩。我们证明了以下结果。如果$k$ -簇$X$是$k$ -单有理的，那么对于$U$上的Zurski拓扑，$\mathcal{R}$是稠密的.如果$X$是$k$ -有理数，则$\mathcal{R}$在$U$中不是稀疏的。这推广了Billard和Salgado的结果。其主要思想可以追溯到Néron的论文：使用家族的通用纤维的泛点。
2020-03-03 math.AG math.NT
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples
研究了由勾股三元组$(a,b,c)$参数化的椭圆曲线族$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$.证明了对于一般三元组，$\mathbb{Q}$上的Mordell-Weil群的秩的下界为1，对于某些显式给定的无限族，秩为2.对每个家庭，我们附加一个椭圆表面纤维的投影线。我们表明，下界的秩是最佳的，在这个意义上说，这样的椭圆形表面的每一个通用的纤维，其相应的Mordell-Weil组的功能领域$\mathbb{Q}(t)$有秩1或2，分别。为了证明这一点，我们计算的特征多项式的弗罗贝尼乌斯自同构作用于第二个$\ell$ -进上同调群附加到椭圆形表面的Kodaira尺寸0和1。
2013-06-29 math.AG math.NT
Structure of Mordell-Weil groups over \mathbb{Z}_p-extensions
研究了\mathbb{Z}_p -扩张上阿贝尔簇的Mordell-Weil群、Selmer群和Tate-Shafarevich群的Λ-模结构.
2018-09-27 math.NT
Elliptic K3 surfaces associated with the product of two elliptic curves: Mordell-Weil lattices and their fields of definition
对于一对椭圆曲线，人们可以自然地附加两个K3曲面：它们乘积的库默尔曲面和它的双重覆盖，称为Inose曲面。它们在代数几何和数论中的许多有趣的构造中都有突出的特点。还有几个相关的椭圆K3曲面，通过基的变化的Inose表面;这些以前已经研究了Kuwata。我们给出了一个明确的描述的几何Mordell-Weil群的每一个这些椭圆曲面的一般情况下（当椭圆曲线是非同构的）。在非一般情况下，我们描述了一种方法来明确地计算Mordell-Weil群的有限指数子群，它可以是饱和的，以给出完全群。我们的方法依赖于几个有趣的群作用，使用合理的椭圆曲面，以及连接到几何的低度曲线的三次和四次曲面。我们应用我们的技术来计算充分的Mordell-Weil组在几个例子的算术兴趣，所产生的同源椭圆曲线与复乘，这些K3表面是奇异的。
2017-06-30 math.AG math.NT
Conic bundles and Mordell--Weil ranks of elliptic surfaces
本文通过探索定义在函数域上的椭圆曲线的圆锥丛结构，获得了其Mordell--Weil秩的上下界。
2024-10-15 math.AG math.NT
On the arithmetic of polynomials with coefficients in Mordell-Weil type groups
本文证明了数域如S-单位、具有自同态平凡环的阿贝尔簇和奇代数K理论群上系数为Mordell-Weil型群的多项式的Hasse局部-整体原理。
2017-09-20 math.NT
Algebraic structure and characteristic ideals of fine Mordell--Weil groups and plus/minus Mordell--Weil groups
该研究推广了Lee关于普通Mordell–Weil群的结果，证明了精细Mordell–Weil群在$\boldsymbol{Z}_p$-扩张上的控制定理，验证了其特征理想与相关预测的一致性，并定义正负Mordell–Weil群验证了其对偶特征理想最大公因子的对应预测。
2023-07-22 math.NT
Linear dependence in Mordell-Weil groups
本文考虑了数域上的阿贝尔簇的Mordell-Weil群中，利用约化映射检测非挠点的线性依赖的局部到全局原理.
