Hausdorff dimension estimates for restricted families of projections in $\mathbb{R}^3$
本文研究$\mathbb{R}^{3}$中的限制投影族。设$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有豪斯多夫维数$\dim K = s > 1$的博雷尔集.如果$\mathcal{G}$是一个光滑且充分弯曲的一维二维子空间族，则主要结果表明存在$σ(s) > 1$使得对几乎所有的$V \in \mathcal{G}$都有$\dim π_{V}(K) \geq σ(s)$.对于某些特定的一维子空间族也得到了类似的结果。
2015-04-27 math.CA
Orthogonal projections of discretized sets
我们推广Bourgain的离散投影定理，以更高的秩的情况。像Bourgain定理一样，我们的结果给出了用豪斯多夫维数表示的投影定理中例外集的豪斯多夫维数的估计。这一估计补充了Mattila和Falconer的早期结果。
2018-05-09 math.CA
A sharpened Hausdorff-Young inequality
欧几里得空间的Hausdorff-Young不等式，在Beckner的精确形式下，给出了傅里叶变换在勒贝格空间范数下的上界，并有一个最佳常数。利布把极端化者确定为高斯型。我们建立了一个改进的上界，几乎极值不等式的功能，与负的第二项大致成正比的距离的平方的极值集。这个术语的一种表述方式有它自己的尖锐常数。主要步骤是证明任何极值序列是预紧的，模的作用组的自然对称的不等式。这个步骤依赖于加法组合性质的逆定理。
2014-06-04 math.CA
An a.e. lower bound for Hausdorff dimension under vertical projections in the Heisenberg group
一种改进的a.e.给出了第一Heisenberg群中垂直投影下的豪斯多夫维数的下界.
2020-08-24 math.CA math.MG
Asymptotically sharp discrete nonlinear Hausdorff-Young inequalities for the SU(1,1)-valued Fourier products
针对单位圆正交多项式中SU(1,1)值非线性Fourier变换的离散Hausdorff-Young不等式，本文研究其精确常数，并对小序列或远离线性极值化子的序列给出两个结果。
2022-03-25 math.CA
Potential method and projection theorems for macroscopic Hausdorff dimension
集合E $\subset$ Rd的宏观豪斯多夫维数Dim H（E）是由Barlow和Taylor引入的，用来量化无界的、可能离散的集合E的“大尺度分形”行为。我们开发了一种方法的基础上位势论，以估计这方面的RD。然后，我们应用这种方法得到了Marstrand型投影定理：给定集合E $\subset$ R 2，对几乎每个$θ$ $\in$ [0，2 $π$ ]，E在以角$θ$通过0的直线上的投影维数等于min（Dim H（E），1）.
2022-03-14 math.CA math.MG
Hausdorff operators on modulation and Wiener amalgam spaces
本文给出了Hausdorff算子在某些调制空间和Wiener混合空间上有界的严格条件。
2017-09-24 math.CA
Hausdorff dimension, intersection of projections and exceptional plane sections
本文包含新的结果在分形几何中的两个经典主题：投影，并与仿射平面相交。为了保持抽象的符号简单，我们限制讨论我们的定理的平面情况。我们的第一个主要结果考虑两个Borel集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$到一维子空间的正交投影。在$\dim A \leq 1 < \dim B$和$\dim A + \dim B > 2$的假设下，证明了对于正多线$L$和任意$ε> 0$，投影$P_{L}(A)$和$P_{L}(B)$的交至少有$\dim A - ε$维数.这是相当尖锐的：给定具有$s + t = 2$的$s,t \in [0,2]$，我们构造具有$\dim A = s$和$\dim B = t$的紧集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$，使得几乎所有交集$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$为空。在$\dim A > 1$和$\dim B > 1$的情形下，证明了对于正多个$L$，交$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$具有正长度.如果$A \subset \mathbb{R}^{2}$是一个Borel集，对于某个$s > 1$，它具有$0 < \mathcal{H}^{s}(A) < \infty$，则在$A$与通过$x$的所有直线的正分数相交的意义上，已知$A$从几乎所有点$x \in \mathbb{R}^{2}$都是…
2015-09-18 math.CA
Some toy Furstenberg sets and projections of the four-corner Cantor set
本文给出了某些模型Furstenberg集的豪斯多夫维数的下界.
