Why FHilb is Not an Interesting (Co)Differential Category
微分范畴提供了微分的基本公理化和微分线性逻辑的范畴模型。由于微分是贯穿量子力学和量子信息的重要工具，因此研究微分范畴理论在范畴量子基础上的应用是有意义的。在范畴量子基础中，紧闭范畴（因此也是可追踪的对称么半群范畴）是主要的研究对象之一，特别是有限维希尔伯特空间范畴FHilb。在本文中，我们将解释为什么FHilb上唯一的微分范畴结构是平凡的。这是由于FHilb的迹和可能的微分范畴结构之间的一种不相容性。也就是说，有一些有趣的非平凡的例子，跟踪/紧闭微分范畴，我们也讨论。本文的目标是将微分范畴引入更广泛的范畴量子基础社区，并希望为结合这两个领域的进一步工作打开大门。虽然本文的主要结果似乎有点“负面”，在实现这一目标，我们讨论有趣的潜在应用的微分范畴的范畴量子基础。
2020-05-01 cs.LO math.CT
Comparing material and structural set theories
我们研究的基本理论的良好指向的toposes和pretoposes，被视为范畴理论或“结构”集合论的精神Lawvere的“基本理论的集范畴”。我们认为弱直觉和预测理论的pretoses，我们还提出了更强的公理，如无界分离，替换和收集的范畴理论版本。最后，我们比较所有这些理论正式传统的成员为基础的或“材料”的集合论，使用一个版本的经典结构的基础上内部良好的基础关系。
2018-12-01 math.CT math.LO
Comparing globular complex and flow
函子是从球状CW-复形范畴到流范畴构造的。它允许比较的S-同伦等价（分别。T-同伦等价）与S-同伦等价（分别为. T-同伦等价）。证明了该函子诱导出范畴的等价性，即从球状CW-复形范畴关于S-同伦等价的局部化到流范畴关于弱S-同伦等价的局部化.作为应用，我们构造了流的基本同伦类型。
2005-02-26 math.AT math.CT
Comparing loose bimodules and double barrels using pseudo-models of enhanced sketches
本文提出增强草图伪模型概念，证明松散双模与双桶两种表述等价，并由此展开松散伴随与松散极限等双范畴理论研究。
2025-10-27 math.CT
Quantum channels as a categorical completion
我们为量子信息和量子计算中纯态和混合态之间的联系提出了一个分类基础。该基础是基于分配monoidal范畴。首先，我们证明了所有量子通道的范畴是纯量子操作范畴的正则完备化（带有辅助准备）。更准确地说，我们证明了有限维C*-代数之间的完全正保迹映射范畴是有限维向量空间和等距范畴的典范完备。其次，我们推广了我们的结果，为量子通道之间的拓扑关系提供了基础。我们通过将我们的范畴基础推广到拓扑丰富的设置来做到这一点。特别地，我们证明了量子通道上的算子范数拓扑是由等距上的范数拓扑导出的正则拓扑。
2019-04-24 cs.LO math.CT quant-ph
A Category of the Political \Large{Part I - Homónoia}
本研究提出政治配置和基础的数学模型，通过p-形成和p-位点描述政治组织及其转变，建立Knit、Nerve和Canon函子的关系。
2025-11-26 math.CT
Codescent theory I: Foundations
考虑共纤生成的模型类别$S$、小范畴$C$和$C$的子类别$D$。我们赋予从$C$到$S$的函子范畴$S^C$一个模型结构，定义弱等价和纤维化，但只在$D$上。我们首先关注的是移动$C$、$D$和$S$的影响。这里介绍的主要概念是$S^C$中对象的“$D$ -codescent”属性。我们的长期计划旨在将鲍姆-康纳斯和法雷尔-琼斯的猜想重新表述为代码陈述，并用新的方法解决它们。在这里，我们建立了一个系统的代码下降理论的基础，包括拉回，推进和各种不变性。
2003-08-06 math.AT math.CT math.KT
Global representation theory: Homological foundations
