Categorical Foundations of Gradient-Based Learning
Mount Allison University（蒙特爱立森大学）；University of Strathclyde（思克莱德大学）；University College London（伦敦大学学院）
我们提出了一个分类语义的基于梯度的机器学习算法的镜头，参数化的地图，和反向导数类别。这个基础提供了一个强大的解释和统一的框架：它包含了各种梯度下降算法，如ADAM，AdaGrad和Nesterov动量，以及各种损失函数，如MSE和Softmax交叉熵，揭示了它们的相似性和差异性。我们的方法，以梯度为基础的学习有例子概括超出了熟悉的连续域（建模类别的光滑地图），可以实现在布尔电路的离散设置。最后，我们展示了我们的框架的实际意义与Python中的实现。
2021-07-13 cs.LG math.CT
A categorical foundation for structured reversible flowchart languages: Soundness and adequacy
本文基于带联结的逆范畴为结构化可逆流程图语言建立范畴语义，推广扩展性概念以表示谓词，并证明其计算可靠、充分及在特定条件下方程完全抽象。
2018-09-03 cs.PL math.CT
Tensor categorical foundations of algebraic geometry
Tannaka对偶及其Lurie，Schänberg等人的扩展揭示了许多方案以及代数栈可以用它们的拟凝聚层的张量范畴来识别。本文研究了余完备张量范畴的构造。上连续张量函子），它们通常对应于方案的构造（分别是在类相干层的情况下，它们的态射。这意味着将通常的局部-整体代数几何整体化。为此，我们首先要在任意的余完备张量范畴中发展基本的交换代数。然后，我们讨论张量范畴的全球化的仿射态射，射影态射，浸入，经典的投射嵌入（Segre，Plücker，Veronese），爆破，纤维积，分类栈，最后切丛。事实证明，几个模空间或栈的泛性质转化为相应的张量范畴。
2014-10-07 math.AG math.CT
Quantum channels as a categorical completion
我们为量子信息和量子计算中纯态和混合态之间的联系提出了一个分类基础。该基础是基于分配monoidal范畴。首先，我们证明了所有量子通道的范畴是纯量子操作范畴的正则完备化（带有辅助准备）。更准确地说，我们证明了有限维C*-代数之间的完全正保迹映射范畴是有限维向量空间和等距范畴的典范完备。其次，我们推广了我们的结果，为量子通道之间的拓扑关系提供了基础。我们通过将我们的范畴基础推广到拓扑丰富的设置来做到这一点。特别地，我们证明了量子通道上的算子范数拓扑是由等距上的范数拓扑导出的正则拓扑。
2019-04-24 cs.LO math.CT quant-ph
Categorical Foundations for CuTe Layouts
Colfax Research
本文提出一个范畴框架，用于理解和实现CuTe布局代数，通过定义Tuple和Nest范畴及其态射操作，提供与CUTLASS行为一致的Python实现。
2026-01-09 cs.PL math.CT
Total and Partial Computation in Categorical Quantum Foundations
本文以某些范畴的等价形式揭示了全计算和部分计算之间的基本关系。这种等价性一方面涉及到效应，这是总计算的范畴，由雅各布斯为研究量子/效应逻辑而引入。另一方面，它涉及我们称之为带效应的FinPAC;它们是带有效应代数结构的半部分加性范畴，用作部分计算的范畴。事实证明，效应物上的提升单子（-）+1的Kleisli范畴总是一个有效应的FinPAC，这种构造产生了等价性。此外，状态和效果三角形的FinPAC效果。
2015-11-05 cs.LO math.CT quant-ph
Foundations of a Recent Extension of Category Theory and Topos Theory
这篇文章是一个基本的广义范畴论的介绍，在最近的工作中使用的范畴理论和范畴逻辑的扩展，包括部分拓扑理论。我们讨论函子，等价，自然变换，伴随，并在一个广义的设置限制，这些经常出现的建设给出了一个简明扼要的大纲。
2017-12-23 math.CT
Why FHilb is Not an Interesting (Co)Differential Category