2012-05-13 math.CA
Kakeya books and projections of Kakeya sets
本文给出了与Kakeya猜想有关的一些结果，该猜想认为对任意整数$n\geq 2$，在$\mathbb{R}^n$的每一维中包含线段的集合都具有全豪斯多夫维数和盒维数.本文证明了对线段的位置有一定限制的Kakeya集的Kakeya书具有满盒维数。本文还证明了Kakeya集的投影性质与Kakeya猜想之间的关系。如果对任何Kakeya集$K\subset\mathbb{R}^n$，$k\leq n$子空间上正交投影的豪斯多夫维数与方向无关，则Kakeya猜想成立.此外，反过来也是如此。
2017-04-14 math.CA
A study guide for "On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane" after T. Orponen and P. Shmerkin
本文为 Orponen 与 Shmerkin 关于平面 Furstenberg 集 Hausdorff 维数与正交投影的论文撰写学习指南，介绍 Furstenberg 集问题、投影例外集，并总结证明思路与核心思想。
2024-06-07 math.CA math.CO math.MG
Hausdorff dimension of measures with arithmetically restricted spectrum
基于谱的算术性质，我们给出了单位圆上测度的低豪斯多夫维数的估计.通过将抽象$q$ -正则鞅的一个一般结果应用于Gundy-Varopoulos倒向鞅，得到了我们的界.为了显示我们的方法的清晰度，我们改进了最好的已知的数值下界的豪斯多夫维数的某些Riesz产品。
2020-02-15 math.CA
A comparison of Euclidean and Heisenberg Hausdorff measures
本文证明了第一类Heisenberg群中Heisenberg豪斯多夫维数相对于其欧氏维数为最小或最大的集合的几何性质，并且相应的Hausdorff测度是正的和有限的.在第一种情况下，我们表明，这些集必须在某种意义上水平，在第二种情况下垂直。我们展示了我们的结果与一些例子的清晰度。
2017-05-11 math.CA
A Fourier analytic approach to exceptional set estimates for orthogonal projections
本研究提出基于傅里叶谱的正交投影定理与例外集估计方法，改进了平面例外集Ren--Wang界、Peres--Schlag界及Bourgain--Oberlin 0维估计等多个豪斯多夫维数相关结果。
2024-06-20 math.CA math.FA math.MG
The Group Action Method and Radial Projection
群作用方法在研究给定豪斯多夫维数的欧几里得空间中紧集$E$内的构型问题中起着重要的作用.本文进一步探讨了用群作用方法研究Salem集的径向投影问题。
2021-11-24 math.CA
Sharp $L^p$-$L^q$ estimates for the spherical harmonic projection
我们考虑球谐投影算子的$L^p$ - $L^q$估计，得到了在一定范围内$p$，$q$的精确界.作为一个应用，我们提供了一个证明的非对角Carleman估计的拉普拉斯算子，这扩展了早期的结果，由于Jerison和Kenig \cite{JK}，和斯坦\cite{St-append}。
2018-01-29 math.CA
On the Assouad dimension of projections
令$F \subset \mathbb{R}^{2}$，并令$\dim_{\mathrm{A}}$代表Assouad维数。我证明了$\dim_{\mathrm{A}} π_{e}(F) \geq \min\{\dim_{\mathrm{A}} F,1\}$对于所有$e \in S^{1}$以外的一组豪斯多夫维数为零。这是马斯特兰德投影定理的一个强变体，它的类似物对于其他常见的分形维数概念（如豪斯多夫维数或填充维数）是不正确的。
2019-11-20 math.CA math.MG
Hausdorff-Young inequalities for $\mathrm{SU}(1,1)$ Fourier products indexed by binary cubes
Department of Mathematics, Faculty of Science, University of Split（斯普利特大学理学院数学系）；Faculty of Transport and Traffic Sciences, University of Zagreb（萨格勒布大学交通与运输科学学院）
本文证明了二进制立方体索引的 $\mathrm{SU}(1,1)$ 傅里叶乘积的最优对数 Hausdorff-Young 不等式，推广至 $1/p+1/q<1$，并导出链不等式及交替链生成函数的非线性界。
2026-09-25 math.CA
