A "rare'' plane set with Hausdorff dimension 2
证明了对$[0,1)$上的每一至多可数实函数族$\{f_k(x)\}$，存在一个单值实函数$F(x)$，$x\in[0,1)$，使得$F(x)$的图$Γ$的豪斯多夫维数等于2，且对每一个$C\in\mathbb R$和每一个$k$，$Γ$与函数$f_k(x)+C$的图的交至多由一个点组成.我们还构造了一族基数连续函数和一个具有类似性质的函数$F$。
2019-08-03 math.CA
Intersection of projections and slicing theorems for the isotropic Grassmannian and the Heisenberg group
本文研究了$\mathbb{R}^{2n}$的子集的各向同性投影的交的Hausdorff维数以及集合与各向同性平面的交的维数。证明了若$A$和$B$是维数大于m的$\mathbb{R}^{2n}$的Borel子集，则对于各向同性m-平面的正测度集，$A$和$B$在这些平面上的正交投影下的像的交集具有正Hausdorff $m$ -测度.此外，如果$A$是大于$m$的Hausdorff维数的可测量集合，则存在具有$\dim B\leq m$的集合$B\subset\mathbb{R}^{2n}$，使得对于所有$x\in\mathbb{R}^{2n}\setminus B$，存在各向同性m平面的正测度集合，对于该正测度集合，每个这样的平面的正交补的$x$的平移在维数集合$\dim A-m$上与$A$相交。然后将这些结果应用于$n^{th}$ Heisenberg群，得到了类似的结果.
2020-01-16 math.CA math.MG
Hausdorff-Young type theorems for the Laplace transform restricted to a ray or to a curve in the complex plane
设p和q是共轭指数，p在[1，2]中。证明了拉普拉斯变换有界地作用于正实半轴上单位权的Lp空间和右复半平面上被良投影测度（文中定义了良投影测度）加权的Lq空间之间.算子范数在具有相同“投影常数”的测度类上一致有界。特殊情况是某些类可求长曲线上的弧长测度。此外，在“错误”指数p>2的情况下，得到了Lorentz空间中Hausdorff-Young不等式的一个类似结果.
2011-09-28 math.CA
Intersections of sets, diophantine equations and Fourier analysis
Mattila的一个经典定理（见\cite{Mat84} ;也见\cite{M95}，第13章）说，如果Hausdorff维数$s_A, s_B$的$A,B \subset {\Bbb R}^d$分别与$s_A+s_B \ge d$、$s_B>\frac{d+1}{2}$和$dim_{\mathcal H}(A \times B)=s_A+s_B\ge d$，则在勒贝格测度意义下，几乎对每一个$z \in {\Bbb R}^d$都有$$ dim_{\mathcal H}(A \cap (z+B)) \leq s_A+s_B-d$$。本文用上Minkowski维数代替上述第一个不等式左边的Hausdorff维数，用一个足够大维数集合上的Hausdorff测度代替平移集的Lebesgue测度，用一个更一般的变系数变换族代替平移和旋转群.在考虑锐度示例时，出现了有趣的算术问题。这些结果的部分动机是那些在\cite{EIT11}和\cite{IJL10}在前者的经典经常值定理从微分几何研究在分形设置和在后者的离散发病率理论是从分析的角度来探讨。傅立叶积分算子界和其他技术的调和分析发挥了至关重要的作用，在我们的调查。我们还考虑，在弗斯滕伯格猜想的精神，反问题的交叉点，问如何小的一个层面的一组可以给它的交叉点的尺寸与适当的弯曲家庭的流形是有界的从下面由一个给定的阈值。最后，我们将讨论我们的估计…
2015-12-01 math.CA
Hausdorff dimension of unions of $k$-planes
本研究证明了Héra提出的$k$-平面并集维数猜想，结合Zahl的最新思路与Brascamp-Lieb不等式，给出了满足特定维数条件的$k$-平面族的并集的Hausdorff维数下界。
2023-07-24 math.CA
Intersections of middle-$α$ Cantor sets with a fixed translation
