Hyperpolar isotropy actions on compact symmetric spaces
J. C. González- Dávila
由于在考虑正则点时出现了一个关键性的错误，本文已被作者撤回
This paper has been withdrawn by the author due to a crucial error related with the consideration of regular points
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hyperpolar actions on reducible symmetric spaces
研究了紧型可约对称空间上的超极作用。我们的主要结果是：紧致型对称空间上的不可分解超极作用是Hermann作用或上齐性作用的等价轨道。
Hyperpolar homogeneous foliations on symmetric spaces of noncompact type
一个黎曼流形上的叶理是超极的，如果它有一个平坦截面，也就是说，一个连通的闭平坦子流形与叶理的每个叶正交相交。本文对非紧型黎曼对称空间上的超极齐性叶理进行了分类。
On cohomogeneity one hyperpolar actions related to $G_{2}$
本文针对紧型不可约黎曼对称空间上与例外紧李群$G_{2}$相关的余维数1例外作用，研究其轨道作为黎曼子流形的性质，考察主轨道主曲率并分类极小等类型主轨道。
On the equivariant cohomology of hyperpolar actions on symmetric spaces
证明了紧致型对称空间上紧致连通李群的超极作用的等变上同调是Cohen-Macaulay环。这推广了作者以前得到的一些结果。
Examples of a complex hyperpolar actions without singular orbit
非紧型对称空间上的复超极作用的概念最近被引入作为紧型对称空间上的超极作用的对应。本文构造了无奇异轨道的复超极作用的例子，并研究了例子轨道的几何性质。
Hyperpolar homogeneous foliations on symmetric spaces of noncompact type - an overview
黎曼流形M上的叶状F是齐次的，如果它的叶与M上等距作用的轨道重合。一个叶理F是极的，如果它有一个截面，即M的一个连通闭全测地子流形与F的每一个叶相交，并正交于每一个交点。一个叶理F是超极的，如果它有一个平截面。这些笔记是有关联合工作与何塞卡洛斯迪亚兹-拉莫斯和田丸博关于超极齐性叶理的黎曼对称空间的非紧型。除了我们在arXiv：0807.3517v2 [math.DG]中证明的分类结果外，本文更详细地介绍了非紧型对称空间的一些相关材料，并对特殊情况M = SL_{r+1}（R）/ SO_{r+1}的分类进行了更详细的讨论.
Translators invariant under hyperpolar actions
本文研究紧致对称空间上超极化作用下平移子的形状分类，分别处理低秩和高秩情形，给出图像型平移子的完整分类。
Polar actions on symmetric spaces of higher rank
我们证明了上齐性2在具有双不变黎曼度量的高阶紧致李群上的极作用是超极的。结合第二个作者最近的一个结果，我们能够证明，极作用诱导约化代数子群的等距群的不可约黎曼对称空间的高秩是超极的。特别地，这个结果肯定地解决了高阶不可约紧对称空间上的极作用是超极作用的猜想。
Path group actions induced by sigma-actions and affine Kac-Moody symmetric spaces of group type
1995年，C. L.紧对称空间上的每个超极作用都对应一个希尔伯特空间上的超极固有Fredholm（PF）作用。这是无限维路径群的群作用，它通过规范变换作用于希尔伯特空间。这两个超极作用通过称为平行输运映射的等变黎曼浸没联系起来，并且它们与称为仿射Kac-Moody对称空间的无限维对称空间有密切关系。本文定义了希尔伯特空间之间的线性同构，证明了它关于规范变换是等变的，并且与平行迁移映射相容。利用这个同构，我们推广和统一了希尔伯特空间中PF子流形的主曲率的所有已知计算结果。特别地，我们研究了与σ-作用相关联的超极PF作用的轨道的子流形几何，并给出了希尔伯特空间中的朴素PF子流形的新例子。此外，我们还证明了这里给出的希尔伯特空间之间的同构对应于群型仿射Kac-Moody对称空间之间的自然同构。
Biharmonic orbits of isotropy representations of symmetric spaces
本文给出了黎曼对称空间的线性迷向表示的轨道是欧几里得空间超球面中的双调和子流形的一个充分条件。特别地，我们得到了余维数大于1的超球面中的双调和子流形的例子。
Isotropy groups of the action of orthogonal similarity on symmetric matrices
我们发现一个算法程序，使计算和描述的结构的稳定子群子群的复正交矩阵组相对于复杂的对称矩阵的相似性的行动。证明中的一个关键步骤是求解某个矩形块上三角Toeplitz矩阵方程。
Isotropy groups of the action of orthogonal similarity on skew-symmetric and on complex orthogonal matrices
本文研究了正交群在自身和斜对称矩阵上的各向同性群结构，揭示了其与非奇异块 Toeplitz 矩阵群的关系。
Local orbit types of the isotropy representations for semisimple pseudo-Riemannian symmetric spaces
列出了半单伪黎曼对称空间的各向同性表示的双曲或椭圆轨道的所有可能的局部轨道类型。利用半单伪黎曼对称空间的三种限制根系和Satake图，给出确定双曲主轨的局部轨型的方法是关键.
