What is an equivalence in a higher category?
Viktoriya Ozornova, Martina Rovelli
本综述的目的是以统一的方式提出严格$n$ -范畴或$(\infty,n)$ -范畴之间以及严格$(n+1)$ -范畴或$(\infty,n+1)$ -范畴内部的等价概念。
The purpose of this survey is to present in a uniform way the notion of equivalence between strict $n$-categories or $(\infty,n)$-categories, and inside a strict $(n+1)$-category or $(\infty,n+1)$-category.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
In the category of relative categories the Rezk equivalences are exactly the DK-equivalences
在前一篇文章中，我们将Charles Rezk在单纯空间范畴上的完整Segal模型结构提升到“相对范畴”上的Quillen等价模型结构，而在这篇后继文章中，我们的目的是通过证明这些弱等价正是DK-等价，来获得对该模型结构中弱等价的更明确的描述，也就是说，那些在相对范畴之间的映射在它们的单纯局部化之间产生弱等价。
The homotopy relation in a category with weak equivalences
本文定义了一类具有弱等价的范畴的箭与箭之间的同伦关系，并给出了同伦关系的商为同伦范畴的条件。在一个模型范畴的纤维凝聚对象的情况下，这个条件成立，我们表明，我们的同伦概念与经典的一致。我们还表明，奎伦的建设同伦范畴的模型类别，其中的箭头是同伦类的一个单一的箭头之间的fibrant coordinant对象，可以以及弱等价类使用这种概念的同伦。我们从我们的工作中推导出饱和模型类别。这些结果的证明，只考虑弱等价，变得简单（因为它通常是这样）比那些涉及整个结构的模型范畴。
A model 2-category of enriched combinatorial premodel categories
在他关于模型范畴的书中，霍维提出了一个问题：模型范畴的2-范畴$\mathbf{Mod}$是否存在一个“模型2-范畴结构”，其弱等价是奎伦等价。我们发现，$\mathbf{Mod}$没有回调，所以不能形成一个模型2类。这种回撤的缺乏可以追溯到模型范畴弱等价的三取二公理。相应地，我们定义了一个前模型范畴是一个完备且共完备的范畴，它具有两个嵌套的弱分解系统。组合前模型范畴构成了一个完备且上完备的闭对称monoidal 2-范畴$\mathbf{CPM}$，它的张量积表示Quillen双函子.对于幺半群组合预模型范畴$V$，$V$ -丰富的组合预模型范畴的2-范畴$V\mathbf{CPM}$仅仅是$V$上的模范畴（被看作是$\mathbf{CPM}$的幺半群对象），因此继承了$\mathbf{CPM}$的代数结构.模型范畴的同伦理论本质上依赖于弱等价，所以它不能直接推广到一般的前模型范畴。我们开发了一个替代同伦理论的前模型类别满足一个额外的属性，它自动适用于模型类别，也为丰富的monoidal模型类别的前模型类别。特别地，对于Monoidal模型范畴$V$，我们得到了$V$ -预模型范畴的Quillen等价概念，它推广了$V$ -模型范畴的Quillen等价概念.当$V$是一个易处理的对称monoidal模型范畴时，我们利用这些Quillen等价作为弱等价，在$V\mathbf{CPM…
Model Structures on Ind Categories and the Accessibility Rank of Weak Equivalences
在最近的一篇论文中，我们引入了一个比模型范畴弱得多且易于验证的结构，我们称之为“弱纤维化范畴”。我们进一步证明了一个小的弱纤维化范畴可以在它的亲范畴上“完备化”成一个完整的模型范畴结构，只要这个亲范畴满足某个三取二性质。本文给出了弱纤维化范畴上三取二性质成立的充分内在条件。我们应用这些结果证明了一些定理，给出了组合模型范畴中弱等价范畴的有限可达性的充分条件。我们将这些定理应用于单纯集范畴上的标准模型结构，并推导出它的弱等价类是可达的。Raptis和Rosický最近也使用不同的方法证明了关于单纯集的相同结果。
Simplicial and categorical comma categories
