A Survey of Definitions of n-Category
Tom Leinster
许多人提出了“弱n-范畴”的定义。其中十个在这里介绍。每一个定义都有两页，另外两页是关于当n = 0，1或2时会发生什么。定义可以独立阅读。下面是闲聊的参考书目。
Many people have proposed definitions of `weak n-category'. Ten of them are presented here. Each definition is given in two pages, with a further two pages on what happens when n = 0, 1, or 2. The definitions can be read independently. Chatty bibliography follows.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Potential Definition of Weak $ω$-Category
本文提出弱无限维范畴的无偏替代定义，基于带复合与额外结构的一维箭图。
Equivalent definitions of fusion category arising from separability
本文通过分离性条件，给出了融合范畴的等价定义，并探讨了其在弱霍普夫代数连通性和模范畴简单性转移中的应用。
A note on the Penon definition of $n$-category
我们证明了双退化Penon三范畴给出了对称的而不是辫状的幺半范畴范畴。我们证明，Penon三范畴不能给所有的三范畴，但我们表明，稍微修改版本的定义纠正的情况。我们给修改后的定义，使用非自反，而不是自反的球形集，并表明，问题与双退化tricategories不会出现。
Comparing algebraic and non-algebraic foundations of $n$-category theory
弱n-范畴的定义已有很多种。人们已经广泛观察到，这些定义中的每一个都是两种类型之一：代数定义，其中明确指定了复合和相干单元，以及非代数定义，其中仅需要存在复合和约束单元的相干选择。在定义之间进行的比较相对较少，大多数比较只涉及一种类型的定义之间的关系。本文的目的是建立更多的比较，包括代数定义和非代数定义之间的比较。论文分为两个部分。第一部分讨论了弱n-范畴的三种代数定义之间的关系：Penon和Batanin的定义，以及Batanin定义的Leinster变体。在Batanin和Leinster的定义中，用于定义组合和连贯性的结构之间的对应关系一直被怀疑;我们第一次精确地说明了这一点。我们使用这种对应关系来证明几个相干定理，适用于所有三个定义，并采取第一步描述之间的关系弱n-范畴的Batanin和Leinster。在第2部分中，我们迈出了第一步，以神经构造的形式比较了Penon的弱n-范畴定义与非代数定义（Tamsamani定义的Simpson变体）之间的比较。作为这个神经结构的原型，我们回顾了Leinster提出的双范畴的神经结构，并证明了由这个结构给出的双范畴的神经是Tamsamani-Simpson弱2-范畴。然后，我们定义我们的神经函子Penon弱n-范畴。我们证明了Penon弱2-范畴的神经是Tamsamani-Simpson弱2-范畴，并猜想这一结果对更高的n成立.
Hom weak $ω$-categories of a weak $ω$-category
弱高维范畴的经典定义是归纳给出的;例如，一个双范畴有一组对象和hom范畴，而一个三范畴有一组对象和hom双范畴。然而，最近对所有自然数$n$的弱$n$ -范畴或弱$ω$ -范畴的定义采用了更复杂的方法，并且“hom”的性质通常不是直接来自定义。本文在Batanin的弱$ω$ -范畴定义的基础上，重点讨论了Leinster的弱$ω$ -范畴定义，并为每个弱$ω$ -范畴构造了一个由相同对象组成的基础（弱$ω$ -范畴）-富集图$\mathcal{A}$，为每对对象构造了一个Hom弱$ω$ -范畴$\mathcal{A}(x,y)$ .我们还表明，我们的建设是函的弱$ω$ -函子介绍加纳。
Operads in Higher-Dimensional Category Theory