Examples of austere orbits of the isotropy representations for semisimple pseudo-Riemannian symmetric spaces
Harvey-Lawson和Anciaux在伪黎曼几何中引入了严格子流形的概念。利用Cartan子空间的限制根系理论，给出了半单伪黎曼对称空间的各向同性表示的轨道是伪球面中的严格子流形的一个等价条件.利用这一条件，我们给出了严格轨道的例子。
Variationally complete actions on compact symmetric spaces
证明了紧对称空间上紧李群的等距作用是变分完备的当且仅当它是超极的。
The equivariant cohomology of isotropy actions on symmetric spaces
本文证明了对每一个K连通的紧型对称空间G/K，G/K上的左平移作用是等变形式的.
Polar foliations on symmetric spaces
证明了在不可约紧致对称空间中余维至少为3的极叶理是超极的，除非对称空间的秩为1。对于紧致型的可约对称空间，我们得到了极叶理的分解结果。
Pseudo-Riemannian almost quaternionic homogeneous spaces with irreducible isotropy
证明了当维数至少为16时，具有指标4和H-不可约迷向群的伪黎曼几乎四元数齐性空间局部等距于伪黎曼四元数Kähler对称空间.在12维中，我们给出一个非对称的例子。
On homogeneous manifolds whose isotropy actions are polar
证明了具有极各向同性作用的紧致半单李群的单连通黎曼齐性空间是对称的，推广了Fabio Podesta和第三位作者的结果.在不假设紧性的情况下，给出了线性各向同性表示为极函数的半单李群的黎曼齐性空间的一个分类。我们证明了各种这样的空间，他们没有极各向同性的行动。证明了Heisenberg群和非对称Damek-Ricci空间具有非极各向同性作用。
Submanifold geometry in symmetric spaces of noncompact type
在这篇综述文章中，我们介绍了非紧型对称空间中的子流形几何。我们重点讨论了齐次和等参超曲面，极和超极作用，以及齐次CPC子流形的例子的构造和分类问题。
Codimension two polar homogeneous foliations on symmetric spaces of noncompact type
本研究针对不可约非紧型对称空间上余维数为2的齐性极叶状结构，按轨道等价性完成分类，明确其要么为超极叶状结构，要么是秩一对称空间上同类叶状结构的典范扩张。
Sequences of Orthogonal Polynomials related to Isotropy Orbits of Symmetric Spaces
为了研究紧致对称空间的迷向轨道，Reiswich引入一族单变量显式多项式，用$D_m$型Dynkin图刻画紧致对称空间的唯一极小迷向轨道.基于这一几何解释，他证明，这些多项式都有成对不同的实根的间隔$[\,0,1\,]$。本文将Reiswich构造的多项式作为雅可比多项式的特例，从而证明了关于紧致对称空间的极小迷向轨道的猜想，并给出了$D_m$型Dynkin图.
