Associahedra and Weak Monoidal Structures on Categories
Zbigniew Fiedorowicz, Steven Gubkin, Rainer M. Vogt
本文回答了这样一个问题：什么样的代数结构的范畴对应的$A_n$结构（在意义上的Stasheff）的几何实现的神经？
This paper answers the following question: what algebraic structure on a category corresponds to an $A_n$ structure (in the sense of Stasheff) on the geometric realization of its nerve?
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Presentably symmetric monoidal infinity-categories are represented by symmetric monoidal model categories
我们证明了标题中的定理。更准确地说，我们证明了更强的声明，每一个对称monoidal左伴随函子之间的presentably对称monoidal无穷大范畴是由一个强对称monoidal左Quillen函子之间的单纯，组合和左适当的对称monoidal模型范畴。
Monoidal Relative Categories Model Monoidal $\infty$-Categories
本文证明单调相对范畴的同调理论等价于单调∞-范畴的同调理论，并在对称单调情况下同样成立。通过应用，证明了每个可呈现的单调或可呈现的对称单调∞-范畴都由单调或对称单调模型范畴呈现。
Hereditary species as monoidal decomposition spaces, comodule bialgebras, and operadic categories
我们证明了Schmitt的遗传种诱导了monoidal分解空间，并将Schmitt的双代数构造作为monoidal分解空间上的一般双代数构造的一个例子。我们进一步证明了这个双代数结构共同作用于基本的限制种双代数结构，从而形成一个共同的双代数。最后，我们表明，遗传物种诱导一个新的家庭的例子的操作范畴的意义上的Batanin和Markl。
On higher monoidal $\infty$-categories
本文对$\infty$ -运算的有限序列$\mathbf{O}^{\otimes}$引入了$\mathbf{O}$ -monoidal $\infty$ -范畴的概念，它是高阶幺半范畴概念在$\infty$ -范畴背景下的推广.我们证明了由coCartesian $\mathbf{O}$ -monoidal $\infty$ -范畴和右伴随lax $\mathbf{O}$ -monoidal函子构成的$\infty$-范畴等价于由Cartesian $\mathbf{O}_{\rm rev}$ -monoidal $\infty$ -范畴和左伴随oplax $\mathbf{O}_{\rm rev}$ -monoidal函子构成的$\infty$-范畴的对范畴，其中$\mathbf{O}^{\otimes}_{\rm rev}$是由$\mathbf{O}^{\otimes}$反序得到的序列.
Parsummable categories as a strictification of symmetric monoidal categories
证明了Schwede定义的parsummable范畴的同伦理论关于范畴的基本等价于通常的对称幺半范畴的同伦理论.特别是，这产生了一个对称的幺半范畴范畴的模型，这些范畴配备了严格的交换、结合和酉（但只是部分定义的）运算。
A homotopy theory of coherently commutative monoidal quasi-categories
本文的主要目的是构造一个相干交换monoidal拟范畴的对称monoidal闭模型范畴。我们构建另一个模型类别结构，其conquerant对象（本质上）是那些coCartesian纤维化，它代表的对象，被称为对称monoidal准范畴在文献中。我们继续建立两个模型类别之间的奎伦等价。
Operadic categories and their skew monoidal categories of collections
我描述了由于Batanin和Markl的操作范畴的概念的推广。对于每一个这样的运算范畴，我描述一个集合的斜幺半范畴范畴，使得在这个斜幺半范畴范畴中的幺半群恰好是运算范畴上的运算数。事实上，我用这个性质描述了两个斜幺半范畴范畴。第一个特征是运算范畴可以从集合的斜幺半范畴中恢复;第二个特征是右单位约束可逆。在有限集和函数的运算范畴S中，运算数是通常意义上的对称运算数，第一个斜幺半范畴有基础范畴[N，Set]，第二个斜叶半范畴是集合[P，Set]的通常幺半范畴，它具有置换么半群结构.
