Ahlfors-Regular Curves In Metric Spaces
本文讨论了一般度量空间中的1-Ahlfors-正则连通集，证明了这类集在大多数尺度上和大多数位置上都是平坦的.我们的结果是定量的，当与I. Hahlomaa给出了度量空间中1-Ahlfors正则曲线的1-Ahlfors正则子集的一个刻划.我们的结果是P. Jones，K. Okikiolu和G. David和S. Semmes，它可以用平均门格尔曲率来表示。
2006-12-11 math.CA math.MG
Tangents and rectifiability of Ahlfors regular Lipschitz differentiability spaces
本文研究了由Cheeger引入的一类度量测度空间--Lipschitz可微空间。我们证明了，如果Ahlfors正则Lipschitz可微空间有最大维数的图，那么，在几乎每一点上，它的所有切线都是一致可求长的。特别是，几乎在每一点上，这样的空间都有一个与有限维巴拿赫空间等距的切线。与此相反，我们还表明，如果Ahlfors正则Lipschitz可微空间有非最大维数的图表，那么这些图表是在Ambrosio-Kirchheim意义下的强不可求积。
2014-05-10 math.CA math.MG
Sum-product phenomena for Ahlfors-regular sets
The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
该研究利用Orponen的成果，得到Ahlfors正则集的和积结果，进而获得Solymosi 4/3界的分形类似结论。
2026-08-20 math.CA math.CO math.MG
On arithmetic sums of Ahlfors-regular sets
设$A,B \subset \mathbb{R}$是闭Ahlfors-正则集，其维数为$\dim_{\mathrm{H}} A =: α$和$\dim_{\mathrm{H}} B =: β$ .证明了$$\dim_{\mathrm{H}} [A + θB] \geq α+ β\cdot \tfrac{1 - α}{2 - α}$$对所有的$θ\in \mathbb{R} \, \setminus \, E$，其中$\dim_{\mathrm{H}} E = 0$ .
2021-11-28 math.CA math.CO math.MG
Dimension drop for harmonic measure on Ahlfors regular boundaries
证明了给定具有一致非平坦Ahlfors $s$ -正则边界和$s\geq d$的区域$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$，其调和测度的维数严格小于$s$ .
2019-06-25 math.AP math.CA math.MG
Quantitative Carleson's conjecture for Ahlfors regular domains
University of Washington（华盛顿大学）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究学院）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；IKERBASQUE, Basque Foundation for Science（伊克尔巴斯克，巴斯克科学基金会）；Euskal Herriko Unibertsitatea/Universidad del País Vasco（巴斯克地区大学）
该研究证明了高维Carleson的ε²猜想的定量版本，刻画了ℝⁿ⁺¹中满足Carleson系数强几何引理的Ahlfors-David正则域。
2026-08-21 math.AP math.CA
Ahlfors-regular distances on the Heisenberg group without biLipschitz pieces
我们证明了海森堡群在向下看时不是极小的。这就回答了David和Semmes在“破碎的分形和破碎的梦想”中的问题11.15，或者等价地回答了Heinonen和Semmes在“关于映射、测度和度量的33个是或否问题”中的问题22，因此也回答了问题24。海森堡群的非极小性是通过给出一个Ahlfors $4$ -正则度量空间$X$的例子来证明的，该空间具有自身的大片，使得从$X$的子集到海森堡群的Lipschitz映射都不具有正测度的像，并且通过提供一个从海森堡群到空间$X$的Lipschitz映射，该空间具有整个$X$的像。作为证明上述结果的一部分，我们在海森堡群上定义了一个新的距离，该距离以卡诺-卡拉西奥多里距离为界，保持了阿尔福斯正则性，并且使得卡诺-卡拉西奥多里距离和新距离在任何正测度集上都是biLipschitz等价的。这种构造在任何Ahlfors-正则度量空间中更普遍地起作用，在那里人们可以做适当的捷径。这样的空间包括例如所有雪花状Ahlfors正则度量空间。用同样的技巧，我们还提供了一个例子，证明海森堡群biLipschitz上的左不变距离到卡诺-卡拉迪奥里距离，对于这个距离，没有爆破允许非平凡的膨胀。
2015-08-25 math.CA math.MG
Packing dimension and Ahlfors regularity of porous sets in metric spaces
设$X$是一个度量测度空间，它具有$s$ -正则测度$μ$ .我们证明了如果$A\subset X$是$\varrho$ -多孔的，则有$\dim_{\mathrm{p}}(A)\le s-c\varrho^s$，其中$\dim_{\mathrm{p}}$是堆积维数，$c$是一个正的常数，它依赖于$s$和$μ$的结构常数.这是一个模拟的一个众所周知的渐近尖锐的结果在欧几里德空间。通过一个例子说明，当$μ$是一个加倍测度时，相应的结果是不成立的。然而，在加倍的情况下，我们发现一个固定的$N\subset X$与$μ(N)=0$，使得$\dim_{\mathrm{p}}(A)\le\dim_{\mathrm{p}}(X)-c(\log\tfrac 1\varrho)^{-1}\varrho^t$对于所有的$\varrho$ -多孔集$A\subset X\setminus N$。这里，$c$和$t$是取决于$μ$的结构常数的常数。最后，我们用正则集刻画了完备$s$ -正则度量空间中的一致多孔集，证明了$A$是一致多孔的当且仅当存在$t<s$和$t$ -正则集$F$使得$A\subset F$ .