Duality of symmetric spaces and polar actions
研究了等距群的约化代数子群在非紧型黎曼对称空间上诱导的等距作用。我们证明了在对偶紧对称空间上存在一个对应的等距作用，它反映了原作用的许多性质。例如，两个作用的主稳定子群是局部同构的，并且对偶作用是（超）极的当且仅当原作用是（超）极的。这一事实提供了许多新的例子，极性作用的对称空间的非紧型，我们使用对偶作为一种方法来研究极性作用的约化代数子群的等距群的不可约对称空间。在其他应用中，我们表明，他们是超极的，如果空间是III型和更高的秩;我们证明，这样的行动是轨道等价于赫尔曼行动，如果他们是超极和cohomogeneity大于1。进一步，我们利用秩为1的非紧对称空间上等距群的约化代数子群对极作用进行了分类。
Equivariant formality of the isotropy action on $\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2$-symmetric spaces
紧致对称空间可能是形式空间中最突出的一类，即有理同伦型是有理上同调代数的形式推论的空间。作为一个概括，它甚至是已知的，他们的各向同性行动是等变形式。本文证明了$(\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2)$-对称空间是等变形式的，特别是在Sullivan意义下是形式的.此外，我们给出了对称空间情形下等变形式的一个简短的替代证明。
Polar actions on symmetric spaces
研究了对称空间上的等距李群作用，该对称空间具有一个截面，即一个子流形，它与所有轨道在每个交点处正交相交。在具有单等距群且秩大于1的紧致对称空间上，我们对这类作用进行了分类。特别是，我们表明，这些行动是超极，即部分是平坦的。
Symmetric space, strongly isotropy irreducibility and equigeodesic properties
齐次流形$G/H$上的光滑曲线称为黎曼等距线，如果它对任何$G$ -不变黎曼度量都是齐次测地线.称齐次流形$G/H$为黎曼等距线，如果对任意$x\in G/H$和任意非零$y\in T_x(G/H)$，存在一个具有$c(0)=x$和$\dot{c}(0)=y$的黎曼等距线$c(t)$.这两个概念可以自然地转移到芬斯勒设置，它提供了芬斯勒等距和芬斯勒等距空间的定义。本文分别证明了黎曼等短程空间和Finsler等短程空间的两个分类定理。首先，具有连通单连通拟紧$G$和连通$H$的齐次流形$G/H$是黎曼等距的当且仅当它可分解为欧氏因子和紧强各向同性不可约因子的乘积.其次，具有紧半单$G$的齐次流形$G/H$是Finsler等径的当且仅当它能局部分解为乘积，其中每个因子是$Spin(7)/G_2$，$G_2/SU(3)$或紧型对称空间.这些结果意味着对称空间和紧型强各向同性不可约空间可以用等测线性质来解释。作为应用，我们用紧半单$G$对齐次流形$G/H$进行了分类，使得$G/H$上的所有$G$不变Finsler度量都是Berwald的.提出了齐次Finsler几何中的一个新方案，即系统地研究齐次流形$G/H$，在该流形上所有的$G$ -不变Finsler度量都满足一定的几何性质.
Polar actions on certain principal bundles over symmetric spaces of compact type
研究了以紧致型对称空间为基的某些主丛$G/K\to G/H$的全空间上的水平截面的极作用。在许多情况下，我们将这种行为归类为轨道等价。特别是，我们展示的例子，超极行动的cohomogeneity大于一个局部不可约的齐性空间的非负曲率不同胚对称空间。
On weakly reflective submanifolds in compact isotropy irreducible Riemannian homogeneous spaces
证明了对于紧致各向同性不可约黎曼齐性空间的任意弱反射子流形，其在平行迁移映射下的逆像是希尔伯特空间的无穷维弱反射PF子流形.这是作者在紧致不可约黎曼对称空间中的结果的推广。我们也给出了这样得到的弱反射PF子流形的一个刻画。
Conformal holonomy, symmetric spaces, and skew symmetric torsion
我们考虑这个问题：不可约伪黎曼对称空间的各向同性表示能否实现为共形和乐群？利用Cap，Gover和Hammerl的最新结果，研究了SO（2，1），PSU（2，1）和PSp（2，1）分别作为签名为（3，2），（4，4）和（6，8）的不可约对称空间的各向同性群的表示，描述了由共形完整约化为相应子群所诱导的几何.在SO（2，1）的情况下，我们证明具有这样的完整约化的共形流形总是局部共形平坦的，因此这个群不可能是共形和乐群。这一结果完成了Lorentz签名中不可约共形和乐群的分类。在PSU（2，1）的情形下，我们证明了具有这种完整约化的签名（3，3）的共形流形在一个开稠密子集上携带一个具有正爱因斯坦常数的正则近似para-Kaehler度量.对于PSp（2，1），我们还证明了在共形类中存在一个赋正则Einstein度量的开稠密子集.因此，在限制到开稠密子集之后，共形完整性必须分别是PSU（2，1）或PSp（2，1）的真子群。最后，利用Graham和Willse最近的一个结果，证明了如下一般的不存在性结果：对于一个实解析的奇维共形流形，共形和乐群不能由不可约伪黎曼对称空间的各向同性表示给出，除非各向同性是SO（p+1，q+1）.