对于$λ\in(0,1/3]$，令$C_λ$为$\mathbb R$中的中间$(1-2λ)$ Cantor集。给定$t\in[-1,1]$，排除平凡情形，证明了\[ Λ(t):=\left\{λ\in(0,1/3]: C_λ\cap(C_λ+t)\ne\emptyset\right\} \]是一个具有零Lebesgue测度和全Hausdorff维数的拓扑Cantor集.特别地，我们计算了$Λ(t)$的局部维数，揭示了维数变化原理。此外，对于任何$β\in[0,1]$，我们表明，水平集\[ Λ_β(t):=\left\{λ\inΛ(t): \dim_H(C_λ\cap(C_λ+t))=\dim_P(C_λ\cap(C_λ+t))=β\frac{\log 2}{-\log λ}\right\} \]具有相等的Hausdorff和包装维数$(-β\logβ-(1-β)\log\frac{1-β}{2})/\log 3$。我们还证明了$λ\inΛ(t)$的集合，其中$\dim_H(C_λ\cap(C_λ+t))\ne\dim_P(C_λ\cap(C_λ+t))$具有全Hausdorff维数。
2022-01-19 math.CA math.DS
Intersections of thick compact sets in $\mathbb{R}^d$
University of St. Andrews（圣安德鲁斯大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文定义了$\mathbb{R}^d$中的厚度，并利用Schmidt游戏变体研究了厚紧集交集的Hausdorff维数下界，同时证明了厚集包含足够小相似副本的平移集合具有正维数。
2026-01-23 math.CA math.DS
Spectrum of Hausdorff operators on weighted Bergman and Hardy spaces of the upper half-plane
Università degli Studi di Milano（米兰大学）；Aristotle University of Thessaloniki（塞萨洛尼基亚里士多德大学）
本文研究了上半平面加权伯格曼和幂加权硬叶空间上豪斯多夫算子的谱特性。
2026-03-09 math.CA math.CV math.FA
Characterization of Carleson measures by the Hausdorff-Young property
证明了定义在正半轴上的Lp（1<p<=2）函数的拉普拉斯变换在右复半平面上满足权为正的Hausdorff-Young型不等式当且仅当权为Carleson测度.
2011-11-20 math.CA
Sets with large intersection properties in metric spaces
在这项工作中，我们再现的$\Gg^s$ -集的特征，从欧几里德设置[J. London Math.Soc.49：267- 280，1994]到更一般的度量空间。这些集合具有至少为$s$的豪斯多夫维数，并且由可数交集闭合，这对于估计所谓的$α$ -可逼近点（通常出现在丢番图逼近中）的集合的维数特别有用。
2021-06-08 math.CA math.MG
An improved bound on the Hausdorff dimension of sticky Kakeya sets in $\mathbb{R}^4$
本文针对$\u211d^4$中的粘性Kakeya集，结合平面刷论证与粘性性质，将其Hausdorff维数下界从原有3.059提升至3.25，推进了粘性Kakeya猜想的相关研究。
2024-10-31 math.CA
New bound on the Hausdorff dimension of Kakeya sets in $\mathbb{R}^4$
该研究将Wang-Zahl的三维Kakeya集研究与Katz-Zahl的平面刷论证结合，改进Guth-Zahl的三线性界，得到R⁴中Kakeya集Hausdorff维数的新下界3.073。
2026-10-12 math.CA
A New Hausdorff Content Bound for Limsup Sets
本文给出了limsup集的一个新的Hausdorff容限，它与Falconer的大交集有关。Falconer的大交集对空间中的所有球都满足一个内容界。相比之下，我们的主要定理只假设形成极限优越集的球的标度不变界。我们给四个应用这些想法和我们的主要定理：一个新的证明和推广的质量转移原则有关的丢番图逼近，一个相关的结果随机limsup集，一个新的证明费德勒的表征集的有限周长和声明有关一般的道路和测量理论的边界。新的一般质量转移原理将一个球集合的内容边界转移到另一个集合的内容边界-然而，这个内容边界必须保持在空间中的所有球上。我们的方法的好处是大大简化的参数，以及新的工具来估计豪斯多夫内容。新的方法使我们能够省去以前工作中的许多假设。具体地说，我们的一般质量转移原理和随机limsup集的界限并不假设Ahlfors正则性。此外，它们适用于任何完全度量空间。我们的一般Hausdorff内容估计适用于任何完全度量空间中的limsup集，这一事实使这种普遍性成为可能。
