Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory
这本书是一个邀请，通过具体的，现实世界的例子发现在范畴论先进的主题。它的目的是提供一个旅游：一个温和，快速的介绍，以指导以后的探索。本课程将围绕七个草图展开，每个草图都将一个令人回味的应用（如数据库、电路或动力系统）与一个范畴结构（如伴随函子、丰富范畴或topose）的探索相结合。没有范畴论的先验知识被假定。有关错别字、评论、问题和建议的反馈表，请访问：https://docs.google.com/document/d/160G9OFcP5DWT8Stn7TxdVx83DJnnf7d5GML0_FOD5Wg/edit
2018-10-12 math.CT
What is the spectral category?
对于一类具有有限极限的范畴$\mathcal{C}$和$\mathcal{C}$中的一个拉回稳定的、包含所有同构的、在复合下闭的、具有强左消去性质的单态类$\mathcal{S}$，我们利用$\mathcal{C}$中的拉回稳定的$\mathcal{S}$ -本质单同态构造了一个谱范畴$\mathrm{Spec}(\mathcal{C},\mathcal{S})$ .我们证明了它有有限的极限，并且正则函子$\mathcal{C}\to \mathrm{Spec}(\mathcal{C},\mathcal{S})$保持有限的极限。当$\mathcal{C}$是一个正规范畴时，为了简单起见，假设$\mathcal{S}$是$\mathcal{C}$中所有单态的类，我们证明了拉回稳定的$\mathcal{S}$ -本质单同态与我们所说的子对象-本质单同态是相同的.
2019-09-24 math.CT math.RA
What do homotopy algebras form?
在论文arXiv：1406.1744中，我们构造了一个对称幺半范畴$LIE^{MC}$，它的对象是移位（和过滤）的L-无穷代数.在这里，我们固定一个cooperad $C$，并表明，代数在操作数$Cobar(C)$自然形成一个范畴丰富的$LIE^{MC}$。在arXiv：1406.1744之后，我们把这个$LIE^{MC}$ -丰富范畴“整合”到一个单纯范畴$HoAlg^Δ_C$中，它的映射空间是Kan复形.单纯范畴$HoAlg^Δ_C$给出了$Cobar(C)$ -代数的$(\infty,1)$ -范畴的一个特别好的模型。证明了$HoAlg^Δ_C$的同伦范畴是$Cobar(C)$ -代数范畴和无穷态射关于无穷拟同构的局部化.最后，我们证明了同伦转移定理是Goldman-Millson定理的一个简单推论。
2015-03-04 math.AT math.CT math.RA
A Whirlwind Tour of the World of $(\infty,1)$-categories
这篇对更高范畴理论的介绍旨在给读者一种直觉，即什么是$(\infty,1)$ -范畴，它们什么时候是一个合适的工具，它们如何适应高阶范畴的景观，普通范畴论的概念如何推广到这个新的设置，以及人们把这个理论用在什么地方。它是一个广阔领域的粗略指南，专注于想法和动机，省略了几乎所有的证明和技术细节，并提供了许多参考。
2013-09-05 math.CT
What is an internal groupoid?
对本文所研究的问题的一个回答带来了内群胚的一个新的特征，使得：（a）即使在不假设有限极限存在的情况下它也成立;（b）它是对合2-链范畴的一个满子范畴，也就是说，它的对象是配备有一对互连对合的态射的范畴。这个结果突出了这样一个事实，即使内部群胚是配备有对合的内部范畴，它们也可以等价地被视为具有对合的三图。此外，具有对合的三图的结构可以进一步收缩为由一个态射和两个互连对合组成的更简单的结构。这种方法与群胚被视为自反图的方法形成鲜明对比，在自反图上，乘法结构被定义为逆。
2022-11-22 math.CT
Functor String Diagrams: A Novel Approach to Flexible Diagrams for Applied Category Theory
本文提出函子弦图方法，解决传统幺半弦图无法准确表示函子等范畴构造的问题，并通过证明Yoneda引理和支撑神经电路图验证其理论与应用价值。
2024-06-26 math.CT
What kind of linearly distributive category do polynomial functors form?