Symmetric monoidal categories and $Γ$-categories
本文构造了相干交换幺半范畴范畴的一个对称幺半群闭模型范畴。本文的主要目的是建立一个协调可换幺半范畴范畴的模型范畴与一个置换（或严格对称monoidal）范畴的自然模型范畴$\mathbf{Perm}$之间的Quillen等价，它不是一个对称monoidal闭模型范畴.这个Quillen等价的右伴随是经典的Segal神经函子。
Weak braided monoidal categories and their homotopy colimits
我们表明，同伦colimit建设图的类别与操作动作，最近推出的Fiedorowicz，Stelzer和Vogt，具有所需的同伦类型的弱编织幺半范畴的图。这提供了一种更灵活的方式来实现E-2空间的分类。
$\infty$-operads as symmetric monoidal $\infty$-categories
利用Lurie的对称Monoidal包络函子给出了$\infty$ -运算的两种新的描述：一类是对称Monoidal $\infty$ -范畴，其基础的对称Monoidal $\infty$ -群胚是自由的;另一类是对称Monoidal $\infty$ -范畴，其上有一个到有限集的对称Monoidal函子（不交并为张量积）.后者导致$\infty$ -操作的第三个描述，作为一个本地化的预层$\infty$ -范畴，我们使用这个给一个简单的证明之间的等价性Lurie的和Barwick的模型$\infty$ -操作。
Tensor product for symmetric monoidal categories
我们对对称幺半范畴引入了一个张量积，它具有以下性质。用SMC表示以小对称幺半范畴、箭对称半群函子和2-胞体半群自然变换为对象的2-范畴。我们的张量积加上一个合适的单位是SMC上的结构的一部分，该结构是对称monoidal闭范畴的2-范畴版本。这个结构非常简单。特别是在张量的结合律和对称律以及单位消去律中涉及的箭头是2-自然的，并且满足严格交换图的相干公理。我们还证明了SMC的范畴商由其2-胞腔所生成的同余构成，且具有对称的么半群闭结构。
Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories
本文研究了幺半范畴中幺半群的中心和同伦中心的理论，这些幺半群本身在duoidal范畴中是丰富的。Duoidal范畴（由Aguillar和Mahajan引入，名为2-幺半范畴）是具有两个monoidal结构的范畴，它们通过一些不一定可逆的凝聚态射联系在一起。在这个意义上的幺半群的中心包括许多不是“经典的”的例子。特别是，范畴的2-范畴是我们意义上的中心的一个例子。同伦中心（类似于经典的Hochschild复形）的例子包括2-范畴、2-函子和自然变换的Gray范畴Gray和dg-范畴、dg-函子和相干dg-变换的Tamarkin同伦2-范畴。
Admissible replacements for simplicial monoidal model categories
本文利用Dugger万有模型范畴构造，为单纯与组合对称幺半群模型范畴构造了具有更好operadic性质的替换，并证明稳定情形下当幺半群单位是紧生成元时，此类范畴可由交换环谱分类，且与唯一确定的交换环谱上的模强幺半群Quillen等价。
Iterated Monoidal Categories
我们提出了迭代幺半范畴的概念，并证明了这个概念与迭代闭路空间的概念是精确对应的。具体地说，这样一个范畴的神经的群完备化是一个迭代回路空间，而自由迭代幺半范畴产生了与经典小立方体运算相同同伦类型的有限单纯运算，这些运算用于参数化迭代闭路空间的更高H空间结构。迭代幺半范畴范畴包含了一个特殊的情形，即辫状张量范畴的概念，如在量子群理论中所使用的。
Map monoidales and duoidal $\infty$-categories
本文给出了对偶$\infty$范畴的一个例子。在$\infty$ -操作数$\mathcal{O}^{\otimes}$的$\mathcal{O}$ -幺半群$(\infty,2)$ -范畴中引入映射$\mathcal{O}$ -幺半群.证明了映射$\mathcal{O}$ -monoidale的自同态映射$\infty$ -范畴是余Cartesian $(Δ^{\rm op},\mathcal{O})$ -duoidal $\infty$ -范畴.然后，我们在从$\mathcal{O}$ -余么半群到$\mathcal{O}$ -么半群的映射$\infty$ -范畴上引入了一个卷积积。我们证明了映射$\mathcal{O}$ -monoidale的对偶自同态映射$\infty$ -范畴上的$\mathcal{O}$ -monoidal结构等价于从对偶$\mathcal{O}$ -comonoidale到映射$\mathcal{O}$ -monoidale的映射$\infty$ -范畴上的卷积积.