2017-01-30 math.CA
Uniform Rectifiability and harmonic measure IV: Ahlfors regularity plus Poisson kernels in $L^p$ implies uniform rectifiability
设$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$是维数为$n$的Ahlfors-David正则集.我们证明了开集$Ω:= \mathbb{R}^{n+1}\setminus E$的调和测度的弱- $A_\infty$性质蕴涵了$E$的一致可求正性.
2015-05-24 math.AP math.CA
On distance sets, box-counting and Ahlfors-regular sets
我们得到了平面离散Ahlfors-正则指数集$s>1$的钉扎距离集（稠密子集）的计盒估计。作为推论，我们改进了Orponen最近的一个结果，证明了如果$A$是维数为$s>1$的Ahlfors正则集，则几乎所有$A$的钉扎距离集都具有较低的计盒维数$1$ .我们还表明，如果$A,B\subset\mathbb{R}^2$有豪斯多夫维数$>1$和$A$是Ahlfors-正则的，那么$A$和$B$之间的距离集已经修改了较低的计盒维数$1$，这使得$B=A$在不同的方向上改进了Orponen的结果，通过降低包装维数到修改的较低的计盒维数。证明涉及遍历理论的思想，依赖于CP过程和投影的理论。
2017-05-21 math.CA math.CO math.DS
On the dimension drop for harmonic measure on uniformly non-flat Ahlfors-David regular boundaries
本文研究了具有均匀非平坦Ahlfors-David正则边界域上调和测度的维数下降问题，通过几何和势论方法给出了δ₀参数的定量界限。
2026-11-03 math.AP math.CA
Sumsets of Ahlfors--David regular sets
University of Bristol（布里斯托大学）
本文证明有限 Ahlfors--David 正则集的和集大小具有下界，指数依赖正则参数，通过多尺度熵分解与加性组合逆结果实现，且依赖阶最优。
2026-09-18 math.CA math.CO math.MG
Dimension Drop for Harmonic Measure on Ahlfors Regular Boundaries
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
论文研究了谐测度维度下降的定量估计，证明了在满足均匀L²非平坦条件的Ahlfors正则集上，谐测度维度严格小于s。
2026-07-07 math.AP math.CA
Extremal graph theory and point configurations in Ahlfors-David regular sets
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文研究了如何将二分图嵌入高维Ahlfors-David正则集，证明了满足幂改进极值数界的图必存在于足够高维的AD正则集的距离图中，改进了高维情况下的阈值，并在d=2,3时获得新结果。
2026-04-01 math.CA math.CO
Rectifiability and elliptic measures on 1-sided NTA domains with Ahlfors-David regular boundaries
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq 2$是单侧NTA整环（也称为一致整环），即满足内部Corkscrew和Harnack链条件的整环，并假定$\partialΩ$是$n$维Ahlfors-David正则的.利用曲面测度关于调和测度的绝对连续性刻画了$\partialΩ$的可求正性.我们还表明，这些是等价的事实，$\partialΩ$可以覆盖$\mathcal{H}^n$ -a.e.通过$Ω$的有界弦弧子域的边界的部分的可数联合以及$\partialΩ$以定性的方式具有外部螺旋点的事实$\mathcal{H}^n$ -a.e.我们的方法适用于调和测度，也适用于与具有局部Lipschitz系数的实对称二阶散度型椭圆算子相关的椭圆测度，其导数满足自然定性Carleson条件。
2017-04-12 math.AP math.CA
Ricci curvature bounded below and uniform rectifiability
本文证明Ahlfors正则RCD空间及其边界的一致可求长性，并由此得到Lipschitz函数的定量微分结果。
2023-11-16 math.CA math.MG
Projections of planar sets in well-separated directions