University of Aberdeen（阿伯丁大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Universität Regensburg（雷根斯堡大学）；School of Mathematical and Physical Sciences, Hicks Building, Sheffield S3 7RH, UK（谢菲尔德大学数学与物理科学学院）；Charles University in Prague（布拉格查理大学）
本文研究全球表示论的同调基础，提出了一种基于有限群外自同构群的兼容表示集合，并建立了其导出范畴的结构，探讨了张量三角几何中的特殊性质和torsion-free类。
2025-06-30 math.AT math.CT math.RT
Comparing dg category models for path spaces via $A_\infty$-functors
Purdue University（普渡大学）
通过A∞-函子比较dg范畴模型用于路径空间，构建了Chen迭代积分映射的双版本，并证明其在单连通空间中与Adams映射的同伦逆关系。
2026-02-13 math.AT math.CT
Comparison of the definitions of Abelian 2-categories
在定义一个阿贝尔范畴的2-范畴类似物的努力中，定义了两个（或三个）“阿贝尔2-范畴”的概念。一个是相对正合2-范畴，另一个是（2-）阿贝尔Gpd-范畴。我们比较这些概念。由于它们在不同的环境和术语中以自己的方式独立进行，因此值得收集和统一它们。本文通过比较它们的定义和论证，揭示了这几类2-范畴之间的关系。
2009-04-03 math.CT
Comparing composites of left and right derived functors
我们引入了一个新的范畴框架研究导出函子，特别是比较复合材料的左，右导出函子。我们的中心观察是，模型范畴是一个双范畴的对象，其垂直和水平箭头分别是左和右Quillen函子，并且到导出函子的通路在这个双范畴的水平上是函子的。双范畴中的合取与配对理论是对双范畴中的合取与配对理论的推广，它给出了比较左、右导出函子复合的规范方法。我们给出了一些示例应用程序，其中大部分是改进现有的文献中的证明。
2011-02-26 math.AT math.CT
Foundations for operator algebraic tricategories
本文建立算子代数三范畴的基础，证明其等价于算子Gray-范畴，并将Gelfand-Naimark定理范畴化至具体算子Gray-范畴。
2024-04-08 math.CT math.FA math.OA
Foundations of $(A_\infty,2)$-categories: from flow to linear
本文提出了一种新的线性$(A_\infty,2)$-范畴定义，通过扩展2-关联多面体家族，使操作与细胞链关联，从而在每个 arity 中仅使用一个操作。
2026-01-23 math.CT math.SG
The category of formations of finite groups and topology
Universidad del Norte（北大学）
本文通过范畴论和拓扑学的方法，揭示了有限群形成类与拟合类之间的拓扑不对称性。
2026-02-26 math.CT
Foundations of Algebraic Theories and Higher Dimensional Categories
泛代数通过将各种代数结构表示为方程理论或抽象克隆来统一地捕捉它们。代数结构在数学和相关领域中的普遍存在已经产生了泛代数的几个变体，例如对称运算、非对称运算、广义运算和单子。这些泛代数的变体称为代数理论的概念。在本论文的第一部分，我们开发了一个统一的框架，包括所有上述例子的概念代数理论。我们的关键观察是，代数理论的每个概念都可以被识别为一个幺半范畴，以这样一种方式，理论对应于其中的幺半群对象。我们引入了一个范畴结构称为元模型，这是理论模型定义的基础。我们还考虑代数理论的概念之间的态射，这是一个monoidal版本的profunctors。每一个强么半群函子都会产生一对这样的态射，并且提供了一种统一的方法来建立代数理论中不同概念的模型范畴之间的同构。一个一般的结构-语义伴随性结果和一个双范畴的泛性质泛属性的范畴的模型。在本文的第二部分，我们从一般的代数结构研究转移到一个特殊的代数结构：高维范畴。在几个现有的定义更高的维度范畴，我们选择看一个由Batanin提出，后来由Leinster完善。我们表明，广泛的范畴的概念在Batanin和Leinster的定义中起着核心作用。利用这一点，我们概括了他们的定义，允许丰富的任何本地可呈现的广泛的范畴。