微分范畴提供了微分的基本公理化和微分线性逻辑的范畴模型。由于微分是贯穿量子力学和量子信息的重要工具，因此研究微分范畴理论在范畴量子基础上的应用是有意义的。在范畴量子基础中，紧闭范畴（因此也是可追踪的对称么半群范畴）是主要的研究对象之一，特别是有限维希尔伯特空间范畴FHilb。在本文中，我们将解释为什么FHilb上唯一的微分范畴结构是平凡的。这是由于FHilb的迹和可能的微分范畴结构之间的一种不相容性。也就是说，有一些有趣的非平凡的例子，跟踪/紧闭微分范畴，我们也讨论。本文的目标是将微分范畴引入更广泛的范畴量子基础社区，并希望为结合这两个领域的进一步工作打开大门。虽然本文的主要结果似乎有点“负面”，在实现这一目标，我们讨论有趣的潜在应用的微分范畴的范畴量子基础。
2020-05-01 cs.LO math.CT
Categorical Foundations of Formalized Condensed Mathematics
本文在最小范畴假设下建立了相干、正则与外延拓扑之间的关系，给出层和覆盖筛的刻画，并将全部结果在Lean中形式化，从而为凝聚数学奠定范畴论基础。
2024-11-12 cs.FL cs.LO math.CT
Categorical Operator Algebraic Foundations of Relational Quantum Theory
本文提出基于非交换高阶算子范畴的关系量子理论代数表述，并建议利用该形式论从算子代数的关联双模范畴谱重构非交换关系时空几何。
2014-12-23 math-ph math.CT math.MP
A categorical foundation for Bayesian probability
给定两个可测空间$H$和$D$，它们具有可数生成的$σ$ -代数、$H$上的完美先验概率测度$P_H$和一个采样分布$S: H \rightarrow D$，则存在一个相应的推理映射$I: D \rightarrow H$，该映射直到一组测度零为止是唯一的.因此，给定数据测量$μ: 1 \rightarrow D$，可以计算后验概率$\widehat{P_H}= I \circ μ$。该过程是迭代的：对于每个更新的概率$P_H$，我们获得新的联合分布，其又产生新的推断图$I$，并且对于每个附加的测量重复该过程。主要结果使用了Faden的正则条件概率的存在定理，它比波兰空间的设置更具有普遍性。这种不太严格的设置，然后允许非平凡的决策规则（艾伦伯格-摩尔代数）有限（以及非有限）空间，并提供了一个共同的框架，决策理论和贝叶斯概率。
2013-12-03 math.CT math.PR
Categorical structures for type theory in univalent foundations
本文在单值类型论中比较三种依赖类型论模型结构，构造映射并证明在单值公理下部分等价，引入相对宇宙研究其沿范畴等价及Rezk完备化的转移，并在Coq/UniMath中形式化。
2018-09-08 cs.LO math.CT math.LO
Towards a Categorical Foundation of Deep Learning: A Survey
SCUOLA DI SCIENZE（科学学院）
本文综述了范畴论在深度学习中的应用，探讨利用categorical optics、functors和string diagrams等工具为机器学习建立统一理论基础，以解决当前领域缺乏理论支撑和可复现性差的问题。
2024-10-14 cs.AI cs.LG math.CT
Categorical Foundations for K-Theory
回想一下，对象C的$K$理论的定义（例如，环或空间）具有以下模式。我们首先把对象C与范畴A_C联系起来，范畴A_C具有适当的结构（正合的、瓦尔德豪森的、对称么半群的、.）。然后，我们将一个“$K$ -理论机器”应用于范畴A_C，它提供了一个无限闭路空间，即对象C的$K$ -理论K（C）。我们研究这个过程的第一步。通过$K$理论研究的对象有哪些类型？给定这些类型的对象，应该将什么结构化类别与对象相关联以获得关于它的$K$理论信息？这些对象的态射应该如何与这种对应相互作用呢？我们提出了一个统一的，概念框架的一些重要的例子研究对象的$K$理论。与对象C相关联的结构化类别通常是monoidal（op-）constructed类别中的模块的类别。所考虑的模块是“局部平凡的”关于一个给定类的平凡模块和一个给定的Grothendieck拓扑的对象C的范畴。
2011-11-14 math.AG math.AT math.CT
A Categorical Framework for the Direct Integration of Banach Spaces