2022-01-31 math.AP math.CA math.MG
A study guide for "On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane" after T. Orponen and P. Shmerkin
本文为 Orponen 与 Shmerkin 关于平面 Furstenberg 集 Hausdorff 维数与正交投影的论文撰写学习指南，介绍 Furstenberg 集问题、投影例外集，并总结证明思路与核心思想。
2024-06-07 math.CA math.CO math.MG
Existence of principal values of some singular integrals on Cantor sets, and Hausdorff dimension
本文研究了Cantor集上奇异积分主值的存在性，证明了在测度线性密度消失时主值存在点集的Hausdorff维数等于集合维数，并推广至高维Riesz奇异积分，同时引入鞅辅助证明。
2023-10-23 math.CA
Inhomogeneous potentials, Hausdorff dimension and shrinking targets
推广建设的Falconer，我们认为类的$G_δ$ -子集的$\mathbb{R}^d$的属性，属于类有大豪斯多夫维数和类是封闭的可数交叉。我们将这些类与一些非齐次势和能量相关联，从而提供了一些有用的工具来确定一个集合是否属于其中一个类。作为这一理论的应用，我们计算，或至少估计，豪斯多夫维数的随机生成limsup-sets，并出现在设置的收缩目标的动力系统。例如，我们证明了对于$α\geq 1$，\[ \mathrm{dim}_\mathrm{H}\, \{ \, y : | T_a^n (x) - y| < n^{-α} \text{ infinitely often} \, \} = \frac{1}α, \]对于几乎所有的$x \in [1-a,1]$，其中$T_a$是一个二次映射，其中$a$在Benedicks和Carleson描述的一组参数中.
2018-10-12 math.CA math.DS
Average intersection number of trigonometric plane curves in $L_2$ and $W_2^r$ statistics
计算由$N$和有界$L_2$ -或$W_2^r$ -模的三角多项式映射给出的两条平面曲线的交点数的平均值
2023-01-07 math.CA math.PR
The Hausdorff dimension of the visible sets of connected compact sets
对于平面的紧致子集K和点x，我们定义K从x的可见部分为集合K_x={u \in K：[x，u] \cap K={u}}。(Here[x，u]表示连接x和u的闭合线段。）本文利用能量证明了：如果K是一个豪斯多夫维数大于1的紧连通集，则对平面上几乎每一点x，K_x的豪斯多夫维数严格小于K的豪斯多夫维数.事实上，几乎对每个x，dim（K_x）\leq {1/2}+ \sqrt{dim(K)-{3/4}}。我们还给出了可见集维度大于s+{1/2}+ \sqrt{dim(K)-{3/4}}（s>0）的那些点的豪斯多夫维数的估计。
2003-10-10 math.CA math.MG
Sets which are not tube null and intersection properties of random measures
我们表明，在$\mathbb{R}^d$有纯粹的不可求长集的Hausdorff（甚至盒计数）尺寸$d-1$这不是管零，解决问题的Carbery，索里亚和巴尔加斯，并改善了一些结果由同一作者和Carbery。我们的方法也延伸到“凸管空集”，建立一个对比与定理Alberti，Csörnyei和Preiss Lipschitz空集。我们构造的集合是随机的，证明依赖于某些随机分形测度与曲线的交性质。
2014-11-26 math.CA math.PR
Thickness and a gap lemma in $\mathbb{R}^d$
给出了$\mathbb{R}^d$中厚度的一个定义，它对全不连通的集也是有用的，并证明了一个Gap引理类型的结果.我们还保证在任何方向上的距离在厚紧集的间隔，厚集（对于这个定义的厚度）与获胜的集，给一个下界的豪斯多夫维数的交集可数许多，一个结果，保证存在的大模式，和下界的豪斯多夫维数的一套关系，其厚度。
2022-12-13 math.CA math.MG
On the Hausdorff dimension of pinned distance sets
