Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$-solvability of the Dirichlet problem
众所周知，调和测度关于曲面测度在具有Ahlfors-David正则边界的开集$ Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$的边界上的定量的、标度不变的绝对连续性（更准确地说，弱- $A_\infty$性质）等价于$Ω$中的狄利克雷问题的可解性，对于某些$p<\infty$，数据在$L^p(\partialΩ)$中。本文给出了调和测度的弱- $A_\infty$性质的一个几何刻划，从而给出了有限$p$的$L^p$狄利克雷问题的可解性.这种表征是在自然的背景假设（内部螺旋条件，以及边界的Ahlfors-David正则性）下获得的，并且在某种意义上是最优的：我们提供了反例，其中任何一个都不存在（或者甚至是两个中的一个，上或下，Ahlfors-David边界）;此外，这些例子表明，上下Ahlfors-David边界都是定量的。
2020-06-15 math.AP math.CA
Ahlfors-Regular Curves In Metric Spaces
本文讨论了一般度量空间中的1-Ahlfors-正则连通集，证明了这类集在大多数尺度上和大多数位置上都是平坦的.我们的结果是定量的，当与I. Hahlomaa给出了度量空间中1-Ahlfors正则曲线的1-Ahlfors正则子集的一个刻划.我们的结果是P. Jones，K. Okikiolu和G. David和S. Semmes，它可以用平均门格尔曲率来表示。
2006-12-11 math.CA math.MG
Quantitative Carleson's conjecture for Ahlfors regular domains
University of Washington（华盛顿大学）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究学院）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；IKERBASQUE, Basque Foundation for Science（伊克尔巴斯克，巴斯克科学基金会）；Euskal Herriko Unibertsitatea/Universidad del País Vasco（巴斯克地区大学）
该研究证明了高维Carleson的ε²猜想的定量版本，刻画了ℝⁿ⁺¹中满足Carleson系数强几何引理的Ahlfors-David正则域。
2026-08-21 math.AP math.CA
Variation for the Riesz transform and uniform rectifiability
对0<n2<d integers and r>，证明了R^d中的n维Ahlfors-David正则测度M是一致n-可求长的当且仅当M关于M的里斯变换的r-变差是L^2（M）中的有界算子.这个结果可以看作是G. David和S. Semmes，它将里斯变换的L^2（M）有界性与M的一致可求直性联系起来.
2011-09-02 math.CA
On the uniform rectifiability of AD regular measures with bounded Riesz transform operator: the case of codimension 1
证明了如果$μ$是$\R^{d+1}$中的d维Ahlfors-David正则测度，则$d$ -维里斯变换在$L^2(μ)$中的有界性意味着非BAUP的David-Semmes胞腔构成Carleson族.结合David和Semmes的早期结果，这产生了$μ$的一致可求直性。
2012-12-21 math.AP math.CA
Uniform Rectifiability and harmonic measure IV: Ahlfors regularity plus Poisson kernels in $L^p$ implies uniform rectifiability
设$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$是维数为$n$的Ahlfors-David正则集.我们证明了开集$Ω:= \mathbb{R}^{n+1}\setminus E$的调和测度的弱- $A_\infty$性质蕴涵了$E$的一致可求正性.