本文的目的是建立一个广义运算和多范畴理论，并以此为语言给出弱n-范畴的定义。包括一个完整的解释，为什么建议的定义n-范畴是一个合理的，当n=2时会发生什么。广义运算和多范畴在高维代数中也扮演着其他角色，其中一些在这里概述：例如，它们可以用来简化贝兹、多兰和其他人阐述的n-范畴的opetopic方法，并且是讨论范畴结构丰富性的自然语言。
A category of quantum categories
量子范畴是在[4]中作为双（余）代数胚和小范畴的推广而引入的。我们澄清了这项工作的细节。特别是，我们明确展示了如何一元定义的量子范畴解包到一组公理接近的定义的一个bialgebroid在霍普夫代数文献。我们定义了量子范畴的函子和自然变换的概念。
Comparison of the definitions of Abelian 2-categories
在定义一个阿贝尔范畴的2-范畴类似物的努力中，定义了两个（或三个）“阿贝尔2-范畴”的概念。一个是相对正合2-范畴，另一个是（2-）阿贝尔Gpd-范畴。我们比较这些概念。由于它们在不同的环境和术语中以自己的方式独立进行，因此值得收集和统一它们。本文通过比较它们的定义和论证，揭示了这几类2-范畴之间的关系。
A "working mathematician's" definition of semi-abelian categories
半阿贝尔同调范畴和余余完全同调范畴分别用四个特征刻划。三个简单的公理，根据麦克莱恩的经典著作的前几章中介绍的基本范畴概念。作为直接的应用，我们证明了半阿贝尔范畴和相似范畴中的图的范畴是同一类型的;特别地，半阿贝尔范畴中的单纯或Γ-对象的范畴是半阿贝尔的。
Towards a Definition of an Algorithm
我们将算法定义为实现或表达该算法的程序集。所有程序的集合被划分为等价类。如果两个程序本质上是同一个程序，则它们是等价的。等价类的集合形成了算法的范畴。虽然程序集甚至不能形成一个类别，但算法集形成了一个具有额外结构的类别。我们给出的描述两个程序本质上相同的条件是一致性关系，它丰富了具有额外结构的算法的范畴。证明了这类算法的泛性质。
A comparison of definitions of equivariant trees
本文比较了不同树范畴的定义，通过Grothendieck构造展示了其建模方法，并探讨了等变树在操作符研究中的作用。
A Category-theoretical Meta-analysis of Definitions of Disentanglement
本文利用范畴论对解缠定义进行元分析，提出以笛卡尔积和幺半群积为核心，揭示不同定义在处理函数、等变映射、关系和随机映射时的异同，以帮助研究者选择合适定义。
A simplified definition of logically distributive categories
在[Ben 13]中，引入了逻辑分配范畴的概念，为基于直觉主义逻辑的多类一阶逻辑理论提供了一个可靠而完备的语义。在本文中，我们将证明逻辑分配范畴的定义可以通过去掉两个要求来简化，一个要求是乘积必须分布在和上，另一个要求是乘积必须分布在存在量化上。
Coherence for Categorified Operadic Theories
我们早就知道，每个弱monoidal范畴A通过monoidal函子和monoidal自然变换等价于严格的幺半范畴st（A）。推广了弱幺半范畴范畴的定义，给出了强正则（运算）理论P的弱P-范畴的定义，并证明了每个弱P-范畴通过P-函子和P-变换等价于严格P-范畴.这个严格函子，然后被证明有一个有趣的泛性质。
Homotopy Algebras for Operads
我们提出了一个同伦代数的定义，并探讨其后果。该文件应该是访问拓扑学家，范畴理论家，任何人熟悉的操作。在回顾了算子和幺半范畴的基础上，给出了同伦代数的定义。具体地说，假设M是一个幺半范畴，在这个范畴中讨论某个运算数P的代数是有意义的。那么我们的定义就说明了M中的同伦P-代数是什么，只要M中的某些态射被标记为“同伦等价”。大部分的文件包括同伦代数的例子。我们证明了任何闭路空间都是同伦幺半群，并且，事实上，任何n重闭路空间在适当的意义下都是n重同伦幺半群。我们尝试将A_无限空间、A_无限代数和非严格幺半范畴等弱化代数结构与我们的同伦代数进行比较，并取得了不同程度的成功。我们还证明了“基变换”的结果，例如同伦幺半范畴范畴的分类空间是同伦拓扑幺半群。最后，我们反思了我们定义的优点和缺点，以及该定义应该如何被一个更微妙的无穷范畴版本所取代。
An Abstract Category of Dynamical Systems
