Restricted Radon transforms and projections of planar sets
当方向集具有分数维时，我们建立了平面上Radon变换的混合模估计。这个估计被用来证明一个与平面集的投影有关的例外方向集的结果。这就引出了一个类似于著名的弗斯滕伯格猜想的猜想。
2008-05-12 math.CA
Visible parts and projections of the affine fractal percolation
University of Oulu（奥卢大学）；University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）
该研究针对仿射分形渗流，明确了其可见部分在不同方向的维数规律及主收缩方向的特殊公式，还得出了其正交投影的豪斯多夫维数性质与区间包含结论。
2026-10-16 math.CA math.MG math.PR
Absolutely Continuous Convolutions and Projections of Fractal Measures
University of Haifa at Oranim（奥拉尼姆海法大学）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文提出基于L¹范数尺度协变性的判据，证明三类分形测度在维数条件下卷积或直线投影的绝对连续性。
2026-09-30 math.CA math.DS
Application of a Fourier restriction theorem to certain families of projections in R^3
我们利用分形测度的傅里叶变换的一个限制定理来研究在R^3中法线方向形成非退化曲线的平面族上的投影。
2013-07-18 math.CA
Local entropy averages and projections of fractal measures
证明了在重标度操作下，对于欧几里得空间上满足遍历理论形式的“自相似”测度族，测度的线性象的维数表现为半连续.我们应用这一点证明了Furstenberg的猜想：设m，n是不是同一整数的幂的整数，X，Y是单位区间的闭子集，它们分别在times-mmod 1和times-nmod 1下不变.然后，对于任何非零t：dim（X+tY）=min{1，dim（X）+dim（Y）}。对于不变测度也有类似的结果，并给出了鲁维-约翰逊定理的一个简单证明。我们的方法也适用于许多其他类的共形分形和措施。作为另一个应用，我们扩展和统一的结果佩雷斯，Shmerkin和Nazarov，和Moreira，关于投影的产品自相似措施和吉布斯措施定期康托集。我们证明了在IFS中的地图上的自然不可约性假设下，图像测度在任何线性投影下都具有最大可能的维数，而不是坐标投影。我们还提出了应用伯努利卷积和图像的分形措施下微分映射。
2011-11-02 math.CA math.DS
Hausdorff dimension estimates for restricted families of projections in $\mathbb{R}^3$
本文研究$\mathbb{R}^{3}$中的限制投影族。设$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有豪斯多夫维数$\dim K = s > 1$的博雷尔集.如果$\mathcal{G}$是一个光滑且充分弯曲的一维二维子空间族，则主要结果表明存在$σ(s) > 1$使得对几乎所有的$V \in \mathcal{G}$都有$\dim π_{V}(K) \geq σ(s)$.对于某些特定的一维子空间族也得到了类似的结果。
2015-04-27 math.CA
Study guide for "On restricted projections to planes in $\mathbb R^3$"
本文是针对Gan等人关于三维空间中平面限制投影论文的学习指南，梳理了相关核心问题与预备知识，详解了证明用到的高低频方法、解耦技术两大创新思路，力求内容自洽。
2024-10-31 math.CA
Restricted projections and Fourier decoupling in $\mathbb{Q}_p^n$
本文证明了 $p>n$ 情形下 $\mathbb{Q}_p^n$ 中 Borel 子集的限制性投影定理，推广了实数情形的相关结果，并为覆盖数提供了显式常数，同时证明了 $p$ 进空间中矩曲线的显式 Fourier 解耦定理。
2024-06-27 math.CA
Riesz s-Equilibrium Measures on d-Dimensional Fractal Sets as s Approaches d
设$A$是$\Rp$中豪斯多夫维数$d$的紧集.对于$s\in(0,d)$，Riesz $s$ -平衡测量$μ^{s,A}$是在$A$中支持的唯一Borel概率测量，其在所有这样的概率测度上最小化$$ \Is(μ):=\iint\Rk{x}{y}{s}dμ(y)dμ(x)$$。在本文中，我们证明了如果$A$是严格自相似的$d$ -分形，那么当$s$从下面逼近$d$时，$μ^{s,A}$在弱星拓扑中收敛于限制于$A$的规范化$d$维Hausdorff测度。
2009-05-13 math.CA
Restricted families of projections in vector spaces over finite fields
研究了有限域上向量空间中的限制投影族。证明了随机子空间族中存在一个Marstrand-Mattila型投影定理。
