The familial nature of enrichment over virtual double categories
本文研究虚拟双范畴上强化范畴的家族性质，证明相关2-函子是参数化右2-伴随且具有家族性，并通过家族构造形式化其上强化范畴的2-范畴，为更一般结构下的强化范畴提供更好的形式性质与示例覆盖。
2025-07-07 math.CT
Actegories for the Working Amthematician
本文系统梳理 actegories 初等理论，给出 biactegories、张量积、同态–张量伴随及三类幺半结构的新定义，并用类似 Cayley 的结果完成分类。
2024-09-10 math.CT
Compact Semisimple 2-Categories
本文定义了任意域上的紧半单2-范畴，证明其等价于可分模1-范畴的2-范畴，验证了在特定域上的有限性，并将特征零代数闭域上的相关理论推广至该范畴。
2022-06-26 math.CT math.QA
Theoretical Computer Science for the Working Category Theorist
理论计算机科学讨论有关计算的基础问题。它提出并回答诸如“什么是计算？什么是可计算的？什么是有效可计算的？”、“什么是信息？”、“什么是随机？“、“什么是算法？我们将用范畴论的基本语言提出许多主要的主题和定理。令人惊讶的是，理论计算机科学中许多有趣的定理和概念都是函子性和复合性的简单结果，只要你找到正确的范畴和连接它们的函子。
2017-10-04 cs.CC cs.LO math.CT
V-graded categories and V-W-bigraded categories: Functor categories and bifunctors over non-symmetric bases
Brandon University（布兰登大学）
本文研究了在非对称基础上的V-分级范畴和双分级范畴，提出了一种适用于任意单向范畴V的函子范畴和双函子理论，探讨了V-分级模和预射影范畴的例子，并与Garner和López Franco的理论进行了比较。
2026-05-06 math.CT
Univalent Higher Categories via Complete Semi-Segal Types
同伦类型论中的范畴论是复杂的，因为范畴定律只能被表述为“上到同伦”，因此需要内聚性。已建立的单叶范畴的概念（Ahrens，Kuberkin，Shulman）通过只考虑截断类型解决了这个问题，大致对应于普通范畴。这无法捕捉许多自然发生的结构，源于同伦类型理论中自然发生的结构不是普通的，而是高阶范畴。在数学家们提出的各种各样的高阶范畴论方法中，我们相信单纯策略是最适合类型论的。Lurie和Harpaz的工作激发了以下定义。给定一个半单纯型S的第一个（n+3）层，我们可以给S赋予三个性质：第一，某些喇叭填充子类型的可收缩性;第二，完备性;第三，截断条件。我们称之为完全半Segal n型。这与Schreiber早期的建议非常相似。单叶（1-）范畴的定义可以很容易地被推广或限制到单叶n-范畴（更准确地说，是（n，1）-范畴）的定义，其中n在{0，1，2}中，并且我们证明了在这些情形下完全半Segal n-型的类型等价于单叶$n$ -范畴的类型.因此，我们认为完全半Segal n-型的概念可以被看作是单叶n-范畴的定义。我们提供了一个形式化的证明助理Agda使用一个完全明确的表示半单纯型的水平高达4。
2017-10-29 math.CT
homotopy.io: a proof assistant for finitely-presented globular $n$-categories
本文提出了证明助手 homotopy.io，通过浏览器点击界面直接操作图形化证明对象，以处理有限展示的半严格高阶范畴，并介绍了其核心子系统与关键实现细节以优化资源受限环境下的性能。
2024-02-20 cs.LO math.CT
Properness and simplicial resolutions for the model category dgCat
我们证明了dg-范畴的模型范畴dgCat的两个性质（具有森田或Dwyer-Kan模型结构）：当在一个域上工作时，dgCat范畴是左适当的。dgCat中的自然单纯分解由Maurer-Cartan元的dg-范畴给出。
2020-09-23 math.CT
An axiomatic approach to the multiverse of sets
