arXiv 2404.028532024-04-03math.CO

模积图的支配数

Domination number of modular product graphs

Sergio Bermudo, Iztok Peterin, Jelena Sedlar, Riste Škrekovski

备注：: 22 pages, 3 figures

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AI总结：

本文研究图模积 $G\diamond H$ 的支配数，利用因子图及其补图的支配数、全支配数建立上下界，刻画支配数为1至3的情形，并给出至多4、5的条件及新参数 $\bar\gamma(G)$。

摘要：

图 $G$ 和 $H$ 的模积 $G\diamond H$ 是一个顶点集为 $V(G)\times V(H)$ 的图。$G\diamond H$ 中两个顶点 $(g,h)$ 和 $(g',h')$ 相邻，当且仅当 $g=g'$ 且 $hh'\in E(H)$，或者 $gg'\in E(G)$ 且 $h=h'$，或者 $gg'\in E(G)$ 且 $hh'\in E(H)$，或者（在 $g\neq g'$ 且 $h\neq h'$ 时）$gg'\notin E(G)$ 且 $hh'\notin E(H)$。若集合 $D\subseteq V(G)$ 使 $D$ 外的每个顶点都在 $D$ 中有一个邻点，则 $D$ 是 $G$ 的支配集。若集合 $D\subseteq V(G)$ 使 $G$ 的每个顶点都在 $D$ 中有一个邻点，则 $D$ 是 $G$ 的全支配集。$G$ 的支配数 $\gamma(G)$（分别地，全支配数 $\gamma_t(G)$）是 $G$ 的支配集（分别地，全支配集）的最小基数。在本工作中，我们依据 $\gamma(G)$、$\gamma(H)$、$\gamma_t(\overline{G})$ 和 $\gamma_t(\overline{H})$ 给出 $\gamma(G\diamond H)$ 的若干上界和下界，其中 $\overline{G}$ 是 $G$ 的补图。此外，对于 $k\in\{1,2,3\}$，我们完整刻画了满足 $\gamma(G\diamond H)=k$ 的图。文中还给出了关于 $G$ 和 $H$ 的若干条件，在这些条件下 $\gamma(G\diamond H)$ 至多为 $4$ 和 $5$。一种新型同时支配参数 $\bar\gamma(G)$ 被证明是有用的；它被定义为支配 $G$ 且全支配 $G$ 的补图所需的最少顶点数，我们相信它本身也可能具有独立的研究价值。最后，本文提出了若干可能的进一步研究方向。

英文摘要：

The modular product $G\diamond H$ of graphs $G$ and $H$ is a graph on vertex set $V(G)\times V(H)$. Two vertices $(g,h)$ and $(g^{\prime},h^{\prime})$ of $G\diamond H$ are adjacent if $g=g^{\prime}$ and $hh^{\prime}\in E(H)$, or $gg^{\prime}\in E(G)$ and $h=h^{\prime}$, or $gg^{\prime}\in E(G)$ and $hh^{\prime}\in E(H)$, or (for $g\neq g^{\prime}$ and $h\neq h^{\prime}$) $gg^{\prime}\notin E(G)$ and $hh^{\prime}\notin E(H)$. A set $D\subseteq V(G)$ is a dominating set of $G$ if every vertex outside of $D$ contains a neighbor in $D$. A set $D\subseteq V(G)$ is a total dominating set of $G$ if every vertex of $G$ contains a neighbor in $D$. The domination number $γ(G)$ (resp. total domination number $γ_{t}(G)$) of $G$ is the minimum cardinality of a dominating set (resp. total dominating set) of $G$. In this work we give several upper and lower bounds for $γ(G\diamond H)$ in terms of $γ(G),$ $γ(H)$, $γ_{t}(\overline{G})$ and $γ_{t}(\overline{H})$, where $\overline{G}$ is the complement graph of $G$. Further, we fully describe graphs where $γ(G\diamond H)=k$ for $k\in\{1,2,3\}$. Several conditions on $G$ and $H$ under which $γ(G\diamond H)$ is at most $4$ and $5$ are also given. A new type of simultaneous domination $\barγ(G)$, defined as the smallest number of vertices that dominates $G$ and totally dominates the complement of $G,$ emerged as useful and we believe it could be of independent interest. We conclude the paper by proposing few directions for possible further research.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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