2009-04-03 math.NT
On ring class eigenspaces of Mordell-Weil groups of elliptic curves over global function fields
若E是奇特征的整体函数域F上的非等平凡椭圆曲线，只要适当的Drinfeld-Heegner点在本征空间上的投影不为零，我们证明了E的某些Mordell-Weil群具有相对于固定复环类特征标的一维本征空间.这代表了模拟功能领域设置的一个定理，合理的椭圆曲线由于贝尔托利尼和达蒙，并在同一时间是一个推广的主要结果证明布朗在他的专着Heegner模块。在数域的情况下，我们的证明采用Kolyvagin型参数，和上同调的机器启动的控制伽罗瓦结构的扭转E提供的经典结果的正特征。
2008-04-10 math.AG math.NT
Determination of the modular Jacobian varieties $J_1(M,MN)$ with the Mordell-Weil rank zero
本文利用Derickx，Etropolski，van Hoeij，Morrow和Zureick-Brown的方法，确定了数域$\mathbb{Q}(ζ_M)$上Mordell-Weil秩为零的所有模雅可比簇$J_1(M,MN)$.
2022-06-06 math.NT
A Mordell-Weil theorem for cubic hypersurfaces of high dimension
设$X$是有理数上维数为$n \ge 1$的光滑三次超曲面.众所周知，新的有理点可以通过割线和切线构造从旧的有理点获得。鉴于$n=1$的Mordell-Weil定理，Manin（1968）问是否存在一个有限集$S$，从这个有限集可以得到所有其他的有理点。我们对$n \ge 48$给出了肯定的回答，事实上我们可以把生成集$S$取为仅由一个点组成.我们的证明利用了Skinner的一个弱逼近定理，Browning，Dietmann和Heath-Brown关于高维二次曲面和三次曲面的交线上有理点的存在性定理，以及微分几何，代数几何和数值分析中的一些基本思想.
2016-05-09 math.AG math.NT
The Mordell-Weil rank of the Jacobian of a curve of genus 2 with multiplication by a square root of 2
我们提出了一种方法来计算的Mordell-Weil秩的雅可比曲线的亏格2乘以2的平方根，基于下降通过isogenies度2，并将其应用到一个家庭的曲线。
1999-06-15 math.NT
Determining the rational points on a curve of genus 2 and Mordell-Weil rank 1
Universität Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文给出在 Mordell–Weil 秩为 1 时，利用 Jacobi 簇上有限指数生成点高效计算亏格 2 曲线全部有理点的方法。
2025-09-29 math.AG math.NT
Classifying Brumer's quintic polynomials by weak Mordell-Weil groups
本文利用某些椭圆曲线的Kummer理论，发展了Brumer二面体五次多项式的一般分类理论.对于三次多项式，我们也给出了类似的理论。
2008-02-01 math.NT
Descent on elliptic surfaces and arithmetic bounds for the Mordell-Weil rank
我们介绍了使用$p$下降技术的椭圆曲面上的一个完满域的特点不是$2$或$3$。在适当的假设下，得到了非常数椭圆曲面秩的一个上界。当$p=2$时，该界是从Igusa不等式推导出的秩的著名几何界的算术精化。这回答了Ulmer提出的问题。我们给出了有理数上椭圆曲面的秩界的一些应用。
2021-06-30 math.AG math.NT
Sphere Packing Densities of Sublattices of the Mordell-Weil Lattices of two Families of Elliptic Curves
本文研究了特征为$p > 0$的域上两类椭圆曲线的Mordell-Weil格的极大秩子格.我们计算明确的下界上的densitivesphere包装这些子格找到下界上的最小范数的子格，并明确计算其基本区的体积。
2022-10-02 math.NT
On the structure of fine Mordell-Weil groups over a $\mathbb{Z}_p$-extension and its intermediate subextensions
School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院，非线性分析与应用教育部重点实验室）
本文研究了给定$\mathbb{Z}_p$-扩张$F_\infty$的中间子扩张上细Mordell-Weil群的结构，探讨其核心方法和贡献。
2026-05-21 math.NT
Optimal quotients and surjections of Mordell-Weil groups
讨论了Ed Schaefer的一个问题，证明了若J是数域上曲线C的Jacobian，若s是J的一个自同构，且u位于End J的子环Z[s]中，且有连通核，则u不一定是J的Mordell-Weil群到J的象的Mordell-Weil群的满射.
