Peter McGrath, Jiahua Zou
We prove that the area of each nonflat genus zero free boundary minimal surface embedded in the unit $3$-ball is less than the area of its radial projection to $\mathbb{S}^2$. The inequality is asymptotically sharp, and we prove any sequence of surfaces saturating it converges weakly to $\mathbb{S}^2$, as currents and as varifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An embedded genus-one helicoid
存在亏格为1的适当嵌入的极小曲面，该曲面具有一端。该末端渐近于螺旋面的末端。这个属一螺旋面被构造为螺旋运动不变的极小曲面的连续单参数家庭的极限-也渐近螺旋面-具有属等于一的商。
Symmetry of Embedded Genus-One Helicoids
本文利用文献[9]中引入的Lopez-Ros变形，证明了任何嵌入的亏格为1的螺旋面都必须是关于绕法线旋转180度对称的。这部分回答了Bobenko在[3]中的一个猜想。我们还表明，这种对称性的嵌入式genus-k螺旋$Σ$，提供了潜在的共形结构的$Σ$是超椭圆。
Triunduloids: Embedded constant mean curvature surfaces with three ends and genus zero
1841年，Delaunay构造了具有恒定中曲率（CMC）的嵌入旋转曲面;这些波状曲面的亏格为零，现在已知是唯一具有两端和有限亏格的嵌入CMC曲面。在这里，我们构建了一个完整的家庭嵌入CMC表面的三个端部和亏格为零，他们被分类使用他们的渐近颈。我们的工作在一个类略比一般的嵌入式表面，即浸入式表面的边界浸入三流形，介绍了亚历山德罗夫。
Genus three embedded doubly periodic minimal surfaces with parallel ends
本文构造了一族亏格为三的嵌入双周期极小曲面，具有四个平行端口，并解决了二维周期问题。
On complete embedded translating solitons of the mean curvature flow that are of finite genus
本文通过沿 Costa-Hoffman-Meeks 曲面对3个 Grim 抛物面的并集进行去奇化，构造了具有3个端和任意有限亏格的平均曲率流完备嵌入平移孤立子。
Compact Embedded Minimal Surfaces of Positive Genus Without Area Bounds
设M是一个3-流形（可能有边界）。我们证明，对于任何正整数g，M上存在一个开的非空度量集，对于每个度量集，都存在具有任意大面积的亏格g的稳定紧嵌入极小曲面。这推广了Colding和Minicozzi对于g=1的结果。
Suppose $M$ is a complete, embedded minimal surface in $\mathbb{R}^3$ with an infinite number of ends, finite genus and compact boundary. We prove that the simple limit ends of $M$ have properly embedded representatives with compact boundary, genus zero and with constrained geometry. We use this result to show that if $M$ has at least two simple limit ends, then $M$ has exactly two simple limit ends. Furthermore, we demonstrate that $M$ is properly embedded in $\mathbb{R}^3$ if and only if $M$ has at most two limit ends if and only if $M$ has a countable number of limit ends.
On the Compactness Theorem for Embedded Minimal Surfaces in 3-manifolds with Locally Bounded Area and Genus
本文研究面积与亏格局部有界的真嵌入极小曲面序列的紧性，证明其在离散集外光滑收敛并分析奇异点附近的放大行为。
We add two new 1-parameter families to the short list of known embedded triply periodic minimal surfaces of genus 4 in $\mathbb{R}^3$. Both surfaces can be tiled by minimal pentagons with two straight segments and three planar symmetry curves as boundary. In one case (which has the appearance of the CLP surface of Schwarz with an added handle) the two straight segments are parallel, while they are orthogonal in the second case. The second family has as one limit the Costa surface, showing that this limit can occur for triply periodic minimal surfaces. For the existence proof we solve the 1-dim…
Harmonic parametrization of surfaces of arbitrary genus
$\mathbb{R}^3$中极小曲面的Weierstrass表示为构造任意亏格的极小曲面提供了一种灵活的方法。极小曲面的拓扑限制妨碍了提供更通用的几何建模工具。极小曲面属于调和曲面的一个大类，它一般不具有极小曲面的拓扑限制，并且可以具有复杂的嵌入端点。在本文中，我们证明了使用的Weierstrass表示调和曲面的灵活性，结合嵌入调和结束一起构建嵌入调和曲面的任意亏格。
