Restricted families of projections and random subspaces
本文研究了$\mathbb{R}^3$中正交投影的限制族。证明了随机子空间族中存在Marstrand-Mattila型投影定理.
2018-01-02 math.CA
On the Assouad dimension of projections
令$F \subset \mathbb{R}^{2}$，并令$\dim_{\mathrm{A}}$代表Assouad维数。我证明了$\dim_{\mathrm{A}} π_{e}(F) \geq \min\{\dim_{\mathrm{A}} F,1\}$对于所有$e \in S^{1}$以外的一组豪斯多夫维数为零。这是马斯特兰德投影定理的一个强变体，它的类似物对于其他常见的分形维数概念（如豪斯多夫维数或填充维数）是不正确的。
2019-11-20 math.CA math.MG
Restricted families of projections in vector spaces over finite fields
研究了有限域上向量空间中的限制投影族。证明了随机子空间族中存在一个Marstrand-Mattila型投影定理。
2017-12-23 math.CA math.CO
A Fourier analytic approach to exceptional set estimates for orthogonal projections
本研究提出基于傅里叶谱的正交投影定理与例外集估计方法，改进了平面例外集Ren--Wang界、Peres--Schlag界及Bourgain--Oberlin 0维估计等多个豪斯多夫维数相关结果。
2024-06-20 math.CA math.FA math.MG
Potential method and projection theorems for macroscopic Hausdorff dimension
集合E $\subset$ Rd的宏观豪斯多夫维数Dim H（E）是由Barlow和Taylor引入的，用来量化无界的、可能离散的集合E的“大尺度分形”行为。我们开发了一种方法的基础上位势论，以估计这方面的RD。然后，我们应用这种方法得到了Marstrand型投影定理：给定集合E $\subset$ R 2，对几乎每个$θ$ $\in$ [0，2 $π$ ]，E在以角$θ$通过0的直线上的投影维数等于min（Dim H（E），1）.
2022-03-14 math.CA math.MG
On the Packing Dimension and Category of Exceptional Sets of Orthogonal Projections
本文考虑了几个经典的正交投影例外集的豪斯多夫维数的结果，并试图找出它们是否有合理的packing维数公式。我们还研究了Marstrand和Falconer-Howroyd型投影结果的类别版本的存在性。
2012-06-04 math.CA
Exceptional projections of self-affine sets: an introduction
本文介绍自仿射分形线性投影维数的近期结果，重点给出投影图像维数的一个上界，并通过显式例子展示格拉斯曼流形中可包含于Marstrand定理例外集的光滑子流形。
2025-03-10 math.CA math.DS math.MG
Hausdorff dimension, intersection of projections and exceptional plane sections
本文包含新的结果在分形几何中的两个经典主题：投影，并与仿射平面相交。为了保持抽象的符号简单，我们限制讨论我们的定理的平面情况。我们的第一个主要结果考虑两个Borel集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$到一维子空间的正交投影。在$\dim A \leq 1 < \dim B$和$\dim A + \dim B > 2$的假设下，证明了对于正多线$L$和任意$ε> 0$，投影$P_{L}(A)$和$P_{L}(B)$的交至少有$\dim A - ε$维数.这是相当尖锐的：给定具有$s + t = 2$的$s,t \in [0,2]$，我们构造具有$\dim A = s$和$\dim B = t$的紧集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$，使得几乎所有交集$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$为空。在$\dim A > 1$和$\dim B > 1$的情形下，证明了对于正多个$L$，交$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$具有正长度.如果$A \subset \mathbb{R}^{2}$是一个Borel集，对于某个$s > 1$，它具有$0 < \mathcal{H}^{s}(A) < \infty$，则在$A$与通过$x$的所有直线的正分数相交的意义上，已知$A$从几乎所有点$x \in \mathbb{R}^{2}$都是…
2015-09-18 math.CA
Projections of sets with optimal oracles onto $k$-planes
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文证明了具有最优或acles的集合在R^n中的例外集估计，扩展了Marstrand投影定理在k-平面上的适用条件，利用Kolmogorov复杂性等有效方法提出新工具研究Grassmannian元素的信息含量。