2019-03-17 math.CT
Foundations of Frobenius Heisenberg categories
本文研究 Frobenius Heisenberg 范畴的态射空间基，利用范畴余乘法与广义分圆商证明相关猜想，并表明其 Karoubi 包络的 Grothendieck 环恢复对应格 Heisenberg 代数。
2023-09-27 math.CT math.RT
A simplicial foundation for differential and sector forms in tangent categories
切范畴为理解微分几何、代数几何、抽象同伦理论和计算机科学中的各种切丛和微分运算提供了一个公理化的框架。以前的工作表明，人们可以制定和证明各种各样的定义和结果，从微分几何在任意切范畴，包括推广的向量场和他们的李括号，向量丛，和连接。本文研究切范畴中的微分形式和扇形形式。我们表明，部门形式在任何切范畴有一个丰富的结构：它们形成一个对称的余单对象。这似乎是微分几何中的一个新结果，甚至对于光滑流形也是如此。在光滑流形范畴中，扇形复形有一个同构于微分形式的德拉姆复形的子复形，它可以用交替扇形形式来识别。此外，扇区形式的对称余单纯结构自然产生通过一个新的方程表示对称余单纯对象，我们在这里开发。
2018-04-11 math.CT math.DG
Parametrized higher category theory
本文为参数化∞-范畴建立范畴论基础，提出索引同伦极限与余极限理论，并证明G-空间范畴由可缩G-空间自由生成，证实Hill猜想。
2022-01-06 math.AT math.CT
Categorical Foundations for K-Theory
回想一下，对象C的$K$理论的定义（例如，环或空间）具有以下模式。我们首先把对象C与范畴A_C联系起来，范畴A_C具有适当的结构（正合的、瓦尔德豪森的、对称么半群的、.）。然后，我们将一个“$K$ -理论机器”应用于范畴A_C，它提供了一个无限闭路空间，即对象C的$K$ -理论K（C）。我们研究这个过程的第一步。通过$K$理论研究的对象有哪些类型？给定这些类型的对象，应该将什么结构化类别与对象相关联以获得关于它的$K$理论信息？这些对象的态射应该如何与这种对应相互作用呢？我们提出了一个统一的，概念框架的一些重要的例子研究对象的$K$理论。与对象C相关联的结构化类别通常是monoidal（op-）constructed类别中的模块的类别。所考虑的模块是“局部平凡的”关于一个给定类的平凡模块和一个给定的Grothendieck拓扑的对象C的范畴。
2011-11-14 math.AG math.AT math.CT
A Foundation for Ledger Structures
本文介绍了一种利用基本范畴理论构造加密货币系统分类账结构的方法。资源可转换性的组成理论允许我们表达虚拟物品的物质历史，所有权是由一个自由结构模型。我们的所有权概念承认一个直观的图形表示，通过字符串图monoidal函子。
2021-04-02 cs.LO math.CT
Unified Functorial Signal Representation III: Foundations, Redundancy, $L^0$ and $L^2$ functors
在本文中，我们提出并奠定了基础的函子框架表示信号。通过结合额外的范畴理论的相对和生成的角度与经典的集合论测度理论的基本概念的冗余，压缩制定了一个新的真实的箭头理论的方式。将信号表示为适当线性空间的向量的现有经典框架被示为所提出框架的特殊情况。接下来，在信号空间作为范畴的背景下，我们研究了各种协变和逆变形式的$L^0$和$L^2$函子使用范畴的可测或测量空间和它们的对立面涉及布尔和测量代数以及部分扩展。最后，我们贡献了一个新的定义内信号冗余的同构箭头的一般概念，在一个涵盖的翻译情况和其他特殊情况下的类别。通过类别理论，我们提供了一个简单而精确的解释，为众所周知的启发式无损差分编码标准产生更好的压缩图像类型，如线条画，图标图像，文本等;相比经典的表示技术，如JPEG选择基地或帧在全球希尔伯特空间。