最近的工作在集合论表明，有许多不同的概念“集”，每一个捕获的不同集合的公理，提出了J. Hamkins在[Ham 11]。在本文中，我们努力给出一个类理论，允许同时考虑所有的理论宇宙和它们之间的关系，消除了在进行诸如强迫等构造时对"理论之外“的求助的需要。我们还探索了多元范畴论，这表明我们最终摆脱了在分类过程的每一个阶段的“大”问题，当我们在这个理论中工作时，我们所考虑的一个给定宇宙的范畴的范畴包含了这个宇宙中的所有大范畴，而不需要求助于一个更大的宇宙。我们利用这个新发现的自由来定义一个范畴${\bf Force}$，它的对象是宇宙，它的箭头是力迫扩张，一个$2$ -范畴$\mathcal{V}\mathfrak{erse}$，它的对象是每个宇宙中的集合的范畴，它的组成范畴是由这些集合范畴之间的函子范畴给出的，和一个三范畴$\mathbb{Cat}$，其对象是每个论域中范畴的$2$ -范畴，其组成双范畴由伪函子给出，这些$2$之间的自然转换和修改双范畴-每个宇宙中的范畴的范畴。
2022-06-09 math.CT math.LO
More on soundness in the enriched context
本文在丰富范畴理论中深化健全性概念，研究局部$Φ$-可表示范畴、$Φ$-可达性与$Ψ$-可达性的关系，并引入$Φ$-元等值理论以刻画$Φ$-元单子的代数。
2025-10-21 math.CT
The Yoneda embedding in simplicial type theory
Aarhus University（奥胡斯大学）；Chapman University（查普曼大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文在 simplicial 类型理论中构建 Yoneda 入射，发展预层范畴理论，并证明 Quillen 定理 A。
2026-11-09 cs.LO math.AT math.CT
Bar category of modules and homotopy adjunction for tensor functors
给定一个DG-范畴A，我们引入模Modbar（A）的bar范畴。它是A的导出范畴D（A）的DG-加强，D（A）同构于DG A-模范畴，且它们之间具有A-无限态射.然而，它本质上是在DG范畴的语言中定义的，不需要复杂的机器或A-无限范畴的符号约定。我们定义这些酒吧类别张量和Hom双函子，对偶函子，和扭曲的复杂的卷积。预期的应用是DG-双模作为三角范畴之间的正合函子的增强。作为一个演示，我们发展同伦附加理论的张量函子之间的导出范畴的DG-范畴。它允许我们在一个增强的设置中显示，给定一个函子F，其左伴随L和右伴随R，函子复形$FR \rightarrow FRFR \rightarrow FR \rightarrow Id$提升到一个典型的扭曲复形，其卷积是F的球面扭曲的平方。然后，我们写下四个诱导函子Postnikov塔计算这个卷积。
2020-03-02 math.AG math.CT
Koszul Monoids in Quasi-abelian Categories
本文在具有足够平坦投射对象的双完备闭对称幺半拟阿贝尔范畴中，以无元素方式定义 Koszul 与二次幺半群，并借助左心嵌入证明其分次模导出范畴子范畴的对偶等价。
2023-12-06 math.AG math.CT math.RA
Homotopical Algebra in Categories with Enough Projectives
对于一个完备且共完备的范畴$\mathcal{C}$，其中包含一个行为良好的“投射”类$\bar{\mathcal{P}}$，我们构造了一个关于$\mathcal{C}$中单纯对象范畴$s\mathcal{C}$的模型结构，其中弱等价、纤维化和上纤维化都用$\bar{\mathcal{P}}$定义.当$\mathcal{C}$是$\mathcal{U}$，紧生成的弱Hausdorff空间的范畴，而$\bar{\mathcal{P}}$是紧T2空间的范畴时，这尤其成立。我们还构建了一个新的模型结构上$\mathcal{U}$本身，其中的coherant空间是广义的CW-复合物允许空间，而不是集，$n$ -细胞被连接。奇异的单纯复形和几何实现函子给出了这些模型结构之间的Quillen邻接。对于$\mathcal{U}$中的空间，这些结构允许在$\mathcal{U}$的精确完备中定义同伦群对象，这些同伦群对象在弱等价下是不变的，并且具有同伦群通常所期望的许多好的性质。在$\mathcal{U}$中，存在由纤维序列引起的同伦群对象的长正合序列。沿着类似的思路，我们研究了$\mathcal{U}$内部模范畴中的同调代数，特别得到了$\mathcal{U}$拓扑群扩张的Lyndon-Hochschild-Serre谱序列.