Traces in monoidal categories
本文的主要结果是在幺半范畴中构造了满足适当条件的自同态的迹和迹对。这种构造是平衡幺半范畴上可对偶对象的自同态的迹和具有逼近性质的局部凸拓扑向量空间上核型算子的迹的一般推广.
Lax monoidality for products of enriched higher categories
本文证明松弛 $\mathbb{E}_{n+1}$-幺半函子可诱导富集 $\infty$-范畴间的松弛 $\mathbb{E}_n$-幺半函子，并基于 Boardman--Vogt 张量积给出将图示构造推广至 $\mathcal{O}$-幺半范畴的准则。
$(A_\infty,2)$-categories and relative 2-operads
定义了相对于运算数的2-运算数的概念，并证明了2-结合面体形成相对于结合面体的2-运算数。利用这个结构，我们在空间和环上的链复形中定义了$(A_\infty,2)$ -范畴和$(A_\infty,2)$ -代数的概念.最后，我们证明了对于任何连续映射$A \to X$，我们可以在$\textsf{Top}$中关联一个$(A_\infty,2)$ -代数$θ(A \to X)$，它专门用于$θ(\text{pt} \to X) = Ω^2 X$和$θ(A \to \text{pt}) = ΩA \times ΩA$。
Combinatorial n-fold monoidal categories and n-fold operads
操作数最初被定义为V-操作数，即，在对称或辫状幺半范畴范畴V中富集。V中的对称或辫状是为了描述操作数必须遵守的结合性公理，以及操作数在其任何代数上的作用的性质。在回顾了闭路空间理论和高阶范畴中运算符的作用之后，我们回顾了迭代幺半范畴的定义，并介绍了一个简单的例子。然后我们推广了算子的定义，定义了迭代幺半范畴范畴中的n重算子及其代数。我们讨论前面描述的类别中的示例。最后我们刻画了m重V-算子的迭代幺半范畴范畴。
Normed symmetric monoidal categories
我们引入$N_\infty$空间的范畴模型，我们称之为赋范对称幺半范畴（NSMCs）。这些都是普通的对称幺半范畴，配备了相容的范数映射族，当专门用于特定的一类例子时，它们揭示了吉鲁-梅-梅林-奥索尔诺的等变对称么半群范畴与希尔-霍普金斯的等变对称么半群范畴之间的联系。我们还给出了一个操作的解释的Mac巷相干定理，并将其推广到包括NSMCs。除此之外，该定理确保NSMC的分类空间是$N_\infty$空间。最后，我们扩展我们的相干定理，包括NSMCs严格的关系。
Coherence for indexed symmetric monoidal categories
本文针对索引对称幺半范畴这一双范畴细化结构，拓展现有相干定理，证明由其定义的双范畴上一大类运算具有典范同构，并引入判定同构存在性的严格图形演算。
Quasistrict symmetric monoidal 2-categories via wire diagrams
本文给出Schommer-Pries引入的拟严格对称monoidal 2-范畴的一个简单的解释。我们重新制定的定义，使用图形演算称为线图，这有利于计算，并强调所发挥的核心作用的interchangor一致性同构。
Arrow Categories of Monoidal Model Categories
本文证明幺半模型范畴的箭头范畴在推出积幺半结构与投射模型结构下仍是幺半模型范畴，回答了霍维的问题，并推动了立方同伦理论中的幺半积应用，附有多个非余生成实例。
Hochschild cohomology of ring objects in monoidal categories
定义了在阿贝尔群上富集的幺半范畴中的环对象的Hochschild复形和上同调。我们对上同调群进行了解释，证明了上同调环是分次交换的。
Coalgebras in the Dwyer-Kan localization of a model category
