DG类别构成了什么？
What do DG categories form?
摘要：
在2-范畴的范畴上引入了同伦2-范畴结构。
英文摘要：
We introduce a homotopy 2-category structure on the category of 2-categories.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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什么是高阶范畴中的等价物？
What is an equivalence in a higher category?
本综述的目的是以统一的方式提出严格$n$ -范畴或$(\infty,n)$ -范畴之间以及严格$(n+1)$ -范畴或$(\infty,n+1)$ -范畴内部的等价概念。
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什么是对称幺半范畴？
What are symmetric monoidal categories?
University of Southern California（南加州大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）；MIT（麻省理工学院）；Haverford（哈弗福德学院）；Wellesley（韦尔斯利学院）
研究对称幺半范畴，证明其2-范畴与$\sP$-伪代数及严格特殊$\sF$-伪代数的2-范畴等价，此等价为无限循环空间理论提供简化增强，有独立研究意义。
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什么是阿贝尔范畴？
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这主要是一个概述。给定可表示的阿贝尔范畴$A$和$B$，我们构造了从$A$到$B$的连续函子的阿贝尔范畴，该范畴具有良好的$2$ -范畴行为，并给出了$A$和$B$的导出范畴之间的稳定函子的稳定范畴的显式模型.该构造是绝对的，因此不仅可以恢复Hochschild，还可以恢复Mac Lane上同调。
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关于范畴的交换代数
On the Commutative Algebra of Categories
讨论了对称幺半范畴范畴是交换半环范畴上的模的意义。（1）Carnival幺半范畴，（2）半加法范畴，（3）联络谱范畴中的每一个范畴都可以用这种方法恢复为交换半环范畴（或后一种情况下的$\infty$ -范畴）上的模范畴。这种语言提供了代数理论（运算，PROPs，Lawvere理论）和稳定同伦理论的形式主义的同时推广，基本上是代数K理论的一个变体。
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等变迭代闭路空间理论与置换G-范畴
Equivariant iterated loop space theory and permutative G-categories
建立了等变迭代闭路空间理论的运算基础。首先，我们从讨论V-折叠圈G-空间的逼近定理和识别原理，发展到无限圈G-空间的识别原理的几个化身。然后，我们解释什么是真正的置换G范畴，更一般地说，什么是E_{\infty} G范畴，给出的例子显示他们如何产生。作为应用，我们证明了等变Barratt-Priddy-Quillen定理是关于真正G-谱的陈述，并利用它给出了悬浮G-谱的Tom Dieck分裂定理的一个新的分类证明。其他的例子是面向等变的代数K理论。
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$(\infty,1)$世界旋风之旅-类别
A Whirlwind Tour of the World of $(\infty,1)$-categories
这篇对更高范畴理论的介绍旨在给读者一种直觉，即什么是$(\infty,1)$ -范畴，它们什么时候是一个合适的工具，它们如何适应高阶范畴的景观，普通范畴论的概念如何推广到这个新的设置，以及人们把这个理论用在什么地方。它是一个广阔领域的粗略指南，专注于想法和动机，省略了几乎所有的证明和技术细节，并提供了许多参考。
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完全限制幺半群范畴与Etale范畴范畴之间的一个附加
An adjunction between a category of complete restriction monoids and a category of étale categories
我们证明，有一个附加物之间，我们称之为etale拓扑范畴和限制量子框架，导致一个附加物与一类完全限制幺半群。这推广了étale群胚和伪群之间的连接。
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一个新的亲范畴模型
A new model for pro-categories
本文提出了一种构造范畴的前范畴的新方法。这种新模式在某些情况下使用起来非常方便。我们提出了这个新模型的几个应用，其中最重要的解决了Isaksen [Isa]关于在亲范畴上的严格模型结构中函子因子分解的存在性的一个公开问题。此外，我们解释和纠正一个错误的标准参考亲类别。
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范畴上的结合面与弱Monoidal结构
Associahedra and Weak Monoidal Structures on Categories
本文回答了这样一个问题：什么样的代数结构的范畴对应的$A_n$结构（在意义上的Stasheff）的几何实现的神经？
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数学的无限范畴论是不一致的--评恩斯特的“无限范畴论的前景：做尚待做的事”
Unlimited Category Theories for Mathematics are Inconsistent: A Discussion of Michael Ernst's "The Prospects for Unlimited Category Theory: Doing What Remains to be Done"
范畴论的支持者长期以来希望通过在无限的范畴论上建立数学来摆脱集合论的限制，在无限的范畴论中，大范畴，如所有群的范畴Grp，所有拓扑空间的范畴Top，以及所有范畴的范畴Cat，将是（第一类）实体而不仅仅是类。Lawvere、MacLane和Feferman提出了几个建议，但都没有成功。Feferman在1969年和2013年提出了公理化范畴论要成为“数学的无限范畴论”必须满足的三个条件。但在2015年，Michael Ernst证明了如果一个公理化的范畴理论满足Fefermann的三个要求，那么它是不一致的。这篇论文是在印第安纳大学布卢明顿逻辑研讨会上发表的，它对恩斯特的论文进行了评论。
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高阶设备、双上极限与同伦上极限
Higher Equipments, Double Colimits and Homotopy Colimits
本文围绕一个主要思想展开：单纯范畴，即范畴之范畴中的单纯对象，可以看作是一个双重范畴结构，其双重范畴论是同伦意义的。最著名的双重结构是双重范畴，通常用于组织各种上下文中的双模。然而，即使双模的概念是可以想象的，也不存在空间的双重范畴。我们首先通过构造一个有意义的单纯空间范畴来弥补双范畴论的这一缺陷。然后，我们通过定义双余限和假设一个设备属性，发展了双范畴的类比，这在例子中很快得到了满足。作为一个应用，我们证明了某些双重上极限自然地解释为同伦上极限。令人惊讶的是，这个类比揭示了一个原则：单纯范畴之于单纯充实范畴，就像双重范畴之于2-范畴一样！
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单纯同伦类型论不仅仅是单纯的：什么是 $\infty$-范畴？
Simplicial Homotopy Type Theory is not just Simplicial: What are $\infty$-Categories?