Invariant connections and $\nabla$-Einstein structures on isotropy irreducible spaces
本文研究非对称强迷向不可约齐性黎曼流形上的不变仿射、度量联络及带斜挠率的不变度量联络，计算其维数，分类紧李群${\ m U}_{n}$的双不变度量联络，并完成此类空间上带斜挠率的$\ abla$-Einstein不变结构的分类。
Compact weakly symmetric spaces and spherical pairs
我们证明了M.克雷默的分类列表的球面对符合弱对称空间通过检查线性各向同性表示相应的齐性空间相关的每一对。
Isotropy invariant graphical mean curvature flows in warped products
本文研究翘曲积中的图形平均曲率流，利用K-等变性将其化为K-不变函数的流方程，证明在秩一紧致对称空间及特定翘曲条件下流长期存在。
Hermann type actions on a pseudo-Riemannian symmetric space
本文首先通过研究复化作用量来研究半单伪黎曼对称空间上各向同性作用量的轨道几何。其次，我们研究对称空间上Hermann型作用的轨道几何。通过考虑对称空间上的两个特殊的Hermann型作用，我们认识到对称空间的一个有趣的结构。
On a class of geodesic orbit spaces with abelian isotropy subgroup
黎曼测地轨道空间（G/H，g）是对称空间的自然推广，它的测地线是G的单参数子群的轨道。研究了（G/S，g）型测地轨道空间，其中G是紧的、连通的、半单的李群，S是交换的.我们给出了这些空间的一个简单的几何特征，即它们是自然约化的。反过来，这产生了G/S形式的任何空间上的不变测地线轨道（以及自然约化的）度量的分类。我们的方法涉及简化复杂的参数空间的测地轨道度量G/S减少他们的研究，以某些子流形和广义旗流形，并通过研究与这些流形的简单李代数的根系。
Cohomogeneity one manifolds with a small family of invariant metrics
本文将紧致单连通上齐一流形分类到等变同同态，其主稳定子群的连通分支的各向同性表示具有三个或更少的不可约和项.该流形或者是齐性空间上的丛，或者是不可约对称空间。作为推论，这样的流形允许一个具有非负截面曲率的不变度量。
Strongly isotropy irreducible spaces whose Laplacians have all their eigenspaces irreducible
本文针对强迷向不可约空间G/H，在算出拉普拉斯算子最小正特征值后，得到其第二个非零特征值，进而证明拉普拉斯算子所有特征空间均不可约的等价条件。
Classification of isoparametric submanifolds admitting a reflective focal submanifold in symmetric spaces of non-compact type
本文假设所有的等参子流形都有平坦截面。本文的主要目的是证明：如果非紧型对称空间中余维数大于大于1的完全不可约完备等参子流形存在一个反射焦点子流形，且它是实解析的，则它是对称空间上Hermann型作用的主轨道.非紧型对称空间上的超极作用存在反射奇异轨道当且仅当它是Hermann型作用。因此，并不额外的假设，等参子流形允许一个反射焦点子流形。证明了非紧型对称空间中余维数大于大于1的完全不可约完备等参子流形若满足某些附加条件，则它是对称空间各向同性作用的主轨道，这里不必强制子流形是实解析子流形.我们在证明中使用了建筑理论。
Lorentzian symmetric spaces which are Einstein-Yang-Mills with respect to invariant metric connections
本文分类了具有连通非平凡迷向群的四维单连通不可分解洛伦兹对称空间，并求得了其关于不变度量联络与和乐代数对角度量的 Einstein-Yang-Mills 方程解。
A modified mean curvature flow in Euclidean space and soap bubbles in symmetric spaces
本文证明了秩大于1的不可约单连通对称空间中的小球面肥皂泡是由一类修正平均曲率流的极限构造的，这些修正平均曲率流从维数等于对称空间秩的欧几里得空间中的小球出发，其中我们注意到小球形肥皂泡在对称空间的等距群的稳定子群作用下是不变的。此外，我们还研究了小球形肥皂泡的形状和中曲率。
$Γ$-structures and symmetric spaces
$Γ$ -结构是闭定向流形上乘法的弱形式。Hopf证明了含有$Γ$ -结构的流形的有理上同调代数在奇数度生成元上是自由的。我们证明了这个条件也是同伦理论意义下幂零流形上存在$Γ$ -结构的充分条件。这包括具有连通各向同性群的齐性空间。传递到一个更几何的角度来看，我们表明，在紧凑的定向黎曼对称空间与连通各向同性群和自由有理上同调代数的典范乘积给出测地对称定义$Γ$ -结构。这扩展了Albers，Frauenfelder和Solomon关于$Γ$ -拉格朗日Grassmannian结构的工作。