The Assouad dimensions of projections of planar sets
我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。
2016-10-14 math.CA math.DS math.MG
On the Packing Dimension and Category of Exceptional Sets of Orthogonal Projections
本文考虑了几个经典的正交投影例外集的豪斯多夫维数的结果，并试图找出它们是否有合理的packing维数公式。我们还研究了Marstrand和Falconer-Howroyd型投影结果的类别版本的存在性。
2012-06-04 math.CA
A Marstrand-type restricted projection theorem in $\mathbb{R}^{3}$
由$1954$导出的Marstrand投影定理表明，如果$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个解析集，那么对于几乎所有的$\mathcal{H}^{2}$，$K$到$e$所张成的直线的正交投影$π_{e}(K)$具有Hausdorff维数$\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$。这篇论文包含了马斯特兰德定理的更清晰的版本。设$V \subset \mathbb{R}^{3}$是任何$2$平面，它不是子空间.然后，对于几乎每个$e \in S^{2} \cap V$的$\mathcal{H}^{1}$，投影$π_{e}(K)$具有Hausdorff维数$\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$。对于$0 \leq t < \dim_{\mathrm{H}} K$，我们还证明了具有$\dim_{\mathrm{H}} ρ_{e}(K) \leq t < \dim_{\mathrm{H}} K$的这些向量$e \in S^{2} \cap V$的Hausdorff维数的上界。
2021-07-02 math.CA math.MG
Hausdorff dimension of intersections with planes and general sets
给出了正交投影的一般族$P_λ:\R^n\to\R^m, λ\in Λ,$上的条件，保证了豪斯多夫维数公式$\dim A\cap P_λ^{-1}\{u\}=s-m$对于具有正的和有限的$s$维Hausdorff测度、$s>m$和正的下密度的可测集$A\subset\Rn$一般成立.作为一个应用程序，我们证明了可测集$A,B\subset\Rn$与积极的$s$ -和$t$ -维措施，并与积极的低密度，如果$s + (n-1)t/n > n$，然后$\dim A\cap (g(B)+z) = s+t - n$几乎所有的旋转$g$和积极的许多$z\in\Rn$。
2020-06-08 math.CA
On the generalized Hausdorff dimension of Besicovitch sets
本文构造了一族极小的Besicovitch直线集，证明其广义Hausdorff维数的精确规范函数小于Keich上界，表明迭代对数并非必要。
2024-04-07 math.CA
Sharp $L^p$-$L^q$ estimate for the spectral projection associated with the twisted Laplacian
在本说明中，我们关注的是与扭曲拉普拉斯算子$L$相关的谱投影算子$\mathcal{P}_μ$的估计。当$1\le p\le 2\le q\le \infty$时，我们完全刻画了从$L^p$到$L^q$的$\mathcal{P}_μ$算子范数的最优界.作为应用，我们得到了$L$的一致预解式估计.
2020-09-14 math.CA
The dimension of projections of self-affine sets and measures
设E是由仿射变换定义的平面自仿射集，其线性部分由正元素矩阵给出。证明了如果μ是E上的Bernoulli测度且dim_H μ = dim_L μ，其中dim_H和dim_L分别表示Hausdorff维数和Lyapunov维数，则μ在除至多一个方向外的所有方向上的投影有豪斯多夫维数min{dim_H μ，1}.我们将此结果转移到集合上，并表明许多自仿射集合在除最多一个方向外的所有方向上都具有维度min{dim_HE，1}的投影。
2015-11-11 math.CA math.DS
On planar self-similar sets with a dense set of rotations
证明了如果$E$是一个平面自相似集，其相似维数$d$的定义映射生成稠密旋转集，则$E$在任意直线上的正交投影的$d$维Hausdorff测度为零.我们还证明了$E$在平面上任意点的径向投影也有零$d$维Hausdorff测度.然后我们考虑这些集合的一个特殊子类，并给出了$E(ρ)$的Favard长度的一个上界，其中$E(ρ)$表示集合$E$的$ρ$ -邻域.