我们发现，弱monoidal Quillen等价诱导等价的对称monoidal $\infty$范畴的Dwyer-Kan本地化的对称monoidal模型范畴。这个结果将导出$\infty$ -范畴中余代数的Dold-Kan对应.此外，它表明，Shipley的曲折的Quillen等价提升到一个明确的对称monoidal等价的$\infty$ -范畴的稳定的Dold-Kan对应。研究了与monoidal幺半范畴相关的同伦凝聚余代数。我们展示的例子时，这些余代数不能刚性化。也就是说，它们的$\infty$ -范畴不等价于严格余代数在通常的monoidal模型范畴的谱和连接离散$R$ -模中的Dwyer-Kan局部化。
Algebras of higher operads as enriched categories
我们描述了正规化$ω$ -操作和球集范畴上的某些松弛monoidal结构之间的对应关系。正如普通的幺半范畴一样，我们有一个在宽松的幺半范畴中丰富的范畴概念。在上述对应关系中，我们还提供了一个给定的规范化$ω$ -操作数的代数之间的等价性，和类别丰富的球形集的诱导松弛monoidal结构。
On solid and rigid monoids in monoidal categories
在幺半范畴范畴中引入了实幺半群和刚性幺半群的概念，并在此框架下研究了这些对象的形式性质。我们表明，有一个一对一的对应关系之间的固体幺半群，粉碎本地化和映射余本地化，并证明，刚性幺半群出现的本地化单位的幺半群结构。作为应用，我们研究了稳定同伦范畴中的实心环谱和刚性环谱，并将连通实心环谱刻画为有理数子环的Moore谱。
The Boardman-Vogt resolution of operads in monoidal model categories
我们将Boardman和Vogt的W-构造推广到具有适当区间的任意monoidal模型范畴的运算上，并证明了它为良点σ-协整运算提供了一个协整解. Godement的标准单纯决议以及Cobar酒吧链决议被证明是这种广义W-建设的特殊情况。
The folk model category structure on strict $ω$-categories is monoidal
本文证明了Lafont，Métayer和Worytkiewicz提出的严格$ω$ -范畴范畴上的民间模型范畴结构是monoidal的，首先证明了它对Gray张量积是monoidal的，其次证明了它对第一作者和Maltsiniotis提出的$ω$ -范畴的并是monoidal的.此外，我们表明，格雷张量积诱导，通过附加，严格的$(m,n)$ -范畴的张量积，这张量积也是兼容的民间模型的范畴结构。特别地，我们得到了严格$ω$ -群胚范畴上的一个么半群模型范畴结构。我们证明了这种么半群模型范畴结构满足么半群公理，从而第二作者所研究的Gray么半群范畴具有自然的模型范畴结构。
Algebras and modules in monoidal model categories
我们构造模型范畴结构的幺半群和模的对称幺半群模型范畴，满足额外的公理，幺半群公理，应用对称谱和$Γ$ -空间。
Modules in Monoidal Model Categories
研究了Monoidal模型范畴中模范畴上的环导变、平衡积和函数模导出函子的存在性和相容性。
Homotopy theory of modules over operads and non-Sigma operads in monoidal model categories
本文研究了Monoidal模型范畴中代数和模上模型范畴结构的存在性。
Equivalence of Operads over Symmetric Monoidal Categories
本文研究了两个对称幺半范畴之间的Quillen模型范畴性质推广到它们的对称序列范畴和运算范畴的条件。给定一个Quillen等价$λ: \mathcal{C}=Ch_{\Bbbk,t} \leftrightarrows \mathcal{D}: R,$，使得$\mathcal{D}$是任意对称幺半范畴，伴随对$(λ, R)$是弱monoidal范畴，我们证明了连通运算范畴$Op_\mathcal{C}$和$Op_\mathcal{D}$是Quillen等价的.当我们用$\mathcal{C}$ -幺半群和$\mathcal{D}$ -幺半群的子范畴代替这些范畴时，这扩展了Schwede-Shipley（\cite{SS03}）的一个类似结果。