Non-existence of exceptional orbits under polar actions on Hilbert spaces
本文证明可分Hilbert空间上连通Hilbert Lie群的极作用无例外轨道，推广有限维结果，并给出紧致对称空间超极作用无例外轨道的简单几何证明。
Existence of non-isotropic conjugate points on rank one normal homogeneous spaces
我们给出了一个肯定的答案Chavel的猜想[J. Diff. Geom.4（1970），13-20]：一个单连通秩1正规齐性空间是对称的，如果任意一对共轭点是迷向的。它意味着所有单连通的秩一正规齐性空间具有迷向作用是变分完备的性质，是秩一对称空间。
Counting geodesics on compact symmetric spaces
本文通过焦轨道分解紧致对称空间指数映射的逆像，利用图、重数、Weyl群和格编码测地线的维数与连通分支，推广了紧致李群上的计数结果并给出已知结论的新证明。
Moment maps and Isoparametric hypersurfaces in spheres --- Hermitian cases
我们研究了球面中具有四个不同主曲率的等参超曲面与某些哈密顿作用量的矩映射之间的关系。本文考虑了由紧致不可约二秩Hermite对称空间的各向同性表示得到的等参超曲面。我们证明了这些超曲面的Cartan-Münzner多项式对于某些Hamilton作用可以写成矩映射的平方范数。证明是基于对称空间的结构理论。
Product structures and decompositions of $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$-symmetric spaces
本文建立了$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$-对称空间的分解与乘积理论，完成了非平凡类型半单情形的局部分类，并揭示了独特乘积结构与平凡迷向表示等新现象。
A Remark on the First Eigenvalue of the Laplace Operator on 1-forms for Compact Inner Symmetric Spaces
本文研究紧致内对称空间上1-形式拉普拉斯算子的第一非零特征值，证明其等于最高长根或短根的Casimir特征值，并修正了此前关于函数谱的错误陈述。
Lorentzian homogeneous structures with indecomposable holonomy
本文研究洛伦兹齐性空间中迷向群的代数条件对几何与曲率的影响，证明具有不可分解、非不可约和乐群的Ambrose--Singer联络的洛伦兹局部齐性空间局部等距于平面波，推广了已有结果并给出关于平行挠率联络与2-对称联络的新结论。
Representations with $Sp(1)^k$-reductions and quaternion-Kähler symmetric spaces
对某些$k>0$，我们对轨道空间与$Sp(1)^k$的有限扩张的表示等距的连通紧李群的非极不可约表示进行了分类.因此，它们是通过限制到“非$Sp(1)$ -因子”而从某些四元数Kähler对称空间的各向同性表示中获得的。
On the equivariant cohomology of $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_k$-symmetric spaces
$Γ$-对称空间是对称空间的广泛推广。以前的结果使人们可以想象，他们的各向同性行动是等变形式的，我们提供了证据，在这种情况下，$Γ= \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_k$。这特别意味着$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_k$-对称空间在有理同伦理论的意义下是形式的。
Curvatures and austere property of orbits of path group actions induced by Hermann actions
已知紧致对称空间上李群的等距作用通过规范变换可导出道路空间上道路群的真Fredholm作用。本文假设等距作用是Hermann作用（等距群的对称子群的等距作用），给出了路群作用轨道的主曲率的显式表达式，并研究了路群作用轨道严格的条件，即在每个法向量方向上的主曲率集乘负1不变.为了证明结果，我们基本上使用的事实，赫尔曼行动是超极和所有的轨道赫尔曼行动是曲率适应子流形。这些结果推广了作者以前在标准球面情形下的结果，并表明在希尔伯特空间中存在大量的无穷维严格子流形.