我们考虑四个类别：O上的小范畴的（逗号）范畴，O上的单纯集的（逗号）范畴，O上的神经上的单纯集的（逗号）范畴，O上的小范畴O上的小范畴的图范畴。弗里奇和Golasinski声称，这四个类别有等价的同伦类别，但事实上，他们的证明包含一个错误和同伦类别是不等价的弱等价，他们使用的逗号类别。本文证明了正确的弱等价是Latch定义的“弱纤维同伦等价”。我们还构造了NO上单纯集范畴的一个模型范畴结构，其中弱等价是弱纤维同伦等价。
A model category structure on the category of simplicial categories
本文在小单纯范畴范畴上提出了一种上纤维生成的模型范畴结构。弱等价是范畴等价概念的单纯模拟。
On the equivalence invariance of formal category theory
本研究证明形式范畴论对可在equipment内表述命题的等价不变性，借助FOLDS与抽象同伦论的关联，在DblCat上构建了特定模型结构，明确其平凡纤维化与纤性对象的特征。
A homotopical Dold-Kan correspondence for Joyal's category $Θ$ and other test categories
本文通过引入模型结构的Quillen等价，证明了在特定兼容条件下，测试范畴上的abelian预示子范畴的同调范畴与abelian群的非负导出范畴等价，并应用于Joyal的范畴Θ。
Left fibrations and homotopy colimits II
对于一个小的单纯范畴A，我们证明了从A上的单纯图范畴到A的同伦凝聚神经上的单纯集范畴的同伦余极限函子提供了前一个范畴上的投射模型结构和协变模型结构之间的左Quillen等价.我们比较这个Quillen等价的矫直unstraightening等价先前建立的Lurie，其中的左伴随去相反的方向。左奎伦函子在两个方向上的存在大大简化了证明这些结构提供奎伦等价。本文的结果推广了第一部分的结果，其中A是一个普通范畴。单纯范畴的证明是比较复杂的，可以独立阅读。
A model category for local po-spaces
局部偏序空间（local po-spaces）已经被用来模拟并发系统。我们通过构造一个包含局部po-spaces范畴的模型范畴来提供这些空间的等价性。我们证明了局部序空间上的单纯预层范畴可以给出Jardine模型的结构，并在其中确定了局部序空间之间的弱等价。在此过程中，我们给出了局部偏序空间上的层范畴与局部偏序空间上的etale丛范畴之间的等价性。最后，我们描述了一个本地化，应该提供一个很好的框架，研究并发系统。
A Model Categoric Equivalence for Crossed Simplicial Modules
本文在有限交叉单纯群且基域特征为0的条件下，构造了单纯向量空间范畴与交叉单纯群表示范畴之间的模型范畴等价。
Homotopy equivalence of isospectral graphs
本文研究了由Bisson和Tsemo在有向图Gph范畴中定义的Quillen模型结构。特别是，我们给出了一个精确的描述与此模型结构的同伦类图。我们赋予N-集和Z-集范畴相关的模型结构，并证明它们的同伦范畴与同伦范畴Ho（Gph）是Quillen等价的.这使我们能够证明Ho（Gph）等价于周期Z-集的范畴cZSet，并证明两个有限有向图几乎等谱当且仅当它们在我们的意义下同伦等价。
Cofibration category structures on the category of graphs
本文证明了有限图范畴上无法以$\ imes$-同伦等价为弱等价构造共纤维化范畴结构，且除非引入刚性子图非同构的态射，否则无法通过扩大弱等价类来实现该结构。
Coalgebras in the Dwyer-Kan localization of a model category
我们发现，弱monoidal Quillen等价诱导等价的对称monoidal $\infty$范畴的Dwyer-Kan本地化的对称monoidal模型范畴。这个结果将导出$\infty$ -范畴中余代数的Dold-Kan对应.此外，它表明，Shipley的曲折的Quillen等价提升到一个明确的对称monoidal等价的$\infty$ -范畴的稳定的Dold-Kan对应。研究了与monoidal幺半范畴相关的同伦凝聚余代数。我们展示的例子时，这些余代数不能刚性化。也就是说，它们的$\infty$ -范畴不等价于严格余代数在通常的monoidal模型范畴的谱和连接离散$R$ -模中的Dwyer-Kan局部化。
Morita Invariance of Equivariant Lusternik-Schnirelmann Category and Invariant Topological Complexity