2015-05-24 math.AP math.CA
Quantitative Comparisons of Multiscale Geometric Properties
我们将一致可求长（UR）集的一些特征推广到Hausdorff内容是低正则的（特别是，不需要是Ahlfors正则的）。例如，David和Semmes证明，给定Ahlfors $d$-正则集$E$，如果我们考虑曲面立方体的集合$\mathscr{B}$，（在基督和大卫的意义上），在这附近$E$不看起来近似像一个联盟的飞机，那么$E$是UR当且仅当$\mathscr{B}$满足一个Carleson包装条件，也就是说，对于任何表面立方体$R$，\[ \sum_{Q\subseteq R\atop Q\in \mathscr{B}} ({\rm diam} Q)^{d} \lesssim ({\rm diam} R)^{d}.\]我们表明，对于不一定是Ahlfors正则的低容量正则集，如果$β_{E}(R)$表示$R$的子立方体上的$β$-数的平方和，如高维集的旅行商定理[AS 18]中所述，则\[ \mathscr{H}^{d}(R)+\sum_{Q\subseteq R\atop Q\in \mathscr{B}} ({\rm diam} Q)^{d}\sim β_{E}(R). \]我们证明了其他一致可求直性准则，如局部对称性，局部凸性和广义弱外凸性条件的类似结果。在此过程中，我们展示了如何通过Ahlfors正则集构建任何较低内容的正则集的电晕分解，类似于David和Semmes开发的…
2020-06-18 math.AP math.CA math.MG
On the distance sets of AD-regular sets
证明了如果$\emptyset \neq K \subset \mathbb{R}^{2}$是一个紧的$s$ -Ahlfors-David正则集，且$s \geq 1$，则有$$\dim_{\mathrm{p}} D(K) = 1,$$，其中$D(K) := \{|x - y| : x,y \in K\}$是$K$的距离集，$\dim_{\mathrm{p}}$表示填充维数.同样的证明策略也适用于类似性质的其他问题。例如，可以证明如果$\emptyset \neq K \subset \mathbb{R}^{2}$是具有$s \geq 1$的紧$s$-Ahlfors-David正则集，则存在点$x_{0} \in K$使得$\dim_{\mathrm{p}} K \cdot (K - x_{0}) = 1$。专门研究乘积集，得到以下和-积推论：如果$A \subset \mathbb{R}$是一个非空紧$s$ -Ahlfors-David正则集，且具有$s \geq 1/2$，则对于某些$a_{1},a_{2} \in A$，有$$\dim_{\mathrm{p}} [A(A - a_{1}) + A(A - a_{1})] = 1$$。特别是$\dim_{\mathrm{p}} [AA + AA - AA - AA] = 1$。在上述所有结果中，如果用上盒维数代替packing维…
2015-10-08 math.CA math.MG
Strong and weak type estimates for singular integrals with respect to measures separated by AD-regular boundaries
证明了$\R^d$中奇异积分关于被Ahlfors-David正则边界分隔的$(d-1)$维测度的弱有界性和强有界性估计，推广和推广了Chousionis和Mattila的结果.我们的证明遵循一个不同的策略，基于新的Calderón-Zygmund分解，也可以用来扩展大卫的结果。
2013-01-11 math.CA math.FA
Uniform rectifiability from Carleson measure estimates and $\varepsilon$-approximability of bounded harmonic functions
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$，$n\geq1$是具有Ahlfors-David正则边界的螺旋域.本文证明了$\partialΩ$是一致$n$ -可求长的，如果$Ω$上的每一个有界调和函数都是$\varepsilon$ -可逼近的，或者如果$Ω$上的每一个有界调和函数都满足一个适当的平方函数Carleson测度估计.特别地，这适用于当$Ω=\mathbb R^{n+1}\setminus E$和$E$是Ahlfors-David正则的情况。我们的结果解决了霍夫曼，马特尔和梅博罗达在最近的工作中提出的一个猜想，他们证明了相反的陈述。在这里，我们还获得了两个额外的标准一致可求直。一个是在所谓的“$S<N$“的估计，另一个在一个合适的电晕分解涉及谐波措施。
2016-12-05 math.AP math.CA
Ahlfors-regular distances on the Heisenberg group without biLipschitz pieces