首先，设$K \subset B(0,1) \subset \mathbb{R}^{2}$是一个具有$\mathcal{H}_{\infty}^{1}(K) \sim 1$的集合，并将$K$的正交投影写为$π_{e}(K)$到$e \in S^{1}$所跨越的直线上。对于$1/2 \leq s < 1$，写为$$E_{s} := \{e : N(π_{e}(K),δ) \leq δ^{-s}\}, $$，其中$N(A,r)$是集合$A$的$r$覆盖数。这是众所周知的，主要是由于R。考夫曼那个$N(E_{s},δ) \lessapprox δ^{-s}$使用多项式的方法，我证明了$$ N(E_{s},r) \lessapprox \min\left\{δ^{-s}\left(\fracδ{r}\right)^{1/2},r^{-1}\right\}, \quad δ\leq r \leq 1.$$我构造的例子表明，在界的指数是尖锐的$δ\leq r \leq δ^{s}$。第二个定理涉及$1$-Ahlfors-David正则集的投影。给出$A \geq 1$和$1/2 \leq s < 1$。我证明，$p = p(A,s) \in \mathbb{N}$足够大，有限的单位向量集$S_{p} := \{e^{2πi k/p} : 0 \leq k < p\}$具有以下性质。如果$K \…
2016-04-10 math.CA
Hausdorff dimension of limsup sets of random rectangles in products of regular spaces
利用随机分布矩形的奇异值函数计算了Ahlfors正则度量空间乘积中随机分布矩形的Limsup集的几乎几乎必然豪斯多夫维数.
2017-11-30 math.CA
Quantitative Comparisons of Multiscale Geometric Properties
我们将一致可求长（UR）集的一些特征推广到Hausdorff内容是低正则的（特别是，不需要是Ahlfors正则的）。例如，David和Semmes证明，给定Ahlfors $d$-正则集$E$，如果我们考虑曲面立方体的集合$\mathscr{B}$，（在基督和大卫的意义上），在这附近$E$不看起来近似像一个联盟的飞机，那么$E$是UR当且仅当$\mathscr{B}$满足一个Carleson包装条件，也就是说，对于任何表面立方体$R$，\[ \sum_{Q\subseteq R\atop Q\in \mathscr{B}} ({\rm diam} Q)^{d} \lesssim ({\rm diam} R)^{d}.\]我们表明，对于不一定是Ahlfors正则的低容量正则集，如果$β_{E}(R)$表示$R$的子立方体上的$β$-数的平方和，如高维集的旅行商定理[AS 18]中所述，则\[ \mathscr{H}^{d}(R)+\sum_{Q\subseteq R\atop Q\in \mathscr{B}} ({\rm diam} Q)^{d}\sim β_{E}(R). \]我们证明了其他一致可求直性准则，如局部对称性，局部凸性和广义弱外凸性条件的类似结果。在此过程中，我们展示了如何通过Ahlfors正则集构建任何较低内容的正则集的电晕分解，类似于David和Semmes开发的…
2020-06-18 math.AP math.CA math.MG
Additive energy of regular measures in one and higher dimensions, and the fractal uncertainty principle
我们得到了一维和高维（Ahlfors-David型）正则测度的加性能量的新界，这意味着相关正则集的和与积的展开结果，以及这些集合的更一般的非线性函数.作为高维结果的推论，我们得到了奇数维分形测不准原理的一些新的情况。
2021-06-22 math.CA
On the distance sets of AD-regular sets
证明了如果$\emptyset \neq K \subset \mathbb{R}^{2}$是一个紧的$s$ -Ahlfors-David正则集，且$s \geq 1$，则有$$\dim_{\mathrm{p}} D(K) = 1,$$，其中$D(K) := \{|x - y| : x,y \in K\}$是$K$的距离集，$\dim_{\mathrm{p}}$表示填充维数.同样的证明策略也适用于类似性质的其他问题。例如，可以证明如果$\emptyset \neq K \subset \mathbb{R}^{2}$是具有$s \geq 1$的紧$s$-Ahlfors-David正则集，则存在点$x_{0} \in K$使得$\dim_{\mathrm{p}} K \cdot (K - x_{0}) = 1$。专门研究乘积集，得到以下和-积推论：如果$A \subset \mathbb{R}$是一个非空紧$s$ -Ahlfors-David正则集，且具有$s \geq 1/2$，则对于某些$a_{1},a_{2} \in A$，有$$\dim_{\mathrm{p}} [A(A - a_{1}) + A(A - a_{1})] = 1$$。特别是$\dim_{\mathrm{p}} [AA + AA - AA - AA] = 1$。在上述所有结果中，如果用上盒维数代替packing维…
2015-10-08 math.CA math.MG
Bergman-type Singular Integral Operators on Metric Spaces
本文研究Ahlfors正则度量空间上的Bergman型奇异积分算子.本文的主要结果证明了：如果Ahlfors正则度量空间上的奇异积分算子满足一个附加估计，则已知该算子的T（1 π）条件意味着该算子在$L^2$上是有界的.主要结果的证明方法是Nazarov、Treil和第一作者关于非齐次调和分析的工作的推广和另一应用。
