小加法群满足 $A+ξA=\mathbb R$
Small additive groups with $A+ξA=\mathbb R$
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中文总结 AI 辅助
本文证明任意无理数乘数下，任何F_sigma加法子群可扩张为同维Q-向量空间满足A+ξA=R，并构造ZFC中零维lightface Delta^0_3子空间对所有无理数成立，回答Ye-Yu-Zhao问题，应用得到零维F_sigma群笛卡尔平方维数一。
中文摘要 AI 辅助
我们证明，对于每个无理数 $\xi$，$\R$ 的任何 $F_\sigma$ 加法子群都有一个相同 Hausdorff 维数的 $F_\sigma$ $\Q$-向量空间扩张，满足 $A+\xi A=\R$。迭代可对任意给定的可数无理乘数族给出同时满射性。这样的空间存在于每个给定的维数 $d\in[0,1)$ 中。我们还在 ZFC 中构造了一个零维的 lightface $\Delta^0_3$ $\Q$-向量子空间 $A$，使得 $A+\xi A=\R$ 对每个无理数 $\xi$ 都成立，从而回答了 Ye、Yu 和 Zhao 的问题 2 的两个部分。这个泛型群是两个 $F_\sigma$ 集之差，但既不是 $F_\sigma$ 也不是 $G_\delta$。两种构造都使用对有限二元串的直接归纳，并承认有效版本。作为应用，我们得到零维 $F_\sigma$ 群，其笛卡尔平方具有 Hausdorff 维数一，并将其膨胀和与 Marstrand 投影定理联系起来。
英文摘要
We prove that, for every irrational $ξ$, any $F_σ$ additive subgroup of $\R$ has an $F_σ$ $\Q$-vector space extension of the same Hausdorff dimension satisfying $A+ξA=\R$. Iteration gives simultaneous surjectivity for any prescribed countable family of irrational multipliers. Such a space exists in every prescribed dimension $d\in[0,1)$. We also construct in ZFC a zero-dimensional lightface $Δ^0_3$ $\Q$-vector subspace $A$ for which $A+ξA=\R$ holds for every irrational $ξ$, answering both parts of Question~2 of Ye, Yu, and Zhao. This universal group is a difference of two $F_σ$ sets, but is neither $F_σ$ nor $G_δ$. Both constructions use direct inductions on finite binary strings and admit effective versions. As applications, we obtain zero-dimensional $F_σ$ groups whose Cartesian squares have Hausdorff dimension one, and relate their dilate sums to Marstrand's projection theorem.
发表机构
- Nanjing University（南京大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
