Concrete Foundations for Categorical Quantum Physics
在阿布拉姆斯基和科克的路线中，分类量子物理学的原始介绍试图只引入与物理学明显相关的对象和假设，而不是假设紧凑闭合。伴随箭头，张量积和双积是这个演示的成分。张量积的定义，直到一个酉箭头，由一个与复合系统的变换有关的普适性质，而不是通过假设一个monoidal结构。张量积的纠缠态定义了张量积分量上的混合态。符合伴随结构的余积被定义为一个酉箭头，并提供双积。证明了一个抽象的不可克隆结果。
2010-12-29 math.CT quant-ph
Categorical Foundations of Gradient-Based Learning
Mount Allison University（蒙特爱立森大学）；University of Strathclyde（思克莱德大学）；University College London（伦敦大学学院）
我们提出了一个分类语义的基于梯度的机器学习算法的镜头，参数化的地图，和反向导数类别。这个基础提供了一个强大的解释和统一的框架：它包含了各种梯度下降算法，如ADAM，AdaGrad和Nesterov动量，以及各种损失函数，如MSE和Softmax交叉熵，揭示了它们的相似性和差异性。我们的方法，以梯度为基础的学习有例子概括超出了熟悉的连续域（建模类别的光滑地图），可以实现在布尔电路的离散设置。最后，我们展示了我们的框架的实际意义与Python中的实现。
2021-07-13 cs.LG math.CT
Pseudo Limits, Biadjoints, and Pseudo Algebras: Categorical Foundations of Conformal Field Theory
在本文中，我开发了严格的方法来定义格雷姆西格尔概述的共形域论所需的分类基础。我讨论了理论和2-理论上的伪代数、它们的伪态射、双极限、双极限、双伴随、栈和相关概念。
2006-10-18 math-ph math.CT math.MP
A categorical foundation for structured reversible flowchart languages: Soundness and adequacy
本文基于带联结的逆范畴为结构化可逆流程图语言建立范畴语义，推广扩展性概念以表示谓词，并证明其计算可靠、充分及在特定条件下方程完全抽象。
2018-09-03 cs.PL math.CT
Tensor categorical foundations of algebraic geometry
Tannaka对偶及其Lurie，Schänberg等人的扩展揭示了许多方案以及代数栈可以用它们的拟凝聚层的张量范畴来识别。本文研究了余完备张量范畴的构造。上连续张量函子），它们通常对应于方案的构造（分别是在类相干层的情况下，它们的态射。这意味着将通常的局部-整体代数几何整体化。为此，我们首先要在任意的余完备张量范畴中发展基本的交换代数。然后，我们讨论张量范畴的全球化的仿射态射，射影态射，浸入，经典的投射嵌入（Segre，Plücker，Veronese），爆破，纤维积，分类栈，最后切丛。事实证明，几个模空间或栈的泛性质转化为相应的张量范畴。
2014-10-07 math.AG math.CT
Categorical Foundations for CuTe Layouts
Colfax Research
本文提出一个范畴框架，用于理解和实现CuTe布局代数，通过定义Tuple和Nest范畴及其态射操作，提供与CUTLASS行为一致的Python实现。
2026-01-09 cs.PL math.CT
Quantum channels as a categorical completion
我们为量子信息和量子计算中纯态和混合态之间的联系提出了一个分类基础。该基础是基于分配monoidal范畴。首先，我们证明了所有量子通道的范畴是纯量子操作范畴的正则完备化（带有辅助准备）。更准确地说，我们证明了有限维C*-代数之间的完全正保迹映射范畴是有限维向量空间和等距范畴的典范完备。其次，我们推广了我们的结果，为量子通道之间的拓扑关系提供了基础。我们通过将我们的范畴基础推广到拓扑丰富的设置来做到这一点。特别地，我们证明了量子通道上的算子范数拓扑是由等距上的范数拓扑导出的正则拓扑。
2019-04-24 cs.LO math.CT quant-ph
Why FHilb is Not an Interesting (Co)Differential Category
微分范畴提供了微分的基本公理化和微分线性逻辑的范畴模型。由于微分是贯穿量子力学和量子信息的重要工具，因此研究微分范畴理论在范畴量子基础上的应用是有意义的。在范畴量子基础中，紧闭范畴（因此也是可追踪的对称么半群范畴）是主要的研究对象之一，特别是有限维希尔伯特空间范畴FHilb。在本文中，我们将解释为什么FHilb上唯一的微分范畴结构是平凡的。这是由于FHilb的迹和可能的微分范畴结构之间的一种不相容性。也就是说，有一些有趣的非平凡的例子，跟踪/紧闭微分范畴，我们也讨论。本文的目标是将微分范畴引入更广泛的范畴量子基础社区，并希望为结合这两个领域的进一步工作打开大门。虽然本文的主要结果似乎有点“负面”，在实现这一目标，我们讨论有趣的潜在应用的微分范畴的范畴量子基础。
2020-05-01 cs.LO math.CT
Total and Partial Computation in Categorical Quantum Foundations
