Pertti Mattila
For $S_g(x,y)=x-g(y), x,y\in\mathbb{R}^n, g\in O(n),$ we investigate the Lebesgue measure and Hausdorff dimension of $S_g(A)$ given the dimension of $A$, both for general Borel subsets of $\mathbb{R}^{2n}$ and for product sets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hausdorff dimension, projections, intersections, and Besicovitch sets
本文综述了欧几里得空间一般子集的投影和交的豪斯多夫维数的最新发展，重点是例外集的豪斯多夫维数的估计和限制投影族.我们还将讨论投影与Besicovitch集的豪斯多夫维数之间的关系。
A survey on the Hausdorff dimension of intersections
本文是一篇数学综述，探讨当欧氏n空间中两个Borel集的维数之和大于n时，其经正交变换和平移后的交集的Hausdorff维数性质。
We give conditions on a general family $P_λ:\R^n\to\R^m, λ\in Λ,$ of orthogonal projections which guarantee that the Hausdorff dimension formula $\dim A\cap P_λ^{-1}\{u\}=s-m$ holds generically for measurable sets $A\subset\Rn$ with positive and finite $s$-dimensional Hausdorff measure, $s>m$, and with positive lower density. As an application we prove for measurable sets $A,B\subset\Rn$ with positive $s$- and $t$-dimensional measures, and with positive lower density that if $s + (n-1)t/n > n$, then $\dim A\cap (g(B)+z) = s+t - n$ for almost all rotations $g$ and for positively many $z\in\Rn$.
On Intersections of Cantor Sets: Hausdorff Measure
我们建立公式的Haudorff措施的某些康托集的交集与他们的翻译界。作为结果，我们得到了这些交叉的豪斯多夫维数的公式。
Hausdorff dimension and non-degenerate families of projections
研究了正交投影的参数化族，其中参数空间的维数严格小于格拉斯曼流形的维数。我们回答的自然问题有多少的豪斯多夫维数可能会减少验证的最佳可能的下界的尺寸几乎所有的投影有限措施。我们还证明了一个类似的结果是有效的光滑家庭的映射从$n$维欧几里得空间到$m$维。
On the parabolic Hausdorff dimension of orthogonal projections
本文证明了Borel集A⊂ℝⁿ×ℝ在ℝⁿ×ℝ的通用m维线性子空间上的正交投影的抛物型Hausdorff维数的下界。
The sharp Hausdorff measure condition for length of projections
在最近的一篇论文中，Pertti Mattila提出了这样一个问题：对于任何在规范$ϕ$中具有正Hausdorff测度的平面博雷尔集$A$，哪些度规函数$ϕ$具有这样的性质：$A$到几乎每条线的投影都具有正的长度。我们表明，可积性接近零的$ϕ(r)/(r^2)$，这是已知的是足够的这个属性，也是必要的，如果$ϕ$是经常变化的。我们的证明是基于一个随机的建设适应的度规函数。
Using a recent result of Orponen (Invent. math. '21), we show that sets with plenty of big projections (PBP) admit an Analyst's Travelling Salesman Theorem. We then show that sets with PBP which are uniformly non-flat (or wiggly) have large Hausdorff dimension. We also obtain a corollary on analytic/Lipschitz harmonic capacities.
Hausdorff dimension estimates for restricted families of projections in $\mathbb{R}^3$
本文研究$\mathbb{R}^{3}$中的限制投影族。设$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有豪斯多夫维数$\dim K = s > 1$的博雷尔集.如果$\mathcal{G}$是一个光滑且充分弯曲的一维二维子空间族，则主要结果表明存在$σ(s) > 1$使得对几乎所有的$V \in \mathcal{G}$都有$\dim π_{V}(K) \geq σ(s)$.对于某些特定的一维子空间族也得到了类似的结果。
Orthogonal projections of discretized sets
我们推广Bourgain的离散投影定理，以更高的秩的情况。像Bourgain定理一样，我们的结果给出了用豪斯多夫维数表示的投影定理中例外集的豪斯多夫维数的估计。这一估计补充了Mattila和Falconer的早期结果。
An improved a.e. lower bound is given for Hausdorff dimension under vertical projections in the first Heisenberg group.