利用等变主丛的同伦不变性证明了Clapp和Puppe的等变${\mathcal A}$ -范畴在Morita等价下是不变的.作为推论，我们得到了群作用的等变Lusternik-Schnirelmann范畴和不变拓扑复杂度在Morita等价下都是不变的.这允许定义的拓扑复杂性的orbifolds。
Comparing globular complex and flow
函子是从球状CW-复形范畴到流范畴构造的。它允许比较的S-同伦等价（分别。T-同伦等价）与S-同伦等价（分别为. T-同伦等价）。证明了该函子诱导出范畴的等价性，即从球状CW-复形范畴关于S-同伦等价的局部化到流范畴关于弱S-同伦等价的局部化.作为应用，我们构造了流的基本同伦类型。
Dendroidal sets and simplicial operads
建立了Segal算子同伦理论与单纯算子同伦理论之间的一个Quillen等价关系，由此导出了从单纯算子模型范畴到树状集范畴上无穷算子模型范畴结构的同伦凝聚神经函子是一个右Quillen等价.通过对monoidal单位的切片，给出了Bergner证明的Segal范畴与单纯范畴之间的Quillen等价性，以及A. Joyal和J. Lurie。我们还解释了这个理论如何适用于通常的概念operad（即与一个单一的颜色）的范畴内的空间。
Three models for the homotopy theory of homotopy theories
给定任何模型范畴，或更一般地，任何具有弱等价的范畴，其单纯局部化是一个单纯范畴，可以正确地称为模型范畴的“同伦理论”。在单纯范畴的范畴上有一个模型范畴结构，所以取它的单纯局部化就产生了“同伦理论的同伦理论”。“在本文中，我们证明了有两种不同的单纯集图，每一种都有一个适当的弱等价定义，使得由此产生的同伦理论都等价于单纯范畴上的模型范畴结构所产生的同伦理论。因此，这三个范畴中的任何一个都可以被认为是同伦理论的同伦理论的模型。其中之一，特别是Rezk的完整Segal空间模型范畴结构的范畴单纯空间，是更方便的角度作出计算，因此获得有关信息的一个给定的同伦理论。
(Lack of) Model Structures on the Category of Graphs
本文研究了以$\times$ -同伦等价为弱等价的有限图范畴上的模型结构。我们表明，不存在类似的Strøm-Hurewicz模型结构的这一类图。更有趣的是，我们表明，这类图与$\times$ -同伦等价不具有模型结构时，类cofibrations是一个子类的图包含。
A Thomason Model Structure on the Category of Small n-fold Categories
我们在小n重范畴上构造了一个共纤维生成的Quillen模型结构，并证明了它与单纯集范畴上的标准模型结构是Quillen等价的.一个n重函子是一个弱等价当且仅当它的n重神经的对角线是单纯集的一个弱等价。这是一个n倍的模拟，以Quillen模型结构的猫。我们介绍了一个n倍的Grothendieck建设的多单集，并证明它是一个同伦逆的n倍神经。由此，我们完全证明了单纯集与n重范畴之间的连接的单位与可数是自然弱等价的。
Enriched Koszul Duality
本文为非余单位余幂零dg-余代数与非单位dg-代数建立相容的模型结构，并将二者间的Quillen等价推广到非单位模范畴层面，从而给出Koszul对偶的丰富化形式。
Model structures for coalgebras
域上的链复形范畴中的余代数有两种典型范畴结构。在一个例子中，弱等价是在同调上诱导同构的映射。另一类是弱等价映射，它诱导代数在cobar函子下的弱等价。我们统一了这两种方法，实现它们的两个极端的一个偏序集的模型范畴结构的余代数在一个cooperad满足温和的条件。
Equipping weak equivalences with algebraic structure
我们调查在何种程度上的弱等价模型范畴可以配备代数结构。例如，我们证明了存在单子T使得拓扑空间的态射具有T-代数结构当且仅当它是弱同伦等价。对于拟同构和许多其他例子也是如此。基本的技巧是在箭头范畴中考虑内射性。利用代数内射性和锥内射性，我们得到了组合模型范畴中弱等价可以具有代数结构的程度的一般结果。
Left fibrations and homotopy colimits
对小范畴A，证明了从A上的单纯图范畴到A上的神经上的单纯集范畴的同伦余极限函子建立了前一范畴上的投射（或Reedy）模型结构与后一范畴上的协变模型结构之间的左Quillen等价.我们比较这个等价的奎伦等价在相反的方向先前建立的Lurie。从我们的结果中，我们推断出单纯集的范畴等价诱导了相应的上范畴的Quillen等价，配备了协变模型结构。此外，我们表明，版本的奎伦定理A和B的无穷范畴容易遵循。