我们证明了，如果$A$是一个博雷尔集在平面上的相等Hausdorff和包装尺寸$s>1$，那么一组固定的距离$\{ |x-y|:y\in A\}$有充分的豪斯多夫维数的所有$x$以外的一组豪斯多夫维数$1$（特别是，对于许多$x\in A$）。这验证了一个强大的变体法尔科纳的距离集猜想套相等的豪斯多夫和包装尺寸，端点$s=1$之外。
2018-01-26 math.CA math.CO math.MG
On Mattila's intersection problem in the plane: sharp dimension and positive measure of rotated difference sets
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）；National Taiwan University（台湾大学）；VNU University of Science, Hanoi, Vietnam（越南河内国立大学科学大学）
该论文针对平面上的Mattila相交问题，证明了旋转差集的Hausdorff维数下界的精确性及对应正测度结果，所用方法含角分解等，还探讨了其在相交模式上的应用。
2026-10-14 math.CA math.CO
A Fubini-type theorem for Hausdorff dimension
众所周知，经典的关于豪斯多夫维数的富比尼定理不能成立;也就是说，一个固定集合与一个平行平面族的交集的维数不决定该集合的维数。在这里，我们证明了一个Fubini定理的豪斯多夫维数不持有模集是所有Lipschitz图小。我们说$G\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$是$Γ_k$ -null，如果对于每个Lipschitz函数$f:\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}^n$，集合$\{t\in\mathbb{R}^k\,:\,(t,f(t))\in G\}$的测度为零。证明了对于每一个具有$\dim (\text{proj}_{\mathbb{R}^k} E)=k$的Borel集$E\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$，存在一个$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得$$\dim (E\setminus G) = k+\text{ess-}\sup(\dim E_t)$$，其中$\text{ess-}\sup(\dim E_t)$是$E$的垂直截面$\{E_t\}_{t\in \mathbb{R}^k}$的豪斯多夫维数的本质上确界.此外，我们还证明，只要$E$不是$Γ_k$ -空，就存在$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得对于$F=E \setminus G$，…
2022-09-15 math.CA math.MG
Hausdorff dimension of Furstenberg-type sets associated to families of affine subspaces
证明了如果$B \subset \mathbb{R}^n$和$E \subset A(n,k)$是$\mathbb{R}^n$的$k$维仿射子空间的非空集合，使得每个$P \in E$在一组豪斯多夫维数中至少与$k-1 < α\leq k$相交，则$\dim B \geq α+\dim E/(k+1)$，其中$\dim$表示豪斯多夫维数.这个估计推广了著名的Furstenberg型估计，即平面上的每个$α$-Furstenberg集的豪斯多夫维数至少为$α+ 1/2$。更一般地说，我们证明，如果$B$和$E$与$0 < α\leq k$相同，则$\dim B \geq α+(\dim E-(k-\lceil α\rceil)(n-k))/(\lceil α\rceil+1)$。我们还表明，这个界是尖锐的一些参数。因此，我们证明了对任何$1 \leq k<n$，$\mathbb{R}^n$的$k$维仿射子空间的任何非空$s$-Hausdorff维族的并至少有豪斯多夫维数$k+\frac{s}{k+1}$ .
2019-03-11 math.CA math.MG
Cantor sets in higher dimension I: Criterion for stable intersections
Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（伊朗基础科学研究院）
本文在高维空间中研究Cantor集的稳定相交判据，并提出构造显式稳定相交Cantor集的方法，适用于Hausdorff维度极小的复杂情形。
2026-02-17 math.CA math.DS math.MG