Hausdorff dimension, intersection of projections and exceptional plane sections
本文包含新的结果在分形几何中的两个经典主题：投影，并与仿射平面相交。为了保持抽象的符号简单，我们限制讨论我们的定理的平面情况。我们的第一个主要结果考虑两个Borel集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$到一维子空间的正交投影。在$\dim A \leq 1 < \dim B$和$\dim A + \dim B > 2$的假设下，证明了对于正多线$L$和任意$ε> 0$，投影$P_{L}(A)$和$P_{L}(B)$的交至少有$\dim A - ε$维数.这是相当尖锐的：给定具有$s + t = 2$的$s,t \in [0,2]$，我们构造具有$\dim A = s$和$\dim B = t$的紧集$A,B \subset \mathbb{R}^{2}$，使得几乎所有交集$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$为空。在$\dim A > 1$和$\dim B > 1$的情形下，证明了对于正多个$L$，交$P_{L}(A) \cap P_{L}(B)$具有正长度.如果$A \subset \mathbb{R}^{2}$是一个Borel集，对于某个$s > 1$，它具有$0 < \mathcal{H}^{s}(A) < \infty$，则在$A$与通过$x$的所有直线的正分数相交的意义上，已知$A$从几乎所有点$x \in \mathbb{R}^{2}$都是…
Hausdorff dimension of plane sections and general intersections
本文推广了平面截面维数公式，去除了正下密度假设，并应用于一般交集维数下界及例外旋转集维数估计。
The macroscopic Hausdorff dimension Dim H (E) of a set E $\subset$ R d was introduced by Barlow and Taylor to quantify a "fractal at large scales" behavior of unbounded, possibly discrete, sets E. We develop a method based on potential theory in order to estimate this dimension in R d. Then, we apply this method to obtain Marstrand-like projection theorems: given a set E $\subset$ R 2 , for almost every $θ$ $\in$ [0, 2$π$], the projection of E on the straight line passing through 0 with angle $θ$ has dimension equal to min(Dim H (E) , 1).
Intersection of continua and rectifiable curves
证明了对任意非退化连续统$K \subseteq \mathbb{R}^d$，存在一条可求长曲线，使得它与$K$的交具有豪斯多夫维数1.这回答了B的问题。基希海姆
Some toy Furstenberg sets and projections of the four-corner Cantor set
本文给出了某些模型Furstenberg集的豪斯多夫维数的下界.
Kakeya books and projections of Kakeya sets
本文给出了与Kakeya猜想有关的一些结果，该猜想认为对任意整数$n\geq 2$，在$\mathbb{R}^n$的每一维中包含线段的集合都具有全豪斯多夫维数和盒维数.本文证明了对线段的位置有一定限制的Kakeya集的Kakeya书具有满盒维数。本文还证明了Kakeya集的投影性质与Kakeya猜想之间的关系。如果对任何Kakeya集$K\subset\mathbb{R}^n$，$k\leq n$子空间上正交投影的豪斯多夫维数与方向无关，则Kakeya猜想成立.此外，反过来也是如此。
A study guide for "On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane" after T. Orponen and P. Shmerkin
本文为 Orponen 与 Shmerkin 关于平面 Furstenberg 集 Hausdorff 维数与正交投影的论文撰写学习指南，介绍 Furstenberg 集问题、投影例外集，并总结证明思路与核心思想。
We prove that for every at most countable family $\{f_k(x)\}$ of real functions on $[0,1)$ there is a single-valued real function $F(x)$, $x\in[0,1)$, such that the Hausdorff dimension of the graph $Γ$ of $F(x)$ equals 2, and for every $C\in\mathbb R$ and every $k$, the intersection of $Γ$ with the graph of the function $f_k(x)+C$ consists of at most one point. We also construct a family of functions of cardinality continuum and a function $F$ with similar properties.