Dwyer-Kan homotopy theory of enriched categories
本文在满足幺半群公理的组合闭对称幺半模范畴上的富集小范畴范畴中，建立了以 Dwyer-Kan 等价为弱等价的模型结构。
A homotopy coherent cellular nerve for bicategories
本文的主题是Leinster提出的双范畴的神经构造，它定义了Joyal范畴$Θ_2$上从双范畴和正规伪函子到预层范畴的完全忠实函子.我们证明了一个双范畴的神经是一个$2$ -拟范畴（一个模型的$(\infty,2)$ -范畴由于阿拉），而且，神经函子限制到右部分的Quillen等价之间的Lack的模型结构的双范畴和Bousfield本地化的阿拉的模型结构的$2$ -拟范畴。在$Θ_2$上的单纯预层范畴上，我们证明了双范畴的Lack模型结构与$(2,2)$ - $Θ$ -空间的Rezk模型结构是Quillen等价的.为此，我们构造了$2$ -拟范畴的同伦双范畴，并证明了$2$ -拟范畴的态射是等价的当且仅当它在对象上本质满射且完全忠实.我们还证明了Ara关于$2$ -拟范畴的模型结构与拟范畴丰富Segal范畴的Hirschowitz-Simpson-Pellissier模型结构之间的Quillen等价性，由此我们推出了关于$2$ -拟范畴的一些结果，包括Ara关于$2$ -范畴弱等价性的一个猜想.
An equivalence between enriched $\infty$-categories and $\infty$-categories with weak action
该研究证明Lurie与Gepner-Haugseng两种意义下的$\u2118$-富化∞-范畴等价，建立了对应松弛幺半函子限制关系，并给出稳定∞-范畴嵌入与富化Yoneda嵌入两项应用。
What do DG categories form?
在2-范畴的范畴上引入了同伦2-范畴结构。
Kan's combinatorial spectra and their sheaves revisited
在Kan组合谱范畴上定义了一个右Cartan-Eilenberg结构，并在一定条件下定义了这类谱的层范畴。在这两种结构中，我们使用同伦等价的几何概念作为强等价。在层的情况下，我们使用局部等价作为弱等价。本文是第一步，在一个更大规模的计划调查层的频谱从几何的观点。
Comparison of models for $(\infty, n)$-categories, II
本文完成了$Θ_{n+1}$ -空间的模型范畴与在$Θ_n$ -空间中富集的小范畴的模型范畴之间的一系列显式Quillen等价。这里给出的Quillen等价连接了$Θ_n$ -空间中的Segal范畴对象、$Θ_n$ -空间中的完备Segal对象和$Θ_{n+1}$ -空间。
Categories internal to crossed modules
本文刻画了交叉模范畴中的内部范畴，并证明了交叉模上的交叉模范畴（即交叉正方形）与交叉模范畴中的内部范畴之间存在自然等价.最后，我们得到的交叉广场使用这种等价的例子。
The Quillen model structure on the category of diffeological spaces
本文在微分空间范畴上构造了以光滑弱同伦等价为弱等价类的Quillen模型结构。
An A-based cofibrantly generated model category
在弱等价为A-弱等价且广义CW（A）-复形为凝聚对象的拓扑空间范畴中，我们建立了一个凝聚生成的模型范畴结构.有了这种结构，指数律就变成了Quillen附加式。
The Morita equivalence between parametrized spectra and module spectra
对每个拓扑群G，我们给出BG上参数化谱的May和Sigurdsson模型范畴与正交环谱\infty_+ G上模的Mandell，May，Schwede和Shipley模型范畴之间的Quillen等价.更一般地，对于一个拓扑范畴C，我们引入了一个“聚集”模型结构的范畴的图的谱索引C，并证明了它是Quillen等价的频谱在BC。这升降机几个早期的结果，并导致一个完整的表征的对偶参数化的频谱，回答一个问题的五月和Sigurdsson。
A stratified Kan-Quillen equivalence
我们表现出奎伦等价两个模型类别编码同伦理论的分层空间：过滤单纯集的模型类别，过滤空间。此外，我们引入了一类新的过滤空间，即垂直过滤CW-复形，提供了一个很好的模型的同伦范畴的分层空间。
Quillen equivalences between the model categories of smooth spaces, simplicial sets, and arc-gengerated spaces