2016-02-10 math.NT
Expected Mordell-Weil rank heuristics through Sato-Tate, Birch and Swinnerton-Dyer conjectures
利用Birch和Swinnerton-Dyer的原始猜想和Sato-Tate猜想，给出了数域上椭圆曲线的期望Mordell-Weil秩的一个启发式预测.在某些情况下，我们做计算，并提出问题，他们的关系，如果有的话，与预测的各种平均排名模型，已被认为是。
2022-11-02 math.NT
On the Mordell--Weil group of the elliptic curve y^2=x^3+n
研究了Q上具有三个显式整点的无限族Mordell曲线（即形式为y ^2 = x ^3 +n，n \in Z的椭圆曲线）.我们证明了这些点在某些情况下是独立的。我们描述了如何计算点的典范高度的界限。利用这个结果，我们证明了三个点中的任何一对都可以成为Mordell-Weil群的自由部分的基的一部分。
2010-11-04 math.NT
Mordell-Weil lattices and toric decompositions of plane curves
我们扩展的结果Cogolludo-Agustin和Libgober有关的亚历山大多项式的平面曲线$C$与Mordell-Weil秩的某些isovirary家庭的雅可比族在$\mathbf{P}^2$的判别式$C$。在第二部分中，我们引入了平面曲线的$(2,3,6)$拟复曲面分解上的高度对。我们使用这种配对和本文第一部分的结果来构造一对具有30个尖点和Alexander多项式$t^2-t+1$的12次曲线，但具有不同的高度配对。我们使用高度配对来表明这些曲线来自Zagliki对。
2015-08-18 math.AG math.AT math.NT
A Mordell-Weil theorem for abelian varieties over fields generated by torsion points
若A是数域K上的阿贝尔簇，L是K的由A的扭点生成的（可能无限）扩张，则A（L）与其扭子群的商是自由阿尔贝群.
2005-03-18 math.NT
Specializations of elliptic surfaces, and divisibility in the Mordell-Weil group
令$E$是定义在数域$k$上的曲线$C$上的椭圆曲面，令$P$是$E$的一部分，令$\ell$是有理数素数。对于任意非奇异纤维$E_t$，我们将$E_t$上的点$Q$的代数次数限定为至多$D$ over $k$，使得对于某些$n\geq 1$，有$\ell^n Q=P_t$.所得到的界仅取决于$\ell$、所讨论的表面和截面、$D$和度$[k(t):k]$ ;也就是说，它在所有有界度的纤维上是均匀的。在特殊情况下，我们得到更具体的，在某些情况下尖锐，界限。
2008-12-10 math.AG math.NT
On the Selmer groups and Mordell-Weil groups of elliptic curves $ y^{2} = x (x \pm p) (x \pm q) $ over imaginary quadratic number fields of class number one
设$ p $和$ q $为奇素数，且$ q - p = 2, $为奇素数，在许多情况下，明确地确定了类数为1的虚二次数域上的椭圆曲线$ y^{2} = x (x \pm p) (x \pm q) $的$φ-$ Selmer群、Shafarevich-Tate群（$ φ- $和$ 2-$部分）及其对偶群和Mordell-Weil群.
2012-07-02 math.NT
Splitting curves on a rational ruled surface, the Mordell-Weil groups of hyperelliptic fibrations and Zariski pairs
设$Σ$为光滑射影曲面，$f' : S' \to Σ$为$Σ$的双覆盖，$μ: S \to S'$为正则分解.放入$f = f'\circμ$。如果$f^*C$的形式为$C^+ + C^- + E$，则称$Σ$上的不可约曲线$C$是关于$f$的分裂曲线，其中$C^- = σ_f^*C^+$，$σ_f$是$f$的覆盖变换，并且$E$的所有不可约分量都包含在$μ$的例外集中。本文证明了有理直纹曲面上某对曲线的分裂曲线的一种“互易性”。作为应用，我们考虑了有理直纹曲面上某些曲线的补曲线的拓扑。
2009-05-01 math.AG math.NT
Determining explicitly the Mordell-Weil group of certain rational elliptic surfaces
INdAM-GNSAGA（意大利数学研究所-国家研究组）；UNIPD（帕多瓦大学）
针对特定形式的有理椭圆曲线，本研究采用几何方法，为Desjardins与Naskrecki提出的确定其Mordell-Weil秩的算法给出了更简短的正确性证明，并探讨了该几何方法的适用范围。
2025-09-04 math.AG math.NT
Mordell-Weil groups and the rank of elliptic curves over large fields
设$K$是数域，$\bar{K}$是$K$的代数闭包，$E/K$是定义在$K$上的椭圆曲线。本文证明了：若$E/K$有一个$K$ -有理点$P$使得$2P\neq O$和$3P\neq O$，则对每个$σ\in Gal(\bar{K}/K)$，$E$在$σ$下的$\bar{K}$的固定子域上的Mordell-Weil群$E(\bar{K}^σ)$有无穷秩.