本文通过泛性质刻画时间，并据此提出动力系统范畴的抽象定义，为其他类型系统的具体实例化提供指导。
Structures in higher-dimensional category theory
这篇论文写于1998年，主要通过广义操作和多范畴理论来阐明各种高级范畴结构。第一章和第二章讨论了这个理论及其在弱n-范畴定义中的应用，这两章在很大程度上被我的论文（math.CT/0011106）所取代，但第三章和第四章没有在其他地方出现。第三章的主要结果是小灰范畴可以被刻画为2-范畴、同态、强变换和修改的三范畴的子三范畴;在更高的维度上也有一个关于相干性的猜想。第四章定义了opetopes和一个对于每个n的n-粘贴图的范畴，在n=2的情况下，它是树的范畴的定义。
The Relation between Ann-Categories and Ring Categories
{ \it环}的定义有不同的分类，例如{ \it Ann-类别}（参见N. T. Quang [6]），{ \it环类}（见M. Kapranov and V.Voevodsky [2]），.本文的主要结果是证明了在没有公理$x_{0}=y_{0},$的情况下，{ \it环范畴}定义的每一个公理都可以从{ \it Ann-范畴}的公理系统中导出。
Symmetry of the Definition of Degeneration in Triangulated Categories
固定有限维向量空间上的代数的模结构形成代数簇。同构类对应于一个代数群在这个簇上的作用的轨道，如果一个模属于这个轨道的Zagliki闭包，那么它就是另一个模的退化。Riedtmann和Zwara给出了这个概念的代数表征方面的存在短的确切序列。詹森，苏和齐默尔曼，以及独立吉野，研究了自然概括的Riedtmann-Zwara退化三角范畴。这个定义具有内在的非对称性。假设我们有一个三角范畴，其中幂等元分裂，并且所有对象的自同态环都是Artin的，或者是代数紧生成的三角K-范畴中的紧对象的范畴。然后，我们表明，非对称性的代数定义的退化是不必要的，在这个意义上，这两个可能的选择，可以在定义导致相同的概念。
Operations in Leinster's Weak $ω$-Category Operad
Batanin将弱$ω$ -范畴定义为某个操作数的代数。Leinster改进了这一思想，并将弱$ω$范畴操作数定义为“带收缩操作数”范畴的始对象。我们展示了如何从这个定义中产生一个高阶范畴结构，明确地构建各种复合材料，结合性和相干性的法律，和一个埃克曼希尔顿编织。
A Type-Theoretical Definition of Weak ω-Categories
我们引入了一个依赖的类型论，它的模型是弱ω-范畴，推广了Brunerie的ω-群胚的定义.我们的类型论是基于由Maltsiniotis给出的ω-范畴的定义，他自己受到Grothendieck定义ω-群胚的方法的启发。在这种设置中，ω-范畴被定义为在某个范畴上保持球上极限的预层，称为凝聚子。coherator编码了所有需要出现在ω-范畴中的操作：粘贴模式的组合以及它们的coherator。我们的主要贡献是提供了一个典型的类型理论表征粘贴计划的上下文，可以从推理规则。最后，我们提出了一个相应的证明系统的实现。
Univalence in Higher Category Theory
Voevodsky首先在同伦类型论的背景下定义了单价，他（与Kuberkin和Lumsdaine一起）将其改编为模型范畴背景，随后Gepner和Kock将其推广到局部笛卡尔闭可表示$\infty$ -范畴。这些定义被用来表征作为类型理论模型的各种$\infty$ -范畴。我们给出了一个定义的单叶态射在完全$\infty$范畴，推广了上述定义，并完全集中在$\infty$范畴方面，其特征在于通过某些函子，这应该提醒读者的概念，如限制或限制的可表示性。然后，我们证明，在一个局部笛卡尔闭$\infty$范畴（这是不一定表示）的一个态射的单价是等价于一个特定的Segal对象的完整性，我们构造出的态射，通过内部$\infty$范畴，这已被认为是在严格的设置由Stenzel特征的单价。我们利用这些结果来研究单价和基本拓扑理论之间的联系。我们还研究了群范畴、$\infty$-范畴的$\infty$ -范畴和点$\infty$ -范畴中的单叶态射。
Localizing invariants of inverse limits
本文研究仿射形式概形上核模范畴的两种版本，给出三个等价定义，并证明其 K-理论与经典连续 K-理论同构，从而证实了 Clausen 和 Scholze 的猜想。