2006-03-08 math.CA
Hausdorff-Young type theorems for the Laplace transform restricted to a ray or to a curve in the complex plane
设p和q是共轭指数，p在[1，2]中。证明了拉普拉斯变换有界地作用于正实半轴上单位权的Lp空间和右复半平面上被良投影测度（文中定义了良投影测度）加权的Lq空间之间.算子范数在具有相同“投影常数”的测度类上一致有界。特殊情况是某些类可求长曲线上的弧长测度。此外，在“错误”指数p>2的情况下，得到了Lorentz空间中Hausdorff-Young不等式的一个类似结果.
2011-09-28 math.CA
Packing dimension of vertical projections in the Heisenberg group
University of Wisconsin（威斯康星大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
研究Heisenberg群中垂直投影的打包维度，利用变量系数局部平滑不等式改进了Hausdorff维度的下界。
2026-03-08 math.CA math.MG
Hausdorff dimension of level sets of generalized Takagi functions
本文研究了两类连续的、无处可微函数（其中一个是另一个的子族）的水平集，这两类函数定义在“帐篷映射”上。著名的Takagi函数是一个特例。给出了这两类函数水平集的豪斯多夫维数的精确上界。进一步考虑了随机选取函数f的情形，给出了f的零点集和极大点集的豪斯多夫维数的结果.
2013-10-17 math.CA
Intersection of projections and slicing theorems for the isotropic Grassmannian and the Heisenberg group
本文研究了$\mathbb{R}^{2n}$的子集的各向同性投影的交的Hausdorff维数以及集合与各向同性平面的交的维数。证明了若$A$和$B$是维数大于m的$\mathbb{R}^{2n}$的Borel子集，则对于各向同性m-平面的正测度集，$A$和$B$在这些平面上的正交投影下的像的交集具有正Hausdorff $m$ -测度.此外，如果$A$是大于$m$的Hausdorff维数的可测量集合，则存在具有$\dim B\leq m$的集合$B\subset\mathbb{R}^{2n}$，使得对于所有$x\in\mathbb{R}^{2n}\setminus B$，存在各向同性m平面的正测度集合，对于该正测度集合，每个这样的平面的正交补的$x$的平移在维数集合$\dim A-m$上与$A$相交。然后将这些结果应用于$n^{th}$ Heisenberg群，得到了类似的结果.
2020-01-16 math.CA math.MG
Applications of dimension interpolation to orthogonal projections
本文综述了维度插值方法，并重点展示傅里叶谱、中间维数和Assouad谱在正交投影维数理论中的三类应用，拓展了经典Marstrand–Mattila投影定理的研究视角。
2025-02-06 math.CA math.MG
Universal Sets for Projections
该研究探讨$\boldsymbol{\rm R}^2$中集合投影的通用方向集问题，定义了通用集概念，针对弱正则集、AD-正则集类分别构造了维数任意小（正）和零维的通用集，拓展了Marstrand投影定理的相关结论。
2025-03-23 math.CA math.LO
Projections of Poisson cut-outs in the Heisenberg group and the visual $3$-sphere
研究了Poisson截集$E$在非欧空间中的投影性质。在第一海森伯群中，我们证明了垂直投影$π(E)$（沿海森伯群中心的投影）的Hausdorff维数几乎必然等于$\min\{2,dim_H(E)\}$，并且如果$dim_H(E)>2$，则$π(E)$具有非空内部.作为一个推论，这使我们能够确定的Hausdorff维数$E$相对于欧几里德度量的海森堡Hausdorff维数$dim_H (E)$。我们还研究了Heisenberg群的一点紧化中的投影，即具有通过将$S^3$与复双曲平面的边界识别而获得的视觉度量$d$的$3$球$S^3$。在$S^3$中，我们证明了一个投影结果，同时适用于所有的径向投影（沿所谓的“链”的投影）。这表明在$S^3$中的泊松截断满足强版本的Marstrand投影定理，没有任何例外的方向。
2018-12-03 math.CA math.DG math.DS