本文证明了单纯同伦类型论（sHoTT）存在非单纯对象的模型，揭示了在一般数学基础中 $\infty$-范畴的概念比先前假设的更为普遍。
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同伦类型论中的具体范畴
Concrete Categories in Homotopy Type Theory
在同伦类型论中引入了一些真正的高阶范畴，定义为类型范畴的良行为子范畴。我们给出了几个例子，一些展示其他事物的技术不是例子。虽然只是所需的一小部分，但它是一个自然的结构，并且对于寻求提供完全通用的结构的人来说可能是有指导意义的。
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对称-幺半范畴范畴中的拟伽罗瓦论
Quasi-Galois theory in symmetric-monoidal categories
给定一个对称幺半范畴中的环对象$A$，我们研究了扩张$\mathbb{1}\rightarrow A$是（拟）伽罗瓦的意义。特别是，我们定义了分裂环的扩展，并研究它们是如何发生的。专门张量三角形的类别，我们研究如何扩展标量沿准伽罗瓦环对象影响的巴耳末谱。定义了可分环具有常度的意义，这是拟伽罗瓦闭包存在的一个充要条件。最后，我们说明了上述发生在模表示理论中的可分环。
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已关闭类别
Closed categories
我们正在检查以集合的集范畴开始并以范畴的范畴结束的闭范畴。新颖之处在于将伴随函子的概念推广到有向图范畴中的联合函子对。我们已经描述了什么条件下，我们得到一个双射名称映射图运输。图不是范畴的实例，但是我们相信函子联合对的新概念对于范畴的研究也将变得重要。作为未来应用的一个例子，我们介绍了一些张量积的概念。
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闭范畴、星自治和monoidal comonads
Closed categories, star-autonomy, and monoidal comonads
本文确定了幺半范畴范畴C中的内homs对于C上的幺半群余单子G提升到Eilenberg-Moore余代数范畴C^G所需的结构。我们应用这一点来提升星自治，以期重铸量子广群的定义。
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论箭范畴中的结构
On Structures in Arrow Categories
本文研究范畴结构向箭范畴的继承，证明幺半等价可提升为箭范畴间的幺半等价，并刻画箭范畴刚性、枢轴的条件及其代数对象。
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微分限制范畴
Differential restriction categories
我们结合了两个最近的想法：carnival微分范畴，和限制范畴。其结果是一个新的结构公理化的光滑映射定义在开子集的$\R^n$的方式是完全代数的范畴。我们还给出了其他模型的结果结构，讨论了它意味着什么的部分地图是添加剂或线性，并表明，微分限制结构可以通过各种完成操作解除。
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结合代数的中心扩张与弱作用可表示范畴
Central extensions of associative algebras and weakly action representable categories
中心扩张是Barr正合范畴$\mathscr{C}$中的正则满射，它满足适当的条件，涉及$\mathscr{C}$的给定Birkhoff子范畴（与G. M. Kelly，1994）。本文将$\mathscr{C}$作为（有单位的）交换环上的（不一定有单位的）代数范畴，并考虑了关于交换代数范畴的中心扩张.我们提出了一种新的方法，避免了由于A。Fröhlich在证明$α:A\to B$是一个中心扩展当且仅当$aa'=a'a$对于所有$a,a'\in A$与$α(a')=0$。这种方法的动机介绍我们所谓的$\textit{weakly action representable categories}$，我们表明，这样的类别总是行动可访问的。我们还对我们所谓的$\textit{initial weak representations of actions}$进行了评论，并提出了几个开放性问题。
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预加范畴上的$FI$ -模与挠理论
$FI$-modules over preadditive categories and torsion theories
我们的工作与$FI$ -模块在一个小的preadditive类别$\mathcal R$，被视为一个环与几个对象。我们的目的是研究$FI$ -模的挠理论。我们特别感兴趣的挠理论上的移位生成的$FI$ -模和我们所说的“移位生成的”$FI$ -模的范畴。我们还应用这些方法研究了$\mathcal R$上$FI$ -模的归纳刻画.
