A Potential Definition of Weak $ω$-Category
Bertalan Pécsi
本文提出弱无限维范畴的无偏替代定义，基于带复合与额外结构的一维箭图。
我们给出弱无限维范畴的一个潜在替代定义，采用无偏方式，使用一个带复合和额外结构的一维箭图。
We give a potential alternative definition of a weak infinite dimensional category, in an unbiased fashion, using one one dimensional quiver with composition and extra structure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Equivalent definitions of fusion category arising from separability
本文通过分离性条件，给出了融合范畴的等价定义，并探讨了其在弱霍普夫代数连通性和模范畴简单性转移中的应用。
A note on the Penon definition of $n$-category
我们证明了双退化Penon三范畴给出了对称的而不是辫状的幺半范畴范畴。我们证明，Penon三范畴不能给所有的三范畴，但我们表明，稍微修改版本的定义纠正的情况。我们给修改后的定义，使用非自反，而不是自反的球形集，并表明，问题与双退化tricategories不会出现。
Comparing algebraic and non-algebraic foundations of $n$-category theory
弱n-范畴的定义已有很多种。人们已经广泛观察到，这些定义中的每一个都是两种类型之一：代数定义，其中明确指定了复合和相干单元，以及非代数定义，其中仅需要存在复合和约束单元的相干选择。在定义之间进行的比较相对较少，大多数比较只涉及一种类型的定义之间的关系。本文的目的是建立更多的比较，包括代数定义和非代数定义之间的比较。论文分为两个部分。第一部分讨论了弱n-范畴的三种代数定义之间的关系：Penon和Batanin的定义，以及Batanin定义的Leinster变体。在Batanin和Leinster的定义中，用于定义组合和连贯性的结构之间的对应关系一直被怀疑;我们第一次精确地说明了这一点。我们使用这种对应关系来证明几个相干定理，适用于所有三个定义，并采取第一步描述之间的关系弱n-范畴的Batanin和Leinster。在第2部分中，我们迈出了第一步，以神经构造的形式比较了Penon的弱n-范畴定义与非代数定义（Tamsamani定义的Simpson变体）之间的比较。作为这个神经结构的原型，我们回顾了Leinster提出的双范畴的神经结构，并证明了由这个结构给出的双范畴的神经是Tamsamani-Simpson弱2-范畴。然后，我们定义我们的神经函子Penon弱n-范畴。我们证明了Penon弱2-范畴的神经是Tamsamani-Simpson弱2-范畴，并猜想这一结果对更高的n成立.
Hom weak $ω$-categories of a weak $ω$-category
弱高维范畴的经典定义是归纳给出的;例如，一个双范畴有一组对象和hom范畴，而一个三范畴有一组对象和hom双范畴。然而，最近对所有自然数$n$的弱$n$ -范畴或弱$ω$ -范畴的定义采用了更复杂的方法，并且“hom”的性质通常不是直接来自定义。本文在Batanin的弱$ω$ -范畴定义的基础上，重点讨论了Leinster的弱$ω$ -范畴定义，并为每个弱$ω$ -范畴构造了一个由相同对象组成的基础（弱$ω$ -范畴）-富集图$\mathcal{A}$，为每对对象构造了一个Hom弱$ω$ -范畴$\mathcal{A}(x,y)$ .我们还表明，我们的建设是函的弱$ω$ -函子介绍加纳。
Comparison of the definitions of Abelian 2-categories
在定义一个阿贝尔范畴的2-范畴类似物的努力中，定义了两个（或三个）“阿贝尔2-范畴”的概念。一个是相对正合2-范畴，另一个是（2-）阿贝尔Gpd-范畴。我们比较这些概念。由于它们在不同的环境和术语中以自己的方式独立进行，因此值得收集和统一它们。本文通过比较它们的定义和论证，揭示了这几类2-范畴之间的关系。
A simplified definition of logically distributive categories
