Parametrized higher category theory and higher algebra: A general introduction
我们介绍了参数化高阶范畴理论和参数化高等代数的研究，我们描述了一系列的Exposés，使专着的主要定理。
2016-08-12 math.AG math.AT math.CT
Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé IV -- Stability with respect to an orbital $\infty$-category
本文发展了$G$ -范畴（$G$的轨道范畴上的范畴的预层）的稳定性理论，其中$G$是有限群.我们将Mackey函子刻画为$G$ -交换幺半群，并利用它将$G$ -谱刻画为$G$ -空间的$G$ -稳定化.作为一个应用程序，我们提供了一个定理的另一种证明Guillou和五月。这里的理论是在轨道范畴的更一般的背景下发展起来的。
2016-10-29 math.AG math.AT math.CT
Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I -- Elements of parametrized higher category theory
我们介绍了参数化$\infty$理论的基本要素-范畴和它们之间的函子。这些概念被定义为$\infty$ -范畴和它们之间的函子的适当纤维化。在这个阶段，我们尽可能多地举例子。简单的操作，如形成对立和形成函子$\infty$ -范畴，变得稍微更多地参与参数化设置，但我们解释了如何执行这些建设。所有这些结构都可以明确地进行，而不需要采取诸如拉直之类的绝望行为。这个Exposé的主要结果是：（1）$T$ - $\infty$-范畴的$T$ -对象在任何$\infty$ -范畴中的一个普遍特征，（2）$T$ - $\infty$ -范畴的一个内部Hom的存在性，以及（3）一个参数化的Yoneda引理。
2016-08-12 math.AG math.AT math.CT
Locally constant n-operads as higher braided operads
本文引入了一类局部常数$n$ -运算，它可以看作是高阶辫子运算的范畴.对于$n=1,2,\infty$，局部常数$n$ -运算的同伦范畴与经典的非对称、辫状和对称运算的同伦范畴是等价的.
2009-07-03 math.AT math.CT
Univalence in Higher Category Theory
Voevodsky首先在同伦类型论的背景下定义了单价，他（与Kuberkin和Lumsdaine一起）将其改编为模型范畴背景，随后Gepner和Kock将其推广到局部笛卡尔闭可表示$\infty$ -范畴。这些定义被用来表征作为类型理论模型的各种$\infty$ -范畴。我们给出了一个定义的单叶态射在完全$\infty$范畴，推广了上述定义，并完全集中在$\infty$范畴方面，其特征在于通过某些函子，这应该提醒读者的概念，如限制或限制的可表示性。然后，我们证明，在一个局部笛卡尔闭$\infty$范畴（这是不一定表示）的一个态射的单价是等价于一个特定的Segal对象的完整性，我们构造出的态射，通过内部$\infty$范畴，这已被认为是在严格的设置由Stenzel特征的单价。我们利用这些结果来研究单价和基本拓扑理论之间的联系。我们还研究了群范畴、$\infty$-范畴的$\infty$ -范畴和点$\infty$ -范畴中的单叶态射。
2021-03-29 math.CT
Higher Theories and Monads
我们将Bourke和Garner的单子和前理论之间的幂等连接推广到$\infty$范畴的框架中，并利用它在$\infty$范畴框架中证明了许多关于单子的经典结果.除其他事项外，我们表明，一个可访问的单子上的局部可表示的$\infty$ -类别$\mathcal{E}$代数的范畴是再次局部可表示的，并表示一个图的可访问的单子上的局部可表示的$\infty$ -类别承认一个colimit。我们的结果也提供了一个新的和更简单的方法来构建和描述单子的理论。
2021-06-15 math.CT
A Model for the Higher Category of Higher Categories