该研究构建了抽象巴拿赫丛的拟阿贝尔范畴作为范畴框架，将直接积分定义为输入抽象巴拿赫丛对象、输出巴拿赫空间的函子，进而定义了层的直接积分概念。
2026-08-27 math.CT math.FA math.NT
Operational theories and Categorical quantum mechanics
当前量子信息和量子基础工作的一个中心主题是将量子力学看作是在可能的理论空间中占据一个点，并使用这个观点来理解将它挑出来的特殊特征和性质，以及替代理论的可能性。在这方面使用的两种形式主义是操作理论和范畴量子力学。本文的目的是建立这两个形式主义之间的强连接。我们展示了范畴量子力学的模型如何具有作为操作理论的表示。然后，我们将展示如何非局部性可以制定在这个层面上的一般性，并研究了一些例子，从这个角度来看，包括希尔伯特空间，集和关系，随机映射。本地，量子和无信号模型的特点是在这些方面。
2013-06-18 math.CT quant-ph
Quotient completion for the foundation of constructive mathematics
我们应用范畴逻辑中开发的一些工具，给出了一个抽象的描述，用于形式化建设性数学的基础上内涵类型理论的建设。我们采用的关键概念是一个Lawvere hyperdoctrine，我们描述了一个概念的商完成。这个概念包括了一个范畴的精确完备化，它以弱有限极限为例，也包括了类型论中与之不同的例子。
2013-12-03 math.CT math.LO
A categorical formalization of epistemic uncertainty frameworks
Norwegian Defence Research Establishment (FFI)（挪威国防研究局）
本文通过范畴论形式化知识不确定性框架，提出演算模型以研究哲学认识论概念间的矛盾与协同，并证明贝叶斯更新和可能性条件化为特例。
2026-03-04 math.CT math.PR
Macroeconomic Foundation of Monetary Accounting by Diagrams of Categorical Universals
本文提出货币宏观经济会计理论（MoMaT）的范畴论表述，用范畴论提升微观会计一致性至宏观层面，通过五个部门主体举例并展示动态收敛性，助力跨学科协作构建货币会计系统数字孪生。
2025-08-19 cs.MA econ.GN math.CT
Categories without structures
一般认为范畴论支持数学结构主义是错误的。数学的范畴论数学基础需要一种不同的数学哲学。而结构数学研究不变形式（Awodey）范畴数学研究协变变换，一般来说，没有任何不变量。在本文中，我发展了一个非结构主义的解释范畴数学，并显示其后果的数学史和数学教育。
2010-02-20 math.CT math.HO
The Information Flow Framework: New architecture
本演示文稿讨论了信息流框架（IFF）的一种新的、模块化的、更成熟的体系结构。IFF使用机构理论作为本体语义集成的基础。它代表了元逻辑，并因此在本体论的结构层面上运作。IFF的内容、形式和经验可以为范畴论的标准本体论的发展做出贡献。IFF的基本方面有助于解释集合论和范畴论的基本概念之间的关系。森林论坛的发展遵循两个设计原则：概念保证和分类设计。两者都是逻辑表达的局限性。概念保证限制了逻辑表达的内容，要求我们证明新术语的引入（以及随之而来的公理化）是合理的。分类设计将（所有数学概念和约束的）逻辑表达式的形式限制为原子表达式：声明、方程或关系表达式。IFF是一个描述性范畴元理论。它是描述性的，因为它遵循概念保证原则;它是范畴性的，因为它遵循范畴设计原则;它是元理论，因为它为所有理论提供了一个框架。
2011-09-05 cs.DL cs.LO math.CT
The Univalence Principle
单价原理是这样一种陈述，等价的数学结构是不可区分的。我们证明了这一原理的一般版本，适用于以非代数和基于空间的风格定义的所有基于集合的、范畴的和更高范畴的结构，以及高阶理论（例如拓扑空间）的模型。特别是，我们制定了一个一般的定义，任何这样的结构的对象的不可分割性，和相应的单性条件，推广Rezk的完整性条件的Segal空间，并确保所有等价的结构是levelwise等价。我们的工作建立在Makkai的一阶逻辑与相关排序，但表示在Voevodsky的单价基础（UF），扩展以前的工作的结构同一性原则和单价类别UF。这使得不可否认性可以简单地表示为识别，并产生一个正式的理论，在经典同伦理论中是可解释的，但也在其他更高的拓扑模型。由此可见，单价基础是更高范畴数学的完全等价不变基础，正如Voevodsky所意图的那样。