在前一篇文章中，我们构造了弧生成空间范畴$\dcal$及其伴随对$|\ |_\dcal : \scal \rightleftarrows \dcal : S^\dcal$和$\tilde{\cdot} : \dcal \rightleftarrows \ccal^0 : R$的一个紧生成模型结构，其中$\scal$和$\ccal^0$分别表示单纯集范畴和弧生成空间范畴.本文证明了$(|\ |_\dcal, S^\dcal)$和$(\tilde{\cdot}, R)$是Quillen等价对.由于我们在前一篇文章中所发展的方法也适用于Chen空间的范畴$\ccal h$，因此$\ccal h$也是一个紧生成的模型范畴。我们还证明了由Stacey引入的伴随对$\mathfrak{S}_\mathfrak{o} : \ccal h \rightleftarrows \dcal : \mathfrak{Ch}^\sharp$是一对Quillen等价。
Equivalence of Operads over Symmetric Monoidal Categories
本文研究了两个对称幺半范畴之间的Quillen模型范畴性质推广到它们的对称序列范畴和运算范畴的条件。给定一个Quillen等价$λ: \mathcal{C}=Ch_{\Bbbk,t} \leftrightarrows \mathcal{D}: R,$，使得$\mathcal{D}$是任意对称幺半范畴，伴随对$(λ, R)$是弱monoidal范畴，我们证明了连通运算范畴$Op_\mathcal{C}$和$Op_\mathcal{D}$是Quillen等价的.当我们用$\mathcal{C}$ -幺半群和$\mathcal{D}$ -幺半群的子范畴代替这些范畴时，这扩展了Schwede-Shipley（\cite{SS03}）的一个类似结果。
A Quillen model structure of local homotopy equivalences
本文在 ind-Banach 空间投影系统的分次复形范畴上构造闭模型结构，其同伦范畴为局部与解析循环同调理论提供了合适的目标。
A Cartan-Eilenberg approach to Homotopical Algebra
在本文中，我们提出了一种方法同伦代数的基本成分是一个范畴有两类不同的态射：强等价和弱等价。这些数据确定的coherant对象的扩展性质类似于经典的提升性质的投射模。我们定义一个Cartan-Eilenberg范畴为一类具有强等价和弱等价的范畴，使得它关于弱等价的局部化范畴和关于强等价的相关对象的局部化范畴之间存在等价。这种等价性使我们能够将经典的导出加性函子理论推广到非加性的情形。主要的例子包括Quillen模型范畴和函子范畴与一个三元组，在最后一种情况下，我们发现的例子中，类的强等价是不确定的同伦关系。在其他的应用中，我们证明了零特征域上\emph{cdg}代数的过滤极小模型的存在性，并给出了非加性函子的非循环模型定理。
Quillen equivalences for stable categories
对于阿贝尔范畴$\mathcal{A}$，我们研究了稳定范畴$\underline{\mathrm{GPro}}\mathrm{j}(\mathcal{A})$和$\underline{\mathrm{GIn}}\mathrm{j}(\mathcal{A})$何时是三角等价的.为此，我们实现这些稳定的类别同伦类别的某些（非平凡）模型类别，并给出条件$\mathcal{A}$，确保存在的Quillen等价模型类别之间的问题。我们还研究了当这样一个Quillen等价从$\mathcal{A}$转移到与$\mathcal{A}$自然相关的范畴时，如$\mathrm{Ch}(\mathcal{A})$，$\mathcal{A}$中的链复形的范畴，或$\mathrm{Rep}(Q,\mathcal{A})$，一个连续$Q$的$\mathcal{A}$值表示的范畴。
On exotic equivalences and a theorem of Franke
使用Franke的方法，我们构造新的例子，异国情调的等价。证明了对于任何对称环谱$R$，若其分次同伦环$π_*R$集中在可被自然数$N \geq 5$整除的维数上，且其同调维数至多为3，则$R$ -模的同伦范畴等价于$π_*R$的导出范畴.我们的主要示例是任何素数$p \geq 5$的约翰逊-威尔逊谱$E(3)$和截短的布朗-彼得森谱$BP\langle 2 \rangle$。如果另外$π_*R$的同调维数等于2，则$R$ -模的同伦范畴与$π_*R$的导出范畴是三角等价的.这里的主要例子是$p \geq 5$的$E(2)$和$BP \langle 1 \rangle$。本文的最后一部分讨论了在素数$p \geq 5$上的$E(1)$ -局部谱的同伦范畴与Franke模型的导出范畴之间的三角等价性。这是一个定理的弗兰克和我们填补了空白的证明。