2004-11-25 math.NT
Chevalley-Weil formula for hypersurfaces in $\mathbf{P}^n$-bundles over curves and Mordell-Weil ranks in function field towers
本文研究曲线上射影丛中超曲面在 Galois 基变换下的 Hodge 上同调群结构，给出 Chevalley-Weil 型公式，并借此几何证明椭圆曲面 Mordell-Weil 秩的 Pal 上界，同时比较其与 Shioda-Tate 公式界的强弱关系。
2015-08-21 math.AG math.NT
Mordell-Weil growth for GL2-type abelian varieties over Hilbert class fields of CM fields
设A是类数为1的全实数域F上的GL 2型模阿贝尔簇.在适当的假设下，证明了在F的CM扩张的Hilbert类域上A的Mordell-Weil秩多项式增长.
2010-06-10 math.NT math.SP
Heegner points and Mordell-Weil groups of elliptic curves over large fields
设$E/\bbq$是定义在$\bbq$上的椭圆曲线，导体为$N$，$\gq$是$\bbq$的代数闭包$\bar{\bbq}$的绝对伽罗瓦群。证明了对任意的$σ\in \gq$，在$σ$下，在$\bar{\bbq}$的固定子域上的$E$的Mordell-Weil群$E(\oqs)$具有无穷秩.我们的方法使用$E/\bbq$的模块性和$E$上的代数点的集合-所谓的{ \em Heegner点} -从复数乘法理论中产生。
2004-11-25 math.NT
Mordell-Weil group as Galois modules
该研究探讨数域有限扩张的伽罗瓦群对椭圆曲线上点的作用，提出仅基域上椭圆曲线信息与扩域完备化信息，确定莫德尔-韦伊群p进完备化的伽罗瓦模结构的数论研究目标。
2025-09-06 math.NT
The Mordell-Weil sieve: Proving non-existence of rational points on curves
我们讨论的Mordell-Weil筛作为一个通用的技术证明的结果有关有理点在一个给定的曲线。在特殊情况下的曲线属2，我们相当明确地描述了如何相关的本地信息可以获得，如果不想限制到模p信息在素数的好约化。我们描述了我们的实现Mordell-Weil筛算法，并讨论其效率。
2009-11-30 math.NT
Structure of (Fine) Mordell--Weil Groups
University of California Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；University of Regina（里贾纳大学）
研究阿贝尔数域分圆Zp扩张中精细Mordell-Weil群、正负Mordell-Weil群、Selmer群和正负Selmer群的代数结构，证明其作为Λ(G)-模的显式形状，并改进Q上经典结果，为Kurihara-Pollack问题提供新证据。
2026-06-17 math.NT
On Mordell-Weil groups of elliptic curves induced by Diophantine triples
本文研究了形式为y ^2 =（ax+1）（bx+1）（cx+1）的椭圆曲线上有理点群的可能结构，其中a，b，c是非零有理数，使得它们中任意两个的乘积比a的平方小小于1。
2007-05-14 math.NT
On the growth of Mordell-Weil ranks in $p$-adic Lie extensions