在[Ben 13]中，引入了逻辑分配范畴的概念，为基于直觉主义逻辑的多类一阶逻辑理论提供了一个可靠而完备的语义。在本文中，我们将证明逻辑分配范畴的定义可以通过去掉两个要求来简化，一个要求是乘积必须分布在和上，另一个要求是乘积必须分布在存在量化上。
Coherence for Categorified Operadic Theories
我们早就知道，每个弱monoidal范畴A通过monoidal函子和monoidal自然变换等价于严格的幺半范畴st（A）。推广了弱幺半范畴范畴的定义，给出了强正则（运算）理论P的弱P-范畴的定义，并证明了每个弱P-范畴通过P-函子和P-变换等价于严格P-范畴.这个严格函子，然后被证明有一个有趣的泛性质。
A Survey of Definitions of n-Category
许多人提出了“弱n-范畴”的定义。其中十个在这里介绍。每一个定义都有两页，另外两页是关于当n = 0，1或2时会发生什么。定义可以独立阅读。下面是闲聊的参考书目。
Structures in higher-dimensional category theory
这篇论文写于1998年，主要通过广义操作和多范畴理论来阐明各种高级范畴结构。第一章和第二章讨论了这个理论及其在弱n-范畴定义中的应用，这两章在很大程度上被我的论文（math.CT/0011106）所取代，但第三章和第四章没有在其他地方出现。第三章的主要结果是小灰范畴可以被刻画为2-范畴、同态、强变换和修改的三范畴的子三范畴;在更高的维度上也有一个关于相干性的猜想。第四章定义了opetopes和一个对于每个n的n-粘贴图的范畴，在n=2的情况下，它是树的范畴的定义。
The Relation between Ann-Categories and Ring Categories
{ \it环}的定义有不同的分类，例如{ \it Ann-类别}（参见N. T. Quang [6]），{ \it环类}（见M. Kapranov and V.Voevodsky [2]），.本文的主要结果是证明了在没有公理$x_{0}=y_{0},$的情况下，{ \it环范畴}定义的每一个公理都可以从{ \it Ann-范畴}的公理系统中导出。
Operations in Leinster's Weak $ω$-Category Operad
Batanin将弱$ω$ -范畴定义为某个操作数的代数。Leinster改进了这一思想，并将弱$ω$范畴操作数定义为“带收缩操作数”范畴的始对象。我们展示了如何从这个定义中产生一个高阶范畴结构，明确地构建各种复合材料，结合性和相干性的法律，和一个埃克曼希尔顿编织。
Univalence in Higher Category Theory
Voevodsky首先在同伦类型论的背景下定义了单价，他（与Kuberkin和Lumsdaine一起）将其改编为模型范畴背景，随后Gepner和Kock将其推广到局部笛卡尔闭可表示$\infty$ -范畴。这些定义被用来表征作为类型理论模型的各种$\infty$ -范畴。我们给出了一个定义的单叶态射在完全$\infty$范畴，推广了上述定义，并完全集中在$\infty$范畴方面，其特征在于通过某些函子，这应该提醒读者的概念，如限制或限制的可表示性。然后，我们证明，在一个局部笛卡尔闭$\infty$范畴（这是不一定表示）的一个态射的单价是等价于一个特定的Segal对象的完整性，我们构造出的态射，通过内部$\infty$范畴，这已被认为是在严格的设置由Stenzel特征的单价。我们利用这些结果来研究单价和基本拓扑理论之间的联系。我们还研究了群范畴、$\infty$-范畴的$\infty$ -范畴和点$\infty$ -范畴中的单叶态射。
Biproducts without pointedness
我们展示了如何定义双产品同构在任意类别，而无需假设任何丰富。当所有二元双积存在或范畴被适当地充实时，所得到的概念与通常的定义相一致，否则会导致适度而严格的推广。我们还刻画了当一个范畴的所有二元双积的ambientus的附加。最后，我们给出了一些新的例子，我们的定义承认的双产品。
On $\mathbf {Cat}$-valued sheaves