2026-04-07 math.CA math.LO
Absolute continuity of self-similar measures, their projections and convolutions
我们表明，在许多参数化的家庭的自相似措施，他们的投影，和他们的卷积，一组参数的措施未能绝对连续的是非常小的余维至少有一个在参数空间。这补充了关于维度的类似问题的一条活跃的研究路线。此外，我们建立了一些规则性的密度以外的这个小的例外集，这特别适用于伯努利卷积，沿着这个道路，我们证明了一些新的结果的尺寸的自相似措施和绝对连续性的卷积的两个措施。作为一个具体的应用，我们得到了平面自相似集的Marstrand投影定理的一个非常强的版本。
2014-06-01 math.CA math.DS
Spread-out Furstenberg sets II: general configurations and fractal restricted projections
该论文针对阴影未局部集中于 pencil 的特定构型证明最优对偶 Furstenberg 估计，推导平面及高维限制投影定理，并将其应用于 Grassmann 流形曲面投影、固定距离等多个分形相关问题。
2026-10-12 math.CA math.CO
On restricted families of projections in R^3
本文研究了$\mathbb{R}^{3}$中非退化一维线族和平面族的投影。利用R. Kaufman，我们可以证明至多$1/2$维集合$B \subset \mathbb{R}^{3}$的Hausdorff维数通常在线上的一维投影族下保持不变。我们用一个$\varepsilon$改进了这个结果，证明了如果$\dim_{\mathrm{H}} B = s > 1/2$，那么投影的packing维数几乎必然至少是$σ(s) > 1/2$ .对于平面上的投影，我们得到了一个类似的界限，用$1$代替阈值$1/2$。在无旋转的自相似集$K \subset \mathbb{R}^{3}$的特殊情况下，得到了单参数直线投影族的完整的Marstrand型投影定理.这个结果的$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$情形来自M. Hochman，但$\dim_{\mathrm{H}} K > 1$部分是新的：在这个假设下，我们证明了投影几乎必然有正的长度。
2014-01-11 math.CA
Projections of Poisson cut-outs in the Heisenberg group and the visual $3$-sphere
研究了Poisson截集$E$在非欧空间中的投影性质。在第一海森伯群中，我们证明了垂直投影$π(E)$（沿海森伯群中心的投影）的Hausdorff维数几乎必然等于$\min\{2,dim_H(E)\}$，并且如果$dim_H(E)>2$，则$π(E)$具有非空内部.作为一个推论，这使我们能够确定的Hausdorff维数$E$相对于欧几里德度量的海森堡Hausdorff维数$dim_H (E)$。我们还研究了Heisenberg群的一点紧化中的投影，即具有通过将$S^3$与复双曲平面的边界识别而获得的视觉度量$d$的$3$球$S^3$。在$S^3$中，我们证明了一个投影结果，同时适用于所有的径向投影（沿所谓的“链”的投影）。这表明在$S^3$中的泊松截断满足强版本的Marstrand投影定理，没有任何例外的方向。
2018-12-03 math.CA math.DG math.DS
Universal Sets for Projections
该研究探讨$\boldsymbol{\rm R}^2$中集合投影的通用方向集问题，定义了通用集概念，针对弱正则集、AD-正则集类分别构造了维数任意小（正）和零维的通用集，拓展了Marstrand投影定理的相关结论。
2025-03-23 math.CA math.LO
A Furstenberg-type problem for circles, and a Kaufman-type restricted projection theorem in $\mathbb{R}^3$
本文利用离散几何中的透镜切割技术，证明分形集上 Wolff 圆极大函数变体的精确 $L^p$ 界，从而解决 $\mathbb{R}^3$ 中空间曲线参数化的例外投影维数猜想。
2024-10-25 math.CA math.MG
Projections of self-affine sets onto lines
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；University of Eastern Finland（东芬兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究自仿射集在直线上的投影，通过指数分离、邻近性和强不可约性假设，证明自仿射测度投影的Hausdorff维数结论，加强邻近性假设后自仿射集本身也有相同结论，在平面中仅线性部分强不可约性即可，还得出相关推论。
2026-07-17 math.CA math.DS
Improved bounds for restricted families of projections to planes in $\mathbb{R}^{3}$