2017-12-23 math.CA math.CO
An exceptional set estimate for restricted projections to lines in $\mathbb{R}^3$
设$γ:[0,1]\rightarrow \mathbb{S}^{2}$是$\mathbb{R}^3$中的非退化曲线，即$\det\big(γ(θ),γ'(θ),γ''(θ)\big)\neq 0$。对于每个$θ\in[0,1]$，令$l_θ=\{tγ(θ):t\in\mathbb{R}\}$和$ρ_θ:\mathbb{R}^3\rightarrow l_θ$为正交投影。我们证明了一个例外的集合估计。对于任何Borel集$A\subset\mathbb{R}^3$和$0\le s\le 1$，定义$E_s(A):=\{θ\in[0,1]: \text{dim}(ρ_θ(A))<s\}$。我们有$\text{dim}(E_s(A))\le 1+\frac{s-\text{dim}(A)}{2}$。
2022-10-03 math.CA
On restricted families of projections in R^3
本文研究了$\mathbb{R}^{3}$中非退化一维线族和平面族的投影。利用R. Kaufman，我们可以证明至多$1/2$维集合$B \subset \mathbb{R}^{3}$的Hausdorff维数通常在线上的一维投影族下保持不变。我们用一个$\varepsilon$改进了这个结果，证明了如果$\dim_{\mathrm{H}} B = s > 1/2$，那么投影的packing维数几乎必然至少是$σ(s) > 1/2$ .对于平面上的投影，我们得到了一个类似的界限，用$1$代替阈值$1/2$。在无旋转的自相似集$K \subset \mathbb{R}^{3}$的特殊情况下，得到了单参数直线投影族的完整的Marstrand型投影定理.这个结果的$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$情形来自M. Hochman，但$\dim_{\mathrm{H}} K > 1$部分是新的：在这个假设下，我们证明了投影几乎必然有正的长度。
2014-01-11 math.CA
Positive measure for restricted projections along smooth non-degenerate curves
Seoul National University（首尔大学）
该数学研究针对光滑非退化曲线的受限正交投影，证明当ℝⁿ中Borel集的Hausdorff维数大于m时，几乎所有对应投影的m维Hausdorff测度均为正。
2026-09-03 math.CA
Decoupling for fractal subsets of the parabola
我们考虑解耦的分形子集的抛物线。我们减少研究$l^{2}L^{p}$解耦的抛物线$\{(t, t^2) : 0 \leq t \leq 1\}$上的分形子集的研究$l^{2}L^{p/3}$解耦的投影，这个子集的间隔$[0, 1]$。这推广了Bourgain-Demeter在抛物线情形下的解耦定理。由于稀疏性和分形结构，这使我们能够改进后的Bourgain-Demeter的抛物线解耦定理。在$p/3$是一个偶数的情况下，我们推导出理论和计算工具，明确计算相关的去耦常数为这个投影到$[0, 1]$。我们的想法的灵感来自最近的工作椭圆集Biggs使用嵌套有效同余。
2021-12-08 math.CA math.NT
Restricted type estimates on the Bergman projection of some singular domains
本文对单项式多面体上的Bergman投影建立加权限制型估计，由此重得$L^p$有界性，并发现某些情形下弱型端点失效。
2025-02-28 math.CA math.CV
Restricted Marstrand's projection theorem for general families of linear subspaces
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文研究 Marstrand 投影定理的精细化，提出关于线性子空间族的猜想条件，并通过多项式 Wolff 公理、多项式划分和离散化方法取得部分进展。
2025-10-23 math.CA
Spherical maximal operators with fractal sets of dilations on radial functions
Universitat de València（瓦伦西亚大学）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）；University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
研究了在径向函数上，具有分数集缩放的球形最大算子在勒贝格空间中的映射性质，确定了高维情况下类型集仅依赖于E的上闵可夫斯基维度，并在二维情况下通过与E的上阿索夫谱相关的维度谱确定了L^p→L^q类型集的闭包。
2026-02-26 math.CA
Hausdorff dimension, projections, intersections, and Besicovitch sets
本文综述了欧几里得空间一般子集的投影和交的豪斯多夫维数的最新发展，重点是例外集的豪斯多夫维数的估计和限制投影族.我们还将讨论投影与Besicovitch集的豪斯多夫维数之间的关系。
2018-01-02 math.CA