A symmetry condition for genus zero free boundary minimal surfaces attaining the first eigenvalue of one
本文研究了3-球中嵌入自由边界极小曲面的Steklov第一特征值猜想，证明了具有$n$个边界分量和$n$个不同反射平面的亏格零曲面其第一特征值为1。
Higher genus mean curvature 1 catenoids in hyperbolic and de Sitter 3-spaces
本文证明了在双曲3-空间和deSitter 3-空间中存在具有两个完全嵌入端点的常中曲率为1的曲面，且其亏格为20.我们还发现另一个这样的家庭的表面在德西特3-空间，但不同的非嵌入端的行为。
In this paper, we discuss complete minimal immersions in $\mathbb{R}^N$($N\geq4$) with finite total curvature and embedded planar ends. First, we prove nonexistence for the following cases: (1) genus 1 with 2 embedded planar ends, (2) genus $\neq4$, hyperelliptic with 2 embedded planar ends like the Lagrangian catenoid. Then we show the existence of embedded minimal spheres in $\mathbb{R}^4$ with 3 embedded planar ends. Moreover, we construct genus $g$ examples in $\mathbb{R}^4$ with $d$ embedded planar ends such that $g\geq 1$ and $g+2\leq d\leq 2g+1$. These examples include a family of embed…
Free boundary minimal surfaces of genus zero
本文证明球内嵌入的亏格零自由边界极小曲面第一Steklov特征值为1，从而推出临界悬链面的唯一性。
Embedded self-similar shrinkers of genus 0
我们证实了一个著名的猜想，即圆球是唯一的紧凑，嵌入自相似收缩的解决方案，中曲率流与亏格$0$。更一般地说，我们表明，只有正确嵌入的自相似收缩在$\mathbb{R}^3$与消失的相交形式的球体，圆柱体，和平面。这回答了T.伊尔马宁
We employ min-max techniques to show that the unit ball in $\mathbb{R}^3$ contains embedded free boundary minimal surfaces with connected boundary and arbitrary genus.
Characterization of embedded free boundary surfaces in the ball
证明了在$4$为指标的$\mathbb{B}^3$中唯一嵌入的自由边界极小曲面$Σ$是临界悬链线。这扩展了A. Fraser和R. Schoen，以及H. Tran
Genus two embedded minimal surfaces in $\mathbb{S}^3$ with dihedral symmetry
研究 $\mathbb{S}^3$ 中亏格为二的嵌入极小曲面，证明 Lawson 曲面 $\xi_{2,1}$ 是唯一满足特定等距群条件的此类曲面，弱化了全对称假设，带来新几何问题。
The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold IV; Locally simply connected
本文是第四次在一个系列中，我们描述的空间中的所有嵌入的极小曲面的固定属固定（但任意）封闭的3-流形。关键是要理解$\RR^3$中球中嵌入的最小圆盘的结构。这是在[CM 3]，[CM 4]中进行的，它的全球版本将在这里完成;参见[CM 15]讨论本地情况和[CM13]，[CM14]，我们调查了我们关于嵌入式最小磁盘的结果。
We develop new methods to compare the span $\mathcal{C}(Σ)$ of the coordinate functions on a free boundary minimal submanifold $Σ$ embedded in the unit $n$-ball $\mathbb{B}^n$ with its first Steklov eigenspace $\mathcal{E}_{σ_1}(Σ)$. Using these methods, we show that $\mathcal{C}(A)=\mathcal{E}_{σ_1}(A)$ for any embedded free boundary minimal annulus $A$ in $\mathbb{B}^3$ invariant under the antipodal map, and thus prove that $A$ is congruent to the critical catenoid. We also confirm that $\mathcal{C}=\mathcal{E}_{σ_1}$ for any free boundary minimal surface embedded in $\mathbb{B}^3$ with the …
The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold I; Estimates off the axis for disks
本文是第一次在一个系列中，我们试图给出一个完整的描述空间的所有嵌入的极小曲面的固定亏格在一个固定的（但任意）封闭的黎曼3-流形。理解这种曲面的关键是理解球的局部结构，特别是$\RR^3$中球的嵌入极小圆盘的结构（具有平坦度规）。
Every Closed Oriented Surface of Positive Genus Is Loewner
该研究借助Chodosh-Vikman的万有覆盖球比较定理，证明了所有亏格为正的闭定向黎曼曲面均为Loewner曲面，满足sys面积不等式。
Bounds on genus and configurations of embedded surfaces in 4-manifolds