对于$e \in S^{2}$，即$\mathbb{R}^3$中的单位球面，令$π_{e}$为$e^{\perp} \subset \mathbb{R}^{3}$的正交投影，令$W \subset \mathbb{R}^{3}$为任何不是子空间的$2$平面。证明了若$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有$\dim_{\mathrm{H}} K \leq \tfrac{3}{2}$的Borel集，则对于$\mathcal{H}^{1}$，几乎每个$e \in S^{2} \cap W$都有$\dim_{\mathrm{H}} π_{e}(K) = \dim_{\mathrm{H}} K$，其中$\mathcal{H}^{1}$表示$1$维Hausdorff测度，$\dim_{\mathrm{H}}$表示Hausdorff维数.这是已知的较早，由于Järvenpää，Järvenpää，Ledrappier和Leikas，为Borel集$K \subset \mathbb{R}^{3}$与$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$。我们还证明了一个部分结果集的维数超过$3/2$，改进了以前的界限D。Oberlin和R.奥伯林
2018-07-25 math.CA math.MG
The Assouad dimensions of projections of planar sets
我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。
2016-10-14 math.CA math.DS math.MG
Restricted Projections to Lines in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文利用高维 cinematic family 的 Furstenberg 集维数下界，证明曲率大于1的球面上受限投影的维数公式，并改进相关下界且重新证明 Mattila 投影定理。
2023-12-07 math.CA math.MG
Restricted Radon transforms and projections of planar sets
当方向集具有分数维时，我们建立了平面上Radon变换的混合模估计。这个估计被用来证明一个与平面集的投影有关的例外方向集的结果。这就引出了一个类似于著名的弗斯滕伯格猜想的猜想。
2008-05-12 math.CA
Slices of the Takagi function
本文证明了Takagi函数图形切片的Hausdorff维数上界为其Assouad维数减一且界限紧致，并基于更一般的自仿射集合推导出该结果，同时给出了Marstrand切片定理对所有切片成立的充要条件。
2023-11-15 math.CA
Combinatorial proofs of two theorems of Lutz and Stull
本文用组合几何方法（离散位势理论、鸽巢原理、Katz-Tao引理）证明了Lutz-Stull的Marstrand型投影定理，并推广到任意m维平面投影。
2020-09-03 cs.CC math.CA math.MG
Slicing Sets and Measures, and the Dimension of Exceptional Parameters
考虑了紧致度量空间Ω的切片问题，其中映射π_λ \colon Ω \to \R，λ \in \R是由Yuval Peres和Wilhelm Schlag在2000年引入的\emph{generalized projections}.基本问题是：假设Ω具有严格大于1的豪斯多夫维数，当参数λ和t变化时，“典型”切片π_λ^{-1}{t}的维数是多少。在映射π_λ是限制在紧集Ω \subset \R^{2}上的正交投影的特殊情况下，这个问题可以追溯到1954年Marstrand的一篇论文：他证明了几乎对每个λ都存在正多个$t \in \R$使得\dim π_λ^{-1}{t} = \dim Ω- 1。对于广义预测，50年后，Järvenpää、Järvenpää和Niemelä得到了同样的结果。在本文中，我们改进了先前存在的估计，取代短语“几乎所有λ”与一个尖锐的界限的尺寸例外参数。
2012-04-11 math.CA
Hausdorff dimension estimates for restricted families of projections in $\mathbb{R}^3$
本文研究$\mathbb{R}^{3}$中的限制投影族。设$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有豪斯多夫维数$\dim K = s > 1$的博雷尔集.如果$\mathcal{G}$是一个光滑且充分弯曲的一维二维子空间族，则主要结果表明存在$σ(s) > 1$使得对几乎所有的$V \in \mathcal{G}$都有$\dim π_{V}(K) \geq σ(s)$.对于某些特定的一维子空间族也得到了类似的结果。
2015-04-27 math.CA
Study guide for "On restricted projections to planes in $\mathbb R^3$"
本文是针对Gan等人关于三维空间中平面限制投影论文的学习指南，梳理了相关核心问题与预备知识，详解了证明用到的高低频方法、解耦技术两大创新思路，力求内容自洽。
2024-10-31 math.CA
Restricted projections and Fourier decoupling in $\mathbb{Q}_p^n$