设${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B)$是拓扑广群${\mathbf B}.$的（开）子范畴的范畴.本文研究范畴${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B).$上的${\mathbf {Cat}}$值层.由于${\mathbf {Cat}}$不是一个具体范畴，传统的预层定义不能处理这种情况. [13]为此，提出了一个新的框架。从[13]中给出的定义出发，建立了${\mathbf {Cat}}$值层的框架。为此，我们引入了范畴并的概念，使得子范畴的范畴并是一个子范畴，这是拓扑范畴的范畴覆盖的有意义的定义所必需的。主要结果如下。对于一个固定范畴$\mathbf C,$，从$\mathbf B$到$\mathbf C$的局部函子部分的范畴定义了${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B).$上的一个${\mathbf {Cat}}$值层。用范畴群$\mathcal G,$代替$\mathbf C$，我们发现了${\widetilde {\mathcal O}}(\mathbf B).$上的一个${\mathbf {CatGrp}}$值层
Univalent Higher Categories via Complete Semi-Segal Types
同伦类型论中的范畴论是复杂的，因为范畴定律只能被表述为“上到同伦”，因此需要内聚性。已建立的单叶范畴的概念（Ahrens，Kuberkin，Shulman）通过只考虑截断类型解决了这个问题，大致对应于普通范畴。这无法捕捉许多自然发生的结构，源于同伦类型理论中自然发生的结构不是普通的，而是高阶范畴。在数学家们提出的各种各样的高阶范畴论方法中，我们相信单纯策略是最适合类型论的。Lurie和Harpaz的工作激发了以下定义。给定一个半单纯型S的第一个（n+3）层，我们可以给S赋予三个性质：第一，某些喇叭填充子类型的可收缩性;第二，完备性;第三，截断条件。我们称之为完全半Segal n型。这与Schreiber早期的建议非常相似。单叶（1-）范畴的定义可以很容易地被推广或限制到单叶n-范畴（更准确地说，是（n，1）-范畴）的定义，其中n在{0，1，2}中，并且我们证明了在这些情形下完全半Segal n-型的类型等价于单叶$n$ -范畴的类型.因此，我们认为完全半Segal n-型的概念可以被看作是单叶n-范畴的定义。我们提供了一个形式化的证明助理Agda使用一个完全明确的表示半单纯型的水平高达4。
Weakly invertible cells in a weak $ω$-category
本文采用余归纳定义研究Batanin-Leinster弱$ω$-范畴中的弱可逆胞腔，证明其在球状粘贴下封闭，并将严格$ω$-范畴中的基本性质推广至弱$ω$-范畴，进而证明每个弱$ω$-范畴都存在最大的弱$ω$-子群胚。
Categories of Optics
双向数据存取器，如透镜，棱镜和导线都是相同的一般“光学”结构的实例。我们仔细考虑这个建设，并表明，它延伸到一个函子从范畴的对称幺半范畴本身。我们还证明了这种构造具有一个泛性质：它可以自由地将反态射加到对称的幺半范畴上。民间传说中缺少的是直接适用于任何光学类别的“合法性”的一般定义。我们给出了这样一个定义，并证明它与民俗学的光学定律是等价的。
A category of quantum categories
量子范畴是在[4]中作为双（余）代数胚和小范畴的推广而引入的。我们澄清了这项工作的细节。特别是，我们明确展示了如何一元定义的量子范畴解包到一组公理接近的定义的一个bialgebroid在霍普夫代数文献。我们定义了量子范畴的函子和自然变换的概念。
Computads for weak $ω$-categories as an inductive type
本文通过自由词的显式归纳定义给出弱 $\omega$-范畴的 computads 新描述，避免球状操作技术，并证明新定义与 Batanin-Leinster 及 Garner 的结果一致。
Towards a Definition of an Algorithm
我们将算法定义为实现或表达该算法的程序集。所有程序的集合被划分为等价类。如果两个程序本质上是同一个程序，则它们是等价的。等价类的集合形成了算法的范畴。虽然程序集甚至不能形成一个类别，但算法集形成了一个具有额外结构的类别。我们给出的描述两个程序本质上相同的条件是一致性关系，它丰富了具有额外结构的算法的范畴。证明了这类算法的泛性质。
A Category-theoretical Meta-analysis of Definitions of Disentanglement