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富集模型范畴与Dold-Kan对应关系
Enriched model categories and the Dold-Kan correspondence
University of Regina（里贾纳大学）；AIMS Cameroon（非洲数学研究所喀麦隆中心）
研究通过Dold-Kan对应改变富集结构对模型范畴性质的影响，揭示保留在弱单向Quillen对下的属性变化。
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斜对偶Eckmann-Hilton论证与量子范畴
A skew-duoidal Eckmann-Hilton argument and quantum categories
证明了一个关于斜幺半群结构和单子的一般性结果。这适用于量子范畴和双代数胚。普通范畴是双范畴中的单子，其态射是集合之间的跨度。量子范畴最初被定义为一个特殊的么半群双范畴M中自同态对象上的么半群余幺半群。然后，它们也被证明是M中物体上的斜幺半群结构（具有适当的单位）。现在我们看到在哪种M量子范畴中仅仅是单子。
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范畴的Kolmogorov复杂性
Kolmogorov Complexity of Categories
Kolmogorov复杂性理论用于判断字符串的算法信息内容是什么。它被定义为描述字符串的最短程序的长度。我们提出了一种编程语言，可用于描述类别，函子，和自然变换。有了这个在手，我们定义这些分类结构的信息内容作为描述这种结构的最短程序。我们的定义的一些基本后果，包括事实上，等价类别具有相等的柯尔莫哥洛夫复杂性。我们还证明了不同的定理，什么可以和不能描述我们的编程语言。
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高维线性范畴的重写及其在仿射Brauer范畴中的应用
Rewriting in higher dimensional linear categories and application to the affine oriented Brauer category
本文介绍了线性幺半范畴范畴的重写理论。这些范畴是我们将定义为线性（n，p）范畴的一个特例。我们还将定义线性（n，p）-多道图，线性适应的n-多道图，目前线性（n - 1，p）-范畴。然后，我们专注于线性（3，2）-多道图给出线性幺半范畴的介绍。最后我们给出了这个理论在线性（3，2）-多道生理记录图中的应用，利用van Ostroom定义的重写性质：递减性，用一种新的方法证明了AOB范畴上的一个基定理。
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在Monoidal范畴中追踪中间人
Tracing the Man in the Middle in Monoidal Categories
中间人（MM）不仅是一种普遍存在的安全攻击模式，也是网络计算和经济学的重要研究范式。识别正在进行的MM攻击是一个重要的安全任务，建模MM交互是一个有趣的任务计算语义。跟踪monoidal范畴是MM建模的自然框架，因为跟踪结构提供了一个工具来隐藏中间发生的事情。对已经追踪到的东西进行有效的分析似乎需要迹线的一个额外的属性，称为“正态性”。我们描述了一个适度的网络计算模型，基于偏序多集（pomsets），其中基本的网络相互作用产生的monoidal跟踪结构，和正常的跟踪结构产生的迭代，即coalgebraic结构在计算和通信中使用的术语和消息。对应关系的建立使用一个方便的monadic描述正常跟踪monoidal范畴。
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什么是应用范畴论？
What is Applied Category Theory?