本文证明了 $p>n$ 情形下 $\mathbb{Q}_p^n$ 中 Borel 子集的限制性投影定理，推广了实数情形的相关结果，并为覆盖数提供了显式常数，同时证明了 $p$ 进空间中矩曲线的显式 Fourier 解耦定理。
2024-06-27 math.CA
Exceptional sets for length under restricted families of projections onto lines in $\mathbb{R}^3$
University of Wisconsin（威斯康星大学）
本文证明了 $\mathbb{R}^3$ 中 Hausdorff 维数大于1的 Borel 集在特定直线族上的正交投影，除一个维数受限的例外集外均具有正长度。
2026-09-30 math.CA math.CO math.MG
Restricted type estimates on the Bergman projection of some singular domains
本文对单项式多面体上的Bergman投影建立加权限制型估计，由此重得$L^p$有界性，并发现某些情形下弱型端点失效。
2025-02-28 math.CA math.CV
A restricted projection problem for fractal sets in $\mathbb{R}^n$
本文研究分形集沿光滑非退化曲线的受限正交投影，证明对几乎所有参数，投影到对应m阶切空间后的Hausdorff维数等于m与原始维数的最小值。
2024-01-21 math.CA
An exceptional set estimate for restricted projections to lines in $\mathbb{R}^3$
设$γ:[0,1]\rightarrow \mathbb{S}^{2}$是$\mathbb{R}^3$中的非退化曲线，即$\det\big(γ(θ),γ'(θ),γ''(θ)\big)\neq 0$。对于每个$θ\in[0,1]$，令$l_θ=\{tγ(θ):t\in\mathbb{R}\}$和$ρ_θ:\mathbb{R}^3\rightarrow l_θ$为正交投影。我们证明了一个例外的集合估计。对于任何Borel集$A\subset\mathbb{R}^3$和$0\le s\le 1$，定义$E_s(A):=\{θ\in[0,1]: \text{dim}(ρ_θ(A))<s\}$。我们有$\text{dim}(E_s(A))\le 1+\frac{s-\text{dim}(A)}{2}$。
2022-10-03 math.CA
Positive measure for restricted projections along smooth non-degenerate curves
Seoul National University（首尔大学）
该数学研究针对光滑非退化曲线的受限正交投影，证明当ℝⁿ中Borel集的Hausdorff维数大于m时，几乎所有对应投影的m维Hausdorff测度均为正。
2026-09-03 math.CA
On restricted projections to planes in $\mathbb{R}^3$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Cornell University（康奈尔大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
本研究针对$\mathbb{R}^3$中的非退化曲线，探究其到平面的限制投影性质，证明Borel集投影的相关测度结论及例外集估计，拓展了几何测度论中投影问题的研究结果。
2024-03-24 math.CA math.MG
Improved bounds for restricted projection families via weighted Fourier restriction
证明了如果$A \subseteq \mathbb{R}^3$是豪斯多夫维数$\dim A \in (3/2,5/2)$的Borel集，则对a.e. $θ\in [0,2π)$ $A$在与$\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ, \sin θ, 1)$正交的二维平面上的投影$π_θ(A)$满足$\dim π_θ(A) \geq \max\left\{\frac{4\dim A}{9} + \frac{5}{6},\frac{2\dim A+1}{3} \right\}$。这改进了Oberlin和Oberlin以及Orponen和Venieri对于$\dim A \in (3/2,5/2)$的界。更一般地说，一个较弱的下界给出了家庭的平面在$\mathbb{R}^3$参数化曲线在$S^2$与非零测地曲率。
2021-03-24 math.AP math.CA
Distance sets, orthogonal projections, and passing to weak tangents
我们考虑了几何测度论中两个重要问题的Assouad维数类似。这些问题通过“向弱切线传递”这一共同主题联系在一起。首先，我们解决了一个类似的Falconer的距离集问题的Assouad维数在平面上：如果一个平面集的Assouad维数严格大于1，那么它的距离集的Assouad维数为1。我们也得到了部分结果在更高的维度。其次，我们考虑如何Assouad维正交投影下的行为。我们扩展的平面投影定理的弗雷泽和Orponen更高的维度，提供估计（Hausdorff）维的例外集的投影，并提供了一个食谱获得结果的限制家庭的投影。我们提供了几个说明性的例子。
2020-04-28 math.CA math.MG