本文利用范畴论对解缠定义进行元分析，提出以笛卡尔积和幺半群积为核心，揭示不同定义在处理函数、等变映射、关系和随机映射时的异同，以帮助研究者选择合适定义。
Coherence for Categorified Operadic Theories
给定一个代数理论，它可以描述一个（可能是对称的）操作$P$，我们提出了一个定义的\emph{weakening}（或\emph{categorification}）的理论，其中严格为$P$ -代数的方程只持有到相干同构。推广了幺半范畴和对称幺半范畴的理论以及文献中定义的几个相关概念。利用这个定义，我们推广了所有幺半范畴都与严格幺半范畴等价的结果，并证明了严格化函子具有一个有趣的泛性质，即从严格$P$ -范畴到弱$P$ -范畴的遗忘函子的左伴随.我们进一步表明，得到的分类是独立的，我们选择的介绍$P$，并扩展我们的一些结果，许多排序的理论，使用multicategories。
An Abstract Category of Dynamical Systems
本文通过泛性质刻画时间，并据此提出动力系统范畴的抽象定义，为其他类型系统的具体实例化提供指导。
Action preserving (weak) topologies on the category of presheaves
设$\mathcal{C}$是一个完全小范畴.本文首先在预层范畴上构造了两个弱（Lawvere-Tierney）拓扑.其中一个由Yoneda函子的一个子函子建立，另一个由$\mathcal{C}$上的一个容许类和预层拓扑$\widehat{\mathcal{C}}$中的内部存在量词构造.此外，通过使用$\mathcal{C},$上的可接受类，我们能够定义$\widehat{\mathcal{C}}$的子对象分类器$Ω$上的动作。然后给出了$\widehat{\mathcal{C}}$上的两个弱拓扑和双重否定拓扑$\neg\neg$是保作用映射的必要条件。最后，除其他事项外，我们建立了一个行动保持弱拓扑$\widehat{\mathcal{C}}$。
A "working mathematician's" definition of semi-abelian categories
半阿贝尔同调范畴和余余完全同调范畴分别用四个特征刻划。三个简单的公理，根据麦克莱恩的经典著作的前几章中介绍的基本范畴概念。作为直接的应用，我们证明了半阿贝尔范畴和相似范畴中的图的范畴是同一类型的;特别地，半阿贝尔范畴中的单纯或Γ-对象的范畴是半阿贝尔的。
A comparison of definitions of equivariant trees
本文比较了不同树范畴的定义，通过Grothendieck构造展示了其建模方法，并探讨了等变树在操作符研究中的作用。
Data structures for quasistrict higher categories
我们提出了新的准严格高阶范畴的数据结构，其中结合律和单位律严格成立。与传统的高阶范畴的代数定义相比，我们的方法具有较低的公理复杂性，并且我们用它给出了拟严格4-范畴的一个实用定义。它也适合于计算机实现，我们利用这一点给出了一个新的机器验证的代数证明，每一个adjunction的1-细胞在一个准严格的4类可以提升到一个连贯的adjunction满足蝴蝶方程。
Fibre optics
透镜、光学和依赖透镜（或等价的容器态射，或等价的多项式函子的自然变换）都广泛地用于应用范畴论中作为双向过程的模型。从有限积范畴上的透镜定义出发，光学将所需的结构弱化为幺半范畴的作用，而相关透镜利用了有限完备性的附加性质（或者，在多项式的情况下，甚至是局部的carnival闭包）。这导致了应用范畴论文献中的分裂，分裂为使用光学的和使用依赖透镜的。本文的目的是统一光学与相关透镜，通过找到一个定义的纤维光学承认两者作为特殊情况。
Comparing operadic theories of $n$-category
我们给出了一个框架，一方面理论的n-类，是弱丰富的operadically，另一方面n-类代数的一个可收缩的球状运算。前者的例子是Trimble的定义和变体（Cheng-Gurski），后者的例子是Batanin的定义和变体（Leinster）。我们将展示如何采用前一种n-范畴理论，并产生一个球运算，其代数是我们开始时的n-范畴。我们首先提供了一个概括Trimble的原始理论，允许使用其他参数化操作在一个非常一般的方式，通过弱丰富的范畴的概念在V中的弱点是参数化的操作P的范畴V。我们定义弱n-范畴通过迭代弱丰富建设使用一系列的参数化操作P_i。然后我们展示了如何从这样一个理论中构造一个n维的球形运算子，对于每个$n \geq 0$，其代数恰好是我们通过迭代弱富集构造的n-范畴，并且我们证明了当运算子P_i是可收缩的时，所得到的球形运算子恰好是可收缩的。然后，我们将展示如何与Trimble的拓扑定义相关的球形运算是由Batanin使用的球形运算来定义基本的n-广群的空间。