对于4-流形中的几个自相交数为零的嵌入曲面，我们证明了在一定条件下，至少有一个曲面的投影型亏格界成立。例如，我们推导出某些附加不等式的曲面嵌入在$m\mathbb{CP}^2\# n(-\mathbb{CP}^2)$（$m, n \geq 2$）。通过研究一类Seiberg-Witten方程给出了这些结果的证明。
Genus one critical catenoid
本文用变分方法在三维单位球中构造了亏格一、双边界、棱柱对称的自由边界极小曲面，扩展了等变极小极大理论并发现双参数扫描。
Convergent sequences of closed minimal surfaces embedded in $\S3$
给出了嵌入亏格为$g$的$\S3$中的两个极小曲面，证明了嵌入亏格为$g$的$\S3$中的一列非全等紧极小曲面在满足一定条件下收敛于$C^{2,α}$中的紧嵌入极小曲面.这些条件也意味着，如果这两个表面中的任何一个被第一特征值嵌入，那么另一个也是如此。
For each $k\geq 3$, we construct a 1-parameter family of complete properly Alexandrov-embedded minimal surfaces in the Riemannian product space $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ with genus $1$ and $k$ embedded ends asymptotic to vertical planes. We also obtain complete minimal surfaces with genus $1$ and $2k$ ends in the quotient of $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ by an arbitrary vertical translation. They all have dihedral symmetry with respect to $k$ vertical planes, as well as finite total curvature $-4kπ$. Finally, we also provide examples of complete properly Alexandrov-embedded minimal surfa…
Scherk Saddle Towers of Genus Two in $\R^3$
1996年M. Traizet获得了单周期的极小曲面与Scherk结束任意属desingularizing一组垂直平面在其交叉点。然而，在Traizet的工作中，不允许三个或更多个平面在同一条线上相交。在本文中，我们称之为通过{ \it鞍塔}将这种“禁止”平面去奇异化为嵌入的单周期极小曲面。我们给出了明确的例子亏格2，并讨论了一些进展，关于这个问题。此外，我们的例子是第一个包含{ \it高斯测地线}，并为第一次，我们证明了嵌入的表面CSSCFF和CSSCCC从卡拉汉-霍夫曼-米克斯-Wohlgemuth。
Helicoidal minimal surfaces of prescribed genus, II
证明了对每个正整数g，存在亏格g的完备极小曲面，它适当地嵌入三维欧几里得空间，且渐近于螺旋面.
Handle Addition for doubly-periodic Scherk Surfaces
本文证明了一类具有正交端点的（商）亏格为$g$的嵌入双周期极小曲面的存在性，推广了Scherk的经典双周期曲面和Karcher的亏格为1的Scherk曲面.浸入曲面族的证明采用亏格归纳法，嵌入性的证明采用共轭Plateau方法。
The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold II; Multi-valued graphs in disks
本文是第二次在一个系列中，我们试图给出一个完整的描述空间的所有嵌入的极小曲面的固定属在一个固定的（但任意）封闭3-流形。理解这些曲面的关键是理解球的局部结构，特别是$\RR^3$中球中嵌入的最小圆盘的结构。我们在这里表明，如果这样一个磁盘的曲率在某个点变得很大，那么它包含一个几乎平坦的多值图附近，继续几乎所有的方式到边界。
Helicoidal minimal surfaces of prescribed genus
对于每一个亏格$g$，我们证明了$S^2 \times R$包含完全的，适当嵌入的，亏格- $g$极小曲面，其两端是渐近于任何指定螺距的螺旋面。我们还表明，$S^2$的半径趋于无穷大，这些例子顺利收敛到完整的，适当嵌入极小曲面在$R^3$是螺旋在无穷大。我们证明了螺旋曲面在$R^3$的每一个规定的亏格出现这样的限制的例子在$S^2\times R$。
An estimate for the genus of embedded surfaces in the 3-sphere
本文改进 Heintze–Karcher 体积估计，建立含无迹第二基本形式积分的尖锐亏格夹挤不等式，并据此证明 $L^3$ 有界嵌入极小曲面空间的 $C^k$ 紧性。
The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold III; Planar domains
本文是第三次在一个系列中，我们描述了空间的所有嵌入的极小曲面的固定属在一个固定的（但任意的）封闭的3-流形。在[CM 3]-[CM 5]中，我们描述了曲面在任何固定的小尺度上都是拓扑圆盘的情况。为了描述一般的平面区域（在[CM 6]中），除了[CM 3]-[CM 5]的结果之外，我们还需要嵌入稳定环的关键估计，这是本文的主要结果。这个估计断言，这样的环是一个图形远离其边界，如果它只有一个内部边界组件，如果这个组件位于一个小（外在）球。
Using the local picture of the degeneration of sequences of minimal surfaces developed by Chodosh, Ketover and Maximo we show that in any closed Riemannian 3-manifold $(M,g)$, the genus of an embedded CMC surface can be bounded only in terms of its index and area, independently of the value of its mean curvature. We also show that if $M$ has finite fundamental group, the genus and area of any non-minimal embedded CMC surface can be bounded in term of its index and a lower bound for its mean curvature.