Einstein Homogeneous Riemannian Fibrations
本文研究了齐次纤维化的全空间上的齐次爱因斯坦度量的存在性，使得纤维是全测地流形。利用Casimir算子得到了具有全测地纤维的不变度量的里奇曲率以及这类度量成为Einstein度量的必要条件。研究了一些特殊的情况，如正常基底或纤维，对称纤维，爱因斯坦基底或纤维，其中爱因斯坦方程是可管理的。我们证明了最大秩齐次双对称纤维化上新的不变爱因斯坦度量的存在性。对于这样的空间，我们明确地描述的各向同性表示的根的子集和计算的Casimir运营商的纤维沿水平方向的特征值。紧单连通4-对称空间的最大秩的结果遵循这一点。同时，在Kowalski $n$ -对称空间上发现了新的不变Einstein度量.
Sasaki-Einstein orbits in compact Hermitian symmetric spaces
本文研究紧型不可约Hermitian对称空间上迷向子群轨道的CR子流形性质，证明叶为轨道全测地子流形，探讨其成为环境空间全测地子流形的条件，分类具接触或Sasakian结构的轨道并确定Sasaki-Einstein轨道。
Hamiltonian reductions of free particles under polar actions of compact Lie groups
研究完备黎曼流形上自由测地线系统的经典和量子Hamilton约化。简化系统的假设下，基本紧凑的对称群的行为在极性的方式在这个意义上，存在定期嵌入，封闭，连接的子流形满足所有轨道正交的配置空间。李群和对称空间上的超极作用导致自旋Calogero-Sutherland型的可积系统族。
Topics in polar actions
本文是2022年斯图加特大学系列讲座笔记，介绍极作用及其刻画，并综述Lytchak和Thorbergsson关于轨道流形点与变分完备作用超极性的结果，附有相关技术附录。
Independence of homogeneous GKM manifolds and symmetric spaces
研究了最大秩齐性空间G/H的T作用独立性，证明其最大独立性为2、3或n=dim T，并对应某些高秩对称空间。
Irreducibility of the Laplacian eigenspaces of some homogeneous spaces
对于紧致齐性空间$G/K$，研究了使得拉普拉斯算子的每个特征空间是$G$的实不可约表示的$G$不变黎曼度量的存在性问题.证明了紧致不可约对称空间的正规度量仅在秩1上具有这一性质。此外，我们提供的存在性结果，这样的度量在某些迷向可约空间。
Affine Kac-Moody symmetric spaces
由于工作的亨利嘉当有限维黎曼对称空间是一个重要的课题的数学兴趣。它们以一种自然的方式与半单李群相关。本文介绍并研究了它们的无限维推广：仿射Kac-Moody对称空间。仿射Kac-Moody对称空间是与仿射Kac-Moody群相关联的无限维对称空间。它们具有驯服的Fréchet流形的结构;仿射Kac-Moody代数上的自然Ad-不变标量积是洛伦兹的，使得仿射Kac-Moody对称空间成为洛伦兹对称空间。与仿射Kac-Moody群和单李群具有相同的结构性质类似，Kac-Moody对称空间和有限维黎曼对称空间也具有相同的结构性质.特别地，卡茨-穆迪对称空间的分类遵循有限维黎曼对称空间的分类：有四种类型，分为紧型和非紧型两类卡茨-穆迪对称空间。紧型对称空间和非紧型对称空间通过对偶关系联系起来。此外，Kac-Moody对称空间的秩1积木的几何结构与有限维黎曼对称空间的秩1积木的几何结构相同。卡茨-穆迪对称空间出现在数学和理论物理中：例如它们的各向同性表示本质上等价于希尔伯特空间上的极作用;孪生城市可以等变地嵌入切空间。在理论物理学中，Kac-Moody对称空间最近由于各种各样的理论将它们与超引力理论和M理论的某些公式联系起来而获得了突出的地位。
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