这是一个关于应用范畴论的介绍性、简要性笔记的集合，灵感来自2018年应用范畴论研讨会，在这些笔记中，我们悠闲地漫步在该领域的两个主题（函子语义和组合性）、两个构造（幺半范畴和装饰cospans）和两个例子（化学反应网络和自然语言处理）中。
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微分范畴余代数的切范畴
Tangent Categories from the Coalgebras of Differential Categories
遵循线性逻辑的模式，微分范畴的coKleisli范畴是笛卡尔微分范畴。那么什么是微分范畴的coEilenberg-Moore范畴呢？答案是切线范畴！一个关键的例子来自具有自由指数模态的阿贝尔群范畴的相反。在这种情况下，柯伦伯格-摩尔范畴与交换环范畴相反。后者是一个切线范畴，这抓住了代数几何和综合微分几何的一个基本方面。一般的结果适用于没有否定的情况，因此包含了组合数学和计算机科学中的例子。这是CSL 2020会议论文的扩展版本。
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作为Koszul对偶自然环境的操作范畴
Operadic categories as a natural environment for Koszul duality
本文为操作范畴上的operads建立Koszul对偶理论框架，提炼出支持二次operads及其Koszul性发展的附加性质，并利用离散操作（op）纤维化构造新操作范畴，重点证明了图的操作范畴满足全部附加性质。
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正则范畴与关系范畴：重温“笛卡尔双范畴I”
Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'
正则逻辑是由$=$、$\top$、$\wedge$和$\exists$生成的一阶逻辑的片段。这种逻辑的一个关键特征是，它是表达二元关系的组合所需的最小片段;另一个特征是，它是正则范畴的内部逻辑。这两个事实之间的联系是，在任何正则范畴中，人们都可以用联合一元跨度来构造二元关系的概念;这导致了所谓的正则范畴的关系的二元范畴。在本文中，我们提供了一个直接的公理化的双范畴的关系，我们称之为关系PO范畴，重新解释早期的工作，卡尔博尼和沃尔特斯沿着这些路线。我们的主要贡献是一个明确的证明，2范畴的正则范畴是等价的关系PO范畴。贯穿全文，我们强调关系po范畴的图形本质。
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范畴与多范畴的广义扩充
Generalized Enrichment for Categories and Multicategories
在本文中，我们回答了这样一个问题：“什么样的结构可以丰富的一般多范畴？”“答案是，在某种意义上说是准确的，一种类型的多类别可以在上一级的多类别中丰富。在普通范畴的情况下，这就简化成了令人惊讶的事情：一个范畴可以在一个“fc-多范畴”中得到丰富，这是一种非常普遍的二维结构，包括幺半范畴、普通多范畴、双范畴和双范畴。(It事实证明，FC-多范畴也为双模构造提供了自然的设置。一个扩展的应用程序：宽松的multicategories的Borcherds和Soibelman的丰富方面的解释。
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幺半范畴在辫状幺半范畴中富集
Monoidal categories enriched in braided monoidal categories
我们引入了一个在辫子monoidal范畴$\mathcal V$中丰富的monoidal范畴的概念。建立了这一分类的基本理论，并证明了一个用辫状么半群函子对某些么半群范畴$\mathcal T$的Drinfeld中心进行分类的结果.即使是基本理论也是有趣的，它与富含对称monoidal范畴的幺半范畴理论有许多共同的特征，但缺乏某些特征。特别值得注意的是，不存在编织-丰富范畴的卡隆积，并且自然变换不形成2-范畴，而是满足编织交换关系。引人注目的是，我们的分类比人们在强monoidal函子$\mathcal V \to Z(\mathcal T)$方面所预期的要稍微更一般一些。我们想进一步理解这一点;在未来的论文中，我们证明函子是强的，当且仅当丰富的范畴在某种意义上是“完全的”。然而，还需要了解非完全浓缩类别可能是什么样子。我们的构造可以看作是去等变化的推广，它取一个强monoidal函子$\mathsf{Rep}(G) \to Z(\mathcal T)$作为某个有限群$G$和一个monoidal范畴$\mathcal T$，并产生一个新的monoidal范畴$\mathcal T // G$。在我们的设置中，给定任何辫子oplax monoidal函子$\mathcal V \to Z(\mathcal T)$，对于任何辫子$\mathcal V$，我们产生$\mathcal T …
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引起交换的编织物的分类
Classification of braids which give rise to interchange
众所周知，在幺半范畴V范畴中存在一个辫状结构，使得许多结构可以建立在这个基础上。这些包括一个丰富的范畴和函子在V上的monoidal 2-范畴V-Cat，一个丰富的范畴和模的monoidal双范畴V-Mod，一个在V上的运算范畴和一个在V上的2-fold幺半范畴结构。我们问，给定V上的一个辫，列表中存在基于该辫的给定种类的哪些不相等结构。例如，什么不平等的monoidal结构是可用的V-猫，或什么不平等的操作数结构是可用的基础上，他们的关联结构的编织在V.我们展示了替代潜在的编织，导致在一个无限的家庭的关联结构。2-fold幺半范畴公理中的外部和内部结合图将为我们提供几个障碍，这些障碍可以阻止辫子成为结合结构的基础。
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射影概形上的Gorenstein范畴与Tate上同调
Gorenstein categories and Tate cohomology on projective schemes
我们研究Gorenstein范畴。我们证明了这样一个范畴具有Tate上同调函子和连接Gorenstein相对、绝对和Tate上同调函子的Avramov-Martsinkovsky正合序列。我们表明，这样的类别有什么霍维所谓的内射模型结构，也是一个投射模型结构的情况下，类别有足够的投射。作为例子，我们证明了如果X是一个局部Gorenstein射影概形那么$X$上的拟凝聚层范畴Qco（X）就是这样一个范畴，因而具有这些特征.