A Marstrand-type restricted projection theorem in $\mathbb{R}^{3}$
由$1954$导出的Marstrand投影定理表明，如果$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个解析集，那么对于几乎所有的$\mathcal{H}^{2}$，$K$到$e$所张成的直线的正交投影$π_{e}(K)$具有Hausdorff维数$\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$。这篇论文包含了马斯特兰德定理的更清晰的版本。设$V \subset \mathbb{R}^{3}$是任何$2$平面，它不是子空间.然后，对于几乎每个$e \in S^{2} \cap V$的$\mathcal{H}^{1}$，投影$π_{e}(K)$具有Hausdorff维数$\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$。对于$0 \leq t < \dim_{\mathrm{H}} K$，我们还证明了具有$\dim_{\mathrm{H}} ρ_{e}(K) \leq t < \dim_{\mathrm{H}} K$的这些向量$e \in S^{2} \cap V$的Hausdorff维数的上界。
2021-07-02 math.CA math.MG
Projection Theorems in the Presence of Expansions
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文证明了从$\mathbb R^n$到$\mathbb R^k$的特定一维投影族的受限投影定理，该投影族自然产生于齐次动力学中定量等分布问题的研究。
2026-10-27 math.CA
Improved bounds for restricted projection families via weighted Fourier restriction
证明了如果$A \subseteq \mathbb{R}^3$是豪斯多夫维数$\dim A \in (3/2,5/2)$的Borel集，则对a.e. $θ\in [0,2π)$ $A$在与$\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos θ, \sin θ, 1)$正交的二维平面上的投影$π_θ(A)$满足$\dim π_θ(A) \geq \max\left\{\frac{4\dim A}{9} + \frac{5}{6},\frac{2\dim A+1}{3} \right\}$。这改进了Oberlin和Oberlin以及Orponen和Venieri对于$\dim A \in (3/2,5/2)$的界。更一般地说，一个较弱的下界给出了家庭的平面在$\mathbb{R}^3$参数化曲线在$S^2$与非零测地曲率。
2021-03-24 math.AP math.CA
A Furstenberg-type problem for circles, and a Kaufman-type restricted projection theorem in $\mathbb{R}^3$
本文利用离散几何中的透镜切割技术，证明分形集上 Wolff 圆极大函数变体的精确 $L^p$ 界，从而解决 $\mathbb{R}^3$ 中空间曲线参数化的例外投影维数猜想。
2024-10-25 math.CA math.MG
Length of sets under restricted families of projections onto lines
本研究针对三维空间中Borel集在特定曲线方向正交投影下的长度问题，证明当集合Hausdorff维数严格大于1时，几乎所有方向的投影均有正长度，解决了Käenmäki等人提出的相关问题。
2023-03-14 math.AP math.CA
On the Assouad dimension of projections
令$F \subset \mathbb{R}^{2}$，并令$\dim_{\mathrm{A}}$代表Assouad维数。我证明了$\dim_{\mathrm{A}} π_{e}(F) \geq \min\{\dim_{\mathrm{A}} F,1\}$对于所有$e \in S^{1}$以外的一组豪斯多夫维数为零。这是马斯特兰德投影定理的一个强变体，它的类似物对于其他常见的分形维数概念（如豪斯多夫维数或填充维数）是不正确的。
2019-11-20 math.CA math.MG
Vertical projections in the Heisenberg group for sets of dimension greater than 3
针对Heisenberg群中高维集合的垂直投影问题，本文结合点-板关联方法、极大不等式技术与端点三线性Kakeya不等式，证明维数大于3的集合的投影几乎必然具有正面积。
2023-05-24 math.CA
Improved bounds for restricted families of projections to planes in $\mathbb{R}^{3}$