本文研究多项式函子范畴 Poly 在 Dirichlet 积与替换积下形成的线性分配范畴结构，证明其为双闭 isomix LDC，并刻画其对偶对象、核及线性（余）幺半群等结构。
2026-10-14 math.CT
Applied Category Theory for Genomics -- An Initiative
地球上所有生命的终极秘密都隐藏在它们的基因组中--DNA序列的总和。我们目前知道许多生物体的整个基因组序列，而我们对系统水平上的基因组结构的理解仍然是初步的。应用范畴理论为整合基因组学中大量的异质信息，推进我们对基因组组织的认识，并为我们提供对自身基因组的深入和全面的看法开辟了一条有前途的道路。在这项工作中，我们解释了为什么应用范畴理论带来了这样的希望，我们继续展示它实际上是如何做到这一点的，尽管是在婴儿阶段。手稿的目的是可读的数学家和生物学家，因此没有事先的知识是需要从任何一方。
2020-09-06 math.CT q-bio.GN
What do abelian categories form?
这主要是一个概述。给定可表示的阿贝尔范畴$A$和$B$，我们构造了从$A$到$B$的连续函子的阿贝尔范畴，该范畴具有良好的$2$ -范畴行为，并给出了$A$和$B$的导出范畴之间的稳定函子的稳定范畴的显式模型.该构造是绝对的，因此不仅可以恢复Hochschild，还可以恢复Mac Lane上同调。
2022-01-12 math.AG math.CT
Closed categories, star-autonomy, and monoidal comonads
本文确定了幺半范畴范畴C中的内homs对于C上的幺半群余单子G提升到Eilenberg-Moore余代数范畴C^G所需的结构。我们应用这一点来提升星自治，以期重铸量子广群的定义。
2007-12-04 math.CT
What are symmetric monoidal categories?
University of Southern California（南加州大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）；MIT（麻省理工学院）；Haverford（哈弗福德学院）；Wellesley（韦尔斯利学院）
研究对称幺半范畴，证明其2-范畴与$\sP$-伪代数及严格特殊$\sF$-伪代数的2-范畴等价，此等价为无限循环空间理论提供简化增强，有独立研究意义。
2026-07-16 math.AG math.AT math.CT
Proceedings Eighth International Conference on Applied Category Theory
第八届应用范畴论国际会议汇集了来自不同学科的学者，涵盖纯理论与应用，展示了包括计算机科学、概率论、化学、量子计算等领域的最新研究成果。
2026-03-10 cs.LO math.CT
Classification of braids which give rise to interchange
众所周知，在幺半范畴V范畴中存在一个辫状结构，使得许多结构可以建立在这个基础上。这些包括一个丰富的范畴和函子在V上的monoidal 2-范畴V-Cat，一个丰富的范畴和模的monoidal双范畴V-Mod，一个在V上的运算范畴和一个在V上的2-fold幺半范畴结构。我们问，给定V上的一个辫，列表中存在基于该辫的给定种类的哪些不相等结构。例如，什么不平等的monoidal结构是可用的V-猫，或什么不平等的操作数结构是可用的基础上，他们的关联结构的编织在V.我们展示了替代潜在的编织，导致在一个无限的家庭的关联结构。2-fold幺半范畴公理中的外部和内部结合图将为我们提供几个障碍，这些障碍可以阻止辫子成为结合结构的基础。
2007-08-13 math.AT math.CT
Real sets
在回顾了Denis Higgs于1978年发表的关于扩展正实数的一个普遍刻画之后，我们定义了一个范畴，它提供了问题的答案：\begin{itemize} \item what is a set with half an element? \item what is a set with $π$ elements? \end{itemize}这些扩展正实数集的范畴被装备了一个可数的张量积。我们发展了可数张量范畴的理论;我们称交换的这类范畴为{ \em series monoidal}，并通过简单地提到称为{ \em $ω$ -monoidal}的非交换可能性来得出结论。我们在$[-\infty,\infty]$中对具有基数的集合作了一些说明。