设$p$是一个奇素数，$F_{\infty}$是数域$F$的$p$ -进李扩张.设$A$是$F$上的一个阿贝尔簇，它在$p$以上的每个素数处都有普通约化.在各种假设下，我们建立了$A$的交换簇在$p$ -adic Lie扩张中的Mordell-Weil秩增长的渐近上界.我们的上界可以用来自分圆水平的不变量来表示。受此公式的启发，我们猜想了$p$ -adic Lie扩张上Mordell-Weil秩增长的一个渐近上界，该上界与分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张上交换簇的Mordell-Weil秩有关.最后，很自然地要问，当阿贝尔簇具有非平凡约化时，是否存在这样的几何上界。为此，我们至少可以适当地为在虚二次域的$\mathbb{Z}_p^2$ -扩张上的素数$p$处具有良好超奇约化化的椭圆曲线的Mordell-Weil秩的增长制定一个类似的几何上界。
2019-11-04 math.NT
A trick to ensure positive Mordell-Weil rank
Trinity College Dublin（都柏林三一学院）
本文提出一种技巧，通过确保光滑曲线的Jacobian具有严格正的Mordell-Weil秩，结合无有理非平凡2- torsion和无有理theta特征的条件，证明了在存在有理度1除子类时秩非零。
2026-08-20 math.NT
Quadratic points on modular curves with infinite Mordell--Weil group
Bruin-Najman和Ozman-Siksek最近确定了亏格为2，3，4，5且Mordell-Weil群秩为0的所有模曲线$X_0(N)$上的二次点.本文对亏格为2，3，4，5的正Mordell-Weil秩的$X_0(N)$也作了同样的处理. $N$的值为37、43、53、61、57、65、67和73。使用的主要工具是一个相对对称的Chabauty方法，结合Mordell-Weil筛。通常，二次点不是有限的，因为2次映射$X_0(N)\to X_0(N)^+$可以是无限多个这样的点的源。在这种情况下，我们描述这个映射和$X_0(N)^+$上的有理点，并指定$X_0(N)$上的例外二次点不是来自$X_0(N)^+$。特别是我们确定相应的椭圆曲线的$j$ -不变量，以及它们是否是$\mathbb{Q}$ -曲线或具有复乘。
2020-02-03 math.NT
On the Mordell-Weil ranks of supersingular abelian varieties in cyclotomic extensions
设$F$是一个在奇素数$p$处无分歧的数域，$F_\infty$是$F$的$\mathbf{Z}_p$ -分圆扩张.设$A$是定义在$F$上的阿贝尔簇，在$p$之上的$F$的所有素数处具有良好的超奇约化. Büyükboduk和第一位作者定义了与$F_\infty$上的$A$相关的修改的Selmer群。假设这些Selmer群的Pontryagin对偶是扭$\mathbf{Z}_p[[\mathrm{Gal}(F_\infty/F)]]$ -模，我们给出了Mordell-Weil群$A(F_n)$的秩随着$n$的变化而有界的一个显式充分条件.
2019-05-22 math.NT
Uniform bounds for the number of rational points on hyperelliptic curves of small Mordell-Weil rank
证明了数域K上亏格为g的超椭圆曲线C上的K-有理点个数存在一个仅依赖于g和[K：Q]的界，使得其Jacobian的Mordell-Weil秩r至多为g-3.若K = Q，则显式界为8 rg + 33（g - 1）+ 1。证明是基于Chabauty的方法，新的成分是一个估计的对数在一个p进的“环”的曲线，这概括了磁盘上的标准约束的零的数量。关键的观察是，对于一个p-adic域k，C上的k-点集可以被一个圆盘和圆环的集合覆盖，这些圆盘和圆环的数量根据g（和k）是有界的。我们还证明了，加强了Poonen和作者最近的一个结果，当亏格g趋于无穷大时，Q上唯一有理点是无穷远无穷远点的奇次超椭圆曲线的下密度在由同余条件定义的族上一致趋于1.