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严格$\infty$-范畴的一个归纳模型结构
An inductive model structure for strict $\infty$-categories
本文为标记严格$\infty$-范畴构建了左半模型结构，通过Street神经建立与复集的Quillen伴随，并据此证明了弱$(\infty,\infty)$-范畴存在至少三种不同的非等价概念。
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有须范畴与广群、多对象Leibniz代数、自同构结构和局部到整体问题之间的可能联系
Possible connections between whiskered categories and groupoids, many object Leibniz algebras, automorphism structures and local-to-global questions
我们定义了须范畴和群胚的概念，证明了须群胚具有交换子理论。有须的$R$ -范畴也是如此，从而回答了什么可能是这些理论的“交换版本”的问题。我们将这些思想与莱布尼茨代数的理论联系起来，但是这里的换位子理论不满足莱布尼茨恒等式。我们还讨论了潜在的应用和扩展，例如解决monoid。
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双范畴中的单子
Monads in Double Categories
我们将Street单子形式理论的基本概念从2-范畴的设置扩展到双范畴的设置。特别地，我们在双重范畴C中引入了单子的双重范畴Mnd（C），并定义了双重范畴允许自由单子的构造意味着什么。我们的主要定理表明，在一定的条件下，一个双重范畴是一个框架双范畴，如果它的水平2-范畴允许自由单子的构造，则它允许自由单子的构造。我们应用这个结果得到了双映射，它扩展了图和范畴之间的关联以及多项式内函子和多项式单子之间的关联。
math.CT
工作范畴理论家的理论计算机科学
Theoretical Computer Science for the Working Category Theorist
理论计算机科学讨论有关计算的基础问题。它提出并回答诸如“什么是计算？什么是可计算的？什么是有效可计算的？”、“什么是信息？”、“什么是随机？“、“什么是算法？我们将用范畴论的基本语言提出许多主要的主题和定理。令人惊讶的是，理论计算机科学中许多有趣的定理和概念都是函子性和复合性的简单结果，只要你找到正确的范畴和连接它们的函子。
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顶点算子代数和辫子有限张量范畴的表示
Representations of vertex operator algebras and braided finite tensor categories
讨论了近20年来关于合适的顶点算子代数在合适的模范畴上的辫子有限张量范畴结构的构造和研究所取得的成就。我们确定的主要困难的部分，在建设中，讨论的方法，以克服这些困难，并提出了一些进一步的问题，仍然需要解决。我们也选择讨论三个众多的应用中的建设。
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反向导数类别
Reverse derivative categories
逆导数是机器学习和自动微分中的基本运算。本文给出了一个具有反导数运算的范畴的直接公理化，其形式类似于笛卡尔微分范畴对正导数的公理化。有趣的是，一个有反向导数的范畴也有正向导数，但反之则不然。事实上，我们明确地表明了什么是前向导数的缺失：一个反向导数是等价于一个前向导数与匕首结构的子范畴的线性映射。此外，我们证明了这些线性映射形成了一个具有匕首双积的可加富集范畴。
cs.LOmath.CT
高秩图的一个推广
A generalization of higher rank graphs
我们引入我们所谓的“广义高阶$k$ -图”作为一类类别配备了大小的概念。它们不仅扩展了更高秩的$k$ -图，而且还扩展了第一作者所引入的Levi范畴作为群图的范畴集。我们证明了广义高阶$k$ -图的例子可以用群胚和高阶图的Zappa-Szép积来构造。
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实集
Real sets
在回顾了Denis Higgs于1978年发表的关于扩展正实数的一个普遍刻画之后，我们定义了一个范畴，它提供了问题的答案：\begin{itemize} \item what is a set with half an element? \item what is a set with $π$ elements? \end{itemize}这些扩展正实数集的范畴被装备了一个可数的张量积。我们发展了可数张量范畴的理论;我们称交换的这类范畴为{ \em series monoidal}，并通过简单地提到称为{ \em $ω$ -monoidal}的非交换可能性来得出结论。我们在$[-\infty,\infty]$中对具有基数的集合作了一些说明。
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三角范畴中$Σ$ -纯内射性的刻画及其在内完全对象中的应用
Characterisations of $Σ$-pure-injectivity in triangulated categories and applications to endoperfect objects