我们证明了海森堡群在向下看时不是极小的。这就回答了David和Semmes在“破碎的分形和破碎的梦想”中的问题11.15，或者等价地回答了Heinonen和Semmes在“关于映射、测度和度量的33个是或否问题”中的问题22，因此也回答了问题24。海森堡群的非极小性是通过给出一个Ahlfors $4$ -正则度量空间$X$的例子来证明的，该空间具有自身的大片，使得从$X$的子集到海森堡群的Lipschitz映射都不具有正测度的像，并且通过提供一个从海森堡群到空间$X$的Lipschitz映射，该空间具有整个$X$的像。作为证明上述结果的一部分，我们在海森堡群上定义了一个新的距离，该距离以卡诺-卡拉西奥多里距离为界，保持了阿尔福斯正则性，并且使得卡诺-卡拉西奥多里距离和新距离在任何正测度集上都是biLipschitz等价的。这种构造在任何Ahlfors-正则度量空间中更普遍地起作用，在那里人们可以做适当的捷径。这样的空间包括例如所有雪花状Ahlfors正则度量空间。用同样的技巧，我们还提供了一个例子，证明海森堡群biLipschitz上的左不变距离到卡诺-卡拉迪奥里距离，对于这个距离，没有爆破允许非平凡的膨胀。
2015-08-25 math.CA math.MG
Additive energy of regular measures in one and higher dimensions, and the fractal uncertainty principle
我们得到了一维和高维（Ahlfors-David型）正则测度的加性能量的新界，这意味着相关正则集的和与积的展开结果，以及这些集合的更一般的非线性函数.作为高维结果的推论，我们得到了奇数维分形测不准原理的一些新的情况。
2021-06-22 math.CA
Uniform measures and uniform rectifiability
本文证明了如果$μ$是$R^d$中的n维Ahlfors-David正则测度，且满足所谓的弱常密度条件，则$μ$是一致可求积的.戴维和塞姆斯已经在n=1、2和d-1的情况下证明了这一点，而对于其他n值，这是一个公开的问题。这个结果的证明依赖于对$R^d$中的n-一致测度的研究。特别是，它在这里表明，他们满足“大片的Lipschitz图”的性质。
2014-12-16 math.AP math.CA
Square functions and uniform rectifiability
本文证明了$\mathbb{R}^d$上的Ahlfors-David $n$ -维测度$μ$是一致$n$ -可求正的当且仅当对以$\operatorname{supp}(μ)$为中心的任意球$B(x_0,R)$，$$ \int_0^R \int_{x\in B(x_0,R)} \left|\frac{μ(B(x,r))}{r^n} - \frac{μ(B(x,2r))}{(2r)^n} \right|^2\,dμ(x)\,\frac{dr}r \leq c\, R^n.$$也是一致$n$ -可求正的.
2014-01-14 math.CA
Fourier integral operators, fractal sets and the regular value theorem
证明了如果${\mathcal E} \subset {\Bbb R}^{2d}$，$d \ge 2$是一个具有充分大豪斯多夫维数的Ahlfors-David正则积集，记为$dim_{\mathcal H}({\mathcal E})$，并且$ϕ$是一个充分正则函数，则集合$$ \{w \in {\mathcal E}: ϕ_l(w)=t_l; 1 \leq l \leq m \}$$的上Minkowski维数不超过$dim_{\mathcal H}({\mathcal E})-m$，这与初等微分几何中的正则值定理是一致的.我们的论点是基于基本的傅里叶积分算子的映射性质，并与几何测度论中的Falconer距离猜想密切相关。我们将看到，我们的结果在一般意义上是尖锐的，如果豪斯多夫维数小于某个阈值，则维数不等式以可量化的方式失效。用来证明这一点的结构是基于凸曲面上的格点分布，并与组合几何学有联系。
2011-04-22 math.AP math.CA math.CO
$L^2$-boundedness of gradients of single layer potentials for elliptic operators with coefficients of Dini mean oscillation-type
我们考虑一个一致椭圆算子$L_A$的发散形式与$(n+1)\times(n+1)$矩阵$A$与真正的，只是有界的，可能是非对称的系数。如果$$ω_A(r)=\sup_{x\in \mathbb{R}^{n+1}} \frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}\Big|A(z)-\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}A\Big|\,dz,$$，然后，在适当的Dini型假设下，$ω_A$，我们证明了以下几点：如果$μ$是一个compounds支持的氡测量在$\mathbb{R}^{n+1}$，$n \geq 2$，和$T_μf(x)=\int \nabla_xΓ_A (x,y)f(y)\, dμ(y)$表示梯度的单层潜力与$L_A$，然后$$ 1+ \|T_μ\|_{L^2(μ)\to L^2(μ)}\approx 1+ \|\mathcal R_μ\|_{L^2(μ)\to L^2(μ)},$$其中$\mathcal R_μ$表示$n$维Riesz变换。这使我们能够提供一个直接推广的一些深几何结果，最初获得$\mathcal R_μ$，最近扩展到$T_μ$与$L_A$与Hölder连续系数。特别地，我们证明了：1）如果$μ$是$\mathbb{R}^{n+1}$上具有紧支集的$n$-Ahlfors-David-正则测度，则$T_μ$在$L^2…
2022-03-14 math.AP math.CA