Symmetric monoidal categories and $Γ$-categories
本文构造了相干交换幺半范畴范畴的一个对称幺半群闭模型范畴。本文的主要目的是建立一个协调可换幺半范畴范畴的模型范畴与一个置换（或严格对称monoidal）范畴的自然模型范畴$\mathbf{Perm}$之间的Quillen等价，它不是一个对称monoidal闭模型范畴.这个Quillen等价的右伴随是经典的Segal神经函子。
Rectification of dendroidal left fibrations
本文对离散有色 operad $P$ 构造树状集与单纯 $P$-代数间的伴随，证明在 $Σ$-自由条件下其为协变与投射模型结构间的 Quillen 等价，并独立恢复及幺半强化 Heuts–Moerdijk 结果。
Rational O(2)-Equivariant Spectra
有理O（2）-等变上同调理论的范畴有一个代数模型A（O（2）），由Greenlees的工作建立。即有理O（2）-等变谱的同伦范畴与阿贝尔模型DA（O（2））的导出范畴之间存在范畴等价性。本文将同伦范畴的这种等价提升到模型范畴的Quillen等价的水平。这种Quillen等价也与代数模型的Adams短正合列相容。
An algebraic model for rational SO(3)-spectra
Greenlees建立了有理SO（3）-谱的同伦范畴与某个阿贝尔范畴的导出范畴DA（SO（3））之间的范畴等价性。本文将同伦范畴的这种等价提升到模型范畴的Quillen等价的水平。本文所用的方法提供了对任意紧李群G，得到有理G-谱的扇形部分的代数模型的第一步。
Orbifolds and groupoids
我们定义了一个2-范畴结构（前Orb）的范畴内减少复杂orbifold地图集。我们构造了复流形上的一个从（Pre-Orb）到2-范畴（Grp）的真有效群胚对象的2-函子F.在（Pre-Orb）和（Grp）上都存在关于对象的自然等价关系：（Pre-Orb）中Orbifold地图集的等价和（Grp）中Morita等价（的自然扩张）。我们证明了F诱导其源和目标的等价类之间的双射。
Homotopy theory of non-symmetric operads II: change of base category and left properness
我们证明，在温和的假设下，对称monoidal模型类别之间的Quillen等价引起他们的模型类别（非对称）操作之间的Quillen等价，也模型类别的代数操作之间。我们还显示左适当的结果模型范畴的操作和代数的操作。作为一个应用，我们证明同伦不变性（单位）结合运算。
Stable A^1-homotopy and R-equivalence
我们证明了k-有理点的存在性可以通过S^1-谱的稳定A^1-同伦范畴，甚至是这个范畴的“有理化”变体来检测。
A note on the model (co-)slice categories
在模型（协同）切片和切片类别之间存在各种区分。我们刻画了这些映射是Quillen等价的。作为应用，给出了Frobenius范畴的稳定范畴与非点模型范畴的同伦范畴之间的一个三角等价。
Classification of Constructible Cosheaves
在本文中，我们证明了一个等价定理最初观察罗伯特麦克弗森。等价的一个方面是关于局部锥状分层可构造的共层范畴。我们的可构造性条件是新的，只要求某些包含的开集发送到同构。等价的另一面是来自入口路径范畴的函子范畴，它有对象的点和态射的路径的某些同伦类。当我们的可构造余层在$\mathsf{Set}$中取值时，我们证明了与分层覆盖范畴的一个额外等价。
Homotopy Colimits of Algebras Over Cat-Operads and Iterated Loop Spaces
将置换范畴范畴中的同伦余极限构造推广到任意$\Cat$运算上的代数范畴，并分析了它的性质。然后，我们使用这个同伦上极限来证明分类空间函子在形式上反转某些弱等价类后，导出了$n$ -折叠幺半范畴与$\mathcal{C}_n$ -空间范畴之间的等价性，其中$\mathcal{C}_n$是小$n$ -立方体运算数。作为结果，我们得到了$n$ -fold幺半范畴与$n$ -fold闭路空间范畴和局部化后的回路映射范畴关于另一类弱等价的等价性.我们恢复了Mesquason关于无限闭路空间的相应结果，并得到了关于辫幺半范畴和2重闭路空间的相关结果.