Biproducts without pointedness
我们展示了如何定义双产品同构在任意类别，而无需假设任何丰富。当所有二元双积存在或范畴被适当地充实时，所得到的概念与通常的定义相一致，否则会导致适度而严格的推广。我们还刻画了当一个范畴的所有二元双积的ambientus的附加。最后，我们给出了一些新的例子，我们的定义承认的双产品。
Information entropy re-defined in a category theory context using preradicals
在代数上，熵可以被定义为阿贝尔群及其自同态，并且后来被扩展到考虑从阿贝尔范畴导出的流范畴中的对象，例如$R\textit{-}Mod$，其中$R$是环。预根式是可以在定义它们的范畴中实现为相容选择赋值的内函子。在这里，我们提出了一个正式的定义熵的预自由基上$R$ -Mod和显示的概念熵的预自由基尊重他们的秩序作为一个大的格。此外，由于模块和完全有界模格之间的连接，我们提供了一个定义的熵格预根，并表明，这个概念是等价的，从函的角度来看，一个定义的模块预根。
On $\mathbf {Cat}$-valued sheaves
设${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B)$是拓扑广群${\mathbf B}.$的（开）子范畴的范畴.本文研究范畴${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B).$上的${\mathbf {Cat}}$值层.由于${\mathbf {Cat}}$不是一个具体范畴，传统的预层定义不能处理这种情况. [13]为此，提出了一个新的框架。从[13]中给出的定义出发，建立了${\mathbf {Cat}}$值层的框架。为此，我们引入了范畴并的概念，使得子范畴的范畴并是一个子范畴，这是拓扑范畴的范畴覆盖的有意义的定义所必需的。主要结果如下。对于一个固定范畴$\mathbf C,$，从$\mathbf B$到$\mathbf C$的局部函子部分的范畴定义了${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B).$上的一个${\mathbf {Cat}}$值层。用范畴群$\mathcal G,$代替$\mathbf C$，我们发现了${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B).$上的一个${\mathbf {CatGrp}}$值层
What is an equivalence in a higher category?
本综述的目的是以统一的方式提出严格$n$ -范畴或$(\infty,n)$ -范畴之间以及严格$(n+1)$ -范畴或$(\infty,n+1)$ -范畴内部的等价概念。
A category of hybrid systems
我们提出了一个定义的类别的混合系统中的执行是特殊类型的态射。因此，混合系统的态射将执行发送到执行。我们计划使用这个结果来定义和研究混合系统的网络。
Univalent Higher Categories via Complete Semi-Segal Types
同伦类型论中的范畴论是复杂的，因为范畴定律只能被表述为“上到同伦”，因此需要内聚性。已建立的单叶范畴的概念（Ahrens，Kuberkin，Shulman）通过只考虑截断类型解决了这个问题，大致对应于普通范畴。这无法捕捉许多自然发生的结构，源于同伦类型理论中自然发生的结构不是普通的，而是高阶范畴。在数学家们提出的各种各样的高阶范畴论方法中，我们相信单纯策略是最适合类型论的。Lurie和Harpaz的工作激发了以下定义。给定一个半单纯型S的第一个（n+3）层，我们可以给S赋予三个性质：第一，某些喇叭填充子类型的可收缩性;第二，完备性;第三，截断条件。我们称之为完全半Segal n型。这与Schreiber早期的建议非常相似。单叶（1-）范畴的定义可以很容易地被推广或限制到单叶n-范畴（更准确地说，是（n，1）-范畴）的定义，其中n在{0，1，2}中，并且我们证明了在这些情形下完全半Segal n-型的类型等价于单叶$n$ -范畴的类型.因此，我们认为完全半Segal n-型的概念可以被看作是单叶n-范畴的定义。我们提供了一个形式化的证明助理Agda使用一个完全明确的表示半单纯型的水平高达4。