本文以某些范畴的等价形式揭示了全计算和部分计算之间的基本关系。这种等价性一方面涉及到效应，这是总计算的范畴，由雅各布斯为研究量子/效应逻辑而引入。另一方面，它涉及我们称之为带效应的FinPAC;它们是带有效应代数结构的半部分加性范畴，用作部分计算的范畴。事实证明，效应物上的提升单子（-）+1的Kleisli范畴总是一个有效应的FinPAC，这种构造产生了等价性。此外，状态和效果三角形的FinPAC效果。
2015-11-05 cs.LO math.CT quant-ph
Categorical Foundations of Formalized Condensed Mathematics
本文在最小范畴假设下建立了相干、正则与外延拓扑之间的关系，给出层和覆盖筛的刻画，并将全部结果在Lean中形式化，从而为凝聚数学奠定范畴论基础。
2024-11-12 cs.FL cs.LO math.CT
A categorical foundation for Bayesian probability
给定两个可测空间$H$和$D$，它们具有可数生成的$σ$ -代数、$H$上的完美先验概率测度$P_H$和一个采样分布$S: H \rightarrow D$，则存在一个相应的推理映射$I: D \rightarrow H$，该映射直到一组测度零为止是唯一的.因此，给定数据测量$μ: 1 \rightarrow D$，可以计算后验概率$\widehat{P_H}= I \circ μ$。该过程是迭代的：对于每个更新的概率$P_H$，我们获得新的联合分布，其又产生新的推断图$I$，并且对于每个附加的测量重复该过程。主要结果使用了Faden的正则条件概率的存在定理，它比波兰空间的设置更具有普遍性。这种不太严格的设置，然后允许非平凡的决策规则（艾伦伯格-摩尔代数）有限（以及非有限）空间，并提供了一个共同的框架，决策理论和贝叶斯概率。
2013-12-03 math.CT math.PR
Categorical Operator Algebraic Foundations of Relational Quantum Theory
本文提出基于非交换高阶算子范畴的关系量子理论代数表述，并建议利用该形式论从算子代数的关联双模范畴谱重构非交换关系时空几何。
2014-12-23 math-ph math.CT math.MP
Categorical structures for type theory in univalent foundations
本文在单值类型论中比较三种依赖类型论模型结构，构造映射并证明在单值公理下部分等价，引入相对宇宙研究其沿范畴等价及Rezk完备化的转移，并在Coq/UniMath中形式化。
2018-09-08 cs.LO math.CT math.LO
Towards a Categorical Foundation of Deep Learning: A Survey
SCUOLA DI SCIENZE（科学学院）
本文综述了范畴论在深度学习中的应用，探讨利用categorical optics、functors和string diagrams等工具为机器学习建立统一理论基础，以解决当前领域缺乏理论支撑和可复现性差的问题。
2024-10-14 cs.AI cs.LG math.CT
Operational theories and Categorical quantum mechanics
当前量子信息和量子基础工作的一个中心主题是将量子力学看作是在可能的理论空间中占据一个点，并使用这个观点来理解将它挑出来的特殊特征和性质，以及替代理论的可能性。在这方面使用的两种形式主义是操作理论和范畴量子力学。本文的目的是建立这两个形式主义之间的强连接。我们展示了范畴量子力学的模型如何具有作为操作理论的表示。然后，我们将展示如何非局部性可以制定在这个层面上的一般性，并研究了一些例子，从这个角度来看，包括希尔伯特空间，集和关系，随机映射。本地，量子和无信号模型的特点是在这些方面。
2013-06-18 math.CT quant-ph
Categorical Foundations for K-Theory
回想一下，对象C的$K$理论的定义（例如，环或空间）具有以下模式。我们首先把对象C与范畴A_C联系起来，范畴A_C具有适当的结构（正合的、瓦尔德豪森的、对称么半群的、.）。然后，我们将一个“$K$ -理论机器”应用于范畴A_C，它提供了一个无限闭路空间，即对象C的$K$ -理论K（C）。我们研究这个过程的第一步。通过$K$理论研究的对象有哪些类型？给定这些类型的对象，应该将什么结构化类别与对象相关联以获得关于它的$K$理论信息？这些对象的态射应该如何与这种对应相互作用呢？我们提出了一个统一的，概念框架的一些重要的例子研究对象的$K$理论。与对象C相关联的结构化类别通常是monoidal（op-）constructed类别中的模块的类别。所考虑的模块是“局部平凡的”关于一个给定类的平凡模块和一个给定的Grothendieck拓扑的对象C的范畴。
2011-11-14 math.AG math.AT math.CT
Quotient completion for the foundation of constructive mathematics
我们应用范畴逻辑中开发的一些工具，给出了一个抽象的描述，用于形式化建设性数学的基础上内涵类型理论的建设。我们采用的关键概念是一个Lawvere hyperdoctrine，我们描述了一个概念的商完成。这个概念包括了一个范畴的精确完备化，它以弱有限极限为例，也包括了类型论中与之不同的例子。