2009-12-30 math.CA math.CV
Traces of Besov, Triebel-Lizorkin and Sobolev spaces on metric spaces
建立了定义在一般Ahlfors正则度量空间$Z$上的函数空间的迹定理.这些结果涵盖了具有光滑性指标$s<1,$的Triebel-Lizorkin空间和Besov空间以及一阶索伯列夫空间$M^{1,p}(Z)$ .由于这些函数空间到任何闭Ahlfors正则子集$F \subset Z$上的迹都是内在定义在$F$上的Besov空间，因此推广了欧氏空间的经典结果.我们的方法采用的定义的函数空间通过双曲填充的基础度量空间。
2016-06-28 math.CA math.FA
Varopoulos extensions in domains with Ahlfors-regular boundaries and applications to Boundary Value Problems for elliptic systems with $L^\infty$ coefficients
本文针对具有Ahlfors正则边界的区域，提出统一方法构造BMO和L^p边界函数的Varopoulos型延拓，建立梯度与非切向极大函数的范数控制，并应用于Poisson问题与边值问题的联系。
2024-11-20 math.AP math.CA
Local regularity properties of almost- and quasiminimal sets with a sliding boundary condition
研究了满足滑动边界条件的几乎极小集和拟极小集的边界正则性。集合$E$的竞争者被定义为$F = φ_1(E)$，其中$\{ φ_t \}$是在$E$上定义的连续映射的单参数族，并且保持给定的边界片集合。我们推广了已知的内部正则性结果，特别是我们表明，拟极小集是局部Ahlfors正则的，可求积的，有时是一致可求积的，我们的类在极限下是稳定的，并且对于几乎极小集，以边界为中心的球中的Hausdorff测度的密度几乎是非减的。
2014-01-06 math.CA
On singular integrals with non-negative kernels in the Heisenberg group
University of Connecticut（康涅狄格大学）
本文研究了Heisenberg群中非负核的奇异积分，证明了在特定条件下1-阿赫尔福斯正则集的性质，并给出了对Fässler和Orponen问题的否定回答，同时展示了纯1-不可测集的奇异积分在L^2空间中的有界性。
2026-05-17 math.CA math.MG
Singular sets for harmonic measure on locally flat domains with locally finite surface measure
David和Jerison的一个定理证明了具有Ahlfors正则边界的NTA域中的调和测度关于曲面测度是绝对连续的.我们证明，这是失败的高维，如果我们放松Ahlfors正则性假设表明，对于每个$d>1$，存在一个Reifenberg平坦域$Ω\subset \mathbb{R}^{d+1}$与$\mathcal{H}^{d}(\partialΩ)<\infty$和一个子集$E\subset \partial Ω$与正调和测度尚未零$\mathcal{H}^{d}$ -措施。特别地，这意味着F.和M. Riesz定理在这种类型的域的高维中失败。
2016-06-02 math.AP math.CA
Spread-out Furstenberg sets II: general configurations and fractal restricted projections
该论文针对阴影未局部集中于 pencil 的特定构型证明最优对偶 Furstenberg 估计，推导平面及高维限制投影定理，并将其应用于 Grassmann 流形曲面投影、固定距离等多个分形相关问题。
2026-10-12 math.CA math.CO
Semmes surfaces and intrinsic Lipschitz graphs in the Heisenberg group
海森堡群中的塞姆斯曲面是闭集$S$，它是上Ahlfors正则的，余维为1，并满足以下条件，称为条件B。每个具有$x \in S$和$0 < r < \operatorname{diam} S$的球$B(x,r)$包含两个半径与$r$相当的球，这两个球包含在$S$的补的不同连通分量中。类似集在欧几里得空间中介绍了塞姆斯在后期$80$的。我们证明了海森堡群中的Semmes曲面是余维为1的下Ahlfors正则曲面，并且有大片的内禀Lipschitz图。特别是，我们的结果适用于弦弧域和约化等周集的边界。
2020-03-09 math.CA math.MG
On the uniform rectifiability of AD regular measures with bounded Riesz transform operator: the case of codimension 1
证明了如果$μ$是$\R^{d+1}$中的d维Ahlfors-David正则测度，则$d$ -维里斯变换在$L^2(μ)$中的有界性意味着非BAUP的David-Semmes胞腔构成Carleson族.结合David和Semmes的早期结果，这产生了$μ$的一致可求直性。
2012-12-21 math.AP math.CA
Boundedness properties of the bilinear fractional integral operators induced by hypermetrics of third order
本文研究了由第三阶超度量诱导的双线性分数积分算子在η-阿赫尔福斯正则空间中的有界性，通过线性Hardy-Littlewood-Sobolev不等式证明了算子的有界性。
2026-04-21 math.CA
Uniform rectifiability from Carleson measure estimates and $\varepsilon$-approximability of bounded harmonic functions
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$，$n\geq1$是具有Ahlfors-David正则边界的螺旋域.本文证明了$\partialΩ$是一致$n$ -可求长的，如果$Ω$上的每一个有界调和函数都是$\varepsilon$ -可逼近的，或者如果$Ω$上的每一个有界调和函数都满足一个适当的平方函数Carleson测度估计.特别地，这适用于当$Ω=\mathbb R^{n+1}\setminus E$和$E$是Ahlfors-David正则的情况。我们的结果解决了霍夫曼，马特尔和梅博罗达在最近的工作中提出的一个猜想，他们证明了相反的陈述。在这里，我们还获得了两个额外的标准一致可求直。一个是在所谓的“$S<N$“的估计，另一个在一个合适的电晕分解涉及谐波措施。
2016-12-05 math.AP math.CA
New bounds on Cantor maximal operators
该研究证明了分形渗流的阿尔福斯正则变体相关极大算子的$L^p$新界，改进了已有结果且部分情形除端点外紧，推论出存在任意维数>1/2的阿尔福斯正则Salem康托尔集使对应极大算子在$L^2(\mathbb{R})$上有界。
2021-12-17 math.CA math.PR
Sharp Favard length of random Cantor sets
Washington University in St. Louis（华盛顿大学圣路易斯分校）；the University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；University of Oulu（奥卢大学）
研究平面一维随机分形邻域的Favard长度，证明其与log^{-1}(1/r)同阶，并揭示不同随机分形中衰减率的多样性。
2026-06-15 math.CA math.MG math.PR
Poincaré Inequalities and Uniform Rectifiability
证明了$\mathbb{R}^{n}$的任意$d$-Ahlfors正则子集支持弱$(1,d)$ -Poincaré不等式关于曲面测度是一致可求正的.
2020-09-09 math.CA math.DG math.MG
High-Dimensional Menger-Type Curvatures - Part I: Geometric Multipoles and Multiscale Inequalities
在实可分希尔伯特空间H中，通过对相应的（d+1）-单形的平方体积进行适当的缩放，定义了d+2点的离散Menger型曲率.然后我们通过对离散曲率按照积测度积分，形成H上Ahlfors d-正则测度的连续曲率.这项工作的目的，继续在随后的文件，是估计多尺度最小二乘逼近的门格尔型曲率等措施。更正式地说，我们表明，连续的d维门格尔型曲率是可比的“琼斯型平坦”。后一个量增加了在不同尺度和位置的d平面的测量近似的缩放误差，并且通常用于表征均匀可求正性。因此，我们得到了一致的可求直性的一个特征，通过使用门格尔型曲率。本文（第一部分）利用Ahlfors d-正则测度的Jones型平坦性来控制其连续的Menger型曲率.
2009-11-11 math.CA math.FA
Sobolev spaces on snowtrees
The University of Tennessee（田纳西大学）
针对Ahlfors正则雪树引入离散能量Sobolev空间，证明其与Korevaar-Schoen空间定量等价，并确定临界指数与容量估计。
2026-07-10 math.AP math.CA math.MG
Cantor sets with absolutely continuous harmonic measure
我们构造了平面上的小维Ahlfors正则Cantor集$K$，使得$K$上的Hausdorff测度等价于与它的补集相关的调和测度.特别地，当$\mathrm{dist} (x, K) \le 1$和$p$远离$K$时，$R^2 \backslash K$中的格林函数满足$G^p (x) \simeq \mathrm{dist} (x, K)^δ$。
2023-03-03 math.AP math.CA
Approximation of functions on a compact set by solutions of elliptic equations. Quantitative results
该研究确立了$\u211d^m$中$(m-2)$-Ahlfors正则紧集上的广义Hölder连续函数可通过椭圆方程解逼近，且逼近速率由函数连续模决定，给出了相关定量结果。
2023-07-20 math.AP math.CA