An elementary definition of opetopic sets
本文提出 opetopes 与 opetopic 集合的初等定义，通过简单结构与公理直接构建，并证明其与多项式单子定义及 Ho Thanh 范畴等价。
A Type-Theoretical Definition of Weak ω-Categories
我们引入了一个依赖的类型论，它的模型是弱ω-范畴，推广了Brunerie的ω-群胚的定义.我们的类型论是基于由Maltsiniotis给出的ω-范畴的定义，他自己受到Grothendieck定义ω-群胚的方法的启发。在这种设置中，ω-范畴被定义为在某个范畴上保持球上极限的预层，称为凝聚子。coherator编码了所有需要出现在ω-范畴中的操作：粘贴模式的组合以及它们的coherator。我们的主要贡献是提供了一个典型的类型理论表征粘贴计划的上下文，可以从推理规则。最后，我们提出了一个相应的证明系统的实现。
Weak vertical composition II: totalities
本文研究仅纵向复合具有弱性的半严格三范畴，将双退化情形组织为带弱函子和变换的2-范畴，并证明其与辫子弱幺半范畴的2-范畴双伴随双等价。
Familial Monads as Higher Category Theories
本文明确描述了预层范畴上族可表示单子代数所定义的高阶范畴结构所需信息，利用范畴多项式理论避免繁琐自然性论证，并给出了分裂opfibration拉回等运算的分类函子描述。
Weak n-categories: opetopic and multitopic foundations
我们概括的概念介绍了贝兹和多兰定义opetopes从对称操作类，而不是一组，对象。我们描述的1级广义multicategories类，Hermida，Makkai和电源引入的概念的特殊情况下，并展示了一个完整的嵌入这一类的对称运算类的对象。作为一个类比的贝兹-多兰切片建设，我们展示了一定的multicategory的功能替换作为一个切片建设的多主题设置，并使用它来构建多主题。我们给出了一个明确的描述opetopes和multitopes之间的关系。
Operads in Higher-Dimensional Category Theory
本文的目的是建立一个广义运算和多范畴理论，并以此为语言给出弱n-范畴的定义。包括一个完整的解释，为什么建议的定义n-范畴是一个合理的，当n=2时会发生什么。广义运算和多范畴在高维代数中也扮演着其他角色，其中一些在这里概述：例如，它们可以用来简化贝兹、多兰和其他人阐述的n-范畴的opetopic方法，并且是讨论范畴结构丰富性的自然语言。
A category of hybrid systems
我们提出了一个定义的类别的混合系统中的执行是特殊类型的态射。因此，混合系统的态射将执行发送到执行。我们计划使用这个结果来定义和研究混合系统的网络。
The Karoubi envelope and weak idempotent completion of an extriangulated category
证明了外三角范畴的幂等完备化和弱幂等完备化也是外三角范畴。
Symmetry of the Definition of Degeneration in Triangulated Categories
固定有限维向量空间上的代数的模结构形成代数簇。同构类对应于一个代数群在这个簇上的作用的轨道，如果一个模属于这个轨道的Zagliki闭包，那么它就是另一个模的退化。Riedtmann和Zwara给出了这个概念的代数表征方面的存在短的确切序列。詹森，苏和齐默尔曼，以及独立吉野，研究了自然概括的Riedtmann-Zwara退化三角范畴。这个定义具有内在的非对称性。假设我们有一个三角范畴，其中幂等元分裂，并且所有对象的自同态环都是Artin的，或者是代数紧生成的三角K-范畴中的紧对象的范畴。然后，我们表明，非对称性的代数定义的退化是不必要的，在这个意义上，这两个可能的选择，可以在定义导致相同的概念。
From weak cofibration categories to model categories