Categories and orbispaces
几十年来，从分类输入数据构造和操作同伦类型一直是代数拓扑学中的一个重要主题。每一个范畴都产生一个“分类空间”，这是神经的几何实现。直到弱同伦等价，每个空间都是一个小范畴的分类空间。更真实的是：拓扑空间和连续映射的整个同伦理论都可以用范畴和函子来建模。我们建立了范畴和空间的同伦理论的等价性的一个广泛的推广：小范畴表示轨道空间的精细同伦类型，其基础粗模空间是迄今为止考虑的传统同伦类型。全局等价是小范畴之间的函子，它对所有有限群$G$诱导$G$ -对象范畴的神经的弱等价。我们表明，全球等价的一部分模型结构的范畴上的小范畴，这是此外Quillen等价的同伦理论的轨道空间的意义上的Gepner和Henriques。在这个全局模型结构中，每一个凝聚范畴都与Haefliger意义下的群复合体相对。
The Uniform Homotopy Category
本文给出了经典同伦理论的一致性理论加细。三次集（有联络）和一致空间都有弱等价类，这是经典弱等价的特殊情况，适用于各自的Lipschitz和一致集。立方集和一致空间允许（余）相容对象范畴的附加相容结构。三次集与空间的经典同伦范畴之间的范畴等价提升为从三次集的关联Lipschitz同伦范畴到一致空间的关联一致同伦范畴的完全忠实嵌入。有界三次上同调推广到Lipschitz同伦范畴上的一个可表示理论。路连通空间上的有界奇异上同调推广到一致同伦范畴上的一个可表示理论。在此过程中，本文发展了Kan的Ex^infinity函子的三次模拟，并证明了均匀映射的三次逼近定理。
On the Classification of Pointed Fusion Categories up to weak Morita Equivalence
一个点融合范畴是一个刚性张量范畴，它包含许多简单对象的同构类，而且这些同构类是可逆的。两个张量范畴$C$和$D$是弱Morita等价的，如果存在$C$上的不可分解右模范畴$M$使得$Fun_C(M,M)$和$D$是张量等价的.利用与阿贝尔群扩张相联系的Lyndon-Hochschild-Serre谱序列，给出了两个点融合范畴弱Morita等价的上同调类的充要条件.这个结果可以允许分类的等价类的点融合类别的任何给定的全球层面。
An algebraic model for rational S^1-equivariant stable homotopy theory
Greenlees定义了一个阿贝尔范畴A，它的导出范畴等价于有理S^1-等变稳定同伦范畴，其对象表示有理S^1-等变上同调理论。我们证明了A（dgA）中的微分分次对象的模型范畴实际上模拟了整个有理S^1-等变稳定同伦理论。也就是说，在拟同构或稳定等价被反演之前，我们证明了dgA与有理S^1-等变谱的模型范畴之间存在Quillen等价。这意味着所有的高阶结构，如映射空间，函数谱和同伦（上）极限都反映在代数模型中。这里的新成分是某些梅西产品计算和工作的合理稳定的模型类别从“分类的稳定模型类别”和“等价的monoidal模型类别”与施韦德。在附录中，我们表明，户田括号，因此也梅西产品，是由三角导出范畴。
Strict model structures for pro-categories
证明了如果C是一个真模型范畴，则pro-C有严格的模型结构，其中弱等价是层次弱等价。严格的模型结构是许多原对象同伦理论的出发点。
Detecting motivic equivalences with motivic homology
设$k$是域，$R$是交换环，并假设$k$的指数特征在$R$中可逆.本文证明了Voevodsky的动机三角范畴$\mathcal{DM}(k;R)$中的同构可由$k$的所有可分的可分生成域扩张的基变化的动机同调群来检测.然后，从以前的保守性结果，这些motivic同调群检测同构的特定空间之间的指向motivic同伦范畴$\mathcal{H}(k)_*$。
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