This paper studies the Hausdorff dimension of the intersection of isotropic projections of subsets of $\mathbb{R}^{2n}$, as well as dimension of intersections of sets with isotropic planes. It is shown that if $A$ and $B$ are Borel subsets of $\mathbb{R}^{2n}$ of dimension greater than m, then for a positive measure set of isotropic m-planes, the intersection of the images of $A$ and $B$ under orthogonal projections onto these planes have positive Hausdorff $m$-measure. In addition, if $A$ is a measurable set of Hausdorff dimension greater than $m$, then there is a set $B\subset\mathbb{R}^{2n}…
A Fourier analytic approach to exceptional set estimates for orthogonal projections
本研究提出基于傅里叶谱的正交投影定理与例外集估计方法，改进了平面例外集Ren--Wang界、Peres--Schlag界及Bourgain--Oberlin 0维估计等多个豪斯多夫维数相关结果。
Intersections of sets, diophantine equations and Fourier analysis
Mattila的一个经典定理（见\cite{Mat84} ;也见\cite{M95}，第13章）说，如果Hausdorff维数$s_A, s_B$的$A,B \subset {\Bbb R}^d$分别与$s_A+s_B \ge d$、$s_B>\frac{d+1}{2}$和$dim_{\mathcal H}(A \times B)=s_A+s_B\ge d$，则在勒贝格测度意义下，几乎对每一个$z \in {\Bbb R}^d$都有$$ dim_{\mathcal H}(A \cap (z+B)) \leq s_A+s_B-d$$。本文用上Minkowski维数代替上述第一个不等式左边的Hausdorff维数，用一个足够大维数集合上的Hausdorff测度代替平移集的Lebesgue测度，用一个更一般的变系数变换族代替平移和旋转群.在考虑锐度示例时，出现了有趣的算术问题。这些结果的部分动机是那些在\cite{EIT11}和\cite{IJL10}在前者的经典经常值定理从微分几何研究在分形设置和在后者的离散发病率理论是从分析的角度来探讨。傅立叶积分算子界和其他技术的调和分析发挥了至关重要的作用，在我们的调查。我们还考虑，在弗斯滕伯格猜想的精神，反问题的交叉点，问如何小的一个层面的一组可以给它的交叉点的尺寸与适当的弯曲家庭的流形是有界的从下面由一个给定的阈值。最后，我们将讨论我们的估计…
On the Packing Dimension and Category of Exceptional Sets of Orthogonal Projections
本文考虑了几个经典的正交投影例外集的豪斯多夫维数的结果，并试图找出它们是否有合理的packing维数公式。我们还研究了Marstrand和Falconer-Howroyd型投影结果的类别版本的存在性。
Let $F \subset \mathbb{R}^{2}$, and let $\dim_{\mathrm{A}}$ stand for Assouad dimension. I prove that $\dim_{\mathrm{A}} π_{e}(F) \geq \min\{\dim_{\mathrm{A}} F,1\}$ for all $e \in S^{1}$ outside of a set of Hausdorff dimension zero. This is a strong variant of Marstrand's projection theorem for Assouad dimension, whose analogue is not true for other common notions of fractal dimension, such as Hausdorff or packing dimension.
The Assouad dimensions of projections of planar sets
我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。
Marstrand's projection theorem from $1954$ states that if $K \subset \mathbb{R}^{3}$ is an analytic set, then, for $\mathcal{H}^{2}$ almost every $e \in S^{2}$, the orthogonal projection $π_{e}(K)$ of $K$ to the line spanned by $e$ has Hausdorff dimension $\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$. This paper contains the following sharper version of Marstrand's theorem. Let $V \subset \mathbb{R}^{3}$ be any $2$-plane, which is not a subspace. Then, for $\mathcal{H}^{1}$ almost every $e \in S^{2} \cap V$, the projection $π_{e}(K)$ has Hausdorff dimension $\min\{\dim_{\mathrm{H}} K,1\}$. For $0 \leq t < \…