Categories of Optics
双向数据存取器，如透镜，棱镜和导线都是相同的一般“光学”结构的实例。我们仔细考虑这个建设，并表明，它延伸到一个函子从范畴的对称幺半范畴本身。我们还证明了这种构造具有一个泛性质：它可以自由地将反态射加到对称的幺半范畴上。民间传说中缺少的是直接适用于任何光学类别的“合法性”的一般定义。我们给出了这样一个定义，并证明它与民俗学的光学定律是等价的。
Computads for weak $ω$-categories as an inductive type
本文通过自由词的显式归纳定义给出弱 $\omega$-范畴的 computads 新描述，避免球状操作技术，并证明新定义与 Batanin-Leinster 及 Garner 的结果一致。
S-Structures for k-linear categories and the definition of a modular functor
受弦论和量子场论思想的启发，纽结和三维流形的新不变量已经从复代数结构中构造出来，如霍普夫代数（Reshetikhin和Turaev）、具有附加结构的幺半范畴（Turaev和Yetter）和模函子（Walker和Kontsevich）。这些结构是密切相关的。我们采取一个统一的分类方法的基础上自然的2维推广的拓扑域论在这个意义上的Atiyah和Segal，并表明，公理定义这些复杂的代数结构是一个后果的基本几何表面。特别是，我们证明了任何线性范畴在一个领域的作用的表面范畴是半单的和Artinian的。
Pointwise Kan extensions along 2-fibrations and the 2-category of elements
本研究将元素范畴的经典结果推广到2维，提出沿离散2-上纤维化的逐点Kan扩张定义，证明其恒为弱Kan扩张，推广了参数化Yoneda引理。
An axiomatic approach for degenerations in triangulated categories
我们推广吉野的定义退化的两个科恩麦考利模块之间的三角范畴退化的定义。我们得到一些自然属性的三角范畴和退化下的吉野式退化是等价的退化定义的一个特定的区别三角形类似Zwara的退化模品种的特征。
Exact categories of topological vector spaces with linear topology
本文指出具有线性拓扑的完备分离拓扑向量空间范畴的朴素正合结构定义不成立、该范畴非拟阿贝尔范畴，提出修正正合结构定义，同时指出其仍存在张量积函子不正合的缺陷并探讨优化方法。
Hopf monads on monoidal categories
我们在任意monoidal范畴上定义了Hopf monad，推广了以前对带π的幺半范畴给出的定义.一个霍普夫单子是一个双单子（或opmonoidal单子），其融合算子是可逆的。这个定义可以用霍普夫变换来表示，它是具有可逆性条件的共单调变换。在具有内部Homs的幺半范畴范畴上，一个Hopf单子是一个允许左对极和右对极的双单子。霍普夫单子将霍普夫代数推广到了非辫子情形。他们还推广了Hopf代数胚（这是线性Hopf单子上的一类双模承认右伴随）。证明了任何有限张量范畴都是Hopf代数体上的有限维模范畴。任何在幺半范畴C中心的霍普夫代数都产生C上的一个Hopf单子。这样得到的Hopf单子就是增广的Hopf单子。更一般地，如果一个Hopf单子T是一个Hopf单子P的收缩，则P是T与T-模范畴的中心的一个Hopf代数的向量积（推广了霍普夫代数的Radford-Majid玻色化）。我们证明了一个Hopf附加函数的余幺半群余幺半群是由一个余交换中心余代数正则表示的。作为一个推论，我们得到了一个扩展的Sweedler的Hopf模分解定理的Hopf单子（实际上是较弱的概念，前Hopf单子）。
Coherence for Categorified Operadic Theories
给定一个代数理论，它可以描述一个（可能是对称的）操作$P$，我们提出了一个定义的\emph{weakening}（或\emph{categorification}）的理论，其中严格为$P$ -代数的方程只持有到相干同构。推广了幺半范畴和对称幺半范畴的理论以及文献中定义的几个相关概念。利用这个定义，我们推广了所有幺半范畴都与严格幺半范畴等价的结果，并证明了严格化函子具有一个有趣的泛性质，即从严格$P$ -范畴到弱$P$ -范畴的遗忘函子的左伴随.我们进一步表明，得到的分类是独立的，我们选择的介绍$P$，并扩展我们的一些结果，许多排序的理论，使用multicategories。