On Hausdorff dimension of radial projections
对于任意的$x\in\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$，记$π^x: \mathbb{R}^d\backslash\{x\}\rightarrow S^{d-1}$为径向投影$$π^x(y)=\frac{y-x}{|y-x|}. $$给定一个Borel集$E\subset{\Bbb R}^d$，$\dim_{\mathcal{H}} E\leq d-1$，本文研究了对于多少个$x\in \mathbb{R}^d$，径向投影$π^x$保持$E$的豪斯多夫维数，即是否$\dim_{\mathcal{H}}π^x(E)=\dim_{\mathcal{H}} E$ .我们开发了一个通用的框架来连接$π^x(E)$，$x\in F$和$π^y(F)$，$y\in E$，任何Borel集$F\subset\mathbb{R}^d$。特别地，对于某些$x\in F$的$\dim_{\mathcal{H}}π^x(E)=\dim_{\mathcal{H}}E$是否可以被简化为$F$是否从某些$y\in E$可见（即，$\mathcal{H}^{d-1}(π^y(F))>0$）。这允许我们应用Orponen对可见性的估计来获得任何Borel集合$E\subset{\Bbb R}^d$，$\dim_{\mathcal{H}} E\in(d-2, d-1]$的$$\dim_{\mathcal…
2019-04-03 math.CA math.CO math.MG
Hausdorff spectrum of Lyapunov exponents for higher-dimensional self-affine systems
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究仿射迭代函数系统Lyapunov指数水平集投影的Hausdorff维数，在典型线性部分条件下给出变分公式，并证明在强开集条件及任意维数下成立。
2026-09-18 math.CA math.DS math.MG
On the projections of almost Ahlfors regular sets
本文证明2023年Kaufman投影定理在Ahlfors $(1,δ^{-ε})$-正则集中最优，与$(1,C)$-正则集中的改进结果形成对比。
2024-11-07 math.CA
Sharp Bekolle estimates for the Bergman projection
我们证明了尖锐的估计的Bergman投影在加权Bergman空间的Bekolle常数。我们的主要工具是一个二元模型占主导地位的运营商和适应的方法的克鲁兹-乌里韦，马特尔和佩雷斯。
2012-10-03 math.CA math.CV
Intermediate dimensions of measures: Interpolating between Hausdorff and Minkowski dimensions
本文定义了介于豪斯多夫和闵可夫斯基维度之间的测度中间维度，填补了测度维度插值研究中的空白，并提出了反Frostman引理和容量理论方法。
2025-11-20 math.CA
Regularity of almost-surely injective projections in Euclidean spaces
本文研究欧氏空间中几乎必然单射投影的逆的正则性，证明支撑维数条件决定逆的连续性或Hölder正则性，并给出精确性例子及平面上的构造。
2023-06-23 math.CA
A Quantification of a Besicovitch Nonlinear Projection Theorem via Multiscale Analysis
贝西科维奇投影定理指出，如果平面的子集$E$在Hausdorff测度意义下具有有限长度，并且是完全不可求长的（因此它与任何Lipschitz图的交集具有零长度），则几乎所有$E$到直线的正交投影都具有零测度。换句话说，一个完全不可求长的$1$ -集的Favard长度为零。在这篇文章中，我们证明了当线性投影被某些称为曲线投影的非线性投影所取代时，这个结果仍然成立。事实上，我们走得更远，并使用多尺度分析来证明这个贝西科维奇非线性投影定理的定量版本。粗略地说，我们表明，如果一个子集的平面有有限的长度在Hausdorff的意义上，几乎是纯粹的不可求长，那么它的Favard曲线长度是非常小的。我们的技术建立在陶的基础上，陶在[Tao 09]中证明了原始贝西科维奇投影定理的量化。
2021-04-02 math.AP math.CA math.MG