我们利用完备Segal空间的纤维化构造了四个完备Segal空间：Reedy单形空间、Segal空间、完备Segal空间和空间。此外，我们表明，每一个都带有一个通用的纤维化，分类Reedy左纤维化，Segal coCartesian纤维化，coCartesian纤维化和左纤维化，并证明这些是可表示的纤维化。最后，我们使用准范畴和完整的Segal空间之间的等价性，提出类似的结构使用准范畴的纤维化。
2022-02-01 math.AT math.CT
A simplicial category for higher correspondences
在这项工作中，我们提出了一个实现Lurie的预测，内部纤维$p: X \rightarrow A$分类的$A$索引图在一个“高阶范畴“，其对象是$\infty$ -类别，态射是它们之间的对应和更高的态射是更高的对应。我们将得到这一点作为一个推论的一个更一般的结果，其中分类所有单纯映射之间的普通单纯集以类似的方式。单纯集（和$\infty$ -范畴）之间的对应是属于范畴的原函子（或双模）概念的推广。当范畴、函子和原函子被组织在一个双重范畴中时，我们将展示单纯集、单纯映射和对应作为单纯范畴的一部分。这使我们能够做出准确的陈述并提供证据。我们的主要工具是双范畴语言，我们也在单纯范畴的上下文中使用它。
2022-12-10 math.AT math.CT
Parametrized higher category theory II: Universal constructions
我们开发了参数化的推广的一些基本概念的理论$\infty$ -范畴，包括因子分解系统，自由纤维化，指数纤维化，相对colimits和相对Kan扩展，过滤和筛选图，和通用的结构Ind和$P^Σ$。
2022-01-08 math.AT math.CT
Parametrized higher category theory
本文为参数化∞-范畴建立范畴论基础，提出索引同伦极限与余极限理论，并证明G-空间范畴由可缩G-空间自由生成，证实Hill猜想。
2022-01-06 math.AT math.CT
Notes on Multiple Higher Category Theory
这些说明如下的文章\cite{kamel, Cam, cam-cubique}显示如何强大的方法可以\textit{Stretchings}发起的\textit{Globular Geometry}由雅克Penon在\cite{penon}，以削弱\textit{strict higher structures}。在这里，我们适应这种方法，以削弱严格多重$\infty$范畴，严格多重$(\infty,m)$范畴，特别是我们得到的代数模型弱多重$\infty$-广群胚。
2017-02-17 math.CT math.KT
Univalent Higher Categories via Complete Semi-Segal Types
同伦类型论中的范畴论是复杂的，因为范畴定律只能被表述为“上到同伦”，因此需要内聚性。已建立的单叶范畴的概念（Ahrens，Kuberkin，Shulman）通过只考虑截断类型解决了这个问题，大致对应于普通范畴。这无法捕捉许多自然发生的结构，源于同伦类型理论中自然发生的结构不是普通的，而是高阶范畴。在数学家们提出的各种各样的高阶范畴论方法中，我们相信单纯策略是最适合类型论的。Lurie和Harpaz的工作激发了以下定义。给定一个半单纯型S的第一个（n+3）层，我们可以给S赋予三个性质：第一，某些喇叭填充子类型的可收缩性;第二，完备性;第三，截断条件。我们称之为完全半Segal n型。这与Schreiber早期的建议非常相似。单叶（1-）范畴的定义可以很容易地被推广或限制到单叶n-范畴（更准确地说，是（n，1）-范畴）的定义，其中n在{0，1，2}中，并且我们证明了在这些情形下完全半Segal n-型的类型等价于单叶$n$ -范畴的类型.因此，我们认为完全半Segal n-型的概念可以被看作是单叶n-范畴的定义。我们提供了一个形式化的证明助理Agda使用一个完全明确的表示半单纯型的水平高达4。
2017-10-29 math.CT
A Potential Definition of Weak $ω$-Category
本文提出弱无限维范畴的无偏替代定义，基于带复合与额外结构的一维箭图。
2025-02-28 math.CT
The higher Morita category of $E_n$-algebras