The dimension of projections of self-affine sets and measures
设E是由仿射变换定义的平面自仿射集，其线性部分由正元素矩阵给出。证明了如果μ是E上的Bernoulli测度且dim_H μ = dim_L μ，其中dim_H和dim_L分别表示Hausdorff维数和Lyapunov维数，则μ在除至多一个方向外的所有方向上的投影有豪斯多夫维数min{dim_H μ，1}.我们将此结果转移到集合上，并表明许多自仿射集合在除最多一个方向外的所有方向上都具有维度min{dim_HE，1}的投影。
For $λ\in(0,1/3]$ let $C_λ$ be the middle-$(1-2λ)$ Cantor set in $\mathbb R$. Given $t\in[-1,1]$, excluding the trivial case we show that \[ Λ(t):=\left\{λ\in(0,1/3]: C_λ\cap(C_λ+t)\ne\emptyset\right\} \] is a topological Cantor set with zero Lebesgue measure and full Hausdorff dimension. In particular, we calculate the local dimension of $Λ(t)$, which reveals a dimensional variation principle. Furthermore, for any $β\in[0,1]$ we show that the level set \[ Λ_β(t):=\left\{λ\inΛ(t): \dim_H(C_λ\cap(C_λ+t))=\dim_P(C_λ\cap(C_λ+t))=β\frac{\log 2}{-\log λ}\right\} \] has equal Hausdorff and packing d…
Intersections of thick compact sets in $\mathbb{R}^d$
本文定义了$\mathbb{R}^d$中的厚度，并利用Schmidt游戏变体研究了厚紧集交集的Hausdorff维数下界，同时证明了厚集包含足够小相似副本的平移集合具有正维数。
On planar self-similar sets with a dense set of rotations
证明了如果$E$是一个平面自相似集，其相似维数$d$的定义映射生成稠密旋转集，则$E$在任意直线上的正交投影的$d$维Hausdorff测度为零.我们还证明了$E$在平面上任意点的径向投影也有零$d$维Hausdorff测度.然后我们考虑这些集合的一个特殊子类，并给出了$E(ρ)$的Favard长度的一个上界，其中$E(ρ)$表示集合$E$的$ρ$ -邻域.
Hausdorff-Young type theorems for the Laplace transform restricted to a ray or to a curve in the complex plane
设p和q是共轭指数，p在[1，2]中。证明了拉普拉斯变换有界地作用于正实半轴上单位权的Lp空间和右复半平面上被良投影测度（文中定义了良投影测度）加权的Lq空间之间.算子范数在具有相同“投影常数”的测度类上一致有界。特殊情况是某些类可求长曲线上的弧长测度。此外，在“错误”指数p>2的情况下，得到了Lorentz空间中Hausdorff-Young不等式的一个类似结果.
Packing dimension of vertical projections in the Heisenberg group
研究Heisenberg群中垂直投影的打包维度，利用变量系数局部平滑不等式改进了Hausdorff维度的下界。
Applications of dimension interpolation to orthogonal projections
本文综述了维度插值方法，并重点展示傅里叶谱、中间维数和Assouad谱在正交投影维数理论中的三类应用，拓展了经典Marstrand–Mattila投影定理的研究视角。
Universal Sets for Projections
该研究探讨$\boldsymbol{\rm R}^2$中集合投影的通用方向集问题，定义了通用集概念，针对弱正则集、AD-正则集类分别构造了维数任意小（正）和零维的通用集，拓展了Marstrand投影定理的相关结论。
In this work we reproduce the characterization of $\Gg^s$-sets from the euclidean setting [J. London Math. Soc. 49:267-280,1994] to more general metric spaces. These sets have Hausdorff dimension at least $s$ and are closed by countable intersections, which is particularly useful to estimate the dimension of the so called sets of $α$-approximable points (that typically appear in Diophantine approximations).