在[BaSc 2]中，作者引入了一个比模型范畴弱得多的同伦结构，称为“弱上纤维化范畴”。我们进一步证明了一个小的弱上纤维化范畴在它的ind-范畴上自然地导出一个模型范畴结构，只要ind-范畴满足某个三取二的性质。本文的目的是作为上述论文的一个补充，证明了如果弱上纤维化范畴中存在某种性质或结构，那么同一性质或结构在ind-范畴上的诱导模型结构中也成立。也就是说，我们考虑了左真的性质和幺半范畴的结构以及在幺半范畴上张量的范畴（以一种与弱上纤维化结构相容的方式）。为了将来的参考，我们考虑更一般的情况，我们只有一个“几乎模型结构”的ind范畴。
The 2-category of weak entwining structures
2-范畴K中的弱缠绕结构由单子t和余单子c以及以推广混合分配律的方式联系这两个结构的2-胞元组成，弱缠绕结构可以被刻画为单子和余单子的相容对，分别在2-范畴中推广了2-范畴的余单子和2-范畴的单子。这一观察被用来定义K中弱缠绕结构的2-范畴Entw^w（K）。如果2-范畴K允许单子和余单子的Eilenberg-Moore构造以及K分裂中的幂等2-胞腔，则存在从Entw^w（K）到K中单子的2-范畴和余单子的2-范畴的伪函子，分别取弱缠绕结构（t，c）到t对c的弱提升和c对t的弱提升。Eilenberg-Moore对象的解除单子和解除comonad被证明是等价的。如果K是双模诱导函子的2-范畴，则这些Eilenberg-Moore对象同构于通常的弱诱导模范畴。
The monoidal category of Yetter-Drinfeld modules over a weak braided Hopf algebra
本文在严格幺半范畴范畴中引入了弱算子的概念和具有可逆对极的弱辫子霍普夫代数上的Yetter-Drinfeld模理论。我们证明了此类对象的类构成一个非严格的幺半范畴。它也表明，这个范畴是不是平凡的，也就是说，它允许对象产生的伴随作用（coaction）与弱辫霍普夫代数。
Pointwise Kan extensions along 2-fibrations and the 2-category of elements
本研究将元素范畴的经典结果推广到2维，提出沿离散2-上纤维化的逐点Kan扩张定义，证明其恒为弱Kan扩张，推广了参数化Yoneda引理。
Information entropy re-defined in a category theory context using preradicals
在代数上，熵可以被定义为阿贝尔群及其自同态，并且后来被扩展到考虑从阿贝尔范畴导出的流范畴中的对象，例如$R\textit{-}Mod$，其中$R$是环。预根式是可以在定义它们的范畴中实现为相容选择赋值的内函子。在这里，我们提出了一个正式的定义熵的预自由基上$R$ -Mod和显示的概念熵的预自由基尊重他们的秩序作为一个大的格。此外，由于模块和完全有界模格之间的连接，我们提供了一个定义的熵格预根，并表明，这个概念是等价的，从函的角度来看，一个定义的模块预根。
The homotopy relation in a category with weak equivalences
本文定义了一类具有弱等价的范畴的箭与箭之间的同伦关系，并给出了同伦关系的商为同伦范畴的条件。在一个模型范畴的纤维凝聚对象的情况下，这个条件成立，我们表明，我们的同伦概念与经典的一致。我们还表明，奎伦的建设同伦范畴的模型类别，其中的箭头是同伦类的一个单一的箭头之间的fibrant coordinant对象，可以以及弱等价类使用这种概念的同伦。我们从我们的工作中推导出饱和模型类别。这些结果的证明，只考虑弱等价，变得简单（因为它通常是这样）比那些涉及整个结构的模型范畴。
Exact categories of topological vector spaces with linear topology
本文指出具有线性拓扑的完备分离拓扑向量空间范畴的朴素正合结构定义不成立、该范畴非拟阿贝尔范畴，提出修正正合结构定义，同时指出其仍存在张量积函子不正合的缺陷并探讨优化方法。
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part II: nerves of complicial Gray-categories