2018-01-16 math.CT
A Survey of Definitions of n-Category
许多人提出了“弱n-范畴”的定义。其中十个在这里介绍。每一个定义都有两页，另外两页是关于当n = 0，1或2时会发生什么。定义可以独立阅读。下面是闲聊的参考书目。
2001-07-25 math.AG math.AT math.CT
On the concept of Algebraic Crystallography
范畴论为我们提供了一个关于什么是内部结构的清晰概念。这将使我们能够把注意力集中在上下文和结构之间的某种关系上。
2022-10-03 math.CT
Adjoint Functors and Heteromorphisms
范畴论具有基础性的重要性，因为它提供了概念透镜来表征数学中重要的东西。最初的主要透镜是泛映射属性和自然变换。近几十年来，伴随函子的概念已经成为范畴论的主要工具，用来描述数学中重要的东西。我们的重点是提出一个理论的伴随函子。该理论的基础是首先表明不同类别的对象之间的对象对对象的“异形”（例如，生成元作为集合到群映射的插入）可以在范畴论内严格地处理。异形理论表明，所有的同构都是由不同范畴的对象之间的异形的双表示产生的。
2007-04-17 math.CT math.LO
Fibre optics
透镜、光学和依赖透镜（或等价的容器态射，或等价的多项式函子的自然变换）都广泛地用于应用范畴论中作为双向过程的模型。从有限积范畴上的透镜定义出发，光学将所需的结构弱化为幺半范畴的作用，而相关透镜利用了有限完备性的附加性质（或者，在多项式的情况下，甚至是局部的carnival闭包）。这导致了应用范畴论文献中的分裂，分裂为使用光学的和使用依赖透镜的。本文的目的是统一光学与相关透镜，通过找到一个定义的纤维光学承认两者作为特殊情况。
2021-12-21 math.CT
A Theory of Adjoint Functors--with some Thoughts about their Philosophical Significance
“什么是范畴论“的问题是通过关注泛映射性质和伴随函子来解决的。范畴论使用传递结构和决定的态射来组织数学。数学感兴趣的结构通常由一些泛映射性质表征，因此一般的论点是范畴论是关于通过共相确定的。近几十年来，伴随函子的概念已经成为范畴论的主要工具，用来描述数学中重要和普遍的东西。因此，我们在这里的重点是提出一个理论的伴随函子，一个理论，表明所有的排斥产生于双表示的“嵌合体”或“异形”之间的对象的不同类别。由于表示提供了泛映射性质，这一理论将伴随置于通过共相决定的框架内。结论认为，这些数学概念和一些中心的哲学主题之间的一些不合理的有效类比。
2005-11-15 math.CT math.LO
Equivariant monads and equivariant lifts versus a 2-category of distributive laws
固定一个幺半范畴C. C-作用范畴的2-范畴中的2-范畴单子、COLAX C-等变函子和COLAX函子的C-等变自然变换，可以用由一个通常的单子和单子与C的作用之间的分配律、遵守分配律的单子态射和满足与所涉及的作用和分配律的某种相容性的单子变换组成的对来重铸。这幅图中的单子可以推广到幺半范畴范畴的作用，特别是PRO-s的作用。如果C也是一个PRO，那么在特殊情况下，我们得到一个给定经典类型的各种分配律，例如在comonad和endofunctor之间或在monad和comonad之间。通常的五边形一般都用多重边形代替，也有涉及两个不同分配律的“混合”多重边形。Beck的一个单子到另一个单子的Eilenberg-Moore范畴的分配律和提升之间的双射在这里被推广到2-范畴的同构。上述映射对的提升是共轴C-等变的。我们完成了一个简短的治疗的相对分配律之间的两个伪代数结构是相对的分配两个pseudomonads参与，什么给了一个暗示的推广。
2007-07-11 math.CT
Applied Category Theory in the Wolfram Language using Categorica I: Diagrams, Functors and Fibrations
本文介绍了基于 Wolfram 语言的开源计算范畴论框架 Categorica，支持范畴结构操作、泛性质推理及自动化图表定理证明，首篇聚焦图表、函子与广群的处理及证明能力。
2024-03-24 cs.SC math.CT
What is a monoid?