2018-03-06 math.CT
Cauchy convergence in V-normed categories
University of Coimbra（科英布拉大学）；University of Aveiro（阿威罗大学）；York University（约克大学）
本文在范数范畴基础上，引入柯西收敛与完备性概念，通过V-范数集的单调闭包范畴处理，证明V-范数范畴具有正确大小的柯西完备性，并证明Banach不动点定理。
2026-04-07 math.CT math.FA math.GN
An invitation to topological orders and category theory
虽然这已经是一个众所周知的事实，二十多年来，范畴理论是需要研究拓扑序，它仍然是一个不平凡的挑战，为学生和工作的物理学家掌握抽象语言的范畴理论。在这项工作中，对于那些没有范畴论背景的人，我们详细解释了（编织）融合范畴的结构是如何从格模型和物理直觉中自然出现的。此外，我们表明，几乎所有的数学概念和结构的融合范畴及其表示理论，如（monoidal）函子，德林费尔德中心，模范畴，森田等价，凝聚完成和融合2-范畴，自然出现从格模型和物理直觉。在这个过程中，我们还介绍了拓扑序的一些基本概念和重要结果。
2022-05-31 cond-mat.str-el hep-th math.CT
The formal theory of Tannaka duality
Tannakian范畴是一个阿贝尔张量范畴，它配备了一个纤维函子和额外的结构，这些结构确保它等价于作用在域扩张的谱上的某个仿射广群概型的表示范畴。如果我们研究的是任意的交换环而不是域，则表示范畴不再是阿贝尔的。我们提供了一个充分条件的列表，以确保添加剂张量范畴是等价的仿射广群计划的表示的范畴上的仿射计划，或更一般地说，在一个对称的幺半范畴范畴的Hopf代数体的表示范畴。为了做到这一点，我们开发了一个“Tannaka二元性的形式理论”的启发罗斯街的“单子的形式理论。”“我们将我们的结果应用于某些类别的过滤模块，用于研究p-adic伽罗瓦表示。
2011-12-22 math.AG math.CT
Local Modules in Braided Monoidal 2-Categories
本文在辫子幺半 2-范畴中细化了局部模概念，证明了局部模 2-范畴具有辫子幺半结构与对偶，并在辫子融合 2-范畴中确立其为辫子多融合 2-范畴，最后探讨了 Lagrangian 代数及其与拓扑物相边界分类的联系。
2023-07-06 cond-mat.str-el hep-th math.CT
Categorical Aspects of Topological Quantum Field Theories
本论文介绍了拓扑量子场论中的各种范畴论思想。这些理论被看作是从拓扑配边范畴到向量空间范畴的对称幺半群函子。在二维中，它们被Frobenius代数分类。在三个维度上，在一定条件下，它们被划分为模块类别。这些是特殊类型的范畴，在这些范畴中，拓扑概念（如辫子和扭曲）发挥着重要作用。有一个强大的图形演算可用于在这些类别中工作，这可以被视为物理学中熟悉的费曼图方法的推广。介绍了这种方法，并以图形的方式逐步激发了必要的代数结构。二维拓扑域论的一个大子类可以从格点规范理论的三角剖分构造中得到。在这些理论中，规范群是有限的。这种结构进行审查，从原来的代数的角度，以及使用的图形演算在前面的章节。这个有限规范群玩具模型可以在所有维度下定义，并且可以说是最简单的非平凡量子场论。我们借此机会明确地展示了该模型在三维中产生的模范畴的计算，并将该代数数据与通过几何和三角测量计算的二维相应数据进行比较。我们以此为例来介绍量子场论的思想，即产生一个代数结构的塔，每个维度通过分类过程与前一个维度相关。
2005-12-05 math.CT math.QA