我们介绍了简单的模型，结合代数和双模的上下文中的非对称$\infty$ -操作，并使用这些来构建一个$(\infty,2)$范畴的结合代数，双模，双模同态monoidal $\infty$范畴。通过对$Δ^{n,\text{op}}$上的$\infty$ -运算的研究，我们推广了这些定义并得到了$E_{n}$ -代数的$(\infty,n+1)$ -范畴和$E_{n}$ -monoidal $\infty$ -范畴中的迭代双模.证明了若$\mathcal{C}$是$E_{n+k}$ -monoidal $\infty$ -范畴，则$\mathcal{C}$中的$E_{n}$ -代数的$(\infty,n+1)$ -范畴具有自然的$E_{k}$ -monoidal结构.我们还确定了两个$E_{n}$ -代数之间的映射$(\infty,n)$ -范畴，这使我们能够定义有趣的交换环谱的Brauer空间的非连通去环。
2020-10-31 math.AT math.CT
Extended Module Categories in Higher Cluster Tilting Theory
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究科）
本文通过研究三角范畴关于高丛倾斜子范畴的理想商，证明其自然DG增强是阿贝尔d-截断DG范畴，并利用Morita型定理将其等价于d-截断DG范畴上的d-扩展模范畴。
2026-05-23 math.CT math.RT
Coinductive Invertibility in Higher Categories
可逆性是范畴论中的一个重要概念。在高阶范畴论中，可逆性的正确概念变得不那么明显，因为额外的相干条件可能成为可逆结构具有所需性质的必要条件。定义了弱$ω$ -范畴的某些性质，这些性质在任何合理的定义中都是成立的.有了这些性质，我们定义了三个概念的启发同伦类型理论的可逆性。这些是准可逆性，其中需要双侧逆，双可逆性，其中给出单独的左逆和右逆，以及半伴随逆，这是具有额外相干条件的准逆。这些定义采用共归纳数据结构的形式。使用共归纳证明，我们能够证明这三个概念都是等价的，因为给定这些可逆性结构中的任何一个，其他的都可以得到。用于这样做的方法是通用的，它是预期的结果应该适用于任何合理的模型高阶范畴论。许多结果的文件已正式在阿格达使用共归纳记录和机械的大小类型。
2020-10-17 math.CT
Topology and Higher-Dimensional Category Theory: the Rough Idea
高维范畴论研究的是n-范畴、运算、辫状幺半范畴和其他类似的奇异结构。虽然它可以被当作纯粹的代数主题，但它本质上是拓扑的：人们画出的表示这些结构的高维图可以被看作是拓扑的一部分。这方面的例子是辫状幺半范畴中的辫状，以及出现在幺半范畴和A_infinity空间的定义中的五边形。我将尝试在星期五下午描述人们对高维范畴论的一些梦想，以及它与拓扑学的相互作用。Grothendieck，例如，建议驯服拓扑应该是研究的n-groupoid;其他人希望n-类别的cobordisms之间的cobordisms之间.将为TQFT提供一个干净的设置;并且有令人信服的证据表明，整个n-范畴世界是球面同伦群世界的一面镜子。
2001-06-27 math.AT math.CT math.QA
Unifying Causal Inference and Reinforcement Learning using Higher-Order Category Theory
Adobe Research（奥多比研究院）；University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
利用高阶范畴理论，提出了强化学习（RL）中因果模型和预测状态表示（PSR）模型的结构发现的统一形式。具体来说，我们模型结构发现在这两种设置中使用单纯对象，逆变函子从类别的序数到任何类别。在条件独立下等价的因果模型的片段（定义为因果角）以及预测状态表示中的潜在测试的连续性（定义为预测角）都是单纯对象的角的特殊情况，由去除内部和与特定顶点相对的面而产生的子集。在这两种情况下的潜在结构发现涉及相同的基本数学问题，即通过解决交换图中的提升问题来找到单纯对象的角的扩展，并利用定义高阶对称的弱同伦。填充“内”角与“外”角的问题的解决方案导致了各种高阶范畴的概念，包括弱Kan复形和拟范畴。我们定义的抽象问题的结构发现在这两种设置中的伴随函子之间的类别的普遍因果模型或普遍的决策模型和其单纯的对象表示。