我们提供了各种方法来构造$Σ$ -纯内射对象在一个复杂生成的三角范畴。这些特征模拟了模块的模型论的类似的众所周知的结果。证明涉及两种方法。在第一种方法中，我们从模块理论的设置调整参数。在这里，固定环上的模的单排序语言被替换为规范的多排序语言，其排序由紧对象给出。在整个过程中，我们使用Yoneda嵌入的一个变体，称为resticted Yoneda functor，它将多排序结构与每个对象相关联。第二种方法是使用此函子翻译语句。特别地，从Grothendieck范畴中关于$Σ$ -内射对象的结果出发，得到了三角范畴中关于$Σ$-纯内射对象的结果.结合这两种方法突出了函子范畴中生成元的有序pp-可定义子群和零化子子群之间的联系。我们的特征化激发了我们所谓的内完成对象的引入，它概括了内有限对象。
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伴随函子与同态
Adjoint Functors and Heteromorphisms
范畴论具有基础性的重要性，因为它提供了概念透镜来表征数学中重要的东西。最初的主要透镜是泛映射属性和自然变换。近几十年来，伴随函子的概念已经成为范畴论的主要工具，用来描述数学中重要的东西。我们的重点是提出一个理论的伴随函子。该理论的基础是首先表明不同类别的对象之间的对象对对象的“异形”（例如，生成元作为集合到群映射的插入）可以在范畴论内严格地处理。异形理论表明，所有的同构都是由不同范畴的对象之间的异形的双表示产生的。
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递减积的导出辫及其范畴
Derived Braids of Decreasing Products and their Categories
本文证明由偶数股分量辫构成的递减积具有等价导出辫，从而将导出辫相等推广为Yang-Baxter方程的广义形式，并关联Joyal-Street相干性结果。
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模型范畴的右去局部化
Right Delocalization of Model Categories
模型范畴在同伦理论中一直是一个有用的工具，它允许将拓扑空间中的许多结果推广到其他范畴。给出模型类别的局部化在相同的基本类别上提供了额外的模型类别结构，这通过增加弱等价类来改变被认为是等价的对象。在某些情况下，一个模型类别的弱等价类是从原来的一个限制可能更可取。在这种情况下，我们需要离域的概念。本文定义了右Bousfield离域化，给出了右Bousfield离域化的例子和一个存在性定理。特别是，我们表明，给定两个模型类别结构$\scr{M}_1$和$\scr{M}_2$，我们可以定义一个额外的模型类别结构$\scr{M}_1 \cap \scr{M}_2$通过定义类的弱等价的交集的$\scr{M}_1$和$\scr{M}_2$弱等价。此外，我们认为在一个基本类别（这是赋予了一个模型类别结构）的图类别的模型类别，并表明，离域往往是由图模型类别结构保留。
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范畴结构的可计算性与复杂性
Computability and Complexity of Categorical Structures
我们研究各种范畴结构，可以和不能被构造。我们表明，总的可计算函数可以模仿构造函子。更一般地说，图灵机能做的任何事情都可以通过范畴来构造。由于范畴论中存在无穷结构，证明了范畴论严格地比图灵机更强大。特别是，范畴可以解决图灵机的停机问题。我们还表明，类别可以解决任何问题的算术层次结构。
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单子（monad）的2-范畴的万有性质是什么？
What is the universal property of the 2-category of monads?
本文证明从单子2-范畴 Mnd(K) 到 EM(K) 的恒等2-函子是恒等2-函子 1:K→K 的自由完备化，并为此引入笛卡尔闭范畴 BO 及其充实范畴理论。
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阿贝尔范畴中的Frobenius对：与余挠对、正合模型范畴和Auslander-Buchweitz背景的对应
Frobenius pairs in abelian categories: correspondences with cotorsion pairs, exact model categories, and Auslander-Buchweitz contexts
在这项工作中，我们重新Auslander-Buchweitz逼近论，并发现一些关系，与余挠对和模型范畴结构。从逼近论中的相关生成元和余生成元的概念出发，在交换范畴$\mathcal{C}$中引入了左Frobenius对$(\mathcal{X},ω)$的概念.我们展示了如何从$(\mathcal{X},ω)$构建一个在$\mathcal{X}^\wedge$上的投影精确模型结构，作为Hovey-Gillespie对应应用于$\mathcal{X}^\wedge$中的两个相容的和完全的余挠对的结果。这些对可以被看作是相对于$\mathcal{C}$的厚子范畴的我们称之为余扭对的例子。我们建立了Frobenius对，相对余挠对，精确模型结构和Auslander-Buchweitz上下文之间的一些对应关系。最后，在Gorenstein同调代数的背景下，通过推广Gorenstein环和Ding-Chen环上模范畴的一些已有模型结构，并将环的稳定模范畴编码为某种同伦范畴，给出了这些结果的一些应用.我们还提出了一些与完美余挠对，覆盖类和余倾斜模的联系。