Matrix factorizations for nonaffine LG-models
我们提出了一类非仿射Landau-Ginzburg模型的矩阵分解的自然定义。对于任何LG-模型，我们构造了一个完全忠实函子，从以这种方式定义的矩阵分解的范畴到相应纤维的奇点的三角化范畴。我们还证明了，如果LG-模型的全空间是光滑的，这个函子是一个等价的。
Data structures for quasistrict higher categories
我们提出了新的准严格高阶范畴的数据结构，其中结合律和单位律严格成立。与传统的高阶范畴的代数定义相比，我们的方法具有较低的公理复杂性，并且我们用它给出了拟严格4-范畴的一个实用定义。它也适合于计算机实现，我们利用这一点给出了一个新的机器验证的代数证明，每一个adjunction的1-细胞在一个准严格的4类可以提升到一个连贯的adjunction满足蝴蝶方程。
Fibre optics
透镜、光学和依赖透镜（或等价的容器态射，或等价的多项式函子的自然变换）都广泛地用于应用范畴论中作为双向过程的模型。从有限积范畴上的透镜定义出发，光学将所需的结构弱化为幺半范畴的作用，而相关透镜利用了有限完备性的附加性质（或者，在多项式的情况下，甚至是局部的carnival闭包）。这导致了应用范畴论文献中的分裂，分裂为使用光学的和使用依赖透镜的。本文的目的是统一光学与相关透镜，通过找到一个定义的纤维光学承认两者作为特殊情况。
Comparing operadic theories of $n$-category
我们给出了一个框架，一方面理论的n-类，是弱丰富的operadically，另一方面n-类代数的一个可收缩的球状运算。前者的例子是Trimble的定义和变体（Cheng-Gurski），后者的例子是Batanin的定义和变体（Leinster）。我们将展示如何采用前一种n-范畴理论，并产生一个球运算，其代数是我们开始时的n-范畴。我们首先提供了一个概括Trimble的原始理论，允许使用其他参数化操作在一个非常一般的方式，通过弱丰富的范畴的概念在V中的弱点是参数化的操作P的范畴V。我们定义弱n-范畴通过迭代弱丰富建设使用一系列的参数化操作P_i。然后我们展示了如何从这样一个理论中构造一个n维的球形运算子，对于每个$n \geq 0$，其代数恰好是我们通过迭代弱富集构造的n-范畴，并且我们证明了当运算子P_i是可收缩的时，所得到的球形运算子恰好是可收缩的。然后，我们将展示如何与Trimble的拓扑定义相关的球形运算是由Batanin使用的球形运算来定义基本的n-广群的空间。
Frobenius algebra objects in Temperley-Lieb categories at roots of unity
本文在根为单位的Temperley-Lieb范畴中定义了Frobenius结构，并展示了其Nakayama映射的阶为2，扩展了Frobenius代数的概念。
$C^*-$crossed product of groupoid actions on categories
假设$G$是作用在小范畴$H$上的广群，在\cite [定义4]{NOT}的意义下，而$H\times_αG$是结果半直积范畴（如\cite [命题8]{NOT}）.我们证明了存在一个子范畴$H_r \subseteq H$满足一个叫做"正则性“的性质，使得$H_r \times_αG = H\times_αG$ .此外，我们还证明了存在$G$在$C^*(H_r)$上的所谓"拟作用“（见定义\ref{quasi}）$β$（其中$C^*(H_r)$是在\cite{EXE}中定义的半群$C^*$ -代数），使得$C^*(H_r\times_αG) = C^*(H_r)\times_βG$（其中$β$的交叉积是在定义\ref{cross}中定义的）。
The Intrinsic Fundamental Group of a Linear Category
给出了环上线性范畴的基本群作为Galois覆盖上纤维函子的自同构群的内在定义。如果存在泛覆盖，我们证明了这个群同构于泛覆盖的伽罗瓦群。由Galois覆盖导出的分次使我们能够描述从其自同构群到第一Hochschild-Mitchell上同调向量空间的标准单同构。
Functorial Data Migration