Minimal surfaces with positive genus and finite total curvature in $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$
我们构造的第一个例子完全，适当嵌入极小曲面在$\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$有限全曲率和正亏格。这些是由水平悬链或其他非退化被加数的胶合副本构造的。我们还建立了每个水平悬链是非退化的。最后，使用相同的技术，我们能够产生适当的嵌入极小曲面与无限多个结束。每个环形端部具有有限的全曲率并且渐近于垂直的全测地平面。
Surfaces with constant mean curvature 1/2 and genus one in H2xR
在H2 xR中构造了新的常中曲率曲面.它们是高原解的姐妹面。它是一族MC 1/2曲面，具有k个端点，亏格1和k重二面角对称性，k大于2。表面是亚历山德罗夫嵌入式的.
Compactness of the space of genus-one helicoids
使用层理论开发的Colding和Minicozzi序列嵌入，有限属极小曲面的边界走向无穷大\cite{CM5}，我们发现，空间的属一螺旋面是紧凑的（模刚性运动和homotheties）。这推广了Hoffman和White \cite{HW}的结果。
In the Euclidean unit three-ball, we construct compact, embedded, two-sided free boundary minimal surfaces with connected boundary and prescribed high genus, by a gluing construction tripling the equatorial disc. Aside from the equatorial disc itself, these are the first examples in the three-ball of compact free boundary minimal surfaces with connected boundary.
Helicoidal minimal surfaces of prescribed genus, I
本文证明 S^2×R 中存在任意亏格、两端渐近于指定螺距螺旋面的完备真嵌入极小曲面，并说明其在半径趋于无穷时收敛为 R^3 中无穷远呈螺旋状的极小曲面。
Complete embedded complex curves in the ball of $\mathbb{C}^2$ can have any topology
本文证明了$\mathbb{C}^2$的单位球$\mathbb{B}$允许任何给定拓扑型的完全正确嵌入复曲线。此外，我们提供的例子包含任何给定的封闭离散子集的$\mathbb{B}$。
The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold V; Fixed genus
本文是第五和最后一个系列嵌入极小曲面。继我们以前关于圆盘的论文之后，本文证明了两个关于任意给定亏格的非单连通嵌入极小曲面的主要结构定理。其中第一个断言，任何这样的表面没有小颈部可以通过胶合在一起两个相反方向的双螺旋楼梯。第二个给出了一条裤子分解的任何这样的表面时，有小脖子，切割表面沿收集的短曲线。在切割之后，我们剩下的图形片段被定义在一个去除了一个或两个子盘的盘上（去除了两个子盘的拓扑盘被称为一条裤子）。这两种结构都出现在称为黎曼例子的极小曲面的两参数族中的不同极端。[CM 3]-[CM 6]的结果已经被许多作者使用;参见，例如，[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19具有无穷拓扑的极小曲面是当前研究的热点。本论文的一些结果以前已经公布，并已被广泛用于研究无限拓扑极小曲面;见，例如，[MeP]、[MePRs 1]、[MePRs 2]、[MePRs 3]和[P]。
Embedded minimal disks with prescribed curvature blowup
我们在欧氏空间中的球中构造了一个紧嵌入极小圆盘序列，其边界位于球的边界上，使得曲率仅在x_3轴上的一个指定的离散（因此是有限的）点集处爆炸。这扩展了Colding和Minicozzi的一个结果，他们构造了一个序列，对于这个序列，曲率只在球的中心爆炸，并且是对一个更大的问题的部分肯定回答，这个更大的问题是存在一个序列，对于这个序列，曲率精确地在x_3轴上的一个规定的闭集上爆炸。
Helfrich's Energy and Constrained Minimisation
对于每一个$g\in\mathbb{N}_0$和$ε>0$，我们构造了一个嵌入到单位球中的光滑亏格$g$曲面，其面积$8π$和Willmore能量小于$8π+ ε$ .由此，我们推出的Willmore的能量在类属$g$表面嵌入在单位球面积$8π$的最小序列收敛到一个双覆盖的所有$g\in\mathbb{N}_0$的领域。我们得到了相同的结果，某些Canham-Helfrich能量与$χ_K\leq 0$没有亏格约束，并表明，Canham-Helfrich能量与$χ_K>0$是没有界的光滑曲面类的面积$S$嵌入到一个域$Ω\Subset \mathbb{R}^3$从下面。进一步证明了嵌入域$Ω\Subset\mathbb{R}^3$中能量和面积一致有界的连通曲面类在变倍收敛下是紧的.