University of Birmingham（伯明翰大学）
本文通过扩展多范畴框架，提出双斜多范畴的概念，以涵盖区分左右因子的单体结构，如相对单体和调用-推值序列建模。
2025-12-04 cs.PL math.CT
Linear polygraphs applied to categorification
我们介绍两个应用程序的测谎仪分类问题。我们首先从$n$类别的连贯表示中计算其Karoubi包络的连贯表示。为此，我们将Karoubi包络的构造推广到$n$ -多道生理记录图和线性$(n,n-1)$ -多道生理记录图。本文讨论的第二个问题是构造$(n,n-1)$ -测谎仪的Grothendieck去范畴化。这种结构产生了一个重写系统，例如代数分类的线性幺半范畴。最后，我们链接拟收敛的重写系统的线性$(n-1,n-1)$范畴的直和分解的唯一性。
2017-04-09 math.CT math.RT
Dependent Optics
本文提出依赖光学统一框架，形式化多种双向数据访问器，定义依赖光学范畴并确立余积条件，引入Tambara表示对逆变函子分类，将profunctor编码推广至依赖情形。
2023-07-31 cs.LO math.CT
Proceedings Fifth International Conference on Applied Category Theory
第五届国际应用范畴论会议（ACT2022）于2022年在斯特拉斯克莱德大学举行，涵盖59个报告及多学科贡献，本卷论文集收录了经同行评审的24篇会议论文。
2023-07-28 cs.LO math.CT
Higher Equipments, Double Colimits and Homotopy Colimits
本文围绕一个主要思想展开：单纯范畴，即范畴之范畴中的单纯对象，可以看作是一个双重范畴结构，其双重范畴论是同伦意义的。最著名的双重结构是双重范畴，通常用于组织各种上下文中的双模。然而，即使双模的概念是可以想象的，也不存在空间的双重范畴。我们首先通过构造一个有意义的单纯空间范畴来弥补双范畴论的这一缺陷。然后，我们通过定义双余限和假设一个设备属性，发展了双范畴的类比，这在例子中很快得到了满足。作为一个应用，我们证明了某些双重上极限自然地解释为同伦上极限。令人惊讶的是，这个类比揭示了一个原则：单纯范畴之于单纯充实范畴，就像双重范畴之于2-范畴一样！
2019-08-16 math.AT math.CT
What should a generic object be?
雅各布斯提出了定义（弱，强，分裂）一般对象的纤维范畴;建立在他的定义（分裂）一般对象，雅各布斯开发了一个动物园的重要纤维结构与应用程序的范畴逻辑和计算机科学，包括高阶纤维，多态纤维，$λ2$ -纤维，tripose，和其他。我们观察到，在给定的定义下，一个分裂的类属对象不需要特别是一个类属对象，并且多态纤维化、tripose等的定义足够严格，可以排除一些基本的例子：例如，由可实现的部分组合代数诱导的纤维化前序在这个意义上不是一个tripos。我们提出了一个新的对齐的术语，强调形式的通用对象出现在自然界中最常见的，即在研究内部类别，triposes，和指称语义的多态性。此外，我们提出了一个新的类的无环通用对象的启发最近的事态发展，在更高的范畴理论和同伦类型论的语义，概括的重新排列属性的宇宙设置的任意纤维化。
2023-03-09 cs.LO cs.PL math.CT