2022-09-13 cs.AI math.CT
Intercategories: A framework for three-dimensional category theory
我们展示了范畴间的概念如何包含各种各样的三维结构，从文献中，特别是duoidal类别，monoidal双类别，立方双范畴，双双范畴和灰色类别。跨度概念的变化提供了更多有趣的例子，一个重要的例子是集合的范畴间。我们考虑了范畴间的三种态射以及将它们结合起来的细胞，并将它们应用于上述结构。特别是HOM函子进行了研究。
2016-07-09 math.CT
Data structures for quasistrict higher categories
我们提出了新的准严格高阶范畴的数据结构，其中结合律和单位律严格成立。与传统的高阶范畴的代数定义相比，我们的方法具有较低的公理复杂性，并且我们用它给出了拟严格4-范畴的一个实用定义。它也适合于计算机实现，我们利用这一点给出了一个新的机器验证的代数证明，每一个adjunction的1-细胞在一个准严格的4类可以提升到一个连贯的adjunction满足蝴蝶方程。
2016-10-21 math.CT
A graphical category for higher modular operads
我们提出了一个同伦理论的一个弱版本的模块操作，其组成和压缩只定义了同伦。这种同伦理论的形式是一个Quillen模型结构的集合上的单纯预层的某一类别的无向图。这种新的无向图范畴，记作$\mathbf{U}$，对模运算起着类似于树状范畴$Ω$对运算起着的作用。我们仔细研究了$\mathbf{U}$的性质，包括某些因子分解系统的存在性。相关的结构，如循环运算符和稳定模运算符，可以类似地使用从$\mathbf{U}$导出的类别进行处理。
2020-01-01 math.AT math.CT
Colimits and cocompletions in internal higher category theory
本文发展了以 $\infty$-topos 为内部的范畴理论，讨论了内部范畴的伴随、极限、余极限与 Kan 扩张，证明了内部预层范畴的泛性质，并构造了由任意图形形状类索引的自由余完备化。
2024-02-13 math.AT math.CT
A Polynomial Construction of Nerves for Higher Categories
本文在双范畴 $\mathbb{C}\mathbf{at}^{\\#}$ 中用多项式函子重释族可表示单子的广义 Lawvere 理论与神经函子，并给出单纯形范畴的新构造。
2024-05-21 math.CT
A higher category of cobordisms and topological quantum field theory
这项工作的目标是描述（扩展）拓扑量子场论（TQFTs）的范畴形式主义，并将它们作为函子从一个合适的范畴的cobordisms与角落的线性范畴，推广二维开闭TQFTs到更高的维度。该方法是基于C. Ehresmann，在幺半范畴（结合子，交换子，Mac Lane的五边形和六边形）的精神中被削弱，与雅各布·卢里的单纯（弱Kan和完全Segal）方法形成对比。我们展示了如何不同的拓扑量子场论，如规范，陈-西蒙斯，杨-米尔斯，WZW，Seiberg-Witten，Rozansky-Witten和AKSZ理论，以及sigma模型，可以描述为函子从伪n倍范畴的协边集的伪n倍集范畴。
2011-08-25 math.AT math.CT math.QA
Rewriting in higher dimensional linear categories and application to the affine oriented Brauer category
本文介绍了线性幺半范畴范畴的重写理论。这些范畴是我们将定义为线性（n，p）范畴的一个特例。我们还将定义线性（n，p）-多道图，线性适应的n-多道图，目前线性（n - 1，p）-范畴。然后，我们专注于线性（3，2）-多道图给出线性幺半范畴的介绍。最后我们给出了这个理论在线性（3，2）-多道生理记录图中的应用，利用van Ostroom定义的重写性质：递减性，用一种新的方法证明了AOB范畴上的一个基定理。
2016-03-01 math.CT math.RT
Operads in Higher-Dimensional Category Theory