Minimal Surfaces of Finite Genus: Classification, Dynamics and Laminations
本文阐述了与 W.H. Meeks 等人共同发展的研究计划，通过四步分类法、叶状结构技术和动力学定理等工具，研究了 $\mathbb{R}^3$ 中完备正常嵌入极小曲面的分类、动力学及相关未解决问题。
We present a new construction of embedded minimal surfaces in hyperbolic space with $3$ asymptotically totally geodesic ends and arbitrary finite genus.
Embedded surfaces of arbitrary genus minimizing the Willmore energy under isoperimetric constraint
$R^3$中嵌入表面的等周比定义为表面面积的3次方与封闭体积的平方之比。研究了当抽象曲面具有固定亏格$g\geq 0$时，在固定等周比下Willmore能量的最小化问题.相应的问题的情况下，球面，即$g=0$，最近解决了Schygulla与不同的方法。
In this paper we construct a properly embedded holomorphic disc in the unit ball $\mathbb{B}^2$ of $\mathbb{C}^2$ having a surprising combination of properties: on the one hand, it has finite area and hence is the zero set of a bounded holomorphic function on $\mathbb{B}^2$; on the other hand, its boundary curve is everywhere dense in the sphere $b\mathbb{B}^2$.
Free boundary CMC annuli in spherical and hyperbolic balls
该研究构造了S³测地球中任意H下带离散非旋转对称群的无穷多自由边界CMC环面（H≥1/√3时有嵌入实例），还构造了H³测地球中所有H>1时的嵌入非旋转自由边界CMC环面，拓展了常平均曲率曲面的存在性结果。
Embedded Weingarten tori in S^3
本文证明了亏格为1的S^3中嵌入的Weingarten曲面在满足一定的结构条件下一定是旋转对称的。这个论点涉及到我们对最小环面的劳森猜想的证明。
In this paper we construct an example of a complete immersed minimal surface in $\mathbb{R}^3$ of genus one with two embedded catenoid-type ends, one Enneper-type end and total Gauss curvature $-16π.$ The proof of the existence of this example, was obtained using the Weierstrass representation, the theory of elliptic functions and explicitly solving the period problem.