2022-08-29 cs.LO math.CT math.LO
$(\infty,1)$-Categorical Comprehension Schemes
本文在$(\infty,1)$-范畴论中定义并研究理解概念，通过单值元理论实现Bénabou基础，推广小性与相对可定义性，并利用理解模式刻画高阶范畴性质。
2024-07-19 math.AT math.CT math.LO
Representable Markov Categories and Comparison of Statistical Experiments in Categorical Probability
本文在马尔可夫范畴中证明二阶随机占优的等价条件及布莱克威尔-谢尔曼-斯坦定理，定义可表示马尔可夫范畴，使结果更一般并涵盖贝叶斯版本。
2023-05-08 cs.LO math.CT math.PR
Categories of Semantic Concepts
University of Oxford（牛津大学）；HKU-Oxford Joint Laboratory for Quantum Information and Computation（香港大学-牛津大学量子信息与计算联合实验室）
概念表征的模型化是认知和语言学研究的基础问题。这项工作建立在Gärdenfors语义空间，分类成分语言学和应用范畴理论的概念工具的汇合，提出了一个领域独立和分类的形式主义的“概念”。
2020-08-05 cs.CL cs.LO math.CT
Classical lambda calculus in modern dress
泛代数的范畴基础的最新发展给了新的动力来理解lambda演算来自范畴逻辑：一个解释是一个半封闭的代数理论。斯科特的表示定理是完全自然的，并导致精确的定理显示与更熟悉的概念的本质等价。简单的抽象证明的基本结果的语义的lambda演算。
2013-10-06 math.CT math.LO
A categorical account of the Metropolis-Hastings algorithm
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；University of Warwick（华威大学）
研究能否用范畴概率构建和分析Metropolis-Hastings算法，通过马尔可夫范畴和CD范畴等工具表述相关概念，研究交换幺半群上CD范畴的丰富化，给出MH类采样器可逆的充要条件。
2026-07-14 math.CT math.PR stat.CO
Super, quantum and non-commutative species
我们介绍了一种方法的范畴环，通过分配范畴的概念与负对象，并用它来奠定了范畴的基础，研究超，量子和非交换组合。通过代数和几何之间的对偶性，这些构造为各种类型的仿射空间提供了一种新的构造方法，因此我们的工作可以被看作是范畴几何构造的一个起点。
2009-05-27 hep-th math.CT quant-ph
A category theory framework for Bayesian learning
SyntheticGestalt Ltd（SyntheticGestalt有限公司）
受Spivak、Fong和Cruttwell等人的基础著作启发，我们引入了一个分类框架来形式化贝叶斯推理和学习。在这里起作用的两个关键思想是贝叶斯反演和函子GL的概念，由Cruttwell等人构造。在这种情况下，我们发现贝叶斯学习是学习范式中最简单的情况。然后，我们得到分类配方的批量和顺序贝叶斯更新，同时也验证了这两个在一个特定的例子中相吻合。
2021-11-29 cs.AI cs.LG math.CT
Foundations of Frobenius Heisenberg categories
本文研究 Frobenius Heisenberg 范畴的态射空间基，利用范畴余乘法与广义分圆商证明相关猜想，并表明其 Karoubi 包络的 Grothendieck 环恢复对应格 Heisenberg 代数。
2023-09-27 math.CT math.RT
Computing with Categories in Machine Learning
Northeastern University（东北大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