本文通过研究在弱复集上丰富的范畴，继续发展弱ω-范畴的单纯理论。这些复灰范畴推广了同伦理论的Kan复丰富范畴和弱3-范畴论的灰范畴。我们推导出一个单纯神经结构，这是密切相关的Cordier和波特的同伦相干神经，并表明，这忠实地表示复杂的灰色范畴弱复杂集。弱复集范畴本身可以规范地扩充为复格雷范畴，其母集是同态、强变换和修改的双范畴的高级推广。通过将我们的神经结构应用到这个结构中，我们证明了所有（小）弱复杂集及其在高维的结构态射的总和形成了一个结构丰富的（大）弱复杂集。
Model Structures on Ind Categories and the Accessibility Rank of Weak Equivalences
在最近的一篇论文中，我们引入了一个比模型范畴弱得多且易于验证的结构，我们称之为“弱纤维化范畴”。我们进一步证明了一个小的弱纤维化范畴可以在它的亲范畴上“完备化”成一个完整的模型范畴结构，只要这个亲范畴满足某个三取二性质。本文给出了弱纤维化范畴上三取二性质成立的充分内在条件。我们应用这些结果证明了一些定理，给出了组合模型范畴中弱等价范畴的有限可达性的充分条件。我们将这些定理应用于单纯集范畴上的标准模型结构，并推导出它的弱等价类是可达的。Raptis和Rosický最近也使用不同的方法证明了关于单纯集的相同结果。
A category-theoretic version of the identity type weak factorization system
Gambino和Garner证明了具有单位类型的依赖类型理论的句法范畴可以被赋予一个弱分解系统结构，称为单位类型弱分解系统。在本文中，我们考虑了丰富的Joyal的部落的概念，我们称之为部落与弱稳定的道路对象，并证明了一个纯粹的范畴论版本的单位型弱因子分解系统，从而推广Gambino和加纳的结果。我们的结论表明，这种结构也包含弱因子分解系统来自的拓扑和单纯模型的身份类型由van den Berg和加纳。
Homotopy colimits of model categories
在已有的模型范畴同伦极限定义的基础上，给出了模型范畴同伦余极限的定义。使用完整的西格尔空间模型同伦理论，我们验证了这个定义对应的模型范畴理论的定义在该设置。
Flow does not model flows up to weak dihomotopy
我们证明了流范畴不能是模型范畴的底层范畴，而模型范畴的同伦类型是直到弱双同伦的流。最后给出了克服这一问题的一些建议。特别地，提出了一种新的包含适当小范畴上的单纯预层的双同伦方法。这个小范畴是通过取流范畴的局部可表示形式的一个满子范畴而得到的。
Weak model categories in classical and constructive mathematics
我们引入了“弱模型范畴”的概念，它是Quillen模型范畴概念的弱化，但仍然足以定义同伦范畴、Quillen算子、Quillen等价和大多数通常的范畴同伦理论的构造。左半模型范畴和右半模型范畴都是弱模型范畴，弱模型范畴的对立面也是弱模型范畴。弱模型范畴的主要优点是它们比Quillen模型范畴更容易构造。特别地，我们给出了两个弱因子分解系统构成弱模型范畴的简单判据。该理论是在一个非常弱的建设性框架，我们用它来生产，完全建设性（甚至预测），弱版本的各种标准模型类别，包括坎-奎伦模型结构，变体的Joyal模型结构的标记单纯集，和Verity模型结构的弱复杂集。我们还构造了所有这些的半单纯形式。
An axiomatic approach for degenerations in triangulated categories
我们推广吉野的定义退化的两个科恩麦考利模块之间的三角范畴退化的定义。我们得到一些自然属性的三角范畴和退化下的吉野式退化是等价的退化定义的一个特定的区别三角形类似Zwara的退化模品种的特征。
A note on the $(\infty,n)$-category of cobordisms
本文给出了Lurie完全拓广的拓扑域论的精确定义.利用完备$n$ -fold Segal空间作为模型，构造了一个可能具有切结构的$n$ -维配边的$(\infty,n)$ -范畴.我们赋予它一个对称的幺半群结构，并证明我们可以恢复通常的范畴cobordisms $n\operatorname{Cob}$和cobordism双范畴$n\operatorname{Cob}^{ext}$。
On the 2-categories of weak distributive laws