2015-11-25 math.AG math.NT
Characterizing Abelian Varieties by the Reductions of the Mordell-Weil Group
设$A$是定义在数域$K$上的阿贝尔簇。若$\mathfrak{p}$是$A$的好约化的$K$的素数，则用$A(K)_\mathfrak{p}$表示Mordell-Weil群通过模$\mathfrak{p}$约化的象.我们特别证明了$A(K)_\mathfrak{p}$的大小，通过改变$\mathfrak{p}$，编码足够的信息，以确定$A$的$K$ -Islantic类，只要满足以下必要条件：$B(K)$具有正秩的每一个非平凡的交换子品种$B$的$A$。这与Faltings在1983年的一个结果类似，而不是考虑特殊纤维$A_\mathfrak{p}$的Hasse-Weil zeta函数。
2011-09-28 math.NT
A note on the Mordell-Weil rank modulo n
猜想数域K上椭圆曲线的Mordell-Weil秩的奇偶性由它的根数决定。根数是局部根数的乘积，因此模2秩实际上是局部域上的椭圆曲线的函数在K的所有位置上的和。这个注释表明，对于秩模3、4或5，或者对于秩本身，不可能有类似物。事实上，椭圆曲线的标准曲线意味着对于任何n>2都没有模n，所以这纯粹是一种奇偶现象。
2009-10-23 math.NT
Using Selmer Groups to compute Mordell-Weil Groups of Elliptic Curves
这篇硕士论文描述了如何使用Selmer群来确定数域K上椭圆曲线的Mordell-Weil群。Mordell-Weil定理指出，$E(K) = E(K)_{tors} \times Z^r$，其中$r$是$E$的秩，$E(K)_{tors}$是挠子群，即$E(K)$中有限阶点的群。群$E(K)_{tors}$是有限的，并且很容易理解。因此，人们试图找到一种方法来确定$E$的秩$r$，这是主要的问题。在这篇论文中所描述的过程显示了如何转移计算弱Mordell-Weil群$E(K)/mE(K)$的存在或不存在的一个合理的点在某些曲线，称为齐次空间。如果可以找到$K$的某种完备化$K_v$，使得齐次空间在$K_v$中没有点，那么它在$K$中没有点。在Shafarevich-Tate群是有限的假设下，在一定的情形下，完全确定了具有$j$ -不变$1728$的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的秩.
2018-12-19 math.NT
Bounds of the rank of the Mordell-Weil group of jacobians of hyperelliptic curves
在这篇文章中，我们扩展工作的Shanks和华盛顿的循环扩张，和椭圆曲线相关的最简单的立方领域。特别地，我们给出了在$\mathbb{Q}$上定义的超椭圆曲线$C: y^2=f(x)$的例子族，其中$f(x)$的度为$p$，其中$p$是Sophie Germain素数，使得$C$的Jacobian $J/\mathbb{Q}$的Mordell-Weil群的秩由$C$的亏格和由$f(x)$定义的（循环）域的类群的$2$ -秩界定，并展示了这个界限是尖锐的例子。
2019-12-04 math.NT
The Mordell-Schinzel conjecture for cubic diophantine equations
基于Mordell和Schinzel的工作，证明三次丢番图方程$xyz=G(x,y)$有无穷多个解。
2024-12-16 math.AG math.NT
Some arithmetic properties on nonstandard rationals
对给定的数域$K$，证明了$K$上的非奇异椭圆曲线的秩是一致有界的当且仅当弱Mordell-Weil性质在$K$的所有（部分）超幂$^*K$中成立.引入了$^*Z$的非标准Mordell-Weil性质，并证明了非标准Mordell-Weil性质等价于$Z$的弱Mordell-Weil性质.在附录中，我们证明了在饱和非标准有理数域$^*Q$中，可以将可定义的阿贝尔群看作是$^*Z$ -模，使得非标准Mordell-Weil性质得到良好的定义，从而证明了非标准Mordell-Weil性质与弱Mordell-Weil性质是等价的.接下来我们讨论非标准区域数域的素理想和素。利用$^*Z$的素数导出的赋值，给出了$^*Q$上的一个无限分解定理，并利用$^*Z$的素数集上的极大滤子和由$^*Z$的极大理想导出的赋值半群的序半群对$^*Z$的极大理想和素理想进行了分类.
2016-01-16 math.LO math.NT
An elliptic K3 surface X/Q(t) with Mordell-Weil rank 17, I: Formulas for X and base changes of rank 18 and 19
本文给出Q(t)上Mordell-Weil秩17的椭圆K3曲面X的公式，证明其二次基变换可得到秩18的椭圆曲面，一对复合后得秩19的椭圆曲面，对应无穷多条Q上高秩椭圆曲线。
2026-08-27 math.NT
On pseudo-nullity of fine Mordell-Weil group
本文研究椭圆曲线在虚二次域的$\mathbb{Z}_p^2$-扩张上精细Mordell-Weil群的Iwasawa理论性质，在适当条件下证明了其Pontryagin对偶作为Iwasawa代数模是伪零的。
2024-09-05 math.NT