范畴理论已成功地应用于科学的各个领域，揭示了统一不同现象的普遍原则，从而使知识在它们之间转移。最近一直在追求机器学习的应用，但抽象的数学基础和机器学习任务的具体应用之间仍然存在差距。在本文中，我们介绍了DisCoPyro作为一个范畴结构学习框架，它将范畴结构（如对称monoidal范畴和运算）与摊销变分推理相结合，并且可以应用于，例如，用于变分自编码器的编程学习。我们提供了数学基础和具体的应用，以及与其他模型（例如，神经符号模型）。我们推测，DisCoPyro最终可能有助于人工智能的发展。
2023-03-07 cs.AI cs.LG math.CT
Some categorical remarks on coarse subspaces of coarse spaces
Graduate School of Advanced Science and Engineering, Hiroshima University（广岛大学先进理工学研究科）
本文为粗空间的粗子空间提供范畴框架，引入受控全关系，证明相关赋值的函子性及偏序集同构，阐述渐近不相交性，为粗子空间框架提供解释，刻画其为范畴内在对象，还为恰当性准则提供粗几何解释基础。
2026-07-23 math.CT math.MG
Axiomatising the dagger category of complex Hilbert spaces
本文通过纯粹范畴条件公理化复希尔伯特空间的dagger范畴，提出简化方法以解决量子物理中的基础问题。
2025-11-21 math.CT quant-ph
Chasing diagrams in cryptography
本文探索用范畴论的图表追踪技术刻画密码学核心安全概念，旨在为密码学提供高层次方法并弥补范畴论缺乏具体应用的不足。
2016-11-07 cs.CR math.CT
The categorical basis of dynamical entropy
该研究从范畴论视角研究拓扑动力熵，提出合格函子对工具证明紧空间开覆盖的直径与Lebesgue数构成该类函子对，揭示多种迭代复杂度概念收敛到共同拓扑熵是结构假设的结果。
2024-01-19 math.CT math.DS
A categorical framework for cellular automata
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías, Universidad de Guadalajara（瓜达拉哈拉大学精确科学与工程大学中心）
本文提出基于范畴论的细胞自动机广义框架，通过群同态扩展理论，统一了现有概念并提供基础结果的纯粹范畴证明。
2026-02-03 cs.FL math.CT math.DS
Categorical Tensor-Graph Semantics for Quantum Algorithms
East China Normal University（华东师范大学）
从范畴张量图语义角度研究量子计算协议，对多种算法进行拓扑重新解释，超越标准量子比特模型，形式化新算法并给出图形表示，还实现相关门、追溯量子纠缠起源及简化协议，为量子硬件自动电路优化提供图形工具包。
2026-07-28 math-ph math.CT math.MP
Foundations for operator algebraic tricategories
本文建立算子代数三范畴的基础，证明其等价于算子Gray-范畴，并将Gelfand-Naimark定理范畴化至具体算子Gray-范畴。
2024-04-08 math.CT math.FA math.OA
Functorial Semantics of Second-Order Algebraic Theories
这项工作的目的是完成代数基础的二阶语言的观点范畴代数发达的Lawvere。为此，本文引入了二阶代数理论的概念，发展了二阶代数理论的基本理论。在定义中起关键作用的是二阶等式理论$\M$，它代表了每一种二阶语言中存在的最基本的算子和方程。范畴$\M$可以通过作为可指数对象上的自由范畴的泛性质抽象地描述。因此，在范畴代数的传统中，一个二阶代数理论由一个范畴$\Mlaw$和一个严格的范畴对象上的同一性函子$\M \to \Mlaw$组成，该函子保持$\Mlaw$的泛可指数对象。Lawvere的函子语义的代数理论，然后可以推广到二阶设置。为了验证我们理论的正确性，建立了两个范畴等价：在句法层次上，二阶方程表示与二阶代数理论的范畴等价;在语义层次上，二阶代数与二阶函子模型的范畴等价.