We study projectional properties of Poisson cut-out sets $E$ in non-Euclidean spaces. In the first Heisenbeg group, endowed with the Korányi metric, we show that the Hausdorff dimension of the vertical projection $π(E)$ (projection along the center of the Heisenberg group) almost surely equals $\min\{2,dim_H(E)\}$ and that $π(E)$ has non-empty interior if $dim_H(E)>2$. As a corollary, this allows us to determine the Hausdorff dimension of $E$ with respect to the Euclidean metric in terms of its Heisenberg Hausdorff dimension $dim_H (E)$. We also study projections in the one-point compactificat…
For any $x\in\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$, denote $π^x: \mathbb{R}^d\backslash\{x\}\rightarrow S^{d-1}$ as the radial projection $$π^x(y)=\frac{y-x}{|y-x|}. $$ Given a Borel set $E\subset{\Bbb R}^d$, $\dim_{\mathcal{H}} E\leq d-1$, in this paper we investigate for how many $x\in \mathbb{R}^d$ the radial projection $π^x$ preserves the Hausdorff dimension of $E$, namely whether $\dim_{\mathcal{H}}π^x(E)=\dim_{\mathcal{H}} E$. We develop a general framework to link $π^x(E)$, $x\in F$ and $π^y(F)$, $y\in E$, for any Borel set $F\subset\mathbb{R}^d$. In particular, whether $\dim_{\mathcal{H}}π^x(E)=\di…
Hausdorff spectrum of Lyapunov exponents for higher-dimensional self-affine systems
本文研究仿射迭代函数系统Lyapunov指数水平集投影的Hausdorff维数，在典型线性部分条件下给出变分公式，并证明在强开集条件及任意维数下成立。
In this paper we prove the following results in the plane. They are related to each other, while each of them has its own interest. First we obtain an $ε_0$-increment on intersection between pencils of $δ$-tubes, under non-concentration conditions. In fact we show it is equivalent to the discretized sum-product problem, thus the $ε_0$ follows from Bourgain's celebrated result. Then we prove a couple of new results on radial projections. We also discussion about the dependence of $ε_0$ and make a new conjecture. A tube condition on Frostman measures, after careful refinement, is also given.
Multi-parameter projection theorems with applications to sums-products and finite point configurations in the Euclidean setting
本文研究了分形集的多参数投影定理。在这些估计的帮助下，我们恢复结果的大小$A \cdot A+...+A \cdot A$，其中$A$是一个子集的实数线的一个给定的豪斯多夫维数，$A+A=\{a+a': a,a' \in A \}$和$A \cdot A=\{a \cdot a': a,a' \in A\}$。我们还使用投影结果和归纳参数表明，如果一个子集的${\Bbb R}^d$的豪斯多夫维数是足够大的，那么${k+1 \choose 2}$维勒贝格测度的集合的$k$ -单形由这个集合是积极的。这些结果的锐度和连接数论估计进行了讨论。
We give a new Hausdorff content bound for limsup sets, which is related to Falconer's sets of large intersection. Falconer's sets of large intersection satisfy a content bound for all balls in a space. In comparison, our main theorem only assumes a scale-invariant bound for the balls forming the limit superior set in question. We give four applications of these ideas and our main theorem: a new proof and generalization of the mass transference principle related to Diophantine approximations, a related result on random limsup sets, a new proof of Federer's characterization of sets of finite per…
A transversality theorem for multiple-point crossings under generic linear perturbations with Hausdorff measure estimates
本文在一般线性扰动下建立了多重交叉点横截性定理，给出了例外参数集的Hausdorff测度估计，并改进了之前仅证明该集勒贝格测度为零的结果。