Enrichment as Categorical Delooping I: Enrichment Over Iterated Monoidal Categories
在编织的幺半范畴V上丰富的范畴的2范畴V-Cat本身并不是以任何基于V的编织的方式编织的。例外是V是对称的情况，这导致V-Cat也是对称的。本文介绍了这些事实是如何相关的拓扑去环的一个分类模拟。闭路空间的类比似乎是一个很好的指南，可以用来定义各种类型的monoidal对象上的富集概念，包括k重幺半范畴和它们的高维对应物。主要结果是：对于k重幺半范畴V，V-Cat以典范方式成为（k-1）重monoidal 2范畴.我指出这个过程可以通过丰富的V-Cat迭代，沿着定义的3类丰富的V-Cat类别。
Enrichment over iterated monoidal categories
Joyal和Street在他们关于辫状幺半范畴范畴的论文[Braided tensor categories，Advances in Math.102（1993）20-78]中指出，在辫状幺半范畴范畴V上富集的范畴的2-范畴V-Cat本身不是以基于V的辫状的任何方式辫状的。他们提到的例外是V是对称的情况，这就导致了V型猫也是对称的。V-Cat中的对称性是基于V的对称性。本文背后的动机部分是为了描述这些与V和V-Cat相关的事实如何反过来与拓扑去环的范畴类似物相关。要做到这一点，我需要传递到比编织和对称范畴更一般的设置--实际上是Balteanu等人在[Itered幺半范畴，Adv. Math. 176（2003）277-349]中的k重幺半范畴。闭路空间的类比似乎是一个很好的指南，可以用来定义各种类型的monoidal对象上的富集概念，包括k重幺半范畴和它们的高维对应物。主要结果是：对于k重幺半范畴V，V-Cat以典范方式成为（k-1）重monoidal 2范畴.在下一篇论文中，我将指出如何通过丰富V-Cat来迭代此过程，在以后的工作中，我计划使n维的情况更精确，并说明V的神经的群完备化如何与V的神经的群完备化的闭路空间有关。本文是“V的神经的群完备化的”的一个删节版本。作为分类去环数学的富集。CT/0304026。
Coalgebras in symmetric monoidal categories of spectra
证明了球谱上的余代数在对称谱、正交谱、$Γ$ -空间、$\mathcal{W}$ -空间和EKMM $\mathbb{S}$ -模范畴中都是余交换的.我们的结果只适用于这些严格的幺半范畴的光谱，并不适用于$\infty$类别设置。
Operads in iterated monoidal categories
由Balteanu，Fiedorowicz，Schwänzl和Vogt引入的$k$ -fold幺半范畴范畴的结构可以看作是比对称或甚至辫状幺半范畴范畴弱的结构。本文证明了在$k$ -fold幺半范畴中仍然有足够的（$n$ -fold）算子的定义，它推广了辫子范畴中算子的定义.此外，操作数范畴对结构的继承实际上是迭代的monoidal结构的继承，至少减少两次迭代。证明了$k$-fold幺半范畴中的$n$ -fold运算符范畴本身是一个严格2-范畴的$(k-n)$ -fold monoidal，并证明了$n$ -fold运算符自动成为$(n-1)$ -fold运算符.我们还介绍了一族简单的$k$ -折叠幺半范畴的例子，并对例子范畴中的运算进行了分类。
Hochschild Cohomology, Monoid Objects and Monoidal Categories
本文进一步扩展了在arXiv：1605.00842中研究过的关于丰富于阿贝尔群的幺半范畴中的monoid对象的Hochschild上同调的范畴理论公式。该主题也在2019年4月伊朗伊斯法罕的ISCRA上提出。本文旨在给出Hochschild上链复形的一个更直观的形式，并将其推广到值为双模对象的Hochschild上同调.此外，在阿贝尔群范畴中，给出了Hochschild上链复形关于上单纯对象的等价形式.