2013-12-03 math.CT math.LO
Categories without structures
一般认为范畴论支持数学结构主义是错误的。数学的范畴论数学基础需要一种不同的数学哲学。而结构数学研究不变形式（Awodey）范畴数学研究协变变换，一般来说，没有任何不变量。在本文中，我发展了一个非结构主义的解释范畴数学，并显示其后果的数学史和数学教育。
2010-02-20 math.CT math.HO
Macroeconomic Foundation of Monetary Accounting by Diagrams of Categorical Universals
本文提出货币宏观经济会计理论（MoMaT）的范畴论表述，用范畴论提升微观会计一致性至宏观层面，通过五个部门主体举例并展示动态收敛性，助力跨学科协作构建货币会计系统数字孪生。
2025-08-19 cs.MA econ.GN math.CT
The Univalence Principle
单价原理是这样一种陈述，等价的数学结构是不可区分的。我们证明了这一原理的一般版本，适用于以非代数和基于空间的风格定义的所有基于集合的、范畴的和更高范畴的结构，以及高阶理论（例如拓扑空间）的模型。特别是，我们制定了一个一般的定义，任何这样的结构的对象的不可分割性，和相应的单性条件，推广Rezk的完整性条件的Segal空间，并确保所有等价的结构是levelwise等价。我们的工作建立在Makkai的一阶逻辑与相关排序，但表示在Voevodsky的单价基础（UF），扩展以前的工作的结构同一性原则和单价类别UF。这使得不可否认性可以简单地表示为识别，并产生一个正式的理论，在经典同伦理论中是可解释的，但也在其他更高的拓扑模型。由此可见，单价基础是更高范畴数学的完全等价不变基础，正如Voevodsky所意图的那样。
2022-08-29 cs.LO math.CT math.LO
Classical lambda calculus in modern dress
泛代数的范畴基础的最新发展给了新的动力来理解lambda演算来自范畴逻辑：一个解释是一个半封闭的代数理论。斯科特的表示定理是完全自然的，并导致精确的定理显示与更熟悉的概念的本质等价。简单的抽象证明的基本结果的语义的lambda演算。
2013-10-06 math.CT math.LO
Representable Markov Categories and Comparison of Statistical Experiments in Categorical Probability
本文在马尔可夫范畴中证明二阶随机占优的等价条件及布莱克威尔-谢尔曼-斯坦定理，定义可表示马尔可夫范畴，使结果更一般并涵盖贝叶斯版本。
2023-05-08 cs.LO math.CT math.PR
The categorical basis of dynamical entropy
该研究从范畴论视角研究拓扑动力熵，提出合格函子对工具证明紧空间开覆盖的直径与Lebesgue数构成该类函子对，揭示多种迭代复杂度概念收敛到共同拓扑熵是结构假设的结果。
2024-01-19 math.CT math.DS
Computing with Categories in Machine Learning
Northeastern University（东北大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
范畴理论已成功地应用于科学的各个领域，揭示了统一不同现象的普遍原则，从而使知识在它们之间转移。最近一直在追求机器学习的应用，但抽象的数学基础和机器学习任务的具体应用之间仍然存在差距。在本文中，我们介绍了DisCoPyro作为一个范畴结构学习框架，它将范畴结构（如对称monoidal范畴和运算）与摊销变分推理相结合，并且可以应用于，例如，用于变分自编码器的编程学习。我们提供了数学基础和具体的应用，以及与其他模型（例如，神经符号模型）。我们推测，DisCoPyro最终可能有助于人工智能的发展。
2023-03-07 cs.AI cs.LG math.CT
String diagrams for game theory
本文提出了一个monoidal范畴，其态射是游戏（在博弈论的意义上，而不是游戏语义）和相关的图形语言。monoidal范畴的两个基本运算，即范畴合成和张量积，大致对应于游戏的顺序和同时合成。这导致了一个合成理论，在这个理论中，我们可以根据组成部分的相应属性来推理游戏的属性。特别是，我们给出了一个定义的纳什均衡，这是递归的因果结构的游戏。本文的关键技术思想是紧密基于博弈论中选择函数的应用，使用连续传球风格来推理球员选择的未来后果。此外，干净的分类基础为泛化提供了许多机会，例如学习代理。
2015-03-20 cs.GT cs.LO math.CT
Polarities, voltages, and capacitors: a categorical approach to hulls, envelopes, and completions
University of Gothenburg（哥德堡大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文通过范畴论方法研究 hulls、envelopes 和 completions 的统一构造，提出极性与电压的概念，并构建完成函子的通用存在性定理。
2026-03-13 math.AC math.CT math.LO