Intermediate dimensions were recently introduced to interpolate between the Hausdorff and box-counting dimensions of fractals. Firstly, we show that these intermediate dimensions may be defined in terms of capacities with respect to certain kernels. Then, relying on this, we show that the intermediate dimensions of the projection of a set $E \subset \mathbb{R}^n$ onto almost all $m$-dimensional subspaces depend only on $m$ and $E$, that is, they are almost surely independent of the choice of subspace. Our approach is based on `intermediate dimension profiles' that are expressed in terms of cap…
Improved bounds for restricted families of projections to planes in $\mathbb{R}^{3}$
对于$e \in S^{2}$，即$\mathbb{R}^3$中的单位球面，令$π_{e}$为$e^{\perp} \subset \mathbb{R}^{3}$的正交投影，令$W \subset \mathbb{R}^{3}$为任何不是子空间的$2$平面。证明了若$K \subset \mathbb{R}^{3}$是一个具有$\dim_{\mathrm{H}} K \leq \tfrac{3}{2}$的Borel集，则对于$\mathcal{H}^{1}$，几乎每个$e \in S^{2} \cap W$都有$\dim_{\mathrm{H}} π_{e}(K) = \dim_{\mathrm{H}} K$，其中$\mathcal{H}^{1}$表示$1$维Hausdorff测度，$\dim_{\mathrm{H}}$表示Hausdorff维数.这是已知的较早，由于Järvenpää，Järvenpää，Ledrappier和Leikas，为Borel集$K \subset \mathbb{R}^{3}$与$\dim_{\mathrm{H}} K \leq 1$。我们还证明了一个部分结果集的维数超过$3/2$，改进了以前的界限D。Oberlin和R.奥伯林
On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane
本文证明平面中(s,t)-Furstenberg集的Hausdorff维数至少为2s+ε，并改进Wolff(1999)与Kaufman(1968)的结果，ε仅依赖于s和t。
Projections of self-affine sets onto lines
研究自仿射集在直线上的投影，通过指数分离、邻近性和强不可约性假设，证明自仿射测度投影的Hausdorff维数结论，加强邻近性假设后自仿射集本身也有相同结论，在平面中仅线性部分强不可约性即可，还得出相关推论。
Inhomogeneous potentials, Hausdorff dimension and shrinking targets
推广建设的Falconer，我们认为类的$G_δ$ -子集的$\mathbb{R}^d$的属性，属于类有大豪斯多夫维数和类是封闭的可数交叉。我们将这些类与一些非齐次势和能量相关联，从而提供了一些有用的工具来确定一个集合是否属于其中一个类。作为这一理论的应用，我们计算，或至少估计，豪斯多夫维数的随机生成limsup-sets，并出现在设置的收缩目标的动力系统。例如，我们证明了对于$α\geq 1$，\[ \mathrm{dim}_\mathrm{H}\, \{ \, y : | T_a^n (x) - y| < n^{-α} \text{ infinitely often} \, \} = \frac{1}α, \]对于几乎所有的$x \in [1-a,1]$，其中$T_a$是一个二次映射，其中$a$在Benedicks和Carleson描述的一组参数中.
Exceptional sets for length under restricted families of projections onto lines in $\mathbb{R}^3$
本文证明了 $\mathbb{R}^3$ 中 Hausdorff 维数大于1的 Borel 集在特定直线族上的正交投影，除一个维数受限的例外集外均具有正长度。
Sets which are not tube null and intersection properties of random measures
我们表明，在$\mathbb{R}^d$有纯粹的不可求长集的Hausdorff（甚至盒计数）尺寸$d-1$这不是管零，解决问题的Carbery，索里亚和巴尔加斯，并改善了一些结果由同一作者和Carbery。我们的方法也延伸到“凸管空集”，建立一个对比与定理Alberti，Csörnyei和Preiss Lipschitz空集。我们构造的集合是随机的，证明依赖于某些随机分形测度与曲线的交性质。
Dimension theory of iterated function systems
设$\{S_i\}_{i=1}^\ell$是具有吸引子$K$的$\R^d$上的迭代函数系统（IFS）.令$(Σ,σ)$表示字母表$\{1,..., \ell\}$上的单侧全移位。定义了$Σ$上与编码映射$π: Σ\to K$相关的不变测度空间上的投影熵函数PDMATHAMR，并给出了它的一些基本遍历性质，这一概念在研究$K$上不变测度的维数性质中是至关重要的.我们表明，对于任何共形IFS（分别为，在没有任何分离条件的情况下，遍历测度在$π$下的投影总是精确维数的，并且其Hausdorff维数可以表示为其投影熵与其Lyapunov指数之比（分别地，与几个编码映射相关联的投影熵的线性组合）。此外，对于任何共形IFS和某些仿射IFS，我们证明了吸引子的Hausdorff维数和遍历测度的投影的Hausdorff维数之间的变分原理。
Projections of random covering sets
我们表明，几乎可以肯定的是，豪斯多夫维数$s_0$的随机覆盖集下保持所有的正交投影到线性子空间的尺寸$k>s_0$。这一结果适用于生成序列为类球集的随机覆盖集，并通过研究一类随机Cantor集的正交投影得到。
Besicovitch-Federer projection theorem and geodesic flows on Riemann surfaces
本文将Besicovitch-Federer投影定理推广到横截映射族。作为应用，我们证明了在一类具有常负曲率和边界的Riemann曲面上，存在在具有二维支集的测地流下不变的自然二维测度，使得它们在基流形上的投影是二维的，但投影的支集是Lebesgue可忽略的.特别地，完全测地线的并集具有豪斯多夫维数2，并且是Lebesgue可忽略的。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。