2-范畴中的弱混合分配律（也称为弱缠绕结构）由单子和余单子以及以推广Beck的混合分配律的方式联系它们的2-胞腔组成。我们证明了弱混合分配律可以描述为单子和余单子的相容对，在2-范畴中，分别扩展了余单子的2-范畴和单子的2-范畴。在此基础上，我们定义了一个2-范畴，它的0-胞腔是弱混合分布律。在一个2-范畴K中，它允许单子和余单子的Eilenberg-Moore构造，并且其中幂等元2-胞分裂，我们从这个2-范畴的弱混合分配律到K^{2 x 2}构造一个完全忠实的2-函子。
Simplicial and categorical comma categories
我们考虑四个类别：O上的小范畴的（逗号）范畴，O上的单纯集的（逗号）范畴，O上的神经上的单纯集的（逗号）范畴，O上的小范畴O上的小范畴的图范畴。弗里奇和Golasinski声称，这四个类别有等价的同伦类别，但事实上，他们的证明包含一个错误和同伦类别是不等价的弱等价，他们使用的逗号类别。本文证明了正确的弱等价是Latch定义的“弱纤维同伦等价”。我们还构造了NO上单纯集范畴的一个模型范畴结构，其中弱等价是弱纤维同伦等价。
A cartesian presentation of weak n-categories
提出了弱（n+k，n）-范畴的概念，称之为（n+k，n）-Theta-空间。（n+k，n）-Theta-空间正是Joyal范畴Theta_n上的单纯集的预层范畴上的某种模型范畴结构的映射对象。这个概念是完备Segal空间（确切地说是（infty，1）-Theta-空间）的推广。我们的主要结果是，上述模型类别是carnival。
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory
本文发展了弱omega范畴的单形理论的基础，它建立在Ross Street在1987年关于定向单形的论文中最初阐述的见解之上。由此产生的理论弱复杂集提供了一个共同的概括理论的（严格）欧米茄类别，康复合物和Joyal的准类别。我们概括了一些结果，由于目前的作者关于复杂集和严格的欧米茄类别提供了一个军械库的表现良好的技术设备，如连接和灰色张量积，这将被用来研究这些弱欧米茄-范畴论的这些结构在一系列的同伴论文。特别地，我们通过构造以弱复集为映射对象的层单纯集范畴上的Quillen模型结构，建立了它们的基本同伦理论。作为一个简单的推论，这项工作，我们提供了一个独立的建设Joyal的模型结构的单纯集的准范畴的对象。
Weak multiplier bimonoids
基于“弱可数融合态射”的新概念，在辫状幺半范畴范畴中引入正则弱乘子双模.推广了域上的弱乘子双代数和辫状幺半范畴范畴中的乘子双代数。在某些假设下，正则弱乘子双模的基对象具有余可分余结构，从而具有双模的幺半范畴.在这种情况下，适当定义的模在一个正规的弱乘子bimuments构成一个幺半范畴与一个严格monoidal遗忘型函子的bicomodules在基对象的范畴。所考虑的辫幺半范畴包括各种模或分次模范畴、完备拓扑空间范畴、复希尔伯特空间范畴和连续线性变换范畴。
$C^*-$crossed product of groupoid actions on categories
假设$G$是作用在小范畴$H$上的广群，在\cite [定义4]{NOT}的意义下，而$H\times_αG$是结果半直积范畴（如\cite [命题8]{NOT}）.我们证明了存在一个子范畴$H_r \subseteq H$满足一个叫做"正则性“的性质，使得$H_r \times_αG = H\times_αG$ .此外，我们还证明了存在$G$在$C^*(H_r)$上的所谓"拟作用“（见定义\ref{quasi}）$β$（其中$C^*(H_r)$是在\cite{EXE}中定义的半群$C^*$ -代数），使得$C^*(H_r\times_αG) = C^*(H_r)\times_βG$（其中$β$的交叉积是在定义\ref{cross}中定义的）。
Weak bimonoids in duoidal categories
在对偶范畴中引入了弱双紧性。它们提供了对偶范畴中的双对偶和辫幺半范畴范畴中的弱双对偶的共同推广。假设幂等态射在基范畴分裂，他们诱导弱bimonads（在四个对称的方式）。因此，它们有四个可分离的弗罗贝纽斯基（共）幺半群，每个基本的幺半范畴范畴中有两个。通过将诱导单子弱提升到诱导单子的Eilenberg-Moore范畴，定义了弱双紧环上的Hopf模.对对偶范畴作适当的假设，证明了Hopf模的基本定理：一个基幺半群上的模范畴等价于Hopf模范畴当且仅当一个伽罗瓦型余单态射是同构.
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