Multi-parameter projection theorems with applications to sums-products and finite point configurations in the Euclidean setting
本文研究了分形集的多参数投影定理。在这些估计的帮助下，我们恢复结果的大小$A \cdot A+...+A \cdot A$，其中$A$是一个子集的实数线的一个给定的豪斯多夫维数，$A+A=\{a+a': a,a' \in A \}$和$A \cdot A=\{a \cdot a': a,a' \in A\}$。我们还使用投影结果和归纳参数表明，如果一个子集的${\Bbb R}^d$的豪斯多夫维数是足够大的，那么${k+1 \choose 2}$维勒贝格测度的集合的$k$ -单形由这个集合是积极的。这些结果的锐度和连接数论估计进行了讨论。
2011-06-28 math.CA math.CO math.MG
Bounds on the Hermite spectral projection operator
研究了$\mathbb R^d$中与Hermite算子$H=|x|^2-Δ$相关联的谱投影算子$Π_λ$的$L^q$界.我们主要关注的是一个本地化的运营商$χ_EΠ_λχ_E$的子集$E\subset\mathbb R^d$和承担的任务，其特点是尖锐的$L^p$ - $L^q$的界限。我们得到了$p,q$在扩展范围内的锐界。首先，我们提供了一个完整的表征$L^p$ -$L^q$边界时，$E$远离$\sqrtλ\mathbb S^{d-1}$。其次，当集合$E$接近$\sqrtλ\mathbb S^{d-1}$时，我们得到了它的锐界。第三，我们将算子$Π_λ$一致有界的$p,q$的值域从$L^p(\mathbb R^d)$推广到$L^q(\mathbb R^d)$。
2022-10-07 math.CA
A transversality theorem for multiple-point crossings under generic linear perturbations with Hausdorff measure estimates
Department of Mathematical and Computing Science, School of Computing, Institute of Science Tokyo（东京科学大学理工学院数学与计算科学系）
本文在一般线性扰动下建立了多重交叉点横截性定理，给出了例外参数集的Hausdorff测度估计，并改进了之前仅证明该集勒贝格测度为零的结果。
2026-05-13 math.CA math.GT
Frostman lemma revisited
我们研究了Frostman引理的各种推广的清晰度。这些推广提供了更好的估计较低的豪斯多夫维数的措施。作为推论，我们证明了：如果函数$f$在$d$变量中的广义各向异性梯度$(\partial_1^{m_1} f, \partial_2^{m_2} f,\ldots, \partial_d^{m_d} f)$是有界变差的测度，那么这个测度关于Hausdorff $d-1$维测度是绝对连续的.
2022-04-22 math.CA
Hausdorff measure of zeros of polynomials
本文通过初等证明，确立了任意非平凡多变量多项式在指定大小立方体内零点的Hausdorff测度的精确普适界限，该界限仅依赖于立方体大小、维度及多项式次数。
2024-04-27 math.AG math.CA
Projection theorems for intermediate dimensions
最近引入了中间维来插入分形的Hausdorff和盒计数维之间。首先，我们表明，这些中间尺寸可以定义在某些内核的能力。然后，依靠这一点，我们表明，一个集$E \subset \mathbb{R}^n$的投影到几乎所有的$m$维子空间的中间尺寸只取决于$m$和$E$，也就是说，他们几乎肯定是独立的子空间的选择。我们的方法是基于以能力表示的“中等规模概况”。我们讨论了几个应用程序在最后的文件，包括一个令人惊讶的结果，涉及盒尺寸的投影集的豪斯多夫维数的设置。
2021-05-20 math.CA math.DS math.MG
A pathological construction for real functions with large collections of level sets