在本文中，我们提出了一个简单的数据库定义语言：范畴和函子。数据库模式是一个小范畴，实例是其上的一个集值函子，我们证明了模式的态射诱导出三个“数据迁移函子”，它们以规范的方式将实例从一个模式转换到另一个模式。这些函子同时对所有表的投影、联合和连接进行参数化，可以用来代替合取和析取查询。我们还展示了如何通过在模式和函数式程序设计语言的类型类别之间引入函式连接来连接数据库和函数式编程语言。我们以大量的例子来激励定义，并在接近尾声时，我们提供了一个字典，使人们可以将数据库概念转换为范畴理论概念，反之亦然。
Algebraic theories and commutativity in a sheaf topos
对于Grothendieck topos $\mathcal E$的定义$\mathcal C$的任何位置，我们定义了一个$\mathcal C$ -ary Lawvere理论$τ: \mathscr C \to \mathscr T$的概念，其模型范畴是$\mathcal E$上的栈。当$\mathcal C=\aleph_0$和$\mathcal E = \operatorname{\mathbf {Set}}$的定义与Lawvere的有限性理论一致时，我们的定义与Lawvere的有限性理论一致.我们构造了一个模型的纤维范畴$\operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T}$作为$\mathcal E$上的一个栈，并证明了它是$\mathcal E$ -完全和$\mathcal E$ -余完全的.我们证明了存在一个自由遗忘的附加$F \dashv U: \operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T} \rightleftarrows \mathscr E$。如果$τ$在某种意义上是一个交换理论，那么我们得到了模型范畴上的一个"局部monoidal闭“结构，它增强了自由遗忘到对称monoidal $\mathcal E$ -范畴的一个附加.我们的结果给出了一个构造monoidal $\mathcal E$ -c…
Algebraic Definition of weak ($\infty$; n)-Categories
本文在$\infty$ -图的范畴$\infty$ - $\mathbb{G}\text{r}$上定义了单子序列$\mathbb{T}^(\infty;n)$ $(n\in\mathbb{N})$.我们猜想定义在纯代数环境中的$\mathbb{T}^(0;n)$的代数是弱$\infty$ -广群胚的模型。对于所有的$n>1$，我们猜想定义在纯代数环境中的$\mathbb{T}^(\infty;n)$的代数是弱$(\infty; n)$ -范畴的模型.
A Generalized Crystalline Equivalence Principle
本文证明了广义晶体等价原理，建立了带G对称性的空间上TQFT范畴与内禀对称TQFT范畴之间的等价，并给出了空间对称TQFT反常的定义与分类，推广至范畴对称性反常。
Weakly invertible cells in a weak $ω$-category
本文采用余归纳定义研究Batanin-Leinster弱$ω$-范畴中的弱可逆胞腔，证明其在球状粘贴下封闭，并将严格$ω$-范畴中的基本性质推广至弱$ω$-范畴，进而证明每个弱$ω$-范畴都存在最大的弱$ω$-子群胚。
Free precategories as presheaf categories
预范畴推广了严格$n$ -范畴和半类范畴的概念：它们的定义本质上与严格$n$ -范畴的定义相同，只是我们不要求各种交换律成立。它们被提出作为一个框架，在这个框架中，人们可以表达弱高阶范畴的半严格定义：在3维中，格雷范畴是它们的一个实例，并被证明等价于三范畴，半严格四范畴的定义已经被提出，并被用作证明助手（如Globular）的基础。在这篇文章中，我们最感兴趣的是免费的预分类。这些可以通过生成器和关系来表示，使用测谎仪概念的适当变化（aka computad），早期的工作表明重写理论可以推广到这种设置，享受传统理论中可以找到的大多数基本结构和属性，与严格类别的测谎仪相反。我们在这里进一步研究为什么会出现这种情况，通过提供几个结果表明，precategories及其相关的测谎仪承担的属性，确保我们有一个良好的语法。特别是，我们表明，类别的precategories的测谎仪形成一个presheaf类别。
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