Higher genus Riemann minimal surfaces
构造了适当嵌入欧几里得空间的高亏格Riemann极小曲面.为了做到这一点，我们胶水结束结束的Costa-Hoffman-Meeks的例子，两半亏格零黎曼的极小曲面。首先，我们需要执行Costa-Hoffman-Meeks示例的变形，以规定沿悬链端的通量矢量。然后，我们研究了Jacobi算子在半Riemann例子上的映射性质，作为CMC-Delaunay半圆柱的扰动分析。
Conformal Structures and Necksizes of Embedded Constant Mean Curvature Surfaces
设M = M_{g,k}表示亏格g的适当（Alexandrov）嵌入的常中曲率（CMC）曲面空间，具有k个（标记）端点，模刚性运动，具有[kmp]中描述的实解析结构.设$P = P_{g,k} = r_{g,k} \times R_+^k$是亏格为g的黎曼曲面上的抛物结构空间，其实解析结构来自黎曼模空间r_{g,k}上的3g-3+k局部复解析坐标.那么，赋予CMC曲面诱导共形结构和渐近颈尺寸的抛物分类映射Φ：M -> P是一个真的实解析映射。因此，Phi是封闭的，特别是具有封闭的图像。对于亏格g=0，这可以用来表明，每一个共形类型的多重穿孔黎曼球面出现作为CMC表面，并-根据非退化假设-φ有一个明确的（mod 2）度。这个度为零，所以一般来说，一个偶数的CMC表面实现任何给定的共形结构和渐近颈。
Higher genus doubly periodic minimal surfaces
我们构造Weierstrass数据高属嵌入双周期极小曲面，并提出了数值证据，相关的周期问题可以解决。在正交端点的情况下，以前每个亏格只有一个已知的曲面。我们说明了多个新的例子，每个亏格g>2。在平行端的情况下，已知的例子限制为具有节点的平行平面的叶理。我们构造了一个新的例子，每个亏格g>2，限制为g-1单周期Scherk曲面之间的两个双周期Scherk曲面，也作为一个单周期曲面与四个垂直和2g水平Scherk结束。
Compactness properties of the space of genus-g helicoids
在\cite{CM5}中，Colding和Minicozzi描述了$\Real^3$中的嵌入极小曲面序列所具有的一类紧性，该极小曲面序列具有有限亏格，且边界指向$\infty$ .它们表明，任何这样的序列要么包含一个子序列的一致有界曲率或子序列具有某些规定的奇异行为。在本文中，我们加强了他们的奇异性行为时，曲面具有连通边界的描述。利用这一性质，我们得到亏格- $g$螺旋面空间的某些附加紧性。
The rigidity of embedded constant mean curvature surfaces
我们研究了R^3中完备的嵌入常中曲率曲面的刚性。除此之外，我们证明了当这样的曲面有有限亏格时，曲面的内禀等距扩张到R^3的等距，或者它的等距群包含一个指数为2的等距子群。
Triply periodic constant mean curvature surfaces
给定一个3-环面$N$，对每个$H>0$和每个非负整数$g$，我们得到了嵌入在$N$中的亏格为$g$和常中曲率为$H$的闭曲面的面积估计.这个结果与Traizet [33]的定理相反，Traizet [33]证明了对于每个正整数$g$，每个平坦的3-环面都允许具有$g\neq 2$的连通闭嵌入极小曲面的亏格$g$具有任意大的面积。
The Plateau problem at infinity for horizontal ends and genus 1
本文研究了亏格为1且具有水平端点的Alexandrov嵌入r-拟胚。这样的极小曲面有两种类型，我们建立了第一个的几个例子。我们证明了，如果一个多边形的边界浸入多边形磁盘，它是一个r-noid的第一类亏格为1的通量多边形。我们还研究了多边形的情况下是不变的旋转。这些曲面的构造是基于无界区域上的极小曲面方程的狄利克雷问题的解决。
Minimal surfaces with genus zero
在极小曲面的经典理论中，一个非常有趣的问题是在几何和拓扑约束下对极小曲面的分类。在这篇简短的论文中，我们给出了一个简短的总结，已知的分类结果适当嵌入极小曲面亏格为零的$\mathbb{R}^3$或由一个或两个独立的平移的$\mathbb{R}^3$的子。这并不打算是一个详尽的审查工具或证明在该领域，但一个简单的解释，目前已知的结果。
Embedded surfaces and almost complex structures
本文证明了4-流形X中的光滑曲面关于X上的某些殆复结构是伪全纯的充要条件。这提供了一个系统的方法来建设的pseudoholomorphic曲线，不最小化其同调类的属。
We construct a family of compact free boundary minimal annuli immersed in the unit ball $\mathbb{B}^3$ of $\mathbb{R}^3$, the first such examples other than the critical catenoid. This solves a problem formulated by Nitsche in 1985. These annuli are symmetric with respect to two orthogonal planes and a finite group of rotations around an axis, and are foliated by spherical curvature lines. We show that the only free boundary minimal annulus embedded in $\mathbb{B}^3$ foliated by spherical curvature lines is the critical catenoid; in particular, the minimal annuli that we construct are not embe…
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