对于$e \in S^{2}$，即$\mathbb{R}^3$中的单位球面，令$π_{e}$为$e^{\perp} \subset \mathbb{R}^{3}$的正交投影，令$W \subset \mathbb{R}^{3}$为任何不是子空间的$2$平面。证明了若$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有$\dim_{\mathrm{H}} K \leq \tfrac{3}{2}$的Borel集，则对于$\mathcal{H}^{1}$，几乎每个$e \in S^{2} \cap W$都有$\dim_{\mathrm{H}} π_{e}(K) = \dim_{\mathrm{H}} K$，其中$\mathcal{H}^{1}$表示$1$维Hausdorff测度，$\dim_{\mathrm{H}}$表示Hausdorff维数.这是已知的较早，由于Järvenpää，Järvenpää，Ledrappier和Leikas，为Borel集$K \subset \mathbb{R}^{3}$与$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$。我们还证明了一个部分结果集的维数超过$3/2$，改进了以前的界限D。Oberlin和R.奥伯林
2018-07-25 math.CA math.MG
$L^p$-improving bounds for spherical maximal operators over restricted dilation sets: radial improvement
本文研究受限伸缩集上径向函数的球面极大算子$M_E$的$L^p$改进界，高维仅依赖上Minkowski维数，二维涉及分形几何其他概念，且两种情形的界对应区域几何形状差异显著。
2024-12-13 math.CA
Restricted Projections to Lines in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文利用高维 cinematic family 的 Furstenberg 集维数下界，证明曲率大于1的球面上受限投影的维数公式，并改进相关下界且重新证明 Mattila 投影定理。
2023-12-07 math.CA math.MG
Exceptional sets for length under restricted families of projections onto lines in $\mathbb{R}^3$
University of Wisconsin（威斯康星大学）
本文证明了 $\mathbb{R}^3$ 中 Hausdorff 维数大于1的 Borel 集在特定直线族上的正交投影，除一个维数受限的例外集外均具有正长度。
2026-09-30 math.CA math.CO math.MG
Exceptional projections of self-affine sets: an introduction
本文介绍自仿射分形线性投影维数的近期结果，重点给出投影图像维数的一个上界，并通过显式例子展示格拉斯曼流形中可包含于Marstrand定理例外集的光滑子流形。
2025-03-10 math.CA math.DS math.MG
Restricted families of projections onto planes: The general case of nonvanishing geodesic curvature
本文研究沿具有非零测地曲率的曲线族向平面投影的 Hausdorff 维数下界问题，在部分维数范围内解决并改进了 Fässler–Orponen 猜想的相关结果。
2022-10-01 math.AP math.CA
The dimension of projections induced by a curve
集合的豪斯多夫维数在投影到子空间上时的行为是分形几何中的一个基本问题。在本文中，我们解决了Fassler和Orponen的一个问题，涉及到一个集的维数时，投影到一个家庭的线诱导曲线。
2019-12-30 cs.IT math.CA math.IT
Assouad dimension and fractal geometry
这是一本将于2020年由剑桥大学出版社出版的书（数学丛书）。它集中于欧几里得空间中集合和测度的Assouad维数，以及Assouad维数的许多变体，包括低维和Assouad谱。它认为这些概念的设置分形几何和主题包括：弱切线，自相似集，自仿射集，Mandelbrot渗流，极限集的Kleinian群，正交投影，距离集，和Kakeya集。它还考虑了这些思想在其他领域的应用，包括：嵌入理论，数论，概率论和泛函分析。它以一系列悬而未决的问题结束。
2020-05-07 math.CA math.DS math.FA
Projection Theorems and Isometries of Hyperbolic Spaces
本文证明了从 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R$ 的 n-2 维投影族的受限投影定理，该投影族源于 ${\rm SO}(n-1,1)$ 的极大幂零子群的伴随表示作用于 ${\rm SO}(n,1)$ 李代数的背景。
2023-05-20 math.CA math.DS
On restricted projections to planes in $\mathbb{R}^3$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Cornell University（康奈尔大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
本研究针对$\mathbb{R}^3$中的非退化曲线，探究其到平面的限制投影性质，证明Borel集投影的相关测度结论及例外集估计，拓展了几何测度论中投影问题的研究结果。
2024-03-24 math.CA math.MG