Length of sets under restricted families of projections onto lines
本研究针对三维空间中Borel集在特定曲线方向正交投影下的长度问题，证明当集合Hausdorff维数严格大于1时，几乎所有方向的投影均有正长度，解决了Käenmäki等人提出的相关问题。
2023-03-14 math.AP math.CA
Hausdorff dimension, projections, intersections, and Besicovitch sets
本文综述了欧几里得空间一般子集的投影和交的豪斯多夫维数的最新发展，重点是例外集的豪斯多夫维数的估计和限制投影族.我们还将讨论投影与Besicovitch集的豪斯多夫维数之间的关系。
2018-01-02 math.CA
Projection Theorems in the Presence of Expansions
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文证明了从$\mathbb R^n$到$\mathbb R^k$的特定一维投影族的受限投影定理，该投影族自然产生于齐次动力学中定量等分布问题的研究。
2026-10-27 math.CA
Restricted families of projections onto planes: The general case of nonvanishing geodesic curvature
本文研究沿具有非零测地曲率的曲线族向平面投影的 Hausdorff 维数下界问题，在部分维数范围内解决并改进了 Fässler–Orponen 猜想的相关结果。
2022-10-01 math.AP math.CA
Strong exceptional parameters for the dimension of nonlinear slices
在 Peres-Schlag 框架下证明了 Marstrand 切片定理的强定量版本，给出了广义投影族下例外参数集的 Hausdorff 维数上界及其通用性结论。
2025-10-12 math.CA
Universal projection theorems with applications to multifractal analysis and the dimension of every ergodic measure on self-conformal sets simultaneously
本文提出通用投影定理，在横截性和相对维数可分条件下证明投影维数等式及近似双 Lipschitz 性质对一族测度同时成立，并应用于多分形分析、遍历测度和 Gibbs 测度的维数公式。
2025-09-23 math.CA math.DS
Restricted Projections to Hyperplanes in $\mathbb{R}^n$
SISSA（的里雅斯特国际高等研究学校）
本文研究了在满足曲率条件的超平面投影下集合的维度，证明了投影维度的上界，并在特定条件下改进了已知结果。
2026-10-28 math.CA
Projection Theorems and Isometries of Hyperbolic Spaces
本文证明了从 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R$ 的 n-2 维投影族的受限投影定理，该投影族源于 ${\rm SO}(n-1,1)$ 的极大幂零子群的伴随表示作用于 ${\rm SO}(n,1)$ 李代数的背景。
2023-05-20 math.CA math.DS
Hausdorff-Young type theorems for the Laplace transform restricted to a ray or to a curve in the complex plane
设p和q是共轭指数，p在[1，2]中。证明了拉普拉斯变换有界地作用于正实半轴上单位权的Lp空间和右复半平面上被良投影测度（文中定义了良投影测度）加权的Lq空间之间.算子范数在具有相同“投影常数”的测度类上一致有界。特殊情况是某些类可求长曲线上的弧长测度。此外，在“错误”指数p>2的情况下，得到了Lorentz空间中Hausdorff-Young不等式的一个类似结果.
2011-09-28 math.CA
On the dimension of orthogonal projections of self-similar measures
本文针对 $\mathbb{R}^d$ 上自相似测度的正交投影，提出了基于 IFS 正交部分生成群作用的判据，确保投影维数得以保持，改进了前人结果并证明了其最佳性。
2024-07-23 math.CA math.DS
Small additive groups with $A+ξA=\mathbb R$
Nanjing University（南京大学）
本文证明任意无理数乘数下，任何F_sigma加法子群可扩张为同维Q-向量空间满足A+ξA=R，并构造ZFC中零维lightface Delta^0_3子空间对所有无理数成立，回答Ye-Yu-Zhao问题，应用得到零维F_sigma群笛卡尔平方维数一。
2026-10-01 math.CA math.LO
Restricted projections in positive characteristic via Fourier extension and restriction estimates
该研究通过傅里叶扩展和限制估计，在有限特征下研究了限制投影，并揭示了算术-几何二元性对例外集大小的影响。
2025-12-11 math.CA math.CO math.NT