2017-10-27 cs.IT eess.SP math.CT
Comparing lax functors of $(\infty,2)$-categories
本文研究了$(\infty,2)$-范畴的oplax正规化函子，证明了带尺度单纯集与完备Segal对象两种设定下的概念等价，并利用部分lax Kan扩张新技术构建了增强Segal对象模型。
2023-11-21 math.AT math.CT
Univalent categories and the Rezk completion
我们发展范畴论内的单价基础，这是一个基础系统的数学基础上同伦解释的依赖型理论。在这个系统中，我们提出了一个定义的“类”的平等和等价的类别同意。这样的范畴满足一个版本的单价公理，即任何两个对象之间的同构类型等价于这些对象之间的单位类型;我们称它们为“饱和”或“单价”范畴。此外，我们证明了任何范畴都是弱等价于单叶范畴的泛范畴。在同伦和更高范畴语义中，这个构造对应于Segal空间的Rezk完成的截断版本，也对应于预栈的栈完成。
2014-01-06 math.CT math.LO
The derived category of a graded Gorenstein ring
给出了分次Gorenstein环上Orlov定理的一个阐述和推广。证明了该定理对非负分次环是Gorenstein环且其零度分量是任意非交换右诺特环的有限整体维数.一个简短的治疗的一些基础局部上同调和Grothendieck对偶在这一水平的一般性是为了证明定理。作为应用，我们给出了环上交换完全交的导出范畴与分次矩阵分解的同伦范畴的等价性。
2015-07-03 math.AG math.CT math.RA
Free constructions for comprehension categories
University of Genoa（热那亚大学）
该研究探究理解范畴与劳沃尔-埃尔哈德理解范畴的关系，完成从纤维化构造自由理解范畴、从雅各布斯理解范畴构造自由劳沃尔-埃尔哈德理解范畴的工作。
2026-07-30 cs.LO math.CT
Categorical Foundations of Formalized Condensed Mathematics
本文在最小范畴假设下建立了相干、正则与外延拓扑之间的关系，给出层和覆盖筛的刻画，并将全部结果在Lean中形式化，从而为凝聚数学奠定范畴论基础。
2024-11-12 cs.FL cs.LO math.CT
Hermitian K-theory for stable $\infty$-categories I: Foundations
本文是第一个系列中，我们提供了一个新的框架，埃尔米特K理论领域的稳定$\infty$范畴。我们的观点产生解决方案的各种经典问题，涉及Grothendieck-Witt群的戒指，并澄清这些不变量的行为时，2是不可逆的。在这篇文章中，我们奠定了我们的方法的基础，考虑Lurie的庞加莱$\infty$范畴的概念，它允许一个抽象的对应物的幺模形式称为庞加莱对象。我们分析了双曲和代谢庞加莱对象的特殊情况，并建立了一个版本的Ranicki的代数Thom建设。对于派生$\infty$类的环，我们分类所有庞加莱结构和研究的详细过程中，从经典的输入，从而定位在我们的框架内环的形式通常设置。我们还开发了$\infty$上可见庞加莱结构的例子-参数化光谱的类别，恢复庞加莱对偶空间的可见签名。我们对Poincaré $\infty$ -范畴的整体结构性质进行了深入的研究，特别是证明了它们构成了一个双完全的、闭的对称monoidal $\infty$ -范畴.我们还研究了有限单纯复形上的Poincaré $\infty$ -范畴的张量和余张量的过程，这是我们在下一部分中考虑的L-谱和Grothendieck-Witt谱的定义中的一个突出特征。最后，我们已经在这里定义了0次Grothendieck-Witt群的庞加莱$\infty$范畴使用生成元和关系。我们提取它的基本性质，特别是有关它的0-第L-和代数K-…
2021-12-27 math.AT math.CT math.KT
Could $\infty$-category theory be taught to undergraduates?