math.CT
依赖光学
Dependent Optics
本文提出依赖光学统一框架，形式化多种双向数据访问器，定义依赖光学范畴并确立余积条件，引入Tambara表示对逆变函子分类，将profunctor编码推广至依赖情形。
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关于逆像保持范畴上同调的准则
Criteria for preserving the category cohomology for the inverse image
本文研究小范畴间函子逆像保持上同调群的条件，指出左伴随函子对部分上同调的失效并提供反例，进而提出并证明了多种范畴上同调不变性的充要条件及其推广准则。
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K理论的范畴基础
Categorical Foundations for K-Theory
回想一下，对象C的$K$理论的定义（例如，环或空间）具有以下模式。我们首先把对象C与范畴A_C联系起来，范畴A_C具有适当的结构（正合的、瓦尔德豪森的、对称么半群的、.）。然后，我们将一个“$K$ -理论机器”应用于范畴A_C，它提供了一个无限闭路空间，即对象C的$K$ -理论K（C）。我们研究这个过程的第一步。通过$K$理论研究的对象有哪些类型？给定这些类型的对象，应该将什么结构化类别与对象相关联以获得关于它的$K$理论信息？这些对象的态射应该如何与这种对应相互作用呢？我们提出了一个统一的，概念框架的一些重要的例子研究对象的$K$理论。与对象C相关联的结构化类别通常是monoidal（op-）constructed类别中的模块的类别。所考虑的模块是“局部平凡的”关于一个给定类的平凡模块和一个给定的Grothendieck拓扑的对象C的范畴。
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完备C ~*-范畴与Topos理论的Green-Julg定理
Complete C*-categories and a topos theoretic Green-Julg theorem
我们研究了C*-范畴范畴的范畴完备性的正确定义，并提出了几个这样的定义的变体，使得C*-代数上的Hilbert模范畴成为自由（余）完备.我们将关于生成元和比较理论的结果推广到我们的“完备C*-范畴”，并给出了C*-代数或C*-范畴上的Hilbert模范畴的抽象刻画为“完备C*-范畴有足够的绝对紧态射（和生成元）".然后，我们应用这一点来研究范畴的希尔伯特空间在topos显示，这是一个例子，一个完整的C*-范畴。证明了拓扑理论的Green-Julg定理：拓扑上的局部可判定的、可分离的、局部反射是局部紧的、完全正则的希尔伯特空间范畴是附着在拓扑上的C ~*-代数上的希尔伯特模范畴.本文的所有结果都得到了构造性的证明，因此可以应用于拓扑结构的内部。此外，我们还构造性地证明了一些关于C ~*-代数和Hilbert模的经典结果.
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正则模式、代换、费曼范畴和运算
Regular patterns, substitudes, Feynman categories and operads
我们证明了Getzler（2009）的正则模式与Day和Street（2003）的代换2-范畴形成2-范畴双等价，Kaufmann和Ward（2013）的Feynman范畴与有色运算2-范畴形成2-范畴双等价（具有可逆2-胞室）.这些双等价诱导了相应代数范畴之间的等价。在确定这些双等价值时有三个主要因素。第一个是严格化定理（利用功率的一般相干结果），它允许减少的情况下，结构映射是身份对象函子和严格monoidal。其次，我们subsidiaries的Getzler和Kaufmann-沃德遗传公理到概念的Guitart精确性，一般条件，确保某些左Kan扩展和一个给定的单子之间的兼容性，在这种情况下，自由对称monoidal类单子。最后，我们建立了一个替代和我们称之为pinned对称幺半范畴之间的biadjunction，从结果遵循的事实，遗传映射正是这个biadjunction的counit。
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三角范畴的预层与概型重构
Presheaves of triangulated categories and reconstruction of schemes
对于任何具有张量积$(K,\otimes)$的三角范畴，我们借助于$K$的厚子范畴，象Hopkins-Neeman-Neeman一样，把拓扑空间$Spc(K,\otimes)$联系起来.此外，对于$Spc(K,\otimes)$的每个开子集$U$，我们关联一个三角范畴$K(U)$，产生可以被认为是三角范畴的预层。将这一点应用于诺特模式$X$上的完全复形的导出范畴$(K,\otimes):=(D^{perf}(X),\otimes^L)$，拓扑空间$Spc(K,\otimes)$证明是$X$的基础拓扑空间;而且，对于每个开$U\subset X$，范畴$K(U)$自然等价于$D^{perf}(U)$。作为应用，我们给出了一种从完备复形$D^{perf}(X)$的导出范畴重构任意约化Noether概型$X$的方法，把后者看作是一个具有$\otimes^L$的张量三角范畴.
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什么是内部广群？
What is an internal groupoid?