本文的目的是建立一个广义运算和多范畴理论，并以此为语言给出弱n-范畴的定义。包括一个完整的解释，为什么建议的定义n-范畴是一个合理的，当n=2时会发生什么。广义运算和多范畴在高维代数中也扮演着其他角色，其中一些在这里概述：例如，它们可以用来简化贝兹、多兰和其他人阐述的n-范畴的opetopic方法，并且是讨论范畴结构丰富性的自然语言。
2000-11-16 math.AT math.CT math.QA
Coends of higher arity
我们专门介绍了一个最近引入的概念，广义二度函子$T : (\mathcal{C}^\text{op})^p \times \mathcal{C}^q \to \mathcal{D}$的情况下，域（分别为，余域）是常数，获得端的概念（分别，coends），在此称为$(p,q)$-末端（分别，$(p,q)$-coends）。虽然高arity余尾是"完全对称"（普通）余尾的特殊情况，但它们在研究许多新的范畴现象中起着重要的技术作用，这些新的范畴现象可以被广泛地归类为范畴论的两个新变体。其中第一个，加权范畴论，包括研究加权变种的经典概念和建设发现在普通范畴论，除了一个限制。这导致了许多不同的和丰富的概念，如加权Kan扩张，加权删除和加权结束。第二种是对角范畴论，它沿着一个不同的（尽管是相关的）方向前进，在这个方向上，人们用关于双自然变换的普遍性代替关于自然变换的普遍性，模仿从极限到目的的过程。在这样做的时候，我们又遇到了许多新的有趣的概念，其中我们同样发现了对角Kan扩张、对角扩张和对角端点。
2020-11-27 math.CT
Exponentiable Higher Toposes
我们证明了可指数$\infty$ -范畴类：$\mathcal X$可指数当且仅当$\mathcal S\mathrm{h}(\mathcal X)$是连续$\infty$ -范畴.证明的核心是将$\mathcal X$上的$\mathcal C$值层的$\infty$范畴描述为满足有限极限条件和滤余极限条件（而不是纯粹的极限条件）的函子的$\infty$范畴;我们称这样的函子为$ω$ -连续层。作为一个应用，我们证明了当$\mathcal X$是可指数的时，它的稳定层的$\infty$ -范畴$\mathcal S\mathrm{h}(\mathcal X, \mathrm{Sp})$是可表示稳定$\infty$ -范畴的$\infty$ -范畴中的对偶对象.
2018-02-28 math.AT math.CT
(Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and "even higher" Morita categories
在高阶范畴的背景下定义扭曲的量子场论的挑战的动机，我们开发了一个一般的框架宽松和oplax变换和它们的更高的类似物之间的强$(\infty, n)$ -函子。我们构造了一个双$(\infty,n)$ -范畴，它是由控制所需语义的目标$(\infty, n)$ -范畴构建的。我们定义（op）lax变换为函子到它的部分，并且（op）lax扭曲场论是域论之间的对称monoidal（op）lax自然变换。证明了松弛平凡扭曲相对域论与绝对域论是相同的。作为第二个应用，我们利用$\mathcal{C}$中的高阶态射将对称Monoidal $(\infty, n)$范畴$\mathcal{C}$中的$E_d$ -代数的高阶Morita范畴推广到$(\infty, n+d)$ -范畴.
2016-01-26 math.AT math.CT
Fibrations in Oriented Category Theory
从定向范畴论角度研究高阶范畴纤维化，给出其等价特征，表明纤维化范畴构成定向范畴，研究其与定向拉回相互作用并构建相关纤维化版本及格罗滕迪克构造。
2026-07-22 math.AT math.CT
Two extensions of the Stone Duality to the category of zero-dimensional Hausdorff spaces
推广Stone对偶定理，证明了零维T2空间和连续映射范畴ZHaus的两个对偶定理.这两个结果都很容易地导出了Tarski对偶定理，以及关于极端不连通的Tychonoff空间和连续映射范畴EDTych的两个新的对偶定理。另外，我们还刻画了零维T2空间的零维Hausdorff紧化范畴ZComp的对偶等价范畴，并作为推论得到了零维T2空间的零维紧化的Dwinger定理.
2020-10-06 math.CT math.GN
Algebras of higher operads as enriched categories
我们描述了正规化$ω$ -操作和球集范畴上的某些松弛monoidal结构之间的对应关系。正如普通的幺半范畴一样，我们有一个在宽松的幺半范畴中丰富的范畴概念。在上述对应关系中，我们还提供了一个给定的规范化$ω$ -操作数的代数之间的等价性，和类别丰富的球形集的诱导松弛monoidal结构。
2008-03-25 math.AT math.CT
A higher Grothendieck construction
本文的主要目的是在一类取值于拟范畴的范范畴的函子上构造同伦余极限函子。
2020-07-20 math.AT math.CT
Higher Auslander-Reiten sequences revisited
设$(\mathscr{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$是具有足够投射和足够内射的$n$ -exangulated范畴，$\mathscr{X}$是$\mathscr{C}$的簇-倾斜子范畴. Liu和Zhou证明了商范畴$\mathscr{C}/\mathscr{X}$是一个$n$ -阿贝尔范畴.本文证明了若$\mathscr{C}$有Auslander-Reiten $n$ -exangles，则$\mathscr{C}/\mathscr{X}$有Auslander-Reiten $n$ -正合序列.此外，我们还证明了如果Frobenius $n$ -换角范畴$\mathscr{C}$有Auslander-Reiten $n$ -换角，则$\mathscr{C}$的稳定范畴$\overline{\mathscr{C}}$有Auslander-Reiten $(n+2)$ -换角.
2024-09-19 math.CT math.RT
Multitensor lifting and strictly unital higher category theory
在这篇文章中，我们扩展了松弛monoidal结构的理论，也被称为multitensors，和单子上的丰富的图形，他们产生的范畴。我们的第一个主要结果--多重张量的提升定理--使我们能够看到2-范畴的格雷张量积和格雷范畴的克兰斯张量积是这个框架的一部分。我们定义弱n-范畴严格单位的一个概念，减少高运算，使用代数弱因子分解系统的理论。我们的第二个主要结果是在具有严格单位的弱n-范畴上建立一个松弛张量积，使得关于这个张量积的丰富范畴恰是具有严格单位的弱（n+1）-范畴。
2013-09-17 math.AT math.CT
Reshaping limit diagrams and cofinality in higher category theory
该研究在高阶范畴论框架下，探讨∞-范畴与(n,1)-范畴中的（余）极限问题，提出余极限图的单纯形重塑方法、∞-范畴函子的n-共尾性刻画，并简要介绍n-筛选性基础内容。
2023-11-06 math.AT math.CT
Directed algebraic topology and higher dimensional transition system
Cattani-Sassone的高维转移系统概念被解释为弱高维转移系统的局部可表示拓扑范畴的小正交类。特别地，与标号n-立方体相关联的高维跃迁系统原来是由一个n维跃迁生成的自由高维跃迁系统。作为这个构造的第一个应用，证明了高维转移系统范畴的局部化等价于标号对称预立方集范畴的局部可表示的反射满子范畴.第二个应用程序是米尔纳的演算的通信系统（CCS）：映射采取进程名称在CCS流是因式分解通过类别的高维过渡系统。该方法也适用于其他进程代数和拓扑模型的并发流以外。
2010-06-18 math.AT math.CT
A construction of the generalized higher cluster category arising from an $(m+2)$-angulation of a marked surface
本文研究了黎曼曲面上以边界分支、刺点和亏格为特征的 $(m+2)$-角剖分，计算了弧数，关联了带超势的分级箭图，并证明了其翻转与无刺点情形的兼容性。
2024-08-22 math.CO math.CT
Repetitive higher cluster categories of type A_n
我们证明了定义为轨道范畴D^b（mod kA_n）/（tau^{-1}[m]）^p的A_n型重复高团簇范畴等价于定义在正则p（nm+1）-边形的对角线子集上的范畴.这推广了Caldero-Chapoton-Schiffler的构造，当p=m=1时，我们恢复了它，以及Baur-Marsh的工作，处理p=1，m>1的情况。我们的方法也导致有界导出范畴D^b（mod kA_n）的几何模型。
2013-01-10 math.CO math.CT math.RT
A Convenient Category for Higher-Order Probability Theory
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；University of Oxford（牛津大学）
高阶概率程序设计语言允许程序员以简洁和结构化的方式编写机器学习和统计学中的复杂模型，但超出了概率论的标准度量理论形式化。程序可以同时使用高阶函数和连续分布，甚至可以定义函数的概率分布。但是标准概率论不能很好地处理高阶函数：可测空间的范畴不是笛卡尔封闭的。在这里，我们引入拟Borel空间。我们表明，这些空间：形成一个新的形式化的概率论取代可测空间;形成一个carnival封闭的范畴，因此支持高阶函数;形成一个很好的指向的范畴，因此支持良好的证明原则的方程推理;和支持连续的概率分布。我们证明了使用准Borel空间的高阶函数和概率：表明一个著名的建设概率论涉及随机函数获得一个清洁的表达;和推广的Finetti定理，这是一个重要的定理在概率论，准Borel空间。
2020-11-20 cs.AI cs.LO cs.PL
Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces
在Joyal的n-cell范畴Θ_n的预层上引入n-拟范畴的概念作为模型范畴结构的映射对象。我们的定义来自于Cisinski和Joyal的一个想法。然而，我们表明，这个想法必须稍微修改，以获得一个合理的概念。本文构造了n-拟范畴的模型范畴与Rezk Θ_n-空间的模型范畴之间的两个Quillen等价，证明了n-拟范畴是（\infty，n）-范畴的模型.当n = 1时，我们恢复了Joyal和Tierney在拟范畴和完备Segal空间之间定义的两个Quillen等价.
2015-05-27 math.AT math.CT
On dualizability and invertibility in the higher Morita category
研究\(\mathbb{E}_n\)-代数高阶森田范畴中\((n + 1)\)-对偶性，基于无点因式分解代数框架证明Lurie猜想，验证可逆性猜想，证明对偶性猜想的相对版本，为相对/扭曲场论提供新准则并举例。
2026-10-30 math.AT math.CT math.QA
Oriented Category Theory
针对高维范畴中经典概念过于刚性、失去函子性的问题，提出定向与反定向范畴框架，通过弱化交换律统一处理lax与oplax现象，并揭示其几何本质。
2026-06-16 math.AT math.CT
Higher presentable categories and limits
本文基于κ-紧生成概念给出可表现(∞,n)-范畴的新描述，证明(∞,2)情形有极限，但(∞,3)情形无极限，否定Stefanich猜想。
2025-10-15 math.AT math.CT math.LO
Higher-Dimensional Algebra IV: 2-Tangles
正如纽结和链环可以用代数方法描述为三维缠结范畴中的某些态射一样，光滑嵌入R^4中的紧致曲面也可以用“四维2-缠结”2-范畴中的某些2-态射来描述。利用Carter，Rieger和Saito的工作，我们证明了这个2-范畴是“在一个非框架自对偶对象上有约束的自由半严格辫子monoidal 2-范畴”.通过这个泛性质，任何在辫子幺半群2-范畴中的非框架自对偶对象都确定了4维2-缠结的不变量。
2000-10-14 math.AT math.CT math.QA
Higher exact dg-categories
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学研究生院数学系）；Department of Mathematical Sciences, University of the Ryukyus（琉球大学理学部数学科学科）
本文引入n-精确微分格范畴概念，证明其在特定条件下具有n-exangulated结构，揭示了n-精确微分格范畴对n-exangulated类的dg增强作用。
2026-04-07 math.CT math.RT
Higher Morse moduli spaces and n-categories
将以Morse函数的临界点为对象，以临界点之间的Morse模空间为态射的Cohen & Jones & Segal流范畴推广到n-范畴. n-范畴的构造涉及到在Morse模空间上反复做莫尔斯理论，为此我们必须构造一类合适的Morse函数。它原来是一个“几乎严格”的n-范畴，即它是一个严格的n-范畴“规范同构”。
2017-03-30 math.CT math.DG math.DS
Higher differential objects in additive categories
给定一个加法范畴$\mathcal{C}$和一个整数$n\geqslant 2$。我们构造了一个新的加法范畴$\mathcal{C}[ε]^n$，它由$\mathcal{C}$中的对象$X$组成，并配备了一个满足${ε^n_X}=0$的自同态$ε_X$.首先，利用$\mathcal{C}[ε]^n$中投射和内射对象的描述，建立了环$R$上Gorenstein平坦模与环$R[t]/(t^n)$之间的联系，证明了Artin代数$R$满足某些同调关系的充要条件是环$R[t]/(t^n)$满足某些同调关系.证明了当$\mathcal{C}$是幂等完备正合范畴时，对应的同伦范畴$\K(\mathcal{C}[ε]^n)$是三角范畴.此外，在交换范畴$\mathcal{A}$的某些条件下，从$\K(\mathcal{A}[ε]^n)$到导出范畴$\D(\mathcal{A}[ε]^n)$的自然商函子$Q$产生一个三角化范畴的重元。最后，证明了若$\mathcal{A}$是具有紧投射生成元的Ab 4-范畴，则$\D(\mathcal{A}[ε]^n)$是紧生成的三角范畴.
2019-12-22 math.CT math.RA math.RT
Higher inductive types in $(\infty,1)$-categories
本文在具有有限极限的$(\infty,1)$-范畴中定义高阶归纳类型，证明相关范畴有限可展示且初始对象存在，并证明初始对象的全局截面函子保持高阶归纳类型。
2024-10-23 cs.LO math.CT math.LO
2-Dimensional Groups with Action : The Category of Crossed Module of Groups with Action
本文定义了带作用群的交叉模的概念，并研究了相关的结构。已经使用GAP计算离散代数编程语言编写了用于计算这些结构的函数。
2022-01-18 math.CT math.GR
Higher commutator conditions for extensions in Mal'tsev categories
在正合Mal'tsev范畴的等价关系对范畴上定义了一个Galois结构，并在更高的交换子条件下刻画了中心扩张和双中心扩张.这些结果既推广了与正合Mal'tsev范畴中的Abelianization函子有关的结果，也推广了与内自反图范畴到内群胚子范畴的映射有关的结果.在群、预交叉模、李代数的预交叉模、紧群等范畴中给出了一些例子和应用。
2018-09-27 math.CT math.RA
Dagger categories and the complex numbers: Axioms for the category of finite-dimensional Hilbert spaces and linear contractions
本研究揭示实数极限与范畴论极限的深层关联，基于已有全希尔伯特空间范畴刻画成果，用不含范数、实数等概念的范畴论结构完成有限维希尔伯特空间与线性压缩映射范畴的公理化刻画。
2025-11-17 math.CT quant-ph
Higher sheaf theory I: Correspondences
本文证明了对应的$(\infty, n)$ -范畴的一个泛性质，推广了文献[GR 17]中$n = 2$的情形，并给出了新的证明.我们还提供了条件下，一个函子的一个高阶范畴的对应$\mathcal{C}$可以扩展到一个高阶范畴的对应的自由余补$\mathcal{C}$。这些结果将被用于本文的续集中，以构建$(\infty, n)$ -导出代数几何中的拟相干层和次相干层理论的范畴版本。
2020-11-05 math.AG math.AT math.CT
The coalgebraic enrichment of algebras in higher categories
我们证明了：给定$\mathcal{C}$一个可表示对称的Monoidal $\infty$ -范畴和任意本质小的$\infty$ -运算元$\mathcal{O}$，$\mathcal{C}$中的$\mathcal{O}$ -代数的$\infty$ -范畴在$\mathcal{C}$中的$\mathcal{O}$ -余代数的可表示对称Monoidal $\infty$ -范畴上是丰富的、张量化的和余张量化的.我们提供了一个更高的范畴模拟的普遍测量余代数。对于通常意义上的类别，Hyland、López Franco和Vasilakopoulou证明了这一结果。
2021-07-19 math.AT math.CT