在21世纪初，普通范畴论扩展到$\infty$范畴，这是一项引人注目的成就，由Joyal和Lurie开创，其他许多人也做出了贡献。不幸的是，解决这些结果中固有的无限同伦相干问题所需的技术参数使得非专家很难学习这个理论。本文综述了两个旨在缩小$\infty$ -范畴论和普通1-范畴论之间差距的程序。第一个利用1-范畴和$\infty$ -范畴作为对象的范畴之间的相似性来提供标准范畴定理的“形式”证明。第二，这是相当多的投机，探讨$\infty$ -类别从新的“单价”基础密切相关的同伦类型理论。
2023-02-15 math.AT math.CT math.LO
The 2-category theory of quasi-categories
本文利用2-范畴论重新发展了拟范畴（也称无限范畴）的范畴论的基础。我们证明了Joyal的严格2-范畴的准范畴允许一定的弱2-极限，其中弱逗号对象。我们使用这些逗号准范畴编码的泛性质有关的限制，colimits，并证明了预期的定理与这些概念。这些泛性质有一个替代形式的绝对提升图的2-范畴，我们表明是逐点确定的存在某些初始或终端顶点，允许容易生产的例子。这里引入的所有准范畴概念都等价于已建立的概念，但我们的证明是独立的，更“形式化”。特别是，这些结果立即推广到模型类别丰富的准类别。
2015-05-06 math.AT math.CT
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory
本文发展了弱omega范畴的单形理论的基础，它建立在Ross Street在1987年关于定向单形的论文中最初阐述的见解之上。由此产生的理论弱复杂集提供了一个共同的概括理论的（严格）欧米茄类别，康复合物和Joyal的准类别。我们概括了一些结果，由于目前的作者关于复杂集和严格的欧米茄类别提供了一个军械库的表现良好的技术设备，如连接和灰色张量积，这将被用来研究这些弱欧米茄-范畴论的这些结构在一系列的同伴论文。特别地，我们通过构造以弱复集为映射对象的层单纯集范畴上的Quillen模型结构，建立了它们的基本同伦理论。作为一个简单的推论，这项工作，我们提供了一个独立的建设Joyal的模型结构的单纯集的准范畴的对象。
2006-07-12 math.AT math.CT
Tensor categorical foundations of algebraic geometry
Tannaka对偶及其Lurie，Schänberg等人的扩展揭示了许多方案以及代数栈可以用它们的拟凝聚层的张量范畴来识别。本文研究了余完备张量范畴的构造。上连续张量函子），它们通常对应于方案的构造（分别是在类相干层的情况下，它们的态射。这意味着将通常的局部-整体代数几何整体化。为此，我们首先要在任意的余完备张量范畴中发展基本的交换代数。然后，我们讨论张量范畴的全球化的仿射态射，射影态射，浸入，经典的投射嵌入（Segre，Plücker，Veronese），爆破，纤维积，分类栈，最后切丛。事实证明，几个模空间或栈的泛性质转化为相应的张量范畴。
2014-10-07 math.AG math.CT
Towards a Categorical Foundation of Deep Learning: A Survey
SCUOLA DI SCIENZE（科学学院）
本文综述了范畴论在深度学习中的应用，探讨利用categorical optics、functors和string diagrams等工具为机器学习建立统一理论基础，以解决当前领域缺乏理论支撑和可复现性差的问题。
2024-10-14 cs.AI cs.LG math.CT
Quasi-Measurable Spaces: A Convenient Foundation of Probability Theory
AI4Science Lab Korteweg-de Vries Institute for Mathematics University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学柯特韦格-德弗里斯数学研究所AI4Science实验室）
本文引入拟可测空间范畴，证明其具备多种良好范畴性质，重点研究拟通用空间上的概率单子，证明相关定理并形式化因果贝叶斯网络，确立其全局马尔可夫性质。
2026-08-11 math.CT math.FA math.PR