对本文所研究的问题的一个回答带来了内群胚的一个新的特征，使得：（a）即使在不假设有限极限存在的情况下它也成立;（b）它是对合2-链范畴的一个满子范畴，也就是说，它的对象是配备有一对互连对合的态射的范畴。这个结果突出了这样一个事实，即使内部群胚是配备有对合的内部范畴，它们也可以等价地被视为具有对合的三图。此外，具有对合的三图的结构可以进一步收缩为由一个态射和两个互连对合组成的更简单的结构。这种方法与群胚被视为自反图的方法形成鲜明对比，在自反图上，乘法结构被定义为逆。
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张量 *-范畴中的核理想与迹理想
Nuclear and Trace Ideals in Tensored *-Categories
通过定义张量 *-范畴中的核理想，我们推广了来自泛函分析的核映射的概念.这项研究的动机来自于试图概括关系范畴的结构，以处理所谓的“概率关系”。与关系范畴相关的紧闭结构并不直接推广，而是得到核理想。我们引入核理想的概念来分析这些类的态射。在紧闭范畴中，我们看到所有态射都是核态射，而在希尔伯特空间范畴中，核态射是希尔伯特-施密特映射。我们还介绍了两个新的例子张量 *-范畴，其中集成起着组成的作用。首先，态射是一类特殊的分布，我们称之为驯服分布。我们还介绍了一类概率关系，这是原来的激励的例子。最后，我们通过引入迹理想的概念，将Joyal、Street和Verity最近关于追踪的幺半范畴的工作扩展到这种情况。对于一个给定的对称幺半范畴，一般不是任意自同态都能被赋迹的情况。然而，我们可以找到理想的范畴上，一个跟踪可以定义满足方程类似的Joyal，街和Verity。我们在张量 *-范畴中建立了核理想与迹理想之间的密切对应关系，这是由希尔伯特空间上的Hilbert-Schmidt算子与迹算子之间的对应关系所暗示的.
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从 gs-monoidal 范畴到 Oplax Cartesian 范畴：构造与函子完备性
From Gs-monoidal to Oplax Cartesian Categories: Constructions and Functorial Completeness
本文扩展 gs-monoidal 范畴为带箭头预序的 oplax cartesian 范畴，刻画其 Kleisli 与 span 构造，并证明 Yoneda 嵌入及函子完备性定理。
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无穷Links L，无穷4-流形M_L和Kirby范畴
Infinity Links L, infinity-4-Manifolds M_L and Kirby Categories
我们构造了一个Kirby范畴，一个态射是光滑4-流形的幺半范畴，向下投影到另一个态射是可定向3-流形的幺半范畴，投影是由流形上的边界映射引起的。我们构造了这类概念的一个更高的范畴推广，并引入了带状$\infty$范畴的概念，它是辫状monoidal $\infty$范畴的一个推广（\cite{Lu1}），其产生了$\infty$ -链路的概念，$\infty$ -4-流形以及更一般的有壁$\infty$ -4-流形的概念，如果人们将注意力集中在$\infty$ -4-流形上，将加厚的薄片粘在丝带上制成的歧管。这些属于一个更大的类约束$\infty$ -4-流形，其经典的4维对应物是约束4-流形，我们考虑物理理论。我们认为对约束4-流形和拉格朗日密度描绘物理理论定义在这样的空间作为态射对象在一个增强的Kirby类别，其对象被视为事件。我们定义了一个普遍的范畴$Λ$的所有事件，我们涉及到的$\infty$-范畴的带状$\infty$ -范畴，并得出部分结论，拉格朗日域论可以取代使用$\infty$ -范畴。
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切触范畴中的重要态射类与相对余切序列
Important Classes of Morphisms and the Relative Cotangent Sequence in Tangent Categories
Macquarie University（麦考瑞大学）；University of Calgary（卡尔加里大学）
研究切触范畴中浸入、淹没等态射类的含义、相互作用及性质，通过切丛投影可携带概念定义水平下降，以此为工具研究这些态射类，还定义了任意切触范畴中的德拉姆相对余切复形。
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执业物理学家的分类
Categories for the practising physicist
在这一章中，我们将以一种有点非传统的方式来考察范畴论中的一些特殊主题。我们的主要重点将是monoidal范畴，主要是对称的，我们提出了一个物理解释。这些与量子基础和量子信息学特别相关。特别注意的范畴，其中有有限维希尔伯特空间作为对象，线性映射作为态射，张量积作为其monoidal结构（FdHilb）。我们还提供了一个详细的讨论范畴的集合作为对象，关系作为态射，和carnival产品作为其monoidal结构（Rel），第三，范畴与流形作为对象和cobordisms之间作为态射（2Cob）。虽然集合、希尔伯特空间和流形不共享任何非平凡的共同结构，但这三个类别实际上在结构上非常相似。共同的特点是图解演算，紧凑的封闭结构和特殊类型的内部commonies发挥了重要作用，在每一个。范畴FdHilb和Rel还允许范畴矩阵演算。这些特征一起引导我们走向拓扑量子场论。我们还讨论了姿态范畴，群表示如何实际上是范畴结构，以及monoidal范畴的严格化和连贯性是什么。为了补充现有的文献，我们省略了一些非常基本的主题。对于这些，我们建议读者参考其他可用的来源。
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