Equivalences of monoidal model categories
在一定条件下，我们构造了两个Quillen等价模型范畴上的幺半群（环）、模和代数的模型范畴之间的Quillen等价。这是我们早期工作的延续，我们在那里建立了monoids，modules和algebras的模型范畴[Algebras and modules in monoidal model categories，Proc. London Math.Soc.80（2000），491-511]。作为应用，我们推广了Dold-Kan等价性，证明了单环、模和代数的模型范畴与连通微分分次环、模和代数的相关模型范畴是Quillen等价的.我们还表明，我们的分类结果从[稳定模型类别是类别的模块，拓扑学，42（2003）103-153]关于稳定模型类别转化为任何一个已知的对称monoidal模型类别的光谱。
Reedy diagrams in symmetric monoidal model categories
给定一个小范畴$I$和一个闭对称monoidal范畴$\mm$，我们证明了具有对象积的图范畴$\mm^I$是一个闭对称幺半范畴.然后证明了如果$I$是Reedy范畴且$\mm$有与其乘积相容的模型结构，那么只要$\mm$是共纤生成的，那么$\mm^I$上的Reedy模型结构也是相容的.
Monoidal model categories
么半群模型范畴是具有相容闭么半群结构的模型范畴。这样的东西在自然界中比比皆是;阿贝尔群的单纯集和链复形就是例子。给定一个么半群模型范畴，我们可以考虑么半群和么半群上的模。我们希望能够研究这些幺半群和模的同伦理论。这个问题首先由Stefan Schwede和Brooke Shipley在“Algebras and Modules in monoidal model categories”中提出，他们证明了在一定条件下，存在monoid和给定monoid上的模的模型范畴。本文件是该文件的后续文件。我们研究会发生什么情况时的条件Schwede-Shipley不举行。这将发生在任何拓扑情况下，特别是在拓扑对称谱。我们发现，在我们的monoidal模型范畴上，除了它是余纤维生成的和单位是余纤维的之外，没有任何条件，我们仍然得到monoidal的同伦范畴，并且这个同伦范畴在适当的意义下是同伦不变量的.
Monoidal Pull-Push I: Cocartesian Fibrations and Categories of Spans
我们发展了Segal空间之间余碳纤维化的基本理论（与arxiv：2102.05190的理论一致），并用它证明了Barwick的一个定理（arxiv：1404.0108的主要结果）.注：这项工作最初是作者的硕士论文，提交21.09.2020。
Symmetric monoidal G-categories and their strictification
给出了真对称monoidal G-范畴的运算定义，证明了它的分类空间是真E_ \infty G-空间.我们通过发展一些非常普遍的范畴连贯理论来做到这一点。我们结合角落和古尔斯基，权力，缺乏的结果，制定严格的理论，伪代数的操作和单子。它专门把真正的对称么半群G-范畴严格化为真正的置换G-范畴。我们所有的工作都发生在一个一般的内部分类框架中，这个框架有许多不同的专门化。当G是一个有限群时，本文的理论与前人的工作相结合，将等变无限闭路空间理论从严格的空间级输入推广到更一般的范畴级输入.它把真正的对称monoidal G范畴作为输入到一个等变无限闭路空间机器，该机器给出真正的G谱作为输出。
G-symmetric monoidal categories of modules over equivariant commutative ring spectra
我们描述了某些等变交换环谱上的等变模范畴上的乘法结构。在我们以前的工作的N-无限环谱的基础上，我们构造了类别的等变运算模的N-无限环结构的等变线性等距运算。这些范畴的模被赋予等变对称monoidal结构，这相当于“同伦范畴中的不完全Mackey函子”的结构。特别地，我们构造了满足双陪集公式的内范数。我们认为，本文的工作作为第一步，等变导出代数几何。
Splitting Monoidal Stable Model Categories
如果C是一个具有么半群积的稳定模型范畴，则单位S的自映射的同伦类的集合形成一个交换环。这个环的幂等元e将分裂同伦范畴。我们证明，如果局部化模型结构存在，同伦范畴的这种分裂来自于模型范畴的分裂，即C是Quillen等价于C在对象eS上的局部化和C在对象（1-e）S上的局部化的乘积。这个Quillen等价是强monoidal的，并且当C的monoidal积为时是对称的。
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