Ahlfors--David 正则集的和集
Sumsets of Ahlfors--David regular sets
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中文总结 AI 辅助
本文证明有限 Ahlfors--David 正则集的和集大小具有下界，指数依赖正则参数，通过多尺度熵分解与加性组合逆结果实现，且依赖阶最优。
中文摘要 AI 辅助
我们证明存在绝对常数 $c>0$，使得对于每个有限 $(\alpha,M)$-Ahlfors--David 正则集 $A\subseteq[N]$，其中 $0\leq\alpha<1$ 且 $M\geq2$，有如下和集估计：\\[|A+A|\geq |A|^{1+c(1-\alpha)/\log M}.\\] 我们还证明了 $[0,1]$ 中 Ahlfors--David 正则集的相应结论。证明结合了多尺度熵分解与加性组合学中的逆结果，表明 Ahlfors--David 正则性在每个尺度上迫使产生确定的熵增益。指数中 $1/\log M$ 的依赖是最优阶。
英文摘要
We prove that there is an absolute constant $c>0$ such that for every finite $(α,M)$-Ahlfors--David regular set $A\subseteq[N]$ with $0\leqα<1$ and $M\geq2$, we have the sumset estimate \[|A+A|\geq |A|^{1+c(1-α)/\log M}.\] We also prove a corresponding statement for Ahlfors--David regular sets in $[0,1]$. The proof combines a multiscale entropy decomposition with inverse results from additive combinatorics, showing that Ahlfors--David regularity forces a definite entropy gain at each scale. The dependence $1/\log M$ in the exponent is of optimal order.
发表机构
- University of Bristol（布里斯托大学）
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