考虑一个实函数的所有水平集。我们可以根据它们的豪斯多夫维数对这些水平集进行分组。我们证明了在给定的豪斯多夫维数下，所有水平集的集合的豪斯多夫维数可以任意接近于1，即使函数在某个水平上是可微的.根据豪斯多夫维数的定义，对于任何实函数$f(x)$和任何$α\in [0,1]$，$\dim_{H} \left\{ {0.03in} y \ : \ \dim_{H} (f^{-1}(y)) \geq α{0.03in} \right\} \leq 1$是清楚的。令人惊讶的是，我们所展示的是，这实际上是一个尖锐的界限。也就是说，任何$k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$的$$\sup \left\{ {0.03in} \dim_{H} \left\{ {0.03in} y \ : \ \dim_{H} (f^{-1}(y)) = 1 {0.03in} \right\} \ : \ f \in C^{k} {0.03in} \right\} = 1,$$。
2016-08-26 math.CA
On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane
本文证明平面中(s,t)-Furstenberg集的Hausdorff维数至少为2s+ε，并改进Wolff(1999)与Kaufman(1968)的结果，ε仅依赖于s和t。
2023-09-05 math.CA math.CO math.MG
Sharp Poincaré--Sobolev Inequalities of Choquet--Lorentz Integrals with Respect to Hausdorff Contents on Bounded John Domains
本文证明了有界 John 域上关于 Hausdorff 容度的 Choquet--Lorentz 积分具有精确指数范围的 Poincaré--Sobolev 不等式，发展了分数阶极大不等式等新工具，并给出了临界情形的端点估计及 Riesz 位势的精确有界性。
2024-12-19 math.AP math.CA math.FA
Projections of self-affine sets onto lines
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；University of Eastern Finland（东芬兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究自仿射集在直线上的投影，通过指数分离、邻近性和强不可约性假设，证明自仿射测度投影的Hausdorff维数结论，加强邻近性假设后自仿射集本身也有相同结论，在平面中仅线性部分强不可约性即可，还得出相关推论。
2026-07-17 math.CA math.DS
Exceptional sets for length under restricted families of projections onto lines in $\mathbb{R}^3$
University of Wisconsin（威斯康星大学）
本文证明了 $\mathbb{R}^3$ 中 Hausdorff 维数大于1的 Borel 集在特定直线族上的正交投影，除一个维数受限的例外集外均具有正长度。
2026-09-30 math.CA math.CO math.MG
Dimension theory of iterated function systems
设$\{S_i\}_{i=1}^\ell$是具有吸引子$K$的$\R^d$上的迭代函数系统（IFS）.令$(Σ,σ)$表示字母表$\{1,..., \ell\}$上的单侧全移位。定义了$Σ$上与编码映射$π: Σ\to K$相关的不变测度空间上的投影熵函数PDMATHAMR，并给出了它的一些基本遍历性质，这一概念在研究$K$上不变测度的维数性质中是至关重要的.我们表明，对于任何共形IFS（分别为，在没有任何分离条件的情况下，遍历测度在$π$下的投影总是精确维数的，并且其Hausdorff维数可以表示为其投影熵与其Lyapunov指数之比（分别地，与几个编码映射相关联的投影熵的线性组合）。此外，对于任何共形IFS和某些仿射IFS，我们证明了吸引子的Hausdorff维数和遍历测度的投影的Hausdorff维数之间的变分原理。
2010-02-10 math.CA math.DS
On unions of geodesics and projections of invariant sets
本文研究了黎曼流形中测地线并集的 Hausdorff 维度下界，通过正交性质和 Kakeya 估计扩展了 J. Zahl 关于直线并集的结果。
2026-01-14 math.CA math.DG
$L^q$ dimensions and projections of random measures
我们证明了$L^q$维的保存（$1<q\le 2$）下的所有正交投影的一类随机措施的平面上，其中包括（确定性）齐次自相似措施和一个著名的家庭的措施支持$1$ -变量分形作为特殊情况。我们证明了类似的结果，某些卷积，延长Nazarov，佩雷斯和Shmerkin的结果。近年来，豪斯多夫维数的相关结果已经很多，但对于$L^q$维数的相关结果知之甚少.
2015-04-19 math.CA math.DS