2014-01-19 cs.LO math.CT
String diagrams for game theory
本文提出了一个monoidal范畴，其态射是游戏（在博弈论的意义上，而不是游戏语义）和相关的图形语言。monoidal范畴的两个基本运算，即范畴合成和张量积，大致对应于游戏的顺序和同时合成。这导致了一个合成理论，在这个理论中，我们可以根据组成部分的相应属性来推理游戏的属性。特别是，我们给出了一个定义的纳什均衡，这是递归的因果结构的游戏。本文的关键技术思想是紧密基于博弈论中选择函数的应用，使用连续传球风格来推理球员选择的未来后果。此外，干净的分类基础为泛化提供了许多机会，例如学习代理。
2015-03-20 cs.GT cs.LO math.CT
The Simplicial Model of Univalent Foundations (after Voevodsky)
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；Institute for Advanced Study, Princeton（普林斯顿高等研究院）
本文通过构造单纯集中的univalent类型论模型，展示了等价性公理在该模型中的成立，并证明了Martin-Löf类型论与ZFC的一致性关系。
2018-10-29 math.AT math.CT math.LO
A universe of processes and some of its guises
我们的出发点是一个特殊的“画布”，旨在“绘制”物理学理论，它具有对称的monoidal范畴作为其数学支柱。在本文中，我们考虑这个画布的概念基础，以及如何将这些转换为数学结构。用很少的结构努力（即用非常抽象的术语）和在很短的时间跨度内，分类量子力学（CQM）研究计划已经复制了一个令人惊讶的大片段的量子理论。它还在量子基础和量子信息方面提供了新的见解，甚至产生了利用CQM的演绎能力的自动推理软件，称为“量子计算机”。在本文中，我们通过不需要范畴论的先验知识，并通过指出与物理学基础的先前和当前发展的联系，来补充现有的材料。该研究计划也与其他地方的发展密切合作，例如在表示论，量子代数，纽结理论，拓扑量子场论和其他几个领域。
2010-09-20 math.CT quant-ph
Univalent categories and the Rezk completion
我们发展范畴论内的单价基础，这是一个基础系统的数学基础上同伦解释的依赖型理论。在这个系统中，我们提出了一个定义的“类”的平等和等价的类别同意。这样的范畴满足一个版本的单价公理，即任何两个对象之间的同构类型等价于这些对象之间的单位类型;我们称它们为“饱和”或“单价”范畴。此外，我们证明了任何范畴都是弱等价于单叶范畴的泛范畴。在同伦和更高范畴语义中，这个构造对应于Segal空间的Rezk完成的截断版本，也对应于预栈的栈完成。
2014-01-06 math.CT math.LO
Mathematical Foundations for a Compositional Distributional Model of Meaning
Oxford University Computing Laboratory（牛津大学计算实验室）；University of Cambridge Computer Laboratory（剑桥大学计算机实验室）
我们提出了一个数学框架，用于统一向量空间模型中的意义分布理论，以及语法类型的合成理论，其中我们依赖于Lambek引入的预群代数。这个数学框架使我们能够从句子成分的含义中计算出一个好类型句子的含义。具体地说，预群的类型约简被“提升”为范畴中的态射，这是一个将成分的意义转化为（良好类型的）整体的意义的过程。重要的是，整个句子的意义存在于一个空间中，独立于句子的语法结构。因此，内积可以用来比较任意句子的意义，就像它是用来比较分布模型中单词的意义一样。我们采用的数学结构允许一个纯粹的图解演算，它揭示了信息如何在句子中的单词之间流动，以构成整个句子的意义。我们的“分类模型”的一个变化，其中涉及约束标量的向量空间的布尔半环的结果在蒙塔格风格的布尔值语义。
2010-03-23 cs.CL cs.LO math.CT
Polarities, voltages, and capacitors: a categorical approach to hulls, envelopes, and completions
University of Gothenburg（哥德堡大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文通过范畴论方法研究 hulls、envelopes 和 completions 的统一构造，提出极性与电压的概念，并构建完成函子的通用存在性定理。
2026-03-13 math.AC